24.1.2 垂直于弦的直径 高频易错题集 （原卷+解析）

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24.1.2
垂直于弦的直径
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）
A．17
B．18
C．19
D．20
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　）
A．10
B．8
C．5
D．3
3．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（　　）
A．3cm
B．6cm
C．8cm
D．9cm
5．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
6．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（　　）
A．
B．4
C．3
D．
7．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A．3
B．4
C．3
D．4
8．下列命题中，不正确的是（　　）
A．垂直平分弦的直线经过圆心
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．平行弦所夹的两条弧相等
D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
9．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
10．下列命题中，正确的是（　　）
A．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．AB，CD是⊙O的弦，若AB＝CD，则AB∥CD
D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是　
　．
12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为　
　．
13．如图，弦AB⊥直径CD于E，若AB＝10，CE＝1，则CD＝　
　．
14．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为　
　．
15．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是　
　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OD为半径的大圆O的面积四等分，若OD＝r，求这三个圆的半径OA、OB、OC的长（用含r的式子表示）．
17．（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB＝10，CD＝8，求AE的长．
（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．
18．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
19．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
20．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）
A．17
B．18
C．19
D．20
解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　）
A．10
B．8
C．5
D．3
解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：A．
3．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，
∵Q是MN的中点．
∴AQ⊥MN，
∵A的坐标为（﹣4，﹣4），
∴直线AO：y＝x，AO＝4，
∵直线CD：y＝﹣x+4，
∴AO⊥CD，
∴∠AQO＝∠OGP＝90°，
∵∠AOQ＝∠POG，
∴∠AOQ∽△POG，
∴，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴OC＝OD＝4，
∴OG＝CD＝2，
∵OP＝t，OQ＝S，
∴，
S＝，
故选项C、D不正确；
当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，
故选项B不正确；
故选：A．
4．过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm，那么OM的长为（　　）
A．3cm
B．6cm
C．8cm
D．9cm
解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED＝20cm，AB＝16cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM＝8cm，
∵半径OA＝10cm，
∴OM2＝OA2﹣AM2＝100﹣64＝6，
∴OM＝6cm．
故选：B．
5．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
解：连接OB，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OP⊥AB，
∴∠BOP＝∠AOB＝30°，
由圆周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°，
故选：A．
6．如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC＝2，BC＝6，⊙O的半径为5，则OC＝（　　）
A．
B．4
C．3
D．
解：设OC＝x，利用圆内相交弦定理可得：2×6＝（5﹣x）（5+x）
解得x＝．
故选：A．
7．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A．3
B．4
C．3
D．4
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3
故选：C．
8．下列命题中，不正确的是（　　）
A．垂直平分弦的直线经过圆心
B．平分弦的直径一定垂直于弦
C．平行弦所夹的两条弧相等
D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
解：A、根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本答案正确．
B、直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分的弦不能是直径；故本答案错误．
C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确．
D、根据垂径定理可知，垂直于弦的直径必平分弦所对的弧；故本选项正确．
故选：B．
9．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC＝BD．
所以共有4组相等的线段．
故选：D．
10．下列命题中，正确的是（　　）
A．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．AB，CD是⊙O的弦，若AB＝CD，则AB∥CD
D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
解：A、垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，故本选项正确；
B、平分弦（弦不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项错误；
C、AB和CD可能相交，故本选项错误；
D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故本选项错误；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是　　．
解：连接OA，
∵C是AB的中点，
∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，
∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，
解得，OA＝，
故答案为：．
12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为　16　．
解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，
∴OA＝OC＝10，
∵CM＝4，
∴OM＝10﹣4＝6，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM＝＝8，
∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．
故答案为：16．
13．如图，弦AB⊥直径CD于E，若AB＝10，CE＝1，则CD＝　26　．
解：连接OA，
∵弦AB⊥直径CD于E，
∴AE＝EB＝5，
设圆的半径为r，则OE＝r﹣1，
由勾股定理得，r2＝52+（r﹣1）2，
解得，r＝13，
则CD＝2r＝26，
故答案为：26．
14．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为　7dm或1dm　．
解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
∴AE＝BE＝AB＝3，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴CF＝FD＝CD＝4，
在Rt△OAE中，OA＝5dm
OE＝＝＝4，
同理可得OF＝3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．
故答案为7dm或1dm．
15．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是　1cm　．
解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，
∵分直径成1cm和5cm两部分，
∴AB＝6cm，
∴OA＝AB＝3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝1（cm）．
故答案为：1cm．
三．解答题（共5小题）
16．如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OD为半径的大圆O的面积四等分，若OD＝r，求这三个圆的半径OA、OB、OC的长（用含r的式子表示）．
解：∵π?OA2＝π?r2，
∴OA2＝r2，
∴OA＝r；
∵π?OB2＝π?r2，
∴OB2＝r2，
∴OB＝r；
∵π?OC2＝π?r2，
∴OC2＝r2，
∴OC＝r；
因此这三个圆的半径为：OC＝r，OB＝r，OA＝r．
17．（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB＝10，CD＝8，求AE的长．
（2）如图2，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长度．
解：（1）∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．
∴CE＝CD＝4．
在直角△OCE中，OE＝＝＝3．
则AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2；
（2）如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠PCE＝∠BOP+∠COP＝∠BOP+∠AOP＝∠AOB＝30°，
又∵PC＝4，
∴PE＝PC＝×4＝2，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝2．
18．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．
解：连接OB，
则OB＝×10＝5，
∵OM⊥AB，OM过O，
∴AB＝2AM＝2BM，
在Rt△OMB中，由勾股定理得：BM＝＝＝4，
∴AB＝2BM＝8．
19．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝，
∴OD＝＝；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB＝＝2，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝；
（3）如图（3），连接OC，
∵BD＝x，
∴OD＝，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝45°，
过D作DF⊥OE，
∴DF＝＝，由（2）已知DE＝，
∴在Rt△DEF中，EF＝＝，
∴OE＝OF+EF＝+＝
∴y＝DF?OE＝??
＝（0＜x＜）．
20．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．
所以这辆卡车能通过厂门．
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精品试卷·第
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