25.1.2 概率 高频易错题集 （原卷+解析）

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25.1.2
概率
高频易错题集
一．选择题（共10小题）
1．下列事件中的必然事件是（　　）
A．车辆随机经过一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．购买100张中奖率为1%的彩票一定中奖
C．400人中有两人的生日在同一天
D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数
2．下列说法正确的是（　　）
A．调查某省中学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，这是随机事件
3．下列说法正确的是（　　）
A．367人中至少有2人生日相同
B．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
C．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是
D．某种彩票中奖的概率是，则买1000张彩票一定有1张中奖
4．下列说法正确的是（　　）
A．抛一枚硬币，正面一定朝上
B．“明天下雨的概率为80%”，表示明天会有80%的地方下雨
C．掷一枚骰子，点数一定不大于6
D．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
5．福彩“五位数”玩法规定所购买的彩票的5位数字与开奖结果的5位数字相同，则中一等奖，则购买一张彩票中一等奖的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．一个布袋里装有2个红球，3个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．鞋柜中有3双鞋，任取一只恰为左脚的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．不确定
9．四条直线y＝﹣x﹣6，y＝﹣x+6，y＝x﹣6，y＝x+6围成正方形ABCD．现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P落在正方形面上（含边界）的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分为6个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向阴影区域的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题）
11．一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出蓝球的概率是　
　．
12．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第4次抛掷结果，P（正面向上）　
　P（反面向上）．（填写“＞”“＜”或“＝”）
13．从﹣3．﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是　
　．
14．新定义运算“◎”，对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，例如：3◎5＝32﹣3×5+5﹣1＝﹣2，若任意投掷一枚印有数字1～6的质地均匀的骰子，将朝上的点数作为x的值，则代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率是　
　．
15．把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在偶数区域的概率是　
　．
三．解答题（共5小题）
16．在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
17．一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？
（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？
18．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
19．如图，放在直角坐标系的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标（第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为0.75；若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由．
20．某沿海城市将进行旧城改造，该市地区面积约占40%，其余为郊区，计划将城区面积的40%建成“公寓式”住宅，面积占城区30%的工厂迁至北部郊区的荒废地带，其余均为商业区，而郊区的北部已有工厂占郊区面积的20%，南部沿海一带将被开发为别墅区占20%，原占地40%农田不变．当电脑把该市新城郊规划图显示在屏幕上时，任意点击一下鼠标，则被点击点是下列位置的概率是多少？
（1）别墅区（2）居住区（3）商业区（4）工业区
试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列事件中的必然事件是（　　）
A．车辆随机经过一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．购买100张中奖率为1%的彩票一定中奖
C．400人中有两人的生日在同一天
D．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数
解：A、是随机事件，故此选项不符合题意；
B、是随机事件，故此选项不符合题意；
C、是必然事件，故此选项符合题意；
D、是随机事件，故此选项不符合题意，
故选：C．
2．下列说法正确的是（　　）
A．调查某省中学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，这是随机事件
解：A、调查某省中学生的身高情况，适宜采用抽样调查，此选项错误；
B、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是随机事件，此选项错误；
C、天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨可能性较大，此选项错误；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数，这是随机事件，此选项正确；
故选：D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．367人中至少有2人生日相同
B．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
C．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是
D．某种彩票中奖的概率是，则买1000张彩票一定有1张中奖
解：A.367人中至少有2人生日相同，故正确；
B．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天下雨的可能性较大，故错误；
C．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数的概率是，故错误；
D．某种彩票中奖的概率是，则买1000张彩票不一定有1张中奖，故错误；
故选：A．
4．下列说法正确的是（　　）
A．抛一枚硬币，正面一定朝上
B．“明天下雨的概率为80%”，表示明天会有80%的地方下雨
C．掷一枚骰子，点数一定不大于6
D．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
解：A、抛一枚硬币，正面一定朝上的概率是50%，是随机事件，故A错误；
B、“明天的降水概率为80%”，表示明天下雨的机会是80%，故B错误；
C、掷一颗骰子，点数一定不大于6是必然事件，故C正确；
D、为了解一种灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方法，故D错误．
故选：C．
5．福彩“五位数”玩法规定所购买的彩票的5位数字与开奖结果的5位数字相同，则中一等奖，则购买一张彩票中一等奖的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：每个数位都可以是0到9这10个数中的任意一个，共有5位数，因而满足条件的数共有105个，且每个出现的机会相同．中奖的只有一个，所有中一等奖的概率是．
故选：B．
