单元综合测试三(本册测试题)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( D )
A．(1，－2)，5
B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5
D．(－1,2)，
解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
其圆心是(－1,2)，半径为.
2．点A在z轴上，它到点(2，，1)的距离是，则点A的坐标是( C )
A．(0,0，－1)
B．(0,1,1)
C．(0,0,1)
D．(0,0,13)
解析：由点A在z轴上，可设A(0,0，z)，
∵点A到点(2，，1)的距离是，
∴(2－0)2＋(－0)2＋(1－z)2＝13，
解得z＝1，故A的坐标为(0,0,1)．故选C.
3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( C )
A．3πa2
B．4πa2
C．5πa2
D．6πa2
解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，
在Rt△SA′O′中，＝sin30°，∴SA′＝2r.
在Rt△SAO中，＝sin30°，
∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.
∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.
4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积是( B )
A.
B．4π
C．12π
D.π
解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一侧棱垂直于底面，该侧棱长为2，因此外接球的直径为2，∴r＝，∴V＝πr3＝4π.
5．若点P(2，－1)为圆C(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( A )
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
解析：圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴直线AB的方程是y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.
6．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为( D )
A．3x－y－5＝0
B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0
D．3x＋y－13＝0
解析：当l⊥AB时，符合要求．
∵kAB＝＝，∴l的斜率为－3，
∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
7．点(a＋1,2a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围为( B )
A．|a|<
B．|a|<
C．|a|<1
D．a<
解析：∵点(a＋1,2a)在圆内部，
∴(a＋1－1)2＋(2a)2<1，∴|a|<.
8．一个球的外切正方体的表面积等于6
cm2，则此球的体积为
( C )
A.π
cm3
B.π
cm3
C.π
cm3
D.π
cm3
解析：设球的直径为2R
cm，则正方体的棱长为2R
cm，由题意得6×4R2＝6，解得R＝.所以球的体积V＝πR3＝π×＝π(cm3)．
9．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点．若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( D )
A.
B.
C．2
D．2
解析：圆心C(0,1)到l的距离d＝
.
∴四边形面积的最小值为2(×1×)＝2，
∴k2＝4，即k＝±2.又k>0，∴k＝2.
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( A )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
解析：∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，
又AC⊥BD，BD?平面BB1D1D，D1D?平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C.
又∵B1C∩AC＝C，B1C?平面AB1C，AC?平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
而AP⊥BD1，∴AP?平面AB1C.
又P∈平面BB1C1C，∴点P的轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．顺次连接A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y轴旋转一周，所得旋转体的体积是.
解析：所得旋转体为上底、下底面半径分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱．
V台＝(9π＋＋25π)×4＝，
V柱＝4π，则V＝V台－V柱＝.
12．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为2x＋3y－2＝0.
解析：由方程组得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－.由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.
13．在△ABC中，高AD与BE所在直线的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A(－2,1)，B(1,0)，C(2,5)．
解析：高AD与边AB所在直线的交点即为顶点A，联立得A(－2,1)．高BE与边AB所在直线的交点即为顶点B，联立得B(1,0)．因为直线AC过点A，且与直线BE垂直，所以直线AC的方程为y－1＝x＋2，即y＝x＋3，同理，直线BC的方程为y＝5(x－1)，联立两直线方程得C(2,5)．
14．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的点E有两个时，a的取值范围是(6，＋∞)．
解析：如图所示，连接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，则需DE⊥AE.∵在矩形ABCD中，∠AED＝90°，满足条件的E点有两个，
∴以AD为直径的圆与BC相交．
∴圆心到直线BC的距离d6.
15．从原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是x2＋y2＝3.
解析：设切点P(x，y)，圆心C(m,2)，则在直角三角形OPC中，由勾股定理可得m2＋4＝m2＋1＋x2＋y2，∴切点P的轨迹方程为x2＋y2＝3.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
解：因为直线y＝－x＋1的斜率为－，所以该直线的倾斜角为120°.
由题意知所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝.
(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4)，即x－y＋1＋4＝0.
(2)因为直线在y轴上的截距为－10，
所以由直线的斜截式方程得y＝x－10.
即x－y－10＝0.
