初中数学北师大版九年级上册4.7相似三角形的性质练习题（Word版 含解析）

初中数学北师大版九年级上册第四章7相似三角形的性质练习题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为
A.
75，115
B.
60，100
C.
85，125
D.
45，85
如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为，轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则的最小值为?
?
?
A.
B.
C.
D.
在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为，则这块多边形地区的实际面积为
A.
B.
C.
D.
如图，与都是正方形网格中的格点三角形顶点在格点上，那么与的周长比为
A.
B.
1：2
C.
1：3
D.
1：4
两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为
A.
10和14
B.
9和15
C.
8和16
D.
11和13
用放大镜观察一个五边形时，不变的量是
A.
各边的长度
B.
各内角的度数
C.
五边形的周长
D.
五边形的面积
如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且则AB：AD的值是
A.
：1
B.
：1
C.
D.
两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和，如果它们的面积和为，则较大多边形的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，∽，若，，，则BC的长是?
?
A.
4
B.
6
C.
8
D.
7
如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为______．
将一个矩形减去一个正方形所剩的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______
．
如图，在一块直角三角板ABC中，，，，将另一个含角的的角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若与相似，则________．
若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为______．
三、解答题（本大题共4小题，共32.0分）
如图，点C，D在线段AB上，是等边三角形，且∽．
求的大小．
说明线段AC，CD，BD之间的数量关系．
如图，在中，点D是边AB上一点且．
求证：∽；
若，，求AC的长．
如图，在平行四边形ABCD中，，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且
求证：∽；
求证：．
如图，平面直角坐标系中，，C是AB的中点，点M在线段OA上，直线CM截所得到的与相似，求M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．
根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．
【解答】
解：两相似三角形的一组对应边为15和23，
两相似三角形的周长比为15：23，
设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，
依题意，有：，，
，，
因此这两个三角形的周长分别为75，115．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了最短距离问题，相似三角形的性质的有关知识，解答的关键在于根据题意做出辅助线和正确运用相似三角形的知识作Q点关于OP的对称点E，过E作轴于F点，利用三角形的高求出，又∽，，利用相似的性质求出EF即可．
【解答】
解：作Q点关于OP的对称点E，过E作轴于F点，
由题意可得：，，
由勾股定理得，
在中，由等面积法得OP边上的高为，所以，
EF即为的最小值，
又，
，
，
所以∽，
则?即，解得：．
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：设这个地区的实际面积是，
，
，
．
故选：B．
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
4.【答案】A
【解析】解：如图，
设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：
，，
，；
同理可求：，，
，，
，
∽，
：：，
故选：A．
设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出、的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明∽，即可解决问题．
本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，
这两个三角形周长比为：3：5，
周长之和是24，
这两个三角形周长分别为：，．
故选：B．
由两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可求得这两个三角形周长比为：3：5，又由周长之和是24，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用．
6.【答案】B
【解析】解：用一个放大镜去观察一个五边形，
放大后的五边形与原五边形相似，
相似五边形的对应边成比例，
各边长都变大，故A选项错误；
相似五边形的对应角相等，
对应角大小不变，故选项B正确；
相似五边形的周长得比等于相似比，
选项错误．
相似五边形的面积比等于相似比的平方，
选项错误；
故选：B．
首先由用一个放大镜去观察一个五边形，可得放大后的五边形与原五边形相似，然后由相似五边形的性质即可求得答案．
此题考查了相似形的性质．注意相似形的对应边成比例，相似形的对应角相等，相似形的面积比等于相似比的平方，相似形的周长得比等于相似比．
7.【答案】C
【解析】解：矩形ABCD∽矩形BCFE，
，即，
整理得，，
，
：，
故选：C．
根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为：，
两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和，
，解得
故选：C．
设较大多边形的面积为S，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列出关于S的方程．求出S的值即可．
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，由题可知∽，可根据相似三角形的对应边成比例求解．
【解答】
解：∽，
?，
即?，
解得：，
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查相似多边形的性质以及矩形的性质，根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求解．
【解答】
解：对折两次后的小长方形的长，宽分别为b，，
小长方形与原长方形相似，
，
．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：设较小三角形的对应边上的高为h
两个相似三角形面积之比为2：7
相似比为
较大三角形一边上的高为
，
即较小三角形的对应边上的高为．
根据相似三角形的相似比求解．
本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12.【答案】
【解析】解：设原矩形的长与宽分别为x、y，则剩下矩形的长是y，宽是，
剩下的矩形与原矩形相似，
，
整理得，，
解得或舍去，
原矩形的宽与长的比为．
故答案为：．
设原矩形的长与宽分别为x、y，表示出剩下矩形的长与宽，然后根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求解．
本题主要考查了多边形对应边成比例的性质，表示出剩下的矩形的长与宽是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的应用解题的关键是对的直角顶点分类讨论由，得，从而得到是等边三角形，利用三角形边的关系得到当时∽，得，当时∽，得，将EF和DF转化为只含CF的式子，解之即可求解．
【解答】
解：，，
．
是等边三角形．
，
．
，
．
．
如图，
若，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，即．
解得．
．
如图，
若，
，
，
即，
又，
∽，
，即．
解得．
．
综上所述，AD的长为或．
故答案为或．
14.【答案】1：2
【解析】解：相似多边形的对应边的比等于相似比，
它们的相似比：：2，
故答案为1：2．
根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可解决问题．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】解：是等边三角形，
，
，
∽，
，
，
；
，理由如下：
∽，
，
又，
．
【解析】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理和等边三角形的性质是解决此题的关键．
根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可；
根据相似三角形的性质结合等边三角形的性质即可得到结论．
16.【答案】解：，，
∽；
∽，
，
，
；
【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案；
根据相似三角形的性质即可求出答案；
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
17.【答案】证明：，
，
平行四边形ABCD，
，
，
，
，
，
∽；
∽，
，
，
∽，
，
又，
．
【解析】根据平行四边形的性质可得到，由等边对等角可得到，根据平行四边形的性质利用SAS可判定≌，由全等三角形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定得出即可；
由∽可得到对应边成比例，已知从而可推出∽，已知，根据对应成比例不难得到结论．
此题主要考查学生对平行四边形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18.【答案】解：当时，∽，
由点C是AB的中点，所以M为OA的中点，
此时M点坐标为；
当时，如图，
，
∽，
，
点和点，
，
点C是AB的中点，
，
，
，
，
此时M点坐标为．
【解析】本题考查的时相似三角形的性质，坐标与图形的性质，分类讨论，勾股定理有关知识分类讨论为：分类讨论：当时，∽，易得M点坐标为；当时，如图，由于，则∽，得到，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AM，于是可得到OM的长，从而得到M点坐标．
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