二次根式

课题 3.1二次根式的概念(1) 自主空间
学习目标 (1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当≥0时，= ；能运用这个性质进行一些简单的计算与化简。
学习重难点 教学重点 二次根式的概念以及二次根式的基本性质教学难点 经历知识产生的过程，探索新知识．
教学流程
预习导航 问题：1．回顾：什么叫平方根 什么叫算术平方根 2． 计算:(1)16的平方根是 的平方根是 .(2)如图,在RABC中,AB=50cm,BC=25cm,则AC= cm.(3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为,则边长为 .3.对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗
合作探究 一、概念探究：1、二次根式的定义.一般地，式子（≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数。说说你对二次根式的认识当a < 0时，是否有意义？当≥0时，是否可能为负数？总结：二次根式有意义的条件是 2、二次根式性质的探索：22=4，即（）2= 4；32=9，即（）2= 9；……观察上述等式的两边，你得到什么启示？ 当≥0时，二、例题分析：例1: x是怎样的实数时,式子在实数范围内有意义 解：由x－5≥0，得x≥5当x≥5时，式子在实数范围内有意义。例2：计算（1）
合作探究 （2）（3）≥0）三、展示交流1、练习:说一说,下列各式是二次根式吗 为什么？(1) (2) (3) 2、x是怎能样的实数时，下列式子在实数范围内有意义(1) (2) (3) （4） (5) (6) 3、计算. （1） （2） （3） （4） 四、提炼总结1、什么叫做二次根式 你们能举出几个例子吗 二次根式的被开方数有什么条件限制？3、当≥0时， = ？
当堂达标 1、下列式子中不一定是二次根式的是（ ）A： B： C： D：2、是实数时，下列式子中一定有意义的是（ ） A： B： C： D：3、若有意义，则一定是（ ） A：正数 B：负数 C：非正数 D：非负数
当堂达标 4、写出下列式子有意义的的取值范围 （1） （2） （3） （4）5、计算（1） （2）（3） （4）6、先把下列各式写成平方差的形式，再分解因式（1） （2）
学习反思：
课题 3.1二次根式的概念(2) 自主空间
学习目标 (1) 使学生能通过具体问题探求并掌握二次根式的性质：.(2) 会用二次根式的性质进行根式的化简.．
学习重难点 教学重点 理解二次根式的性质教学难点 二次根式的性质的应用.．
教学流程
预习导航 问题：1、在化简时,甲同学的解答过程是乙同学的解答过程是 请问谁的解答正确 为什么 2、猜想 ？
合作探究 一、概念探究：1、请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的 规律,再和同学们进行交流. = = = = = 让学生通过观察,猜想,并进行交流.2、发现：当a≥0时， ; 当a<0时， 3、结论 师生共同归纳可得:二、例题分析：例3：计算（1） （2） （3）（x≥1）补充例题：1、化简 （1）（） （2）
合作探究 （2）若等式成立，则的值是多少？ 三、展示交流1、化简（1） （2）（3）； （4）； （5） （a+b≥0）3、计算. （1） （2）（3） （4） （）四、提炼总结1、比较 与的区别？当a满足什么条件时，两式相等2、二次根式的性质(2)方法归纳： 正确地理解二次根式的性质是进行化简或运算二次根式的关键.
