单元综合测试一(第一章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列几何体是柱体的是( B )
解析：A中的侧棱不平行，所以A不是柱体，C是圆锥，D是球体，B是棱柱．
2．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( C )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
解析：设圆锥底面半径为r，母线为l，则πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，所以展开图扇形半径为2r，弧长为2πr，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180°，故选C.
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体( D )
A．由一个圆台、两个圆锥构成
B．由两个圆台、一个圆锥构成
C．由一个圆柱、一个圆锥构成
D．由一个圆柱、两个圆锥构成
解析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可确定所得的几何体．等腰梯形绕着不同的边所在直线旋转一周后，得到的几何体不同，要加以细致地分析．若绕着它的较短的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体应是圆柱两端各挖去一个圆锥；而绕着较长底边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱外加两个圆锥．
4．若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形(如图)，则该正四棱锥的体积是( C )
A．1
B.
C.
D．2
解析：如图，据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，斜高为2，棱锥是高为的正四棱锥，故其体积V＝×4×＝.故选C.
5．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是( D )
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
解析：由题意，若a∥l，则利用线面平行的判定，可知a∥α，a∥β，从而a在α，β内的射影直线b和c平行；若a∩l＝A，则a在α，β内的射影直线b和c相交于点A；若a∩α＝A，a∩β＝B，且直线a和l垂直，则a在α，β内的射影直线b和c相交，否则直线b和c异面．综上所述，b和c的位置关系是相交、平行或异面，故选D.
6．在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( D )
A．AB⊥BC且AB⊥BD
B．AD⊥BC且AC⊥BD
C．AC＝AD且BC＝BD
D．AC⊥BC且AD⊥BD
解析：①∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC＝B，∴AB⊥平面BCD，∵CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
②设A在平面BCD射影为O，AO⊥平面BCD，
∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心．
连接BO，则BO⊥CD，AO⊥CD，∴CD⊥平面ABO.
∵AB?平面ABO.∴AB⊥CD，
③取CD中点G，连接BG，AG，
∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，
∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，
∵AB?平面ABG，∴AB⊥CD，
综上选项A，B，C能够得出AB⊥CD，故选D.
7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为( B )
A．4π B．3π C．2π D．π
解析：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，如图．底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC＝＝，∴外接球的表面积是4×π×()2＝3π，故选B.
8．如图，已知圆柱体底面圆的半径为cm，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是( C )
A.
cm
B．2
cm
C．2
cm
D．4
cm
解析：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求．在Rt△AB1C1中，AB1＝π·＝2
cm，B1C1＝2
cm，∴AC1＝2cm，故选C.
9．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( D )
A．27?32
B．3?8
C．3?16
D．9?32
解析：设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形(图略)可得2r＝2Rcos30°＝R，所以，r＝R，圆锥的高为h＝＝r＝×R＝R，所以，圆锥的体积为πr2h＝π×2×R＝，因此，圆锥的体积与球的体积之比为＝×＝.
10．如图，三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°；
②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC；
④点C到平面SAB的距离是a.
其中正确的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；
再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；
取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离为a，④正确，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为π.
解析：根据题意，圆锥的底面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又×2πl＝3π，∴圆锥的母线为3，则圆锥的高＝2，所以圆锥的体积π×12×2＝π.故答案为：π.
12．如图，正方形DABC的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为8.
解析：根据题意，画出图形，如图所示：
把该平面图形的直观图还原为原来的图形，如图所示：
∴四边形A′B′C′D′是平行四边形，且A′D′＝AD＝2，B′D′＝2BD＝4，∴平行四边形A′B′C′D′的面积是A′D′·B′D′＝2×4＝8.
13．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为.
解析：取AC的中点E，取CD的中点F(图略)，则EF＝，BE＝，BF＝，结合图形知二面角A－CD－B的余弦值cosθ＝＝.
14．半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为4R2.
解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a，
则a2＋2＝R2，
所以a2＝R2，所以S＝6×a2＝4R2.
15．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为3?2，3?2.
解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
所以V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，
V球＝πR3，所以＝＝，
S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，
S球＝4πR2，所以＝＝.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
解：依题意得侧面的高
h′＝＝，
S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12，
所以几何体的表面积为20＋12.
体积V＝(42＋22＋2×4)×3＝28.
17．(本题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG，EF∥DG，∠EDG＝120°.AB＝AC＝FE＝1，DG＝2.
(1)求证：AE∥平面BFGC；
(2)求证：FG⊥平面ADF.
证明：(1)如图，连接CF，AE.
