22.1.4 二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质 高频易错题集 （原卷+解析）

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22.1.4
二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
4．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b，2a﹣b中，其值为正的式子的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．若二次函数y＝ax2的图象过点P（﹣1，2），则该图象必经过点（　　）
A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣2，1）
D．（2，﹣1）
8．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x﹣m的图象上，则下列有关y1和y2的大小关系的结论中正确的是（　　）
A．y1＝y2
B．y1＜y2
C．y1＞y2
D．与m的值有关
9．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+1
B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1
D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
10．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣5
B．y＝（x+2）2+5
C．y＝（x﹣2）2﹣5
D．y＝（x﹣2）2+5
二．填空题（共5小题）
11．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：
序号
①
②
③
④
⑤
x
0
1
2
3
4
y
3
0
﹣2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据　
　．（只填序号）
12．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　
　．
13．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是　
　．
14．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是　
　．
15．关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为　
　．
三．解答题（共5小题）
16．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
17．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
18．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，2）．
（1）b＝　
　（用含有a的代数式表示），c＝　
　；
（2）点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，若△AOC的面积为1，则a＝　
　；
（3）若x＞1时，y＜5．结合图象，直接写出a的取值范围．
19．证明：无论a取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．
20．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）
（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；
（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q＝25，在平移过程中，若抛物线y＝﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．故选：C．
2．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；
当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．
故选：C．
3．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），
∴抛物线的顶点为（5，9），
∵当7＜m＜8时，总有n＜1，
∴a不可能大于0，
则a＜0，
∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，
∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，
∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，
∴，
∴4a+9＝1，
∴a＝﹣2，
故选：D．
4．如果二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且关于z的分式方程＝2有正数解，则符合条件的整数a的值有多少个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
解：∵＝2
∴1+1﹣az＝2（2﹣z）
∴（2﹣a）z＝2
∴z＝
关于z的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣a＞0
∴a＜2
但该分式方程当z＝2时显然是增根，故当a＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数y＝x2﹣ax+1，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴a≥﹣4
∴﹣4≤a＜2，且a≠1
符合条件的整数a的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选：C．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b，2a﹣b中，其值为正的式子的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴ac＞0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴a、b异号，
即b＞0，
∴ab＜0，
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∵对称轴为x＝＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴2a﹣b＜0
∴有2个正确．
故选：A．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
解：①观察图象可知：
a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，
∴①正确；
②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴②错误；
③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1
得b＝2a，
当x＝时，y＜0，
即a+b+c＜0，
即a+2b+4c＜0，
∴5a+4c＜0．
∴③正确；
④因为抛物线与x轴有两个交点，
所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0．
∴④错误；
⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．
∴⑤正确．
故选：C．
7．若二次函数y＝ax2的图象过点P（﹣1，2），则该图象必经过点（　　）
A．（1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣2，1）
D．（2，﹣1）
解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣1，2），则该图象必经过点（1，2）．
故选：A．
8．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x﹣m的图象上，则下列有关y1和y2的大小关系的结论中正确的是（　　）
A．y1＝y2
B．y1＜y2
C．y1＞y2
D．与m的值有关
解：y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣1﹣m，
∵点A（﹣2，y1）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，
∴y1＝（﹣2+1）2﹣1﹣m＝1﹣1﹣m＝﹣m；
∵点B（1，y2）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，
∴y2＝（1+1）2﹣1﹣m＝4﹣1﹣m＝3﹣m．
∴y1＜y2．
故选：B．
