24.2.2 直线和圆的位置关系 高频易错题集 （原卷+解析）

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24.2.2
直线和圆的位置关系
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．圆的半径为5cm，圆心与直线上某一点的距离为5cm，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相离或相切
2．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的⊙C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是（　　）
A．0＜CE≤8
B．0＜CE≤5
C．3＜CE≤8
D．3＜CE≤5
3．⊙O的半径是3cm，圆心到直线的距离是4cm，则直线与⊙O的位置关系（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上都不是
4．下列说法中，不正确的个数是（　　）
①直径是弦；②经过圆内一定点可以作无数条直径；③平分弦的直径垂直于弦；④过三点可以作一个圆；⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（　　）
A．4
B．2
C．4
D．值不确定
6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（　　）
A．∠PAO＝∠PBO＝90°
B．OP平分∠APB
C．PA＝PB
D．∠AOB＝
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　）
A．①②④
B．③④
C．①②③
D．①②③④
8．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA＝MN；②∠AQD＝∠AQN；③S△AQN＝S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（　　）
A．①②③④
B．只有①③④
C．只有②③④
D．只有①②
10．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（　　）
A．5
B．2
C．5或2
D．2或﹣1
二．填空题（共5小题）
11．如图，⊙O的半径为7cm，直线l⊥OA，垂足为B，OB＝4cm，则直线l沿直线OA平移　
　cm时与⊙O相切．
12．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线L的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是　
　．
13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　
　．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　
　．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为　
　．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；
（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．
17．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．
求证：∠ACB为定值．
18．如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且BF＝BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinB＝，求CE的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．
20．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．圆的半径为5cm，圆心与直线上某一点的距离为5cm，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交或相切
D．相离或相切
解：∵圆的半径为5cm，圆心与直线上某一点的距离为5cm，
∴直线与圆有交点
∴当圆心与该点的连线垂直于该直线时，由切线的判定定理可知，直线与圆相切；
当圆心与该点的连线不垂直于该直线时，则由垂线段最短，
可知圆心到该直线的距离小于5，从而直线与圆相交．
故选：C．
2．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点E是BC边上的动点，当以CE为半径的⊙C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是（　　）
A．0＜CE≤8
B．0＜CE≤5
C．3＜CE≤8
D．3＜CE≤5
解：如图，过A作AM⊥BC于N，CN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝5，
∴AM＝CN，
∵AB＝5，cosB＝，
∴BM＝4，
∵BC＝8，
∴CM＝4＝BC，
∵AM⊥BC，
∴AC＝AB＝5，
由勾股定理得：AM＝CN＝＝3，
∴当以CE为半径的圆C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是3＜CE≤5，
故选：D．
3．⊙O的半径是3cm，圆心到直线的距离是4cm，则直线与⊙O的位置关系（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上都不是
解：∵⊙O的半径是3cm，圆心到直线的距离是4cm，
∴4＞3，
∴直线与⊙O的位置关系是相离，
故选：A．
4．下列说法中，不正确的个数是（　　）
①直径是弦；②经过圆内一定点可以作无数条直径；③平分弦的直径垂直于弦；④过三点可以作一个圆；⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①直径是特殊的弦．所以①正确，不符合题意；
②经过圆心可以作无数条直径．所以②不正确，符合题意；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．所以③不正确，符合题意；
④过不在同一条直线上的三点可以作一个圆．所以④不正确，符合题意；
⑤过圆心且垂直于切线的直线必过切点．所以⑤正确，不符合题意．
故选：C．
5．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（　　）
A．4
B．2
C．4
D．值不确定
解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA＝∠ABD．
∵∠ADG＝30°，
∴∠ABD＝30°．
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形．
∴AD＝OA＝4．
同理可得：BC＝4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴＝，＝．
∴+＝+＝1．
∴+＝1．
∴PE+PF＝4．
∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．
故选：A．
6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（　　）
A．∠PAO＝∠PBO＝90°
B．OP平分∠APB
C．PA＝PB
D．∠AOB＝
解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，OP平分∠APB，PA＝PB，
则A、B、C正确，不符合题意；
∠AOB的度数与的度数相等，D错误，符合题意；
故选：D．
7．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　）
A．①②④
B．③④
C．①②③
D．①②③④
解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，
∵∠AOD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴弧AC＝弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，
∴∠PCD+∠OCD＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，
∴3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
已知没有给出∠B＝30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF＝弧AG，
∴AG＝CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ＝AG，OZ＝AG，BZ＝BG，
∴OZ＝CQ，
∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ＝BZ＝BG，
∴④正确．
故选：A．
8．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：（1）应强调这条弦不是直径；故本选项错误；
（2）应强调在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项错误；
（3）等弧弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项正确；
（4）必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故本选项错误；
（5）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；
（6）应该是过圆上一点且垂直圆的半径的直线是圆的切线；故本选项错误；
综上所述，正确的个数是1个；
故选：A．