17．(本题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解：由题设可知，该几何体是一个高h＝4的四棱锥，其底面是长和宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示．
(1)该几何体的体积V＝S底h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为h1＝＝5，左、右侧面底边上的高为h2＝＝4，故该几何体的侧面积为S＝2＝40＋24.
18．(本题满分12分)已知直线l经过点P(3,4)．
(1)若直线l的倾斜角为θ(θ≠90°)，且直线l经过另外一点(，)，求此时直线l的方程；
(2)若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
解：(1)直线l的斜率为k＝tanθ＝，解得tanθ＝.
所以直线l的斜率为，直线l的方程为y＝x.
(2)由题意知，直线l的斜率必存在，且不为零，则设l：y－4＝k(x－3)，分别令x，y等于零得到x轴上的截距为－＋3，y轴上的截距为－3k＋4，
由|－＋3|＝|－3k＋4|，得－＋3＝－3k＋4，
解得k＝－1，或k＝；
或者－＋3＝3k－4，解得k＝1或k＝；
经检验k＝不合题意，舍去．
综上k的值为±1，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋7.
19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；
(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD.
解：(1)在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.
20．(本题满分13分)如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C，D两点．
(1)求圆M与圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．
解：(1)∵点M的坐标为(，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1.
设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，如图，则MA⊥x轴，NC⊥x轴，
由题意知：M，N点都在∠COD的角平分线上，∴O，M，N三点共线．
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM?ON＝MA?NC，即＝?r＝3，
则OC＝3，则圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，圆心N到该直线的距离d＝，
则弦长为2＝.
21．(本题满分14分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
(1)求四棱锥P?ABCD的体积；
(2)求证：PA∥平面MBD；
(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵Q为AD的中点，△PAD为正三角形，
∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD.
∵AD＝4，∴PQ＝2，
四棱锥P?ABCD的体积
V＝S正方形ABCD·PQ＝×42×2＝.
(2)证明：连接AC交BD于点O，连接MO，如图所示．由正方形ABCD知O为AC的中点．
∵M为PC的中点，
∴MO∥PA.
∵MO?平面MBD，PA?平面MBD，∴PA∥平面MBD.
(3)存在点N，当N为AB的中点时，平面PQB⊥平面PNC.证明如下：如图，连接BQ，CN，PN.
∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，∴BQ⊥NC.
由(1)知，PQ⊥平面ABCD，NC?平面ABCD，
∴PQ⊥NC.又BQ∩PQ＝Q，∴NC⊥平面PQB.
∵NC?平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB.
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9单元综合测试三(本册测试题)
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5
B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5
D．(－1,2)，
2．点A在z轴上，它到点(2，，1)的距离是，则点A的坐标是( )
A．(0,0，－1)
B．(0,1,1)
C．(0,0,1)
D．(0,0,13)
3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )
A．3πa2
B．4πa2
C．5πa2
D．6πa2
4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积是( )
A.
B．4π
C．12π
D.π
5．若点P(2，－1)为圆C(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
6．若直线l过点A(3,4)，且点B(－3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为( )
A．3x－y－5＝0
B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0
D．3x＋y－13＝0
7．点(a＋1,2a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围为( )
A．|a|<
B．|a|<
C．|a|<1
D．a<
8．一个球的外切正方体的表面积等于6
cm2，则此球的体积为
( )
A.π
cm3
B.π
cm3
C.π
cm3
D.π
cm3
9．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点．若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A.
B.
C．2
D．2
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．顺次连接A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y轴旋转一周，所得旋转体的体积是（
）
12．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为（
）.
13．在△ABC中，高AD与BE所在直线的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A（
），B（
），C（
）．
14．已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的点E有两个时，a的取值范围是（
）．
15．从原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是（
）.
三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本题满分12分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
17．(本题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
18．(本题满分12分)已知直线l经过点P(3,4)．
(1)若直线l的倾斜角为θ(θ≠90°)，且直线l经过另外一点(，)，求此时直线l的方程；
(2)若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．
19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；
(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD.
20．(本题满分13分)如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C，D两点．
(1)求圆M与圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．
21．(本题满分14分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
(1)求四棱锥P?ABCD的体积；
(2)求证：PA∥平面MBD；
(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
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