9．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x+1）2+1
B．y＝﹣2（x﹣1）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1
D．y＝﹣2（x+1）2﹣1
解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，
故选：B．
10．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣5
B．y＝（x+2）2+5
C．y＝（x﹣2）2﹣5
D．y＝（x﹣2）2+5
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），
所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：
序号
①
②
③
④
⑤
x
0
1
2
3
4
y
3
0
﹣2
0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据　③　．（只填序号）
解：由图表数据可知，①、⑤两点关于直线x＝2对称，
②、④两点关于直线x＝2对称，
所以，计算错误的一组数据应该是③，
验证：由①②④数据可得，
解得，
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，
当x＝2时，y＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，
所以③数据计算错误．
故答案为：③．
12．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　﹣6、﹣　．
解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
13．对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是　﹣＜a＜0或a＞1．　．
解：根据题意，可得
两个相异的二合点x1，x2是方程
an2+n﹣1＝2﹣n的两个根，
整理，得
an2+2n﹣3＝0，
△＞0，
即4+12a＞0，解得a＞﹣．
①当a＞0时，抛物线开口向上，
∵x1＜x2＜1，
当x＝1时，y＞0，
即a+2﹣3＞0，解得a＞1．
所以a＞1．
②当a＜0时，抛物线开口向下，
∵x1＜x2＜1，当x＝1时，y＜0，
即a+2﹣3＜0，解得a＜1，
所以﹣＜a＜0．
综上所述：﹣＜a＜0或a＞1．
故答案为﹣＜a＜0或a＞1．
14．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是　0＜S＜2　．
解：将点（0，1）和（﹣1，0）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1，
∴S＝a+b+c＝2b，
由题设知，对称轴x＝，
∴2b＞0．
又由b＝a+1及a＜0可知2b＝2a+2＜2．
∴0＜S＜2．
故本题答案为：0＜S＜2．
15．关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为　2或6　．
解：由方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n得
a（x﹣h﹣3）2+k＝x+n﹣3①
方程①可看作左边是二次函数y＝a（x﹣h﹣3）2+k，右边是一次函数y＝x+n﹣3
根据平移知识，可知方程①相当于关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n②，左右两边都向右平移3个单位
而方程②的两根为x1＝﹣1，x2＝3
∴方程①的两根为x1＝2，x2＝6
故答案为2或6．
三．解答题（共5小题）
16．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
．
解：列表：
描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的线连接，如图所示：
17．设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
（1）解：当x＝c时，y＝0，即ac2+bc+c＝0，c（ac+b+1）＝0，
又c＞1，所以ac+b+1＝0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x＝c时，y＝0，
于是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴：即b≤﹣2ac
所以b＝﹣ac﹣1≤﹣2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x＝1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为
而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a﹣2ac﹣2+3c＝（1﹣a）（2c﹣1）+（c﹣1）＞0
所以当x＞0时，，
即．
18．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，2）．
（1）b＝　a+2　（用含有a的代数式表示），c＝　2　；
（2）点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，若△AOC的面积为1，则a＝　﹣2或6﹣4或6+4　；
（3）若x＞1时，y＜5．结合图象，直接写出a的取值范围．
解：（1）把点A（﹣1，0）、B（0，2）代入函数y＝ax2+bx+c，
a﹣b+c＝0，
c＝2，
∴b＝a+2；c＝2．
故答案为a+2，2；
（2）∵点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，
∴y＝ax2+（a+2）x+2的顶点C的坐标为：（﹣，），
∵△AOC的面积为1，
即×1×||＝1
解得：a＝﹣2或6﹣4或6+4．
故答案为：a＝﹣2或6﹣4或6+4．
（3）∵函数解析式为：y＝ax2+（a+2）x+2
∴对称轴x＝﹣＝﹣，
∵经过点A（﹣1，0）、B（0，2）且x＞1时，y＜5，
∴a＜0．
当对称轴在x＝1左侧时，如图1，
解得a≤
当对称轴在x＝1右侧时，如图2，
解得﹣＜a＜﹣8+2，
综上所述，a的取值范围是：a＜﹣8+2．
19．证明：无论a取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．
证明：，
当时，，
即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M，
又，
故抛物线的顶点坐标为，
即，消去a得，
，
这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．
20．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）
（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；
（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y＝﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q＝25，在平移过程中，若抛物线y＝﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．
解：（1）∵直线y＝﹣4x+m过点B（3，9），
∴9＝﹣4×3+m，解得：m＝21，
∴直线的解析式为y＝﹣4x+21，
∵点A（5，n）在直线y＝﹣4x+21上，
∴n＝﹣4×5+21＝1，
∴点A（5，1），
将点A（5，1）、B（3，9）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+6；
（2）由抛物线y＝﹣x2+px+q与直线y＝﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：
﹣25+5p+q＝n①，﹣20+m＝n②，
y＝﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q＝2③，
则有解得：，
∴平移后的抛物线为y＝﹣x2+6x﹣3＝﹣（x﹣3）2+6，
顶点为（3，6），一次函数的解析式为：y＝﹣4x+22，A（5，2），
∵y＝﹣x2+bx+c经过A（5，2），
∴2＝﹣25+5b+c，
∴c＝27﹣5b，
∴y＝﹣x2+bx+27﹣5b＝﹣（x﹣）2+﹣5b+27，
∴S＝﹣5b+27﹣6＝（b﹣10）2﹣4，
由，
﹣x2+bx+27﹣5b＝﹣4x+22，
x2﹣（b+4）x+5b﹣5＝0，
（x﹣5）（x﹣b+1）＝0，
x1＝5，x2＝b﹣1，
解得或，
∵A、B在第一象限，
∴，
∴1＜b＜且b≠6，
S随b的增大而减小，
∴﹣＜s＜且S≠0，
∵S＞0，
∴0＜S＜．
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精品试卷·第
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