23.1 图形的旋转 高频易错题集 （原卷+解析）

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23.1
图形的旋转
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（　　）
A．14分钟
B．20分钟
C．15
分钟
D．分钟
2．一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角α为（　　）
A．108°
B．120°
C．72°
D．36°
3．下列事件中，属于旋转运动的是（　　）
A．小明向北走了4米
B．时针转动
C．电梯从1楼到12楼
D．一物体从高空坠下
4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则△APH的周长为（　　）
A．15
B．18
C．20
D．24
5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC，则BC1的长为（　　）
A．
B．
C．4
D．6
6．如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（　　）
A．10°
B．20°
C．60°
D．130°
7．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
9．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．216°
B．144°
C．108°
D．72°
10．如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（　　）
A．（0，0）
B．（3，1）
C．（﹣1，3）
D．（2，4）
二．填空题（共5小题）
11．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是　
　．
12．图中，甲图怎样变成乙图：　
　．
13．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝　
　°．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝　
　度．
15．如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过　
　次旋转得到的，旋转角的度数是　
　．
三．解答题（共5小题）
16．如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗？
17．如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点？试用量角器测量旋转角度的大小．（精确到1°）
18．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．
19．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　
　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
20．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标：　
　．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　
　
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是　
　度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（　　）
解：（分钟）．
所以经过15分钟后，3号车厢才会运行到最高点．
故选：C．
2．一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角α为（　　）
A．108°
B．120°
C．72°
D．36°
解：由题意，得赛车所走路线为正五边形，正五边形外角之和为360°，
所以五次旋转角之和为360°，
所以α＝360°÷5＝72°．
故选：C．
3．下列事件中，属于旋转运动的是（　　）
A．小明向北走了4米
B．时针转动
C．电梯从1楼到12楼
D．一物体从高空坠下
解：A．小明向北走了4米是平移，不合题意；
B．时针转动是旋转运动，符合题意；
C．电梯从1楼到12楼是平移，不合题意；
D．一物体从高空坠下是平移，不合题意；
故选：B．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则△APH的周长为（　　）
A．15
B．18
C．20
D．24
解：设HD＝x，由已知HC＝x+8
∵P是CH的中点
∴HP＝
有图形可知，△HPA中，边HP和边AP边上高相等
∴由面积法HP＝AP
∴AP＝4+
∵DP＝HP﹣HD＝4﹣
∴Rt△APD中
AP2＝DP2+AD2
∴（4+）2＝（4﹣）2+62
解得x＝
∴HP＝4+＝
∴Rt△ADH中，
HA＝
∴△APH的周长为＝20
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC，则BC1的长为（　　）
A．
B．
C．4
D．6
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝90°，
∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．
故选：B．
6．如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（　　）
A．10°
B．20°
C．60°
D．130°
解：∵∠2＝60°，
∴若要使直线a∥b，则∠3应该为60°，
又∵∠1＝130°，
∴∠3＝50°，
∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°，
故选：A．
7．下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A．旋转90°后能与自身重合，不合题意；
B．旋转72°后能与自身重合，符合题意；
C．旋转60°后能与自身重合，不合题意；
D．旋转45°后能与自身重合，不合题意；
故选：B．
8．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
9．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．216°
B．144°
C．108°
D．72°
解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
因而A、B、D选项都正确，不能与其自身重合的是C选项．
故选：C．
10．如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（　　）
A．（0，0）
B．（3，1）
C．（﹣1，3）
D．（2，4）
解：如图所示，∵线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，每4秒一个循环，19＝4×4+3，
∴3×90°＝270°，
∴19秒后点O旋转到点O'的位置，∠OPO'＝90°，
如图所示，过P作MN⊥y轴于点M，过O'作O'N⊥MN于点N，
则∠OMP＝∠PNO'＝90°，∠POM＝∠O'PN，OP＝PO'，
∴△OPM≌△PO'N（AAS），
∴O'N＝PM＝1，PN＝OM＝2，
∴MN＝1+2＝3，点O'离x轴的距离为2﹣1＝1，
∴点O'的坐标为（3，1），
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是　6秒或19.5秒　．
解：设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），
∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图1，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图2，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
12．图中，甲图怎样变成乙图：　绕点A顺时针旋转　．
解：观察可知，甲图绕点A顺时针旋转即可变成乙图．
故答案为：绕点A顺时针旋转．
13．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝　50　°．
解：∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，
∴∠ACA'＝40°，
∵AC⊥A′B′，
∴Rt△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°，
由旋转可得，∠BAC＝∠A'＝50°．
故答案为：50．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝　50　度．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠ABC＝65°，
由旋转的性质可知，∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，
∴∠ECB＝50°，
∴∠θ＝50°，
故答案为：50．
15．如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过　5　次旋转得到的，旋转角的度数是　60°　．
解：由图可得，可以看作是由其中一个菱形至少经过5次旋转得到的，旋转角的度数是60°．
故答案为：5，60°．
三．解答题（共5小题）
16．如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．你能吗？
解：我能，方法如下：
图（1）与图（2）中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌是中心对称图形，
而图中只有方块4是中心对称图形，故方块4被旋转过．
17．如图，钟摆的摆动是旋转，图中的旋转中心是哪一点？试用量角器测量旋转角度的大小．（精确到1°）
解：图中的旋转中心是点O，
旋转角度的大小约为30°．
18．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED＝EC
（1）如图1，求证：AE＝DB；
（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．
解：（1）如图，作DK∥AC交AB于K，则△BDK是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EKD＝∠EAC＝120°，∠B＝∠BKD＝60°，
∴DK＝BD，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠EDC，
∵∠ECA+∠ACB＝∠ECD，
∴∠B+∠KED＝∠ECA+∠ACB，
∵∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠KED＝∠ECA，
在△DKE与△EAC中，
，
∴△DKE≌△EAC（AAS），
∴AE＝DK，
∴BD＝AE．
（2）BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
理由：由旋转可得，△BCE≌△ACF，
∴BE＝AF，
又∵BD＝AE，AB＝BE﹣AE，
∴BE﹣AE＝AB；BE﹣BD＝AB；AF﹣AE＝AB；AF﹣BD＝AB．
19．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA
P′＝60°，
∴△AP
P′为等边三角形，
P
P′＝AP＝3，∠A
P′P＝60°，
易证△P
P′C为直角三角形，且∠P
P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A
P′P+∠P
P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
20．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△AOC是边长为2的等边三角形．
（1）写出△AOC的顶点C的坐标：　（﹣1，）　．
（2）将△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　2　
（3）将△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是　120　度
（4）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
解：（1）如图，过C作CH⊥AO于H，则HO＝AO＝1，
∴Rt△COH中，CH＝＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）；
（2）由平移可得，平移的距离＝AO＝2，
故答案为：2；
（3）由旋转可得，旋转角＝∠AOD＝120°，
故答案为：120；
（4）如图，∵AC∥OD，
∴∠CAE＝∠ODE，∠ACE＝∠DOE，
又∵AC＝DO，
∴△ACE≌△DOE，
∴CE＝OE，
∴AD⊥CO，即∠AEO＝90°．
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