9．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA＝MN；②∠AQD＝∠AQN；③S△AQN＝S五边形ABNQD；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（　　）
A．①②③④
B．只有①③④
C．只有②③④
D．只有①②
解：
延长CD到F，使DF＝BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，
∵正方形ABCD，NM⊥AQ，
∴∠AMN＝∠ABC＝90°，
∴ABNM四点共圆，
∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°，
∴∠ANM＝∠NAM＝45°，
∴MA＝MN，∴①正确；
∵正方形ABCD，
∴∠ABN＝∠ADF＝90°，AD＝AB，
在△ABN和△ADF中
∵，
∴△ABN≌△ADF，
∴∠FAD＝∠BAN，AF＝AN，
∵∠NAM＝∠BAC＝45°，
∴∠FAQ＝∠FAD+∠DAQ＝45°＝∠NAQ，
在△NAQ和△FAQ中
∵，
∴△NAQ≌△FAQ，
∴∠AQN＝∠AQD，∴②正确；
在△ADQ和△AHQ中
∵，
∴△ADQ≌△AHQ，
∴S△ADQ＝S△AQH，
∴S△NAQ＝S△FAQ＝S△FAD+S△ADQ＝S五边形ABNQD，
∴③正确；
∵AH＝AD＝AB，AH⊥NQ，
∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，
∴④正确．
故选：A．
10．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的内切圆的半径是（　　）
A．5
B．2
C．5或2
D．2或﹣1
解：设直角三角形ABC内切圆的圆心为点I，半径为r，
三边上的切点分别为D、E、F，
连接ID、IE、IF，
得正方形，则正方形的边长即为r，
如图所示：
当BC为直角边时，
AC＝＝10，
根据切线长定理，得
AD＝AF＝AB﹣BD＝6﹣r，
CE＝CF＝BC﹣BE＝8﹣r，
∴AF+FC＝AC＝10，
即6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2；
当BC为斜边时，
AC＝＝2，
根据切线长定理，得
BD＝BF＝6﹣r，
CE＝CF＝2﹣r，
∴BC＝BF+CF＝6﹣r+2﹣r＝8，
解得r＝﹣1．
答：这个三角形的内切圆的半径是2或﹣1．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，⊙O的半径为7cm，直线l⊥OA，垂足为B，OB＝4cm，则直线l沿直线OA平移　3或11　cm时与⊙O相切．
解：
延长AO交圆O于C，
当直线l平移到过A点或过C点时，直线l与圆相切，
AB＝OA﹣OB＝7﹣4＝3，BC＝OC+0B＝7+4＝11，
故答案为：3或11．
12．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线L的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是　相离　．
解：设⊙O的半径是rcm，
∵⊙O的面积为9πcm2，
∴πr2＝9π，
∴r＝3（cm），
∵点O到直线L的距离d为πcm，
∴d＞r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
13．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　6　．
解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，AB＝2AC，PO⊥AB，
∴∠PAB＝60°，
∴∠OAC＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°，
∴AO＝2OC，
∵OC＝1，
∴AO＝2，
∴AC＝，
∴AB＝2AC＝2，
∴△PAB的周长＝6．
故答案为：6．
14．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）　．
解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x＝2±，
∴P（2+，1）或（2﹣，1），
当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，﹣1），
则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为　44　．
解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故答案为：44．
三．解答题（共5小题）
16．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；
（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．
解：（1）直线BD和⊙O相切．
证明：∵∠AEC＝∠ODB，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB＝90°，
∴∠DBC+∠ABC＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴直线BD和⊙O相切；
（2）∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BF＝CF＝4，
在Rt△CEF中，EF＝＝3，
设圆O的半径为r，则OF＝r﹣3，
在Rt△OBF中，OB2＝OF2+BF2，即r2＝（r﹣3）2+42，
解得，r＝，即圆O的半径为．
17．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．
求证：∠ACB为定值．
证明：连接AM，BM，
由题意得：M是内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠ABC，
∴∠CAM＝∠BAM，∠CBM＝∠ABM，
∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣∠AMB，
△ABC中，∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ACB）＝180°﹣2∠BAM﹣2∠ABM＝180°﹣2（180°﹣∠AMB）＝2∠AMB﹣180°，
∵所在圆是个定圆，弦AB和半径都是定值，
∴∠AMB为定值，
∴∠ACB为定值2∠AMB﹣180°．
18．如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为的中点，连结CE交AB于点F，且BF＝BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，sinB＝，求CE的长．
（1）BC与⊙O相切
证明：连接AE，
∵AC是⊙O的直径
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠AFE＝90°，
∵BF＝BC，
∴∠BCE＝∠BFC，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD＝∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵⊙O的半为2
∴AC＝4，
∵sinB＝＝，
∴AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵BF＝BC，
∴BF＝3，AF＝5﹣3＝2，
∵∠EAD＝∠ACE，∠E＝∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴＝＝，
∴EC＝2EA，
设EA＝x，EC＝2x，
由勾股定理得：x2+4x2＝16，
x＝（负数舍去），
即CE＝．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．
解：（1）证明：如图，连接OE，
∵NM是BE的垂直平分线，
BN＝EN，
∴∠B＝∠NEB，
∵OA＝OE
∴∠A＝∠OEA，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠OEN＝90°，即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是⊙O的切线；
（2）如图，连接ON，
设EN长为x，则BN＝EN＝x
∵AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，
∴CN＝4﹣x，OC＝AC﹣OA＝3﹣1＝2，
∴OE2+EN2＝OC2+CN2，
∴12+x2＝22+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴EN＝．
连接ED，DB，设AE＝y，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵⊙O的半径为1．
∴AD＝2，
则DE2＝AD2﹣AE2＝22﹣y2，
∵CD＝AC﹣AD＝3﹣2＝1，
∴DB2＝CD2+BC2＝17，
∵AD为直径，
∴∠AED＝∠DEB＝90，
∴DE2+EB2＝DB2，
即22﹣y2+（5﹣y）2＝17，
解得y＝，
∴EN＝，AE＝．
20．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当OA＝2时，求AB的长．
解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．
（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，
∴OP＝4，
由勾股定理得：，
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴．
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精品试卷·第
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