第三章
勾股定理第一节
探索勾股定理
一、教学目标：
(一)知识点
1.由特例验证勾股定理，体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，
2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象．
(二)能力训练要求
1.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
2.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．
(三)情感与价值观要求
1.培养学生积极参与、合作交流的意识．
2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．
二、教学重、难点：
重点：探索和验证勾股定理．
难点：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
三、教学方法：
交流—探索—猜想.
在学案上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系．
四、教具准备：
准备学案
，学生准备三角板.
五、教学过程：
（一）.创设问题情境，引入新课
师：工人师傅在工作中遇到了一个难题，你能帮他解决吗？学生读题
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
这种问题以前我们没有接触过，学完这节课，我们就能帮他解决了。先看学习目标，一学生读学习目标，教师板书课题3.1探索勾股定理
（二）学习目标
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法及其内在联系.
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
带着这些学习目标我们走人今天的课堂：
（三）做一做
1、动手做：做一个直角三角形，且它的两直角边的长分别是3cm和4cm
2、动手量:量出这个直角三角形的斜边长是多少?
3、动手算:
3、4、5的平方之间有什么关系?
再算一次：如果两直角边是6和8，斜边是多少？上述还成立吗？
通过以上活动，让学生初步体会直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
这个结论正确吗？让我们继续探索一下。
（四）合作探究：
探究一：
（1）观察图1：
正方形A中含有
个小方格，即A的面积是
个单位面积；
正方形B中含有
个小方格，即B的面积是
个单位面积；
正方形C中含有
个小方格，即C的面积是
个单位面积；
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图2呢？
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
图2
A、B、C面积关系
让学生先独立思考，然后填写上面的表格.最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法，让学生在黑板展示正方形C的面积求法。从而发现两直角边上的正方形的面积和等于斜边上正方形的面积。
探究二：
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
图2
A、B、C面积关系
［师］同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得探究一中图1和图2中C的面积，值得发扬光大，那么探究二中图1，图2中的A，B，C的面积是否可借鉴图1中的A，B，C的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。
学生小组讨论后展示做法，师生总结，可以用割补法把不容易计算面积的图形转化为可以计算的图形。
［师］我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流.
［生］在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方.
［师生共析］通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容——勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
分析勾股定理的数学符号语言，教师板书勾股定理的内容，然后让一个学生读下面的文字，了解勾股定理的历史，
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期（约公元前1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.
关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。
所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智.
进行小结：1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）
2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
思考：
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1)正方形A，B，C，D的面积的和；(2)所有正方形面积和
思考题目可以让学生体会三边上三个正方形的面积关系模型。
练一练：
如图,以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系?请你说明理由.
让学生探索做法，教师引导写出解法，发现结论：直角边上两个半圆的面积和等于斜边上半圆的面积。那么三边上画正三角形还有这样的结论吗？三边上画正五边形、正六边形等呢？在后面的学习中继续探索。
练习一：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
2、求出下列直角三角形中未知边的长度
以上两组题目让学生明白道理：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.
（六）拓展延伸
若一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方是多少？
练习二：
若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是( )
(A)169
(B)169或119
(C)13或15
(D)15
拓展延伸题目让学生学会分类讨论的思想，不要漏解。
（七）学以致用：
从电线杆离地面8m的A处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点B距离电线杆底部C长6m,那么这条钢索AB长多少？
解决情境问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。
总结：
先由学生自己总结，然后师生共同完成.这节课我们主要研究：
1.从特例猜想出勾股定理；
2.用特例检验了勾股定理；
3.简单了解了勾股定理的历史，应用.
（九）当堂检测
1、已知△ABC的三边分别是a，b，c，若∠B=90度，则有关系式（
）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.a2-c2=b2
B.b2+c2=a2
2、如图,一根旗杆在离地面9
m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12
m处.旗杆原来有多高?
3.已知:△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16.
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC
.
