24.2.1 点和圆的位置关系 高频易错题集 （原卷+解析）

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24.2.1
点和圆的位置关系
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A．+1
B．+
C．2+1
D．2﹣
2．在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
3．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　）
A．1
个
B．2个
C．3个
D．4
个
4．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
B．将一次函数y＝3x﹣1的图象向上平移2个单位，所得直线不经过第四象限
C．若某等腰三角形的两边长为2和5，那么这个等腰三角形的周长为9或12
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的范围是m≤1
6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
8．下列说法正确的个数（　　）
①近似数32.6×102精确到十分位：
②在，，﹣||中，最小的数是
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点
A．1
B．2
C．3
D．4
9．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
10．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
二．填空题（共5小题）
11．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），则原点O与⊙A的位置关系是　
　．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为　
　．
13．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接圆半径的长度为　
　．
14．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：　
　．
15．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　
　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．
17．如图，已知△ABC及其外接圆，∠C＝90°，AC＝10．
（1）若该圆的半径为5，求∠A的度数；
（2）点M在AB边上（AM＞BM），连接CM并延长交该圆于点D，连接DB，过点C作CE垂直DB的延长线于E．若BE＝3，CE＝4，试判断AB与CD是否互相垂直，并说明理由．
18．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．
19．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2　
　180°．
∵l1∥l2，
∴∠1　
　∠3．
∵∠1+∠2　
　180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和　
　矛盾，
∴假设∠1+∠2　
　180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
20．仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A．+1
B．+
C．2+1
D．2﹣
解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
2．在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
解：如图：
∵A（1，0），⊙A的半径是2，
∴AC＝AE＝2，
∴OE＝1，OC＝3，
A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；
B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；
C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；
D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；
故选：B．
3．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　）
A．1
个
B．2个
C．3个
D．4
个
解：∵点A、B、C在同一条直线上，
∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，
故选：C．
4．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选：D．
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
B．将一次函数y＝3x﹣1的图象向上平移2个单位，所得直线不经过第四象限
C．若某等腰三角形的两边长为2和5，那么这个等腰三角形的周长为9或12
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的范围是m≤1
解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，则三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题；
B、将一次函数y＝3x﹣1的图象向上平移2个单位，得到y＝3x+1，图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，本选项说法是真命题；
C、若某等腰三角形的两边长为2和5，那么这个等腰三角形的周长为12，本选项说法是假命题；
D、关于x的一元一次不等式组的解集是1＜x≤m，当m≤1时，不等式组无解，本选项说法是真命题；
故选：C．
6．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（　　）
A．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α
B．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α
C．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α
D．两个角互为邻补角
解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β＝∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选：C．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
故选：C．
8．下列说法正确的个数（　　）
①近似数32.6×102精确到十分位：
②在，，﹣||中，最小的数是
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点
A．1
B．2
C．3
D．4
解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；
②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1﹣，故本说法错误；
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至少有两个钝角”，故本说法错误；
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故本说法正确；
故选：A．
9．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于90°
B．每一个内角都大于90°
C．有一个内角小于或等于90°
D．每一个内角都小于90°
解：反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，
假设每一个内角都小于90°，
故选：D．
10．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），则原点O与⊙A的位置关系是　在圆上　．
解：∵点A的坐标为A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．
故答案为：在圆上．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为　50°　．
解：连接OA，如图，
∵∠ACO＝40°，OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝40°，
∴∠AOC＝100°，
∴∠B＝50°．
故答案为：50°．
13．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接圆半径的长度为　　．
解：设△ABC的外心为M，如图：
∵A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3），
∴AB、BC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）；
MA就是⊙M的半径长，
由勾股定理得：MA＝＝，
即△ABC的外接圆半径为．
故答案为：．
14．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．第一步应假设：　这两条直线不平行　．
解：用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”
第一步应假设：这两条直线不平行，
故答案为：这两条直线不平行．
15．用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．第一步应先假设　AC＝BC　．
解：用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠45°．求证：AC≠BC”．
第一步应先假设AC＝BC，
故答案为：AC＝BC．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．
解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，
∵BC＝4，
∴BD＝BC＝2，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2，
∴AD＝＝6，
设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r．
∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2．
解得r＝，
即⊙O的半径为，
（2）当⊙P也经过B、C两点，
则设PB＝r，
PA＝2，则PD＝6﹣2＝4或6+2＝8，
BD＝2，
∴PB＝＝2
或PB＝＝2．
所以⊙P的半径的长为2或2．
17．如图，已知△ABC及其外接圆，∠C＝90°，AC＝10．
（1）若该圆的半径为5，求∠A的度数；
（2）点M在AB边上（AM＞BM），连接CM并延长交该圆于点D，连接DB，过点C作CE垂直DB的延长线于E．若BE＝3，CE＝4，试判断AB与CD是否互相垂直，并说明理由．
解：（1）∵∠C＝90°，
∴AB为△ABC外接圆的直径，
∵该圆的半径为5，
∴AB＝10，
∴在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝10
∴102+BC2＝（10）2．
∴BC＝10，
∴AC＝BC．
∴∠A＝∠B．
∴∠A＝＝45°；
（2）AB与CD互相垂直，理由如下：
由（1）得，AB为直径，取AB中点O，则点O为圆心，连接OC，OD．
∵CE⊥DB，
∴∠E＝90°．
∴在Rt△CBE中，BE2+CE2＝BC2．
即32+42＝BC2．
∴BC＝5．
∵，
∴∠A＝∠BOC，∠CDE＝∠BOC．
∴∠A＝∠CDE．
∵∠ACB＝90°，
∴在Rt△ACB中，tanA＝＝＝．
∴tan∠CDE＝tanA＝．
又∵在Rt△CED中，tan∠CDE＝，
∴＝．
即＝．
∴DE＝8．
∴BD＝DE﹣BE＝8﹣3＝5．
∴BC＝BD．
∴∠BOC＝∠BOD．
∵OC＝OD，
∴OM⊥CD．
即AB⊥CD．
18．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．
解：（1）圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．
∴∠BDC＝∠BOC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；
（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC＝∠BOC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．
19．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2　≠　180°．
∵l1∥l2，
∴∠1　＝　∠3．
∵∠1+∠2　≠　180°，
∴∠3+∠2≠180°，这和　平角为180°　矛盾，
∴假设∠1+∠2　≠　180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
证明：假设∠1+∠2≠180°．
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3．
∵∠1+∠2≠180°，
∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，
∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2＝180°．
故答案为：≠；＝；≠；平角为180°；≠．
20．仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数．
证明：假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．
于是（）2＝（）2＝3，
所以，q2＝3p2．于是q2是3的倍数，所以q也是3的倍数，
从而可设q＝3m，所以（3m）2＝3p2，p2＝3m2，于是可得p也是3的倍数．
这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．
从而可知“是有理数”的假设不成立，
所以，是无理数．
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