24.4 弧长和扇形面积 高频易错题集 （原卷+解析）

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24.4
弧长和扇形面积
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为（　　）
A．2π
B．
C．
D．
3．一电动玩具的正面是由半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘依右图方式连接而成的．小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动（大圆盘不动），回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是（不妨动手试一试！）（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O，CD是直径，若∠ABC＝110°，则扇形AOD的面积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．2π
5．如图，半径为3的扇形AOB，∠AOB＝120°，以AB为边作矩形ABCD交弧AB于点E，F，且点E，F为弧AB的四等分点，矩形ABCD与弧AB形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2为（　　）（π取3）
A．
B．+
C．﹣
D．
6．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（　　）
A．5π
B．10π
C．20π
D．40π
8．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是（　　）
A．360πcm2
B．720πcm2
C．1800πcm2
D．3600πcm2
9．如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（　　）
A．2cm
B．cm
C．4cm
D．cm
10．如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽略不计），圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是（　　）
A．S1≤S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．S1≥S2
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2019的坐标是　
　．
12．一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π米，则此扇形的半径是　
　米．
13．如图，扇形OAB的圆心角为直角，以OA为边作矩形OAFE，边EF交弧AB于点D，如果图中两个阴影部分面积相等，则＝　
　．
14．一个扇形的圆心角为36°，半径为10，则此扇形的面积是　
　．
15．如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则＝　
　．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为　
　．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长．
17．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
18．已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．
（1）求DE的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
19．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，
求：（1）求AB的长．
（2）求阴影部分的面积．
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，
∴OA＝OD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠D＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴劣弧的长＝＝；
故选：B．
2．如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为（　　）
A．2π
B．
C．
D．
解：如图，连接CO，
∵∠BAC＝50°，AO＝CO＝3，
∴∠ACO＝50°，
∴∠AOC＝80°，
∴劣弧AC的长为＝，
故选：D．
3．一电动玩具的正面是由半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘依右图方式连接而成的．小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动（大圆盘不动），回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是（不妨动手试一试！）（　　）
A．
B．
C．
D．
解：当小圆盘绕着大圆盘滚动一周时，小圆盘自转+1＝+1＝3圈，
大圆盘内的三条长指针刚好把大圆盘的角度平分，
所以三条长指针所指的图象完全一致，故排除CD．
相邻两根长指针所指的图象与其中间的图象肯定不一致，故排除A．
只有B符合．
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O，CD是直径，若∠ABC＝110°，则扇形AOD的面积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．2π
解：∵∠ABC＝110°，
∴优弧ADC所对的圆心角的度数为110°×2＝220°，
∵CD是直径，
∴∠COD＝180°，
∵∠COD+∠AOD＝220°，
∴∠AOD＝40°，
∵⊙O的半径为3，
∴扇形AOD的面积为＝π，
故选：B．
5．如图，半径为3的扇形AOB，∠AOB＝120°，以AB为边作矩形ABCD交弧AB于点E，F，且点E，F为弧AB的四等分点，矩形ABCD与弧AB形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2为（　　）（π取3）
A．
B．+
C．﹣
D．
解：连接OE、OF，过O作OH⊥EF于H，交AB于G，
∵点E，F为弧AB的四等分点，∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝∠BOE＝30°，∠EOF＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠BOG＝60°，
∵OB＝3，
∴OG＝，BG＝，
∴AB＝2BG＝3，
Rt△EOH中，∠EOH＝30°，OE＝3，
∴EH＝，
∴OH＝，
∴GH＝，
∴S1+S3﹣S2＝S△AOB+S矩形ABCD﹣S扇形OAF﹣S△EOF﹣S扇形OBE﹣（S扇形OEF﹣S△EOF），
＝+AB?GH﹣，
＝+3（﹣）﹣9，
＝﹣，
故选：A．
6．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：连接AD，OD，BD，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB，