通过三个题目检测学生本节课掌握情况
。
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A
B
C
图1
A
B
C
图2
225
81
B
225
400
A
5
x
13
6
8
x
A
C
B
12
m
9
m
A
B
C
D(共39张PPT)
第三章
勾股定理
1
探索勾股定理
?
从电线杆离地面8m的A处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点B距离电线杆底部C长6m,那么这条钢索AB长多少？
问题情境
A
B
C
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法及其内在联系.
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
动手做：做一个直角三角形，且它的两直角边的长分别是3cm和4cm
动手量:量出这个直角三角形的斜边长是多少?
动手算:
3、4、5的平方之间有什么关系?
动脑猜：直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方吗?
（5cm）
发现：两直角边平方与斜边有什么关系？
再算一次：如果两直角边是6和8，斜边是多少？上述还成立吗？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
探究一：直角三角形三边关系
（1）观察图1：
正方形A中含有
个小方格，即A的面积是
个单位面积；
正方形B中含有
个小方格，即B的面积是
个单位面积；
正方形C中含有
个小方格，即C的面积是
个单位面积；
9
9
18
9
18
9
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
探究一：直角三角形三边关系
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
图2
9
9
18
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图2呢？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
SA+SB=SC
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
9
9
18
图2
A、B、C面积关系
4
4
8
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
A
B
C
图1
A
B
C
图2
（1）观察图1、图2，并填写下表：
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
图1
图2
16
9
25
4
9
13
【探究2】
A
B
C
图3
A
B
C
图4
A
B
C
图3
A
B
C
图4
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
图1
图2
16
4
13
9
25
9
（2）右图中正方形A,B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.
A
B
C
a
c
b
SA+SB=SC
如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c.你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
a2+b2=c2
结论：
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
猜想:两直角边a、b与斜边c
之间的关系？
SA
SB
SC
a2
b2
c2
P
Q
C
R
求正方形R的面积？
用“补”的方法
P
Q
C
R
用“割”的方法
Q
SR
SR
勾股定理（gou-gu
theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理！
数学符号语言：
∵在Rt
△
ABC中，
∠C=90o
∴AC2+BC2=AB2或a2+b2=c2
A
C
B
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.
据《周髀算经》记载，西周战国时期（约公元前1千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.
3
4
5
∟
勾
股
弦
小结：
1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）
2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平方
C
c
b
a
A
B
A的面积+B的面积=C的面积
a2+b2=c2
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1)正方形A，B，C，D的面积的和
思考
S1
S2
解：∵
S1=SA+SB
S2=SC+SD
∴
SA+SB+SC+SD
=
S1+S2
=
SE
=
49
(2)所有正方形面积和
(2)所有正方形面积和
SA+SB+SC+SD+S1+S2+SE
=3SE=3X49=147
如图,以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系?请你说明理由.
练一练
S1
S2
S3
练习一：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
=625
225
400
A
225
81
B
=144
2、求出下列直角三角形中未知边的长度
6
8
x
5
x
13
解：由勾股定理得：
x2
=36+64
x2
=100
x2=62+82
∴
x=10
∵
x2+52=132
∴
x2=132-52
x2
=169-25
x2
=144
∴
x=12
∵
x
>
0
∵
x
>
0
若一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方
是多少？
【解析】①若第三边是斜边，则它的平方是32+42=9+16=25；
②若第三边是直角边，则它的平方是42-32=16-9=7.
所以第三边长的平方是25或7.
拓展延伸
练习二：
若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方
是( )
(A)169
(B)169或119
(C)13或15
(D)15
【解析】选B.①若第三边是直角边，则它的平方是122-52=144-25=119；②若第三边是斜边，则它的平方是122+52=144+25=169.故选B.
?
