课时作业8 平面
——基础巩固类——
1.如图所示，用符号语言可表示为( A )
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表示为α∩β＝m，n?α，m∩n＝A．
2．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么( A )
A．l?α
B．l?α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
解析：∵M∈a，N∈b，a?α，b?α，∴M∈α，N∈α.而M，N确定直线l，根据公理1可知l?α.故选A．
3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( A )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①中空间三点共线时不能确定一个平面．②中点在直线上时不能确定一个平面．③中两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．④中三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面．
4．一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定( B )
A．三个平面
B．四个平面
C．五个平面
D．六个平面
解析：直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个平面．
5．在空间，下列说法正确的是( C )
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．四边相等的四边形是菱形
C．正方形确定一个平面
D．三点确定一个平面
解析：四边形可能是空间四边形，故A，B错误；当三点在同一直线上时，可以确定无数个平面，故D错误．故选C．
6.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论中错误的是( D )
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
解析：在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，∵A1C∩平面C1BD＝M，∴C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，选项D不正确．
7．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝A1B1；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝AC；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝OO1；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为B1.
8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线BD上；
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线AC上．
解析：(1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，则P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，则Q∈AC．
9．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P?l且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于直线PR.
解析：如图所示，MN?γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.
10.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
解：
很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明：(1)无三线共点情况，如图①.
设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因为a∩d＝M，所以a，d可确定一个平面α.
因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.
所以NQ?α，即b?α.同理c?α，
所以a，b，c，d共面．
(2)有三线共点的情况，如图②.
设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且K?a.因为K?a，所以K和a确定一个平面，设为β.因为N∈a，a?β，所以N∈β，所以NK?β，即b?β.
同理c?β，d?β，所以a，b，c，d共面．
由(1)(2)知a，b，c，d共面．
——能力提升类——
12．下列说法中正确的是( D )
A．相交直线上的三个点可以确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
解析：A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个．B错误，空间两两相交的三条直线(不在同一平面内)交于同一点时，无法确定一个平面．C错误，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形．
13．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：
①若P∈a，P∈α，则a?α；
②若a∩b＝P，b?β，则a?β；
③若a∥b，a?α，P∈b，P∈α，则b?α；
④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.
其中真命题是( D )
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
解析：
当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，可能a?α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
14．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列说法正确的是(2)(3)(4)(填序号)．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．
解析：(1)错误．如图①所示，点A?平面CC1B1B，所以直线AC1?平面CC1B1B．
(2)正确．如图②所示．因为O∈直线AC?平面AA1C1C，O∈直线BD?平面BB1D1D，O1∈直线A1C1?平面AA1C1C，O1∈直线B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
(3)(4)都正确．如图③所示，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．
15．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图．
(1)求证：D、B、E、F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
解：(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C．同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．
(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD?α，故P∈α.又P∈AC，而AC?β，所以P∈β，所以P∈(α∩β)．同理可证得Q∈(α∩β)，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C?β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．如图，连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．
PAGE
6课时作业17 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
——基础巩固类——
1．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①②③均正确．
2．下列命题中错误的是( D )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．
3.如图所示，三棱锥P?ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( B )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
4．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( C )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．
5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( D )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝直线a，
过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.
又因为l?α，l?β，所以l与a不重合．
所以l∥a.综上知，故选D.
6.如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( A )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线．因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.
7．长方体ABCD?A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是平行．
解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.
又∵MN?平面BCC1B1，∴AB⊥MN.
又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.
8．已知直二面角α?l?β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.
解析：如图，连接BC，∵二面角α?l?β为直二面角，AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC?β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝＝.
9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα?cosβ＝?2.
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα?cosβ＝?2.
10.如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求多面体A?PBC的体积．
解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.
又PC?平面PCD，∴PC⊥BC.
(2)∵PD⊥平面ABCD，
∴VA?PBC＝·S△ABC·PD.