当堂达标 1、根式的值是（ ）A：-3 B：3或-3 C：3 D：9 2、计算的结果是（ ） A：-1 B： C： D：3、若，则的取值范围是（ ） A： B： C：≥3 D：4、若成立，则的取值范围是 5、化简或计算 （1） （2）
当堂达标 （3） （4）6、若，求的值7、实数在数轴上的位置如图所示，化简：
学习反思：
课题 3.2二次根式的乘除法（1） 自主空间
学习目标 能利用公式进行二次根式的乘法计算运算或化简；经历公式的探索过程，体会从特殊到一般的思想方法。
学习重难点 探索二次根式的乘法法则，并运用其进行二次根式的乘法运算或化简。
教学流程
预习导航 （1）与（2）与（3）×与探索1．学生计算。2．请同学们观察以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？3．学生分小组讨论。4．全班交流。 指名学生回答，其余学生补充。可要求学生举一些类似的式子。5．概括：一般地，有 =6．由以上公式逆向运用可得： 文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
(1) (2) (3)
合作探究 例2、化简：（1）， （2）， （3）； （4） （5）(a≥0，b≥0)三、展示交流1．化简:（A级）（1） （2）（a>0） （3） （4） （5）2．化简:（B级） （1 ）(2) (3) 四、提炼总结1．概括：一般地，有=.(a≥0，b≥0)2．由以上公式逆向运用可得：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积3．一般地，二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开方开得尽方的因数或因式。4．解决方法：将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数”或“偶次方因式”）
当堂达标 1．下列等式中正确的是（ ）A．B．C．3=D．2．化简得（ ）A．22 B．308C． D．3．计算或化简：(1) (2)(3) (4)(5)（6）4．你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？
学习反思：
课题 3.2二次根式的乘除法（2） 自主空间
学习目标 (1)使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；.(2)使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形。
学习重难点 熟练地进行二次根式的化简、乘法运算
教学流程
预习导航 探索：怎样处理运算结果中的被开方数含有的开得尽的因数或因式？1．回顾：上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质，谁能说说它们的内容各是什么 =2．回答：（1）×=______,（2）___________3．怎样处理运算结果中的被开方数含有的开得尽的因数或因式？（分组讨论交流）
合作探究 一、新知探究： 利用=与时1．注意a、b的符号，这两数均为非负数时，上式才成立；2．在根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式。二、例题分析：例3化简：（1） （2）(x≥0，y≥0) （3）(x≥0，x+y≥0)例4 计算：⑴· ⑵· ⑶·（a≥0，b≥0）例5已知长方形两邻边的长分别为20m、40m。求对角线的长三、展示交流1．化简:（A级）(1) (2)(3) (4) 2．化简:（B级）（1）(x≥0，y≥0) （2）（3） (4) 其中四、提炼总结1．概括：一般地，有=.(a≥0，b≥0)由以上公式逆向运用可得：2．利用=.(a≥0，b≥0)时在注意字母a、b的符号，3．一般地，二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开方开得尽方的因数或因式。4．解决方法：在化简时如果被开方数是差或和的形式，要利用因式分解把它化成积的形式，开出来时注意符号的变化。
当堂达标 1．下列二次根式中，还能继续化简的是（ ）A． B． C． D． 2．化简得（ ）
当堂达标 A． B．C． D．3．计算或化简：（1） (2) (3) (4)(5) (6)4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10cm, BC=24cm，求AB。主要错误订正：
学习反思：
课题 3.2二次根式的乘除法（3） 自主空间
学习目标 （1)使学生经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则.(2) 使学生能运用法则=（a≥0，b＞0）进行二次根式的除法运算；(3)使学生理解商的算术平方根的性质=（a≥0，b＞0）,并能运用于二次根式的化简和计算。
学习重难点 商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的探究、理解与运用
教学流程
预习导航 1．回顾 = = 2．思考：（1） ？ （a≥0，b＞0） （2）= ？ （a≥0，b＞0）
