安徽省合肥第六高中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 PDF版含答案

B．对任意 ， 是 的子集，存在 ，使得 是 的子集
2020— 2021 学年第一学期高一年级期中考试
数学试卷 C．对任意 ，使得 不是 的子集，对任意 ， 不是 的子集
D．对任意 ，使得 不是 的子集，存在 ，使得 不是 的子集
（考试时间： 120 分钟 试卷分值： 150 分）
7.定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 则
一、 选择题 ：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 ( )
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则下列关系式表示正确的是 ( ) A. B. C. D.
8.已知函数 是单调函数，则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. D.
2.函数 的定义域是 ( )
9.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为
A. B. C. D. ( )
3.下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. D.
10.对于非空数集 M，定义 表示该集合中所有元素的和 ， 给定集合 ，定义集合
4.设命题 ，则 为 ( )
，则集合 的元素的个数为 ( )
A. B.
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
C. D. 11.已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值
5.下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 ( ) 范围是 ( )
A. B. C. D. A． (-3， -2) B． (-∞ ， -1) C． (-∞ ， -2) D． (-∞ ， -2]
6.设集合 ， ， ， 12.已知 ， 则 的取值范围 是 ( )
，其中 ，下列说法正确的 是 ( )
A． B． C． D．
A．对任意 ， 是 的子集，对任意 ， 不是 的子集
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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在横线上。
18． (本 题满分 12分 ) 函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
13. 若 ， 则 的最大值为 。
（ 1）求 的值；
14． 已知幂函数 在 上是减函数，则 的值为 。
（ 2）判断并用定义证明 在 的单调性．
15． 定义域为 的函数 满足 ，当 时， 若


时， 恒成立，则实数 的取值范围是 。


16． 已知函数 的定义域为 ，则下列命题中： 19． (本 题满分 12分 )
已知函数 为二次函数， ，且关于 的不等式 的解集为
① 若 是偶函数，则函数 的图像关于直线 对称；
（ 1）求函数 的解析式 ；
② 若 ，则函数 的图像关于原点对称；
（ 2）若关于 的方程 有一实根大于 1，一实根小于 1，求实数 的取值范围 ；
③ 函数 与函数 的图像关于直线 对称； （ 3）已知 ，若存在 使 的图象在 图象的上方，求满足条件的实数 的
取值范围 .
④ 函数 与函数 的图像关于直线 对称 .


其中正确的命题序号是 其中正确的命题序号是 。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。

17． (本 题满分 10分 ) 已知集合 , ， ，
20． (本 题满分 12分 ) 合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现 要设计如图的一张矩形宣传海
（ 1）求 ； 报，该海报 含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 ，四周空白的宽度为
（ 2）若 ，求 的取值范围 . ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 ，
（ 1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报 面积最小，并求最小值；
（ 2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的 倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整

个矩形海报 面积最小，并求最小值 .






高一 年级数学试题 （第 3页，共 4页） 高二年级 数学 (理科 )试题（ 第 4页，共 4页）

21． (本 题满分 12分 ) 已知函数 .
（ 1）求 的值；
（ 2）当的定义域为 时，求 的值域；











22． (本 题满分 12分 ) 已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值
为 ，记 .
（ 1）求实数 、 的值 .
（ 2）定义在 上的函数 ， ，对于任
意大于等于 的自然数 ， 、 、 都将区间 任意划分成 个小区间，如果存在一个常数
，使得和式 恒成立 ( )，则称函数 为在
上的有界变差函数 .试求函数 是否为在 上的有界变差函数？若是，求 的最小值；
若不是，请说明理由 .


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2020— 2021 学年第一学期高一年级期中考试
数学答案
（考试时间： 120 分钟 试卷分值： 150 分）
一 .选择题
1— 6， C C B C A B 7— 12 ， A C B B D A
二 .填空题
13. 答案： ， 14.答案： 1 ， 15.答案： ?1 ≤ t ≤ 3 ， 16.答案： ① ④
17. （本题满分 10分）
解：（ 1）根据题意 ,由 得 :
由 得： 或
由 得：
得 :
（ 2）因 则
综上所述 ,结论是：实数 的取值范围是
18. （本题满分 12分）
解 （ 1）根据题意， f（ x） = 是定义在 R上的奇函数，且 f（ 1） =1，则 f（ -1） =-f（ 1） =-1，
则有 ，解可得 a=5， b=0；经检验，满足题意
（ 2）由（ 1）的结论， f（ x） = ， 设 ＜ x1＜ x2，
f（ x1） -f（ x2） = - = ，
又由 ＜ x1＜ x2，则（ 1-4x1x2）＜ 0，（ x1-x2）＜ 0，
则 f（ x1） -f（ x2）＞ 0，
则函数 f（ x）在（ ， +∞ ）上单调递减．
19. （本题满分 12分）
解 （ 1）由已知可设 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，即 的解集为 ，
所以 与 是方程 的两根，
则由韦达定理可知 ，解得 ，
所以 ；
（ 2）令 ，
若 有一实根大于 1，一实根小于 1，
则 ，解得 ，
故实数 的取值范围是： ；
（ 3）若存在 使 的图象在 图象的上方，
则存在 使 ，即 ，
即 ，所以 ，
解得 或 ，
故满足条件的实数 的取值范围是： .
20. （本题满分 12分）
解： （ 1） 设矩形栏目的高为 ,宽为 ,则 ,所以
广告的高为 ,宽为 (其中 )
广告的面积
当且仅当 ，即 时，取等号，此时 .
故当广告矩形栏目的高为 ，宽为 时，可使广告的面积最小 为
（ 2）由题 ， ，解得
由（ 1）可得
当 时，广告的面积最小为
故 当广告矩形栏目的高为 ，宽为 时，可使广告的面积最小 为

21. （本题满分 12分）
解（ 1）
（ 2）函数
当 时 ,
于是
得 值域为 .

22. （本题满分 12分）
解 （ 1）因为函数 图象的开口方向向上，且对称轴方程为 ，
所以，函数 在区间 上为增函数，
又因为函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
可得 ，解得 ；
（ 2）函数 为 上的有界变差函数，理由如下：
由（ 1）知， ，当 时， ，
因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且对任意划分 ，
有 ，
恒成立， ①
对任意的划分 ，
有 ，
恒成立， ②
由 ①② 可得 .
所以，存在常数 ，使得 恒成立，且 的最小值为 .