5.7
用二元一次方程组确定一次函数表达式
【教学目标】
1.进一步理解二元一次方程与一次函数的联系，体会知识之间的普遍联系和相互转化.
2.了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
重点：会利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
难点：通过观察图象或分析题意，寻找足够的解题条件.
【教学过程】
本节课教学过程共七个环节：构建动场、合作交流、探索新知、巩固应用、综合建模、当堂检测、布置作业。
第一环节:
构建动场
1.二元一次方程组的解
两个一次函数图象的交点坐标
2.解二元一次方程组，可以用消元法、图象法。
设计意图：带领学生一起回顾旧知，引出本节课的课题，为本节课的后续做铺垫。
第二环节：合作交流
活动二：A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数，1时后乙距离A地80千米；2时后甲距离A地30千米，问经过多长时间两人将相遇？
设计意图：教师先展示小明的解法，用画图象的方法去解决问题，当学生直接看出交点横坐标是“3”时，过交点作X轴的垂线，显示垂足对应的横坐标并不是“3”，从而引发认知冲突。激发学生的探索兴趣，主动去找寻精确结果。
因而必定会有学生考虑其他方法，如能否确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式来解决.不同学生不同的解决问题思路，让学生进行思考和比较，在此基础上，引入用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法.
具体教学中，可以先让学生自主提出解决方案，然后对方案进行交流、比较，在这些活动过程中动态的生成相关方法.
从而寻求代数法，这样就很自然地过渡到确定一次函数表达式的问题.然后，通过一个例题引入待定系数法，再通过一个“做一做”进行变式巩固.
小组合作交流要求：
1、同学们独立思考3分钟
2、小组内分享自己的思路
3、小组代表分享不同的解法
第三环节：探究新知
例：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
写出y与x之间的函数表达式；
旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设，由题意得，
解得
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
解题策略：
在读题时，标注关键条件；
把已知条件转化成数学符号：列表或写出点坐标；
x
60
90
y
5
10
（60，5），（90，10）.
认真去计算，代回要检验.
第四环节：巩固应用
变式：已知函数y=2x+b的图象经过点（a,
7）和（－2，a）,求这个函数表达式．
解：把（a,
7）和（－2，a）代入得
7=2a+b
a=2x(-2）+b
解得
a=1
b=5
所以y=2x+5
设计意图：通过这道变式习题的解决，让学生进一步熟练掌握了利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法，强化了本节知识的重点“利用二元一次方程组确定一次函数表达式”，使学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，使学生有知识迁移的基础.
第五环节：综合建模
教师提问：通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？
教师先鼓励学生回答，然后帮助学生从以下几方面归纳：
1.知识方面：
(1)会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
(2)应用所学知识解决实际问题.
2.思想方法：
(1)方程思想.
(2)数形结合的思想.
(3)转化思想.
设计意图：根据教学过程反馈的信息，设计开放性的问题，鼓励学生大胆交流，由学生回顾所学内容，从知识、思想方法等方面加以归纳，有利于学生熟练掌握、运用知识、积累解题经验，形成新的认知结构图，为以后的学习打基础。
第六环节：当堂检测
1.右图中的两直线l1
、l2
的交点坐标可以看作方程组
的解.（评价教学目标1）
2.在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3
kg时，弹簧长16
cm.写出
y
与
x
之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4
kg时弹簧的长度.（评价教学目标2）
第七环节：布置作业
必做题：课本习题5.8第1、2、3题.
选做题：第4题.
设计意图：设计这份作业，突出一个层次性，满足不同基础水平的学生需要，使不同的人在数学上得到不同的发展。
o
y
x
1
2
3
4
1
2
3
4(共13张PPT)
北师大版（数学）八年级上册
构建动场
两个一次函数图象的交点坐标
二元一次方程
组的解
解二元一次方程组，可以用：
（1）消元法
加减消元法
代入消元法
（2）图象法:利用图象交点坐标
A
,B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离
s(千米)都是骑车时间
t
(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米;
2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇
?
合作交流
A地
B地
80
km
乙
1时
2时,30
km
甲
B
A
甲
0
4
1
2
3
t/h
s/km
A
,B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离
s(千米)都是骑车时间
t
(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米;
2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇
?
120
100
80
60
40
20
合作交流
乙
C
小明
在上面的问题中，用画图象的方法可以直观的获得问题的结果，但有时却难以获得问题的准确结果.
“形少数时难入微。”
为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
合作交流
小结1：
甲
0
4
1
2
3
t/h
s/km
A
,B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离
s(千米)都是骑车时间
t
(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米;
2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇
?
120
100
80
60
40
20
合作交流
乙
C
小明
例：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60
kg的行李，交了行李费5元；张华带了90
kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
探究新知
解题策略：
（1）在读题时，标注关键条件；
（2）把已知条件转化成数学符号：列表或写出点坐标；
（3）认真去计算，代回要检验.
x
60
90
y
5
10
（60，5），（90，10）.
探究新知
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b(k≠0)；
2.将已知点坐标代入上述表达式中；
3.列出含k，b的二元一次方程组；
4.解这个二元一次方程组得k、b的值；
5.写出一次函数的表达式.
用二元一次方程组确定一次函数表达式（即待定系数法）一般步骤：
小结2：
变式：已知函数y=2x+b的图象经过点（a,
7）和（－2，a）,求这个函数表达式。
巩固应用
解：把（a,
7）和（－2，a）代入得
7=2a+b
a=2x(-2）+b
解得
a=1
b=5
所以y=2x+5
如何用二元一次方程组确定一次函数表达式？（即待定系数法）
一般步骤：
1.设出一次函数的表达式：y=kx+b(k≠0)；
2.将已知点坐标代入上述表达式中；
3.列出含k，b的二元一次方程组；
4.解这个二元一次方程组得k、b的值；
5.写出一次函数的表达式.
说出本节课你的收获和疑问：
综合建模
1.右图中的两直线l1
、l2
的交点坐标可以看作方程组
的解.
（请写出解答过程）
2.在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3
kg时，弹簧长16
cm.写出
y
与
x
之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4
kg时弹簧的长度.
当堂检测
必作：
第1题，第2题，第3题
选作：
第4题
课本习题5.8第1、2、3、4题写作业本上
布置作业
数缺形时少直观，
形少数时难入微。
数形结合百般好，
隔离分家万事休。
——华罗庚
课后寄语