合作探究 一、法则探究： 1．计算并观察两者关系：（1）=_______=_______（2）=_______=______（3）=______=______（4）=______=_______2.请再举例试一试.你猜想到什么结论呢 3.课堂小结:一般地,可以得到=（a≥0，b＞0）。注意：为什么要加a，b条件 二、例题分析： 例5计算:（1） （2） （3） （4） 思考:= （ ）= （ ） 例6 化简：（1） （2） （3） （4）（a＞0，b≥0）三、展示交流1、计算或化简:（A级）（1） （2） （3） （4）（5） （6）2.化简:（B级） （1） （2）(3) (4) （m>0,n>0）四、提炼总结1．概括：一般地，有=（a≥0，b＞0）2．由以上公式逆向运用可得：=（a≥0，b＞0）3．解决方法：（1）被开方数若是带分数，，需先公为假分数，再化简；（2）被开方数开出来时，若有字母，注意字母的取值范围。
当堂达标 这一节课的内容我们都学会了吗？你一定会做的很出色！1．计算或化简（1） （2）（3） （4） （，） （5） （6）（ ）2．已知，求的取值范围。3．已知一个长方形的面积为，其中一边长为，求长方形的对角线的长。4．你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？
学习反思：
课题 3.2二次根式的乘除法（4） 自主空间
学习目标 (1)使学生能运用法则=（a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；.(2)使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。
学习重难点 商的算术平方根的性质的理解与运用
教学流程
预习导航 1．想一想: =？（a_ _ 0 ，b__ 0）,= （a__0，b__0）2．我们前面要求过，计算的结果中根号下不含有开方开得尽的因数或因式。我们还要求计算的结果中被开方数不含有分母或使分母中不含根号。我们能否用我们学过的二次根式的乘除法，把被开方数中的分母化去或使分母中不含根号？3．思考：如何化去 的被开方数中的分母呢 4．小组讨论后交流.5．.请再举例试一试.6． 想一想：如果上面首先化成,那么该怎样化去分母中的根号呢 7. 小组讨论后全班进行交流
合作探究 一、新知探究： 1. 当（a≥0，b＞0）时,= ===若二次根式化简结果中的被开方数含有分母，则就可以用这种方法化去根号下的分母。2. 当（a≥0，b＞0）时, ==如果二次根式运算的结果中分母含有根号，则就可以用这种方法化去。
合作探究 二、例题分析： 例7 化去根号内的分母: （1） （2） （3）例8 化去分母中根号: （1） （2） （3）三、展示交流1．化简（A级）（1） （2） （3） （4） （x>0）2．化简（B级）（1） （2）(3) (4) (5) 四、提炼总结1．化简二次根式实际上就是使二次根式满足:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母;(3)分母中不含有根号.2．与相乘就可以把分母化去与相乘就可以把分母化去
当堂达标 1．把根式中的分母及分母中的根式去掉 （1） （2）3 （3） （4） （5） （6）（7） （8）2．在图中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是11主要错误订正：
学习反思：
课题 3.3二次根式的加减法（1） 自主空间
学习目标 (1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式方法；.(2)使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算.
学习重难点 教学重点 同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法教学难点 同类二次根式的概念
教学流程
预习导航 1、回忆合并同类项的法则，下列3组二次根式有什么共同特征？（1）3、-2、15、（2）、-5、6、17、（3）、、、、
合作探究 一、概念探究：1、由（1）、（2）两组发现：二次根式的被开方数都相同，我们可以把它们称为一类二次根式，请同学们把它们命名。（师生共同探讨，得出同类二次根式。）2、那么什么叫同类二次根式呢？请看以下这组二次根式是否是同类二次根式？为什么？（3）、、、、3、我们可以通过化简得到，以上这组是同类二次根式（由学生化简）请同学们再一次给同类二次根式下定义。（师生讨论得出）定义：几个二次根式化简后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。请同学们思考如何判断几个二次根式是同类二次根式呢？方法：（1）先化简（2）后观察（被开方数是否相同）4、我们怎样计算下列各式？（化简的依据是什么？） 4．讨论： 要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？5．怎样合并同类二次根式？方法：与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变。合并同类二次根式的法则：一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。二、例题分析：例1．计算： （指名板演，然后集体评价）例2．如图，两个圆的圆心相同，面积分别为8,18 cm2,求圆环的宽度（两圆半径之差）三、展示交流1、在二次根式：①②③；④是同类二次根式的是（ ）A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④2．计算（1）（2）3、一个三角形的三边长分别为，2、3、4，则此三角形的周长是多少？四、提炼总结1、同类二次根式的定义2、如何合并同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似3、二次根式加减运算的步骤（先化简，后合并）
