(共28张PPT)
2．2 向量的减法
d
D
Aa
bb/b
B
C课时作业16 向量的减法
[练基础]
1．如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
2．已知正方形ABCD的边长为1，则|＋|＋|－|＝( )
A．4
B．2
C.
D．2
3．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形
B．平行四边形
C．矩形
D．菱形
4．(1)已知向量a，b所在直线互相垂直，且|a|＝3，|b|＝4，则|a＋b|＝________.
(2)已知向量a与b共线，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________.
5.可以写成如下几种向量和或差的形式：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是________(填序号)．
6．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
[提能力]
7．[多选题]已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则
a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则
a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则
a与b的模相等
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
8．四边形ABCD中，＝，且|－|＝|＋|，则四边形ABCD的形状是________．
9．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
[战疑难]
10．记max{x，y}＝，min{x，y}＝.设a，b为平面向量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
课时作业16 向量的减法
1．解析：＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
答案：A
2．解析：∵正方形ABCD的边长为1，∴|＋|＋|－|＝||＋||＝2.故选D.
答案：D
3．解析：因为＋＝＋，
所以－＝－.
即＝，又A，B，C，D四点不共线，
所以||＝||，且BA∥CD，
故四边形ABCD为平行四边形．
答案：B
4．解析：(1)根据三角形法则及勾股定理，易知|a＋b|＝5.(2)这里需要注意分类讨论，a与b可能同向，也可能反向．若a与b同向，则|a－b|＝0；若a与b反向，则|a－b|＝2.
答案：(1)5 (2)0或2
5．解析：本题考查了用有向线段的起点和终点表示向量的加、减运算，选出①后可以直接应用相反向量选出④.
答案：①④
6．解析：(1)＝－＝c－a.
(2)＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝＝－＝f－d.
7．答案：ABD
8．解析：因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形．因为|－|＝|＋|，所以||＝||，所以平行四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
9．解析：在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
∴cos∠CBF＝，∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，
∴CF＝，∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝
＝，
∴|a＋b|＝.
10．解析：将a，b平移到同一起点，根据向量加、减法的几何意义可知，a＋b和a－b分别表示以a，b所在线段为邻边所作平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．
对于选项A，取a⊥b，结合勾股定理可知，不等式不成立；
对于选项B，取a，b是非零的相等向量，则不等式左边min{|a＋b|，|a－b|}＝0，显然不等式不成立；
对于选项C，取a，b是非零的相等向量，则不等式左边max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a＋b|2＝4|a|2，而不等式右边＝|a|2＋|b|2＝2|a|2，故不等式不成立．
由排除法可知，D选项正确．
答案：D2．2 向量的减法
[教材要点]
要点 向量的减法
1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的________向量，即a－b＝a＋(－b)．
2．几何意义：如图，设＝a，＝b，故a－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝，即a－b表示为从向量________指向被减向量________的向量．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量．( )
(2)＝－.( )
(3)a－b的相反向量是b－a.( )
(4)两个同向向量的差一定小于这两个向量的和．( )
2．[多选题]下列等式中正确的是( )
A．a－b＝b－a
B．0－a＝－a
C．－(－a)＝a
D．a＋(－a)＝0
3．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．
题型一 向量的加减运算——自主完成
1．下列四式不能化简为的是( )
A.＋－
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)＋
D.－＋
2．化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
方法归纳
向量加、减法运算的基本方法
(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
(2)运用减法公式－＝(正用或逆用均可)；
(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题．
题型二 用已知向量表示未知向量——师生共研
灵活运用三角形法则或平行四边形法则．
例1 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
方法归纳
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量的加法、减法以及共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量起点的位置，当两个向量共起点时，可以考虑向量的减法．
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即
＝
＋
以及
＝
－(M，N均是与在同一平面内的任意点)．
跟踪训练1 如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
题型三 向量加减法的综合应用——师生共研
例2 如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，用向量a，b表示、，并回答下面几个问题．
(1)当a、b满足什么条件时，AC⊥BD?
(2)当?ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
变式探究 将本例中的条件改为“?ABCD中，∠ABC＝60°，＝a，＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．
方法归纳
(1)平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：①对角线的平方和等于四边的平方和，即|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)；②若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．
(2)一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)及正六边形等．
跟踪训练2 设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
易错辨析 对向量加、减法的几何意义理解不透致误
例3 [多选题]如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A.＋＝
B.＋＝0
C.－＝
D.＋＝
解析：＋＝，A正确；＋＝0≠0，B错误；－＝＋＝，C正确；＋＝＝，D错误．故选AC.
答案：AC
易错警示
易错原因
纠错心得
对向量的加、减法的几何意义理解不透，致使错选A、B、C或A、C、D.
(1)向量加法运算时，应做到“首尾顺次相连”．(2)向量加法或减法运算后结果仍是向量.
2．2 向量的减法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
1．相反
2．b的终点B a的终点A
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：由向量的减法及其几何意义，得a－b＝－(b－a)，A错误；B、C正确；a＋(－a)＝0≠0，D错误．故选BC.
答案：BC
3．解析：＝－＝b－a.故选C.
答案：C
4．解析：＝－＝＋－＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：对于A，原式＝＋＋＝2＋；
对于B，原式＝＋(＋)＋＝＋＋＝；
对于C，原式＝(＋)＋＝＋＝；
对于D，原式＝＋＝.故选A.
答案：A
2．解析：(1)解法1：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
解法2：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋
＝＋＋
＝＋0＝.
解法3：原式＝(－)＋(－)－－
＝－＋－－＋
＝－＝.
(2)解法1：原式＝－＝.
解法2：原式＝－(＋)＝－＝.
解法3：设O是平面内任一点，
则原式＝(－)－(－)－(－)
＝－－＋－＋
＝－＝.
题型二
例1 解析：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
∴＝＋＝b－a＋c，＝－＝c－a，＝－＝c－b.
跟踪训练1 解析：由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则
(1)＝＋＋＝a＋d＋e.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
题型三
例2 解析：∵＝a，＝b，∴＝a＋b，＝a－b.
(1)当|a|＝|b|时，?ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD.
(2)当?ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.
变式探究 解析：依题意，||＝|a＋b|＝2，如图所示．
而||＝|a|＝2.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB.
∴?ABCD为菱形，AC⊥BD.
∴三角形ABO是直角三角形，∠ABO＝30°，
∵AB＝2，AO＝AC＝1，
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝2，∴|a－b|＝BD＝2.
跟踪训练2 解析：以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为|＋|＝|－|，所以||＝||.
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.
答案：C
