24.1.3 弧、弦、圆心角 高频易错题集 （原卷+解析）

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24.1.3
弧、弦、圆心角
高频易错题集
一．填空题（共5小题）
1．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为　
　m．
2．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有　
　个．
3．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　
　．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为　
　．
5．如图，，则∠AOB＝　
　°，∠ACB＝　
　°，∠ADB＝　
　°，∠CAD+∠CBD＝　
　°．
二．解答题（共5小题）
6．如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC．
7．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝；
8．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）＝．
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求PA的长．
10．如图，AD是⊙O的直径．
（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　
　°，∠B2的度数是　
　°；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，Bn?n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．
三．选择题（共10小题）
11．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）
A．AB+CD＝EF
B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF
D．大小关系不确定
12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（　　）
A．56
B．58
C．60
D．62
13．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
14．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（　　）
A．90°
B．80°
C．69°
D．65°
15．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（　　）
A．15
B．20
C．15+
D．15+
16．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（　　）
A．12＜P≤18
B．18＜P≤24
C．18＜P≤18+6
D．12＜P≤12+6
17．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　）
A．180°
B．150°
C．135°
D．120°
18．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（　　）
A．AC+CB＝AD+DB
B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB
D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
19．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（　　）
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
20．已知下列四个命题：
①过原点O的直线的解析式为y＝kx（k≠0）；
②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等．
其中不正确的命题是（　　）
A．只有①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
试题解析
一．填空题（共5小题）
1．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为　（2+）　m．
解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝＝＝，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝，
h的最大值为OP+OB，即2+．
故答案为：（2+）．
2．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有　12　个．
解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：＝5，即x2+y2＝25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；
x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；
x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；
x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
3．如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　2　．
解：连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2，
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为　56°　．
解：连结CD．
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝62°．
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝56°，
∴弧AD的度数为56°．
故答案为56°．
5．如图，，则∠AOB＝　160　°，∠ACB＝　80　°，∠ADB＝　100　°，∠CAD+∠CBD＝　180　°．
解：∵，
∴∠AOB＝×360°＝160°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×160°＝80°，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∴∠CAD+∠CBD＝180°．
故答案为：160、80、100、180．
二．解答题（共5小题）
6．如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC．
证明：如图，连接AD，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AE＝DE，
又∵AB＝CD，
∴AE＝CE．
7．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上，求证：＝；
证明：连结OM、ON，
∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，
∴OC＝OD，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM＝∠DON，
∴＝．
8．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：
（1）OC＝OD：
（2）＝．
（1）证明：连接OA，OB，
∵AC＝BD，
∴∠OAC＝∠OBD．
在△OAC与△OBD中，
∵，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴OC＝OD．
（2）∵由（1）可知，△OAC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
9．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求PA的长．
解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
∵P是优弧BAC的中点，
∴＝．
∴PB＝PC．
又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），
∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．
∴PA＝PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
（2）过点P作PE⊥AD于E，
由（1）可知，
当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，
则AE＝AD＝1．
∵∠PCB＝∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴cos∠PAD＝cos∠PCB＝，
∴PA＝．
10．如图，AD是⊙O的直径．
（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　22.5　°，∠B2的度数是　67.5　°；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，Bn?n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．
解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；
（2）∵圆周被6等分
∴＝＝＝360°÷6＝60°
∵直径AD⊥B1C1
∴＝＝30°，
∴∠B1＝＝15°
∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°
∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；
（3）Bn?n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，
则∠BnAD＝，
在直角△ABnD中，．
三．选择题（共10小题）
11．如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果+＝，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　）
A．AB+CD＝EF
B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF
D．大小关系不确定
解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
12．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（　　）
A．56
B．58
C．60
D．62
解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴弧AM＝弧DC＝62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：A．
13．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），
∴＝，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），
在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
14．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（　　）
A．90°
B．80°
C．69°
D．65°
解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故选：C．
15．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（　　）
A．15
B．20
C．15+
D．15+
解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，
因此，只要AP的长为最大值，
∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3+5＝15+5．
故选：C．
16．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（　　）
A．12＜P≤18
B．18＜P≤24
C．18＜P≤18+6
D．12＜P≤12+6
解：∵△ABD是等边三角形
∴AB+AD+CD＝18，得P＞18
∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE＝
∴P≤18+6
∴p的取值范围是18＜P≤18+6．
故选：C．
17．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　）
A．180°
B．150°
C．135°
D．120°
解：∵点A、B、C、D、E五等分圆，
∴＝＝＝＝＝＝72°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
∵∠ADB＝＝×72°＝36°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝5×36°＝180°．
故选：A．
18．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（　　）
A．AC+CB＝AD+DB
B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB
D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
解：如图；
以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB；
∵∠DAC＝∠CBE，
∴∠DAC＝∠CEB；
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；
∴AD＝DE；
∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，
∴AC+BC＞BD+AD；
故选：C．
19．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（　　）
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
解：线段OA，OB，OC，OD每两条都相等，因而有6对；∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，＝，＝．
故选：C．
20．已知下列四个命题：
①过原点O的直线的解析式为y＝kx（k≠0）；
②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
④在同圆或等圆中，若圆周角不等则所对的弦也不等．
其中不正确的命题是（　　）
A．只有①②
B．①②③
C．①②④
D．②③④
解：①当过原点O的直线与x轴重合时，此直线的解析式为y＝0，k＝0，故①错误；
②此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，如②错误；
③此题可先通过全等三角形证得两对应边的夹角相等，从而由SAS判定两个三角形全等，故③正确；
④圆内接四边形（所有内角都不是90°）的对角不相等，但是它们都对着同一条弦（即四边形的对角线），故④错误；
所有正确的结论只有②，故选C．
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