∵AC∥DG，EF∥DG，∴AC∥EF，又AC＝EF，
∴四边形AEFC是平行四边形，∴AE∥FC，
又AE?平面BFGC，FC?平面BFGC，∴AE∥平面BFGC；
(2)如图，连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，
∵EF∥DH，EF＝DH＝ED＝1，∴四边形DEFH为菱形，
∵EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，
∴FG∥EH，∴FG⊥DF，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥FG，
∵FG⊥DF，AD∩DF＝D，∴FG⊥平面ADF.
18．(本题满分12分)一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π.
(1)求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；
(2)求这个圆台的侧面积与体积．
解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．由已知可得上底半径O1A＝2，下底半径OB＝5.
又∵腰长为12，∴高AM＝＝3，
∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x，
则由△SAO1∽△SBO可得
＝，解得x＝20.
所以截得此圆台的圆锥的母线长为20；
(2)大圆锥的底面周长为2×5π＝10π，小圆锥的底面周长为2×2π＝4π，这个圆台的侧面积＝大圆锥侧面积－小圆锥的侧面积＝×10π×20－×4π×(20－12)＝84π.
所求圆台的体积为×(4π＋＋25π)×3＝39π.
19．(本题满分12分)某机器零件是如图所示的几何体(实心)，零件下面是边长为10
cm的正方体，上面是底面直径为4
cm，高为10
cm的圆柱．
(1)求该零件的表面积；
(2)若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11
kg，问制造1
000个这样的零件，需要锌多少千克？(注：π取3.14)
解：(1)零件的表面积S＝6×10×10＋4×3.14×10
＝725.6(cm2)＝0.072
56m2.
该零件的表面积为0.072
56m2.
(2)电镀1
000个这种零件需要用的锌为0.072
56×0.11×1
000＝7.981
6(kg)．
所以制造1
000个这样的零件，需要锌7.981
6千克．
20．(本题满分13分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．
解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.
又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.
因此AE⊥平面B1BCC1.
而AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)如图，设AB的中点为D，连接A1D，CD.
因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.
因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．
由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.
在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，
所以FC＝AA1＝.
故三棱锥F－AEC的体积
V＝S△AEC·FC＝××＝.
21．(本题满分14分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论；
(2)当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM；
(3)若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC，证明如下：
又因为PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，
又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
故当a＝2时，BD⊥平面PAC.
(2)证明：当a＝4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM，DM，MN，如图所示．
因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，
所以∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即DM⊥AM，
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DM，
又AM∩PA＝A，所以DM⊥平面PAM，得PM⊥DM，
故当a＝4时，BC边的中点M使得PM⊥DM.
(3)假设BC边上存在点M，使得PM⊥DM，因为PA⊥底面ABCD，所以，M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．
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11单元综合测试一(第一章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列几何体是柱体的是( )
2．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体( )
A．由一个圆台、两个圆锥构成
B．由两个圆台、一个圆锥构成
C．由一个圆柱、一个圆锥构成
D．由一个圆柱、两个圆锥构成
4．若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形(如图)，则该正四棱锥的体积是( )
A．1
B.
C.
D．2
5．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是( )
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
6．在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是( )
A．AB⊥BC且AB⊥BD
B．AD⊥BC且AC⊥BD
C．AC＝AD且BC＝BD
D．AC⊥BC且AD⊥BD
7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为( )
A．4π B．3π C．2π D．π
8．如图，已知圆柱体底面圆的半径为cm，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是( )
A.
cm
B．2
cm
C．2
cm
D．4
cm
9．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( )
A．27?32
B．3?8
C．3?16
D．9?32
10．如图，三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°；
②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC；
④点C到平面SAB的距离是a.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为(
)
12．如图，正方形DABC的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为(
)
13．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为(
).
14．半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为(
).
15．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为(
)
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
17．(本题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG，EF∥DG，∠EDG＝120°.AB＝AC＝FE＝1，DG＝2.
(1)求证：AE∥平面BFGC；
(2)求证：FG⊥平面ADF.
18．(本题满分12分)一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π.
(1)求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；
(2)求这个圆台的侧面积与体积．
19．(本题满分12分)某机器零件是如图所示的几何体(实心)，零件下面是边长为10
cm的正方体，上面是底面直径为4
cm，高为10
cm的圆柱．
(1)求该零件的表面积；
(2)若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11
kg，问制造1
000个这样的零件，需要锌多少千克？(注：π取3.14)
20．(本题满分13分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．
21．(本题满分14分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论；
(2)当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM；
(3)若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．
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