∴△ACD∽△CDB，
∴＝，即＝，
∴CD＝，又OC＝1，
∴∠COD＝60°，
∴S扇形OAD＝＝π，
S△CDO＝×CO×CD＝，
∴S扇形OAD﹣S△CDO═π﹣，S扇形CDE＝＝π，
∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+．
故选：A．
7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（　　）
A．5π
B．10π
C．20π
D．40π
解：圆锥的侧面积为：π×2×5＝10π．
故选：B．
8．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是（　　）
A．360πcm2
B．720πcm2
C．1800πcm2
D．3600πcm2
解：圆锥的侧面积＝×80π×90＝3600πcm2，
故选：D．
9．如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（　　）
A．2cm
B．cm
C．4cm
D．cm
解：∵从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度＝360°×＝240°，
∴留下的扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面半径r＝＝2cm，
∴圆锥的高＝＝cm．
故选：B．
10．如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽略不计），圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是（　　）
A．S1≤S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．S1≥S2
解：设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为：S1＝2πr2+2πr?r＝4πr2．
对于图2，
上面的矩形的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．
曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．
上下底面的面积的和是：π×r2．
图2水的表面积S2＝（4+3π）r2．
显然S1＜S2．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，则点A2019的坐标是　（﹣2019，1）　．
解：A（1，1），
由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），
A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2019＝504×4+3，
∴A2019的坐标为（﹣2019，1）
故答案为：（﹣2019，1）．
12．一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π米，则此扇形的半径是　3　米．
解：∵l＝，
∴r＝＝＝3．
故答案为：3．
13．如图，扇形OAB的圆心角为直角，以OA为边作矩形OAFE，边EF交弧AB于点D，如果图中两个阴影部分面积相等，则＝　　．
解：∵图中两个阴影部分面积相等，
∴S扇形BOA＝S矩形EOAF，
∴＝OE×OA，
∵OA＝OB，
∴＝，
故答案为：．
14．一个扇形的圆心角为36°，半径为10，则此扇形的面积是　10π　．
解：由题意得，n＝36°，r＝10，
故S扇形＝＝＝10π．
故答案为：10π．
15．如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则＝　　．
解：扇形BAF的弧长＝＝AB，
圆的周长＝π×FC，
∵恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
∴AB＝π×FC，
∴AB＝2FC，
∴＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）三点，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点坐标为　（2，0）　．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧AC的长．
解：（1）由垂径定理得到圆的圆心D点的坐标为D（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）CD＝＝2，
tan∠OAD＝＝，tan∠EDC＝，
∴∠OAD＝∠EDC，
∵∠OAD+∠ODA＝90°，
∴∠EDC+∠ODA＝90°，即∠ADC＝90°，
∴的长＝＝π．
17．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠C＝180°﹣∠BAD＝75°，
∵∠DBC＝75°，
∴∠DBC＝∠C，
∴DB＝DC；
（2）解：连接OB、OC，
∵∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝30°，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BDC＝60°，
∴的长＝＝π．
18．已知：如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，设⊙O的半径为6cm．
（1）求DE的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接OE，
∵D是CO的中点，⊙O的半径为6cm，
∴OD＝OC＝3cm，
∵OC⊥AB，DE∥AB，
∴∠ODE＝90°，
∴DE＝＝3cm；
（2）∵OD＝OC，∠ODE＝90°，
∴∠OED＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝﹣×3×3＝6π﹣（cm2）．
19．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，
求：（1）求AB的长．
（2）求阴影部分的面积．
解：（1）作OC⊥AB于C，
∵弦AB所对的劣弧是圆周长的，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴AC＝OA×sin∠AOC＝2，OC＝2，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝4；
（2）阴影部分的面积＝﹣×4×2＝π﹣4．
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
解：（1）设扇形的半径为R，
则300π＝，
解得，R＝30，
扇形的弧长＝＝20π（cm）；
（2）设圆锥的底面半径为r，
则20π＝2πr，
解得，r＝10，又R＝30，
圆锥的高为：＝20，
∴S轴截面＝×2×10×20＝200（cm2），
因此，扇形的弧长是20πcm，卷成圆锥的轴截面是200cm2．
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精品试卷·第
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