当堂达标 1、下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）A： B： C： D：2、下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A：和 B：和 C：和 D：和3、若二次根式与是同类二次根式，则的值是（ ）A： B：C： D：4、在根式中，同类二次根式有 5、若平行四边形相邻两边的长分别是和，则它的周长为 6、计算 （1） （2） （3） (4)
学习反思：
课题 3.3二次根式的加减法（2） 自主空间
学习目标 (1) 使学生掌握二次根式的运算方法，明确运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；.(2) 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。
学习重难点 教学重点 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算教学难点 二次根式的运算法则
教学流程
预习导航 1、二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？2．什么叫同类二次根式？举例说明。3．回顾整式的乘法公式：分别用符号表示多项式乘法公式 ；平方差公式 ；完全平方公式 ；
合作探究 一、概念探究：1．怎样计算：？小组讨论，全班交流。类比：怎样计算（a-b）（a+2b）？２．怎样计算：？回顾：（a-b）（a+b）＝________３．呢？课堂小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。二、例题分析：例３、计算：（１）（２）分析：（1）观察二次根式的特点，类比多项式乘法 （2）注意合并同类项与化简例4、计算：（１） （２）
合作探究 分析：（1）类比平方差公式与完全平方公式，直接运用公式 （2）结果要进行化简三、展示交流1.计算:(1) (2)．(3)． （4） 2. 四、提炼总结本节课学习了二次根式的运算，在进行运算时要注意什么？1.二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的,含相同二次根式的项要合并.2.运算律同样适用于二次根式的运算.3.计算结果要最简.
当堂达标 1、计算的结果是（ ） A： B： C： D：2、计算的值是（ ）A：4 B：-4 C：2 D：-23、若，是的小数部份，则 4、计算 （1）
当堂达标 （2）（3）5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,AC=求Rt△ABC的周长和面积.6、先化简，后求值：，其中
学习反思：
课题 第三章 小结与思考 自主空间
学习目标 1、使学生对本章的内容提要进行巩固与梳理2、使学生通过练习，复习和巩固有关二次根式的基本概念和二次根式的性质，并会根据这些性质熟练地化简二次根式
学习重难点 教学重点 1、复习二次根式的概念；2、二次根式的性质；3、二次根式的运算教学难点 运用二次根式的性质进行二次根式的化简
教学流程
预习导航 问题： 1.形如 的代数式叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式）强调：二次根式被开方数不小于02.二次根式的性质：双重非负性 （a≥0）， = （a≥0，b≥0） （a≥0，b＞0）3.二次根式的运算：二次根式乘法法则 （a≥0，b≥0）二次根式除法法则 （a≥0，b 0）二次根式的加减：类似于合并同类项，把同类二次根式的项合并.二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，乘法公式（如）仍然适用.
合作探究 一、概念探究 （略）二、例题分析：例1：代数式中，x的取值范围是 分析 ：自变量的取值范围一要考虑被开方数大于或等于0；二是要考虑分式的分母不为0 例2：若实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简分析：要化简根式的结果，必须明确的取值，了解开方数的符号，从而运
合作探究 用二次根式的性质进行化简例3： 分析：（1）先确定的值（2）再进行运算例4：计算 （1） （2）(3) （4）三、展示交流1．化简 的结果是 ( ) A．3 B．－3 C．±3 D．92．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a<1的是 ( ) A． B． C． D．7．若a<0，则化简得（ ）A、 B、 C、 D、8．若, 则（ ）A、a、b互为相反数 B、a、b互为倒数 C、ab=5 D、a=b四、提炼总结
当堂达标 1、等式成立的条件是（ ）A、x≠5 B、x≥3 C、x≥3且x=5 D、 x>52、下列各组根式中，属于同类二次根式的是（ ） A：和 B：和
当堂达标 C：和 D：和3、计算：＝_______。4、计算：(＝_______。5、当x＝2＋时，x2－4x＋2005＝_________。6、观察下列各式：……将你猜想到的规律用一个式子来表示：_____________________________________________。7、计算 （1） （2） （3）已知，，求的值
学习反思：
A
B
C
32m
0
1
-1
2
A
B
C
b
0
a
c