24.1.4 圆周角 高频易错题集 （原卷+解析）

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24.1.4
圆周角
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A＝∠B＝20°，则∠AOB等于（　　）
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（　　）
A．20°
B．40°
C．70°
D．80°
3．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°，则∠CAB的度数为（　　）
A．26°
B．74°
C．64°
D．54°
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（　　）
A．35°
B．46°
C．55°
D．70°
5．如图，⊙O的直径AB长为10，弦BC长为6，OD⊥AC，垂足为点D，则OD长为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
6．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝2＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝AE
B．AB＝2AE
C．3∠A＝2∠C
D．5∠A＝3∠C
7．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（　　）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　）
A．128°
B．100°
C．64°
D．32°
9．如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，则∠BAE等于（　　）
A．90°
B．30°
C．135°
D．45°
10．四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D＝80°，那么∠B等于（　　）
A．80°
B．100°
C．120°
D．160°
二．填空题（共5小题）
11．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为　
　cm2．（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）
12．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　
　°．
13．如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是　
　．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为　
　度．
15．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为　
　°．
三．解答题（共5小题）
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　
　．
17．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
18．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．
（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
20．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB＝PC．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A＝∠B＝20°，则∠AOB等于（　　）
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
解：连接OC．
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
同理，∠A＝∠ACO
∴∠ACB＝∠A+∠B＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（　　）
A．20°
B．40°
C．70°
D．80°
解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，
设∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如图3，
设∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠E＝ODC＝15°+x，
∴15°+x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
3．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°，则∠CAB的度数为（　　）
A．26°
B．74°
C．64°
D．54°
解：由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝26°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝64°，
故选：C．
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（　　）
A．35°
B．46°
C．55°
D．70°
解：连接BC，
∵∠AOC＝110°，
∴∠ABC＝∠AOC═55°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ABD＝∠ABC＝55°，
故选：C．
5．如图，⊙O的直径AB长为10，弦BC长为6，OD⊥AC，垂足为点D，则OD长为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
解：∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD＝BC＝3．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若＝2＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝AE
B．AB＝2AE
C．3∠A＝2∠C
D．5∠A＝3∠C
解：∵＝2＝2，
∴∠BOD＝∠EOC＝∠DOE，
∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，
同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，
∴∠A＝45°，
∵BC为直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴AB＝AE，故A、B错误；
3∠A＝135°，2∠C＝135°，
∴3∠A＝2∠C，C正确；
5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，
∴5∠A≠3∠C，D错误；
故选：C．
7．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（　　）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α
的大小无关；
B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2?2?sin45°＝2；
C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝2?2?sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选：D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　）
A．128°
B．100°
C．64°
D．32°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE＝64°，
∴∠BOD＝2∠A＝128°．
故选：A．
9．如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，则∠BAE等于（　　）
A．90°
B．30°
C．135°
D．45°
解：由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠BAE＝∠C＝45°，故选D．
10．四边形ABCD内接于⊙O．如果∠D＝80°，那么∠B等于（　　）
A．80°
B．100°
C．120°
D．160°
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°；
∵∠D＝80°，∴∠B＝180°﹣∠D＝100°；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为　14.9　cm2．（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）
解：假设三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分为△ABC，BC＝4cm，∠BAC＝30°，
作△ABC的外接圆⊙P，连接PA，PB，PC，作PD⊥BC于D，则PB＝PC＝PA，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BPC＝2∠BAC＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴BD＝CD＝2，PD＝2，BP＝BC＝PA＝4，
连接AD，则AD≤AP+PD＝4+2，
∴当A，P，D在同一直线上时，AD有最大值，
此时，AD⊥BC，
∴S△ABC＝×BC×AD＝×4×（4+2）＝8+4≈14.9（cm2）．
故答案为：14.9
12．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于　60°或120　°．
解：如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
故答案为：60°或120°．
13．如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是　≤CQ≤12　．
解：∵Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，
∴AB＝13，
①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，则
OP⊥AB，且AC＝AP＝5，
∴PB＝AB﹣AP＝13﹣5＝8；
设CO＝x，则OP＝x，OB＝12﹣x；
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+OB2，
即（12﹣x）2＝x2+82，
解之得x＝，
∴CQ＝2x＝；
即当CQ＝且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．
②当＜CQ≤12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形
③当0＜CQ＜时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形．
故答案为：≤CQ≤12．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为　65　度．
解：连接OD、OC，
∵点D为的中点，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠B＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∴∠AOD＝∠COD＝50°，
∴∠A＝∠ODA＝65°，
故答案为：65．
15．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为　100　°．
解：∵C是的中点，AB＝CD．
∴＝＝，
∵∠ODC＝50°，
∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．
故答案为：100．
三．解答题（共5小题）
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　60°或90°　．
解：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴弧BC＝弧BD，
∴∠BDC＝∠BOD，
而∠CDB＝15°，
∴∠BOD＝2×15°＝30°，
在Rt△ODE中，∠DOE＝30°，OE＝2，
∴OE＝DE，OD＝2DE，
∴DE＝＝2，
∴OD＝4，
即⊙O的半径为4；
（2）有4种情况：如图：
①如图1所示：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，
∴∠OAB＝∠OBA＝75°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴弧BC＝弧BD，
∴∠CAB＝∠BOD＝15°，
∴∠CAB＝∠BAO+∠CAB＝15°+75°＝90°；
②如图2所示，∠CAD＝75°﹣15°＝60°；
③如图3所示：∠ACB＝90°；
④如图4所示：∠ACB＝60°；
故答案为：60°或90°．
17．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
过O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴OG＝DF＝2，
∴sin∠FAH＝，
∴，FH＝，
Rt△AFH中，AH＝＝．
18．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．
（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．
解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴弧AD＝弧BD，
∴∠DEB＝∠AOC＝×40°＝20°；
（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AC＝BC，即AB＝2AC，
在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，
则AB＝2AC＝8．
19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．
20．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB＝PC．
解：（1）证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝AP，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP．
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