从电线杆离地面8m的A处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点B距离电线杆底部C长6m,那么这条钢索AB长多少？
解决问题情境
A
B
C
学以致用
应用勾股定理
1、已知△ABC的三边分别是a，b，c，
若∠B=90度，则有关系式（
）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.a2-b2=c2
D.b2+c2=a2
A
B
C
当堂检测
2、如图,一根旗杆在离地面9
m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12
m处.旗杆原来有多高?
12
m
9
m
【解析】设旗杆顶部到折断处的距离为x
m，根据勾股定理得
x=15,
15+9=24(m).
答：旗杆原来高24
m.
3.已知:△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16.
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC
.
A
B
C
D
例题分析
8
17
?
1.（义乌·中考）在直角三角形中，
三边长都是整数，满足条件的三边长可以是
．(写出一组即可)
【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2，且是正整数即可.
答案：3，4，5（满足题意的均可）
2.求斜边长17
cm、一条直角边长15
cm的直角三角形的面积.
【解析】设另一条直角边长是x
cm.由勾股定理得:
152+
x2
=172，而x2=172-152=289–225=64，
所以
x=±8（负值舍去），
所以另一直角边长为8
cm，
直角三角形的面积是:
(cm2).
2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方3
km处，过了20
s，飞机距离这个男孩头顶5
km.这一过程中飞机飞过的距离是多少？
B
C
A
3
5
？
【解析】在Rt△ABC中，
答：飞机飞过的距离是4
km.
4.在△ABC中，∠C=90°，若BC∶AC=3∶4，AB=10，则该三角形的面积为________.
【解析】设AC=4k，BC=3k，则(4k)2+(3k)2=102，
解得k=2，所以AC=8，BC=6，
所以三角形的面积为
×6×8=24.
答案：24
知识点1
运用勾股定理解决有关线段或面积的问题
【例1】如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高线AD的长.
拓展延伸
【解题探究】
(1)因为图中没有高线AD，作出高线AD，
则得△ABD和△ACD是什么样的特殊三角形？
它们的三边满足的关系式分别是什么？
答：__________________________________________
_______________________.
(2)已知AB，AC和BC，要根据勾股定理求AD，只需求出
线段_______的长.
直角三角形.在Rt△ABD和Rt△ACD中，关系式为
AD2+BD2=AB2，AD2+CD2=AC2
BD或CD
(3)因为AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边，所以可以得
AD2=AB2-BD2，还可以得AD2=_______，进而能得到怎样
的等式？
答：_______________.
(4)如果设BD=x，则CD=_____，可得方程_________________，
解方程得____，再由勾股定理得AD=___.
AC2-CD2
AB2-BD2=
AC2-CD2
14-x
132-x2=152-(14-x)2
x=5
12
【互动探究】本例(4)中得到的方程整理后是什么方程？怎样求解？
提示：整理后为一元一次方程.先化简整理为一元一次方程，然后移项、合并同类项、化系数为1.
【跟踪训练】
1.如图，阴影部分是一个正方形，则此
正方形的面积为( )
(A)32
(B)64
(C)16
(D)128
【解析】选B.设正方形的边长为a，由勾股定理可得，
a2=172-152=64，所以正方形的面积为64.
2.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为_______.
【解析】如图，因为∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
所以∠ACB=∠DEC.
因为∠ABC=∠CDE，AC=CE，
所以△ABC≌△CDE，
所以BC=DE，
所以，根据勾股定理的几何意义，Sb=Sa+Sc，
所以Sb=Sa+Sc=5+11=16．
答案：16
知识点2
勾股定理的变式与应用
【例2】(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的和为
17
cm，面积为30
cm2，试求这个直角三角形的斜边长.
【规范解答】设直角△ABC的两条直角边长分别为a，b，斜边
为c，
……………………………………………1分
由题意可得____=17，_____=30，
………………3分
所以c2=a2+b2=
__________
=172-2×60=169,……………………………………5分
所以c=___.
…………………………………………7分
即该直角三角形的斜边长为___
cm.
………………8分
a+b
(a+b)2-2ab
13
13