6．一个布袋里装有2个红球，3个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意可得：一袋中装有2个红球、3个白球，共5个，
每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率．
故选：B．
7．鞋柜中有3双鞋，任取一只恰为左脚的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：鞋柜中有3双鞋，3只左脚，3只右脚，
故任取一只恰为左脚的概率是＝．
故选：B．
8．从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．不确定
解：1到100的数中，是3的倍数的有33个，所以随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是．
故选：A．
9．四条直线y＝﹣x﹣6，y＝﹣x+6，y＝x﹣6，y＝x+6围成正方形ABCD．现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P落在正方形面上（含边界）的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），共6×6＝36种；符合题意的有：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（4，1）（4，2）（5，1）共15个，概率是＝．
故选：D．
10．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分为6个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向阴影区域的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等，
∴落在阴影部分的概率为：＝．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出蓝球的概率是　　．
解：∵共有2+3+5＝10个小球，5个蓝球，
∴第10次摸出蓝球的概率是：＝．
故答案为：．
12．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第4次抛掷结果，P（正面向上）　＝　P（反面向上）．（填写“＞”“＜”或“＝”）
解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币一次，可能的结果有：正面向上，反面向上，
∴P（正面向上）＝P（反面向上）＝．
故答案为：＝．
13．从﹣3．﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是　　．
解：∵在﹣3．﹣1，π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1这2个，
∴抽取一个数，恰好为负数的概率为，
故答案为：．
14．新定义运算“◎”，对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，例如：3◎5＝32﹣3×5+5﹣1＝﹣2，若任意投掷一枚印有数字1～6的质地均匀的骰子，将朝上的点数作为x的值，则代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率是　　．
解：∵对于任意有理数a、b，都有a◎b＝a2﹣ab+b﹣1，
∴（x﹣3）◎（3+x）＝（x﹣3）2﹣（x﹣3）（3+x）+3+x﹣1＝﹣5x+20，
当x＝1时，﹣5x+20＝15；
当x＝2时，﹣5x+20＝10；
当x＝3时，﹣5x+20＝5；
当x＝4时，﹣5x+20＝0；
当x＝5时，﹣5x+20＝﹣5；
当x＝6时，﹣5x+20＝﹣10；
∴代数式（x﹣3）◎（3+x）的值为非负数的概率＝＝，
故答案为：．
15．把一转盘先分成两个半圆，再把其中一个半圆等分成三等份，并标上数字如图所示，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在偶数区域的概率是　　．
解：观察这个图可知：所标数字为偶数的面积占总面积的（+）＝，
故其概率为．
三．解答题（共5小题）
16．在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字﹣2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中和为正数的结果有6种，
∴两次摸出的小球上数字之和是正数的概率为＝．
17．一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？
（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？
解：（1）任意摸出一个球是绿球的概率是；
（2）设袋子内有n个白球，则
＝，
解得n＝6，
∴袋子内有6个白球．
18．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？
解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，
故甲摸出“石头”的概率为；（3分）
（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，
这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为；（6分）
（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出，
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为；
若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为；
若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为；
若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为．（10分）
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．（12分）
19．如图，放在直角坐标系的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标（第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为0.75；若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，点P的纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，
所以构成点P的坐标共有4×4＝16种等可能的情况．
如下图所示：
其中点P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种等可能的情况将落在正方形ABCD面上，
故所求的概率为＝．
（2）因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为＝＞，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．
∴存在满足题设要求的平移方式：先将正方形ABCD上移2个单位，后右移1个单位（先右后上亦可）；
或先将正方形ABCD上移1个单位，后右移2个单位（先右后上亦可）．
20．某沿海城市将进行旧城改造，该市地区面积约占40%，其余为郊区，计划将城区面积的40%建成“公寓式”住宅，面积占城区30%的工厂迁至北部郊区的荒废地带，其余均为商业区，而郊区的北部已有工厂占郊区面积的20%，南部沿海一带将被开发为别墅区占20%，原占地40%农田不变．当电脑把该市新城郊规划图显示在屏幕上时，任意点击一下鼠标，则被点击点是下列位置的概率是多少？
（1）别墅区（2）居住区（3）商业区（4）工业区
解：别墅区面积占城市总面积（1﹣40%）×20%＝12%；
居住区，也就是公寓+别墅，面积占城市总面积40%×40%+12%＝28%；
商业区面积占城市总面积40%×（1﹣40%）＝24%；
工业区面积占城市总面积40%×30%+（1﹣40%）×20%＝24%；
剩下的是：农田，面积占城市总面积24%；
∴1．别墅区的概率为：12%；2．居住区的概率为：28%；3．商业区的概率为：24%；4．工业区被点击的概率：24%．
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精品试卷·第
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