24.1.1 圆 高频易错题集（原卷+解析）

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24.1.1
圆
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　）
A．一倍
B．二倍
C．三倍
D．四倍
2．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．10
3．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．不变
D．不能确定
5．如图，一量角器放置在∠AOB上，角的一边OA与量角器交于点C、D，且点C处的度数是20°，点D处的度数为110°，则∠AOB的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．45°
D．55°
6．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（　　）
A．S1＜S2
B．S1＞S2
C．S1＝S2
D．不确定
8．甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围S1的圆形草地，乙牧民围成面积为S2的正方形草地，丙牧民围面积为S3的矩形草地．则下面结论正确的是（　　）
A．S1＞S3＞S2
B．S2＞S1＞S3
C．S3＞S1＞S2
D．S1＞S2＞S3
9．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　）
A．πa2﹣a2
B．2πa2﹣a2
C．πa2﹣a2
D．a2﹣πa2
10．某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（　　）
A．正三角形
B．正方形
C．圆
D．不能确定
二．填空题（共5小题）
11．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　
　个．
12．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　
　m．
13．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有　
　个．
14．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为　
　，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于　
　°．
15．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是　
　．
三．解答题（共2小题）
16．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　
　；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　
　；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　
　．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　
　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
17．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．
求证：△OAC≌△OBD．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　）
A．一倍
B．二倍
C．三倍
D．四倍
解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，
则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍．
故选：C．
2．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．10
解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．
故选：C．
3．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵AB＝4，AC＝2，
∴S1+S3＝2π，S2+S4＝，
∵S1﹣S2＝，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）＝π
∴S3﹣S4＝π，
故选：D．
4．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（　　）
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．不变
D．不能确定
解：∵直角△PAB中，AB2＝PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP＝AB，
∴PA2+PB2＝AB2＝OP2．
故选：C．
5．如图，一量角器放置在∠AOB上，角的一边OA与量角器交于点C、D，且点C处的度数是20°，点D处的度数为110°，则∠AOB的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．45°
D．55°
解：连接CE、ED
∵角的一边OA与量角器交于点C、D，且点C处的度数是20°，点D处的度数为110°，即∠4＝20°，∠OED＝110°
∴∠3＝∠OED﹣∠4＝110°﹣20°＝90°．
∴∠1＝∠2＝45°，∠5＝∠2+∠3＝45°+90°＝135°
故∠AOB＝180°﹣∠5﹣∠4＝180°﹣135°﹣20°＝25°
故选：B．
6．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
解：∵CD＝OD＝OE，
∴∠C＝∠DOC＝20°，
∴∠EDO＝∠E＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝20°+40°＝60°．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（　　）
A．S1＜S2
B．S1＞S2
C．S1＝S2
D．不确定
解：根据条件上面的半圆关于OP对称，因而S1，S2直径AC上面的两部分的面积相等，△CDB与△AEB的底CD与AE相等，高相同，因而面积相同，因而S1＝S2．
故选：C．
8．甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围S1的圆形草地，乙牧民围成面积为S2的正方形草地，丙牧民围面积为S3的矩形草地．则下面结论正确的是（　　）
A．S1＞S3＞S2
B．S2＞S1＞S3
C．S3＞S1＞S2
D．S1＞S2＞S3
解：本题中甲的草地：2πr＝L，r＝，S1＝π?r2＝；
乙的草地：S2＝×＝；
丙的草地：设一边为x，S3＝x（﹣x）＝﹣x2+x，那么当x＝时，S3最大，此时S3＝；
∴S1＞S2＞S3．
故选：D．
9．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　）
A．πa2﹣a2
B．2πa2﹣a2
C．πa2﹣a2
D．a2﹣πa2
解：x和y如图所示，则
解得4x＝πa2﹣a2，即阴影部分的面积为πa2﹣a2．
故选：C．
10．某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（　　）
A．正三角形
B．正方形
C．圆
D．不能确定
解：当设计成正三角形，则边长是4米，则面积是＝4平方米；
当设计成正方形时，边长是3米，则面积是9平方米；
当设计成圆时，半径是＝米，则面积是π（＝平方米．
∵这三个数中最大，
∴使花坛面积最大的图案是圆．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　4　个．
解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴，
则y＝，
∴，
解得x＝3或﹣3（舍），
∴OC＝3＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
解法二：设△AOB中OA边上的高为h，
则，即，
∴h＝6，
∵OB＝6，
∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，
∴AB＝6，图中OC＝3，
同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
故答案为：4．
12．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　2L　m．
解：因为圆向前滚动的距离是Lm，所以人前进了2Lm．
13．圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有　15　个．
解：每4个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，
所以，本题等价于将6个点4个分组共有多少组，
显然应该是：＝15．
故答案为：15．
14．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为　6　，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于　90　°．
解：∵AB为⊙M的直径，
∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为6，90．
15．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是　a＝b＝c　．
解：连接OA，OD，OM．
∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形．
∴OA＝BC，OD＝EF，OM＝HN
∴BC＝EF＝HN
即a＝b＝c．
故答案是：a＝b＝c．
三．解答题（共2小题）
16．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝　l　；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝　l　；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝　l　．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　　．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
解：（2）l；
（3）l；
（4）l；；
每个小圆面积＝π（?a）2＝?，而大圆的面积＝π（?a）2＝πa2
即每个小圆的面积是大圆的面积的．
17．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．
求证：△OAC≌△OBD．
证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
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精品试卷·第
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