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，
∴△ABC为直角三角形且∠ABC为直角．
∵PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，
∴VA?PBC＝·S△ABC·PD＝×·AB·BC·PD＝××4×2×2＝.
11.如图，在三棱锥P?ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.
求证：平面PEF⊥平面PBC.
证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.
∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.
——能力提升类——
12.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( C )
A．变大
B．变小
C．不变
D．有时变大有时变小
解析：∵BC⊥CA，l⊥平面ABC，
∴BC⊥l，∴BC⊥平面ACP，
∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′?BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( B )
A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四面体A′?BCD的体积为
解析：取BD的中点O，连接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC与OC不垂直于BD矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝，∵A′B＝1，BC＝＝，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正确．∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误．VA′?BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误，故选B.
14.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；
③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确命题的序号是①②③.
解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC.又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF.又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故②正确．对于③，由AF⊥平面PBC，得AF⊥BC，故③正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．
15．如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)A1B1C1?ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，且平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥侧面BB1C1C.
又∵CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
(2)如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1.
∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，平面NB1C1∩平面BB1C1C＝B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.
又∵C1N?平面C1NB，∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，
即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
PAGE
1课时作业16 平面与平面垂直的判定
——基础巩固类——
1．已知a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则( D )
A．α⊥β
B．α∥β
C．α与β相交
D．以上都有可能
解析：因为b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.
2．已知二面角α?l?β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( B )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：m，n所成的角等于二面角α?l?β的平面角．
3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( D )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
解析：?
?平面ADC⊥平面DBC.
4.如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小为( A )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC即为二面角B?PA?C的平面角．又∠BAC＝90°，所以二面角B?PA?C的平面角为90°.
5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( D )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不确定
解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．
6.如图所示，在三棱锥D?ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是( C )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.
7．如图，在正四面体P?ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面PAE与平面ABC的位置关系是垂直．
解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.
8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．
解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA?α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B?AD?C的大小为60°.
解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，其大小为60°.
10．如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.
(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；
(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．
解：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PB⊥AD.
∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，
∴AD⊥平面PAB.又∵AD?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB.
(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝a.
∴VP?ABCD＝·a2·a＝.
11．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
——能力提升类——
12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是( D )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．
∵PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确．
∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，
∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确．
设AE∩DF＝O，连接PO.
∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，
∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．
13．在二面角α?l?β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α?l?β的平面角的大小为( D )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α?l?β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.
14.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析：连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.
(1)求证：EF⊥PC；
(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P?EB?C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．
解：(1)证明：因为EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.
又因为PC?平面PFC，所以EF⊥PC.
(2)是定值．由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，如图，作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG，所以∠PGH是这个二面角的平面角，设AF＝x，则0
所以二面角P?EB?C的大小是定值．
PAGE
6课时作业15 直线与平面垂直的判定
——基础巩固类——
1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是( A )
A．①③
B．②
C．②④
D．①②④
解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．
2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥α”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件．故选C.
3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为( A )
A．AD1⊥B1E
B．AD1∥B1E
C．AD1与B1E共面
D．以上都不对
解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E?平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.
4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( B )
A．有且只有一个
B．至多一个
C．有一个或无数个
D．不存在
解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
5．在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.
∴tan∠ADE＝.∴∠ADE＝60°.
6．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的( D )
A．重心
B．内心
C．外心
D．垂心
解析：如图，由PA，PB，PC两两互相垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以点O是△ABC三条高的交点，即点O是△ABC的垂心，故选D.
7．?ABCD的对角线交点为O，点P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．
解析：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
8．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有4.
解析：??BC⊥平面PAC
?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
9．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4
cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2
cm，则PC与平面ABC所成角的大小为45°.
解析：如图，过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ABC的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知△CFO为直角三角形．
又PC＝4，PF＝2，∴CF＝2，∴CO＝2，在Rt△PCO中，cosθ＝＝，∴θ＝45°.
10.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
证明：连接AC，则AC⊥BD，又BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.
又BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC的中点．
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
解：(1)证明：直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)如图，连接C1D.由(1)可知AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．
在Rt△AC1D中，AD＝，AC1＝，
sin∠AC1D＝＝，
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
——能力提升类——
12．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( A )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则易证得B1D⊥平面ACC1A1，∴∠DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝＝＝，故选A.
13.如图，四棱锥S?ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( D )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选项A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥SD.又ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB.
选项B正确，因为AB∥CD，CD?平面SCD，AB?平面SCD，所以AB∥平面SCD.
选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．
选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是[2，＋∞)．
解析：因为PA⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.
①当0②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；
③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.
15.如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．
解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于点O，连接OE，因为AD＝CD，DB平分∠ADC，所以OA＝OC.又因为E为PC的中点，所以PA∥OE.又PA?平面BDE，OE?平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)证明：因为AD＝CD，DB平分∠ADC，所以AC⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，所以AC⊥PD，又因为BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD.
(3)由(2)知CO⊥平面PBD，所以直线BC在平面PBD内的射影为BO，所以∠OBC是直线BC与平面PBD所成的角．
因为AD＝CD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，
所以∠ODC＝∠OCD＝45°.
所以OD＝OC＝CD＝.
因为DB＝2，所以OB＝DB－OD＝.
在Rt△OBC中，tan∠OBC＝＝，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.
PAGE
6课时作业14 平面与平面平行的性质
——基础巩固类——
1．下列命题中，真命题的个数是( B )
①若平面α∥平面β，a?α，b?β，则a∥b
②若平面α∥平面β，a?α，b?β，则a与b异面
③若平面α∥平面β，a?α，b?β，则a与b一定不相交
④若平面α∥平面β，a?α，b?β，则a与b平行或异面
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由α∥β，a?α，b?β知，a与b没有公共点，所以a，b的位置关系为平行或异面，③④正确，故选B.
2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( D )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行、相交或异面
解析：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1.对于AA1＝BB1，此时AA1∥BB1；对于A1D＝A1B，此时A1D∩A1B＝A1；对于AD1＝A1B，此时AD1与A1B是异面直线．故选D.
3．已知长方体ABCD?A′B′C′D′，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
解析：由于平面AC∥平面A′C′，所以EF∥E′F′.
4．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′?AA′＝2?3，则S△A′B′C′?S△ABC＝( B )
A．2?25
B．4?25
C．2?5
D．4?5
解析：由题意知A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，且PA′?AA′＝2?3，
∴＝＝＝.
∴S△A′B′C′?S△ABC＝4?25.
5.一正方体木块如图所示，点P在平面A′B′C′D′内，经过点P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，共有N种锯法，则N为( B )
A．0
B．1
C．2
D．无数
解析：在平面A′B′C′D′上，过点P作EF∥B′C′，则EF∥BC，所以沿EF，BC所确定的平面锯开即可．由于此平面唯一确定，所以只有一种方法，故选B.
6．如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，记图中阴影平面为平面α，且平面α∥平面BC1E.若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( A )
A．1
B．1.5
C．2
D．3
解析：因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，所以四边形A1EBF是平行四边形，所以A1E＝BF＝2，所以AF＝1.
7．已知平面α∥平面β，直线a，b分别与平面α，β所成角相等，则直线a，b的位置关系是平行、相交或异面．
8．已知平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，若AB＝6，＝，则AC＝15.
解析：∵α∥β∥γ，∴＝.
由＝，得＝，∴＝.而AB＝6，
∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.
9.如图所示，ABCD?A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝a.
解析：连接A1C1，AC.∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN?平面A1B1C1D1，∴MN∥平面ABCD.又平面PMN∩平面ABCD＝PQ，∴MN∥PQ.∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC.又AP＝，ABCD?A1B1C1D1是棱长为a的正方体，∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，∴PQ＝＝＝a.
10.如图，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
11．如图所示，已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD的棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)MN∥PE.
证明：(1)如图，取DC中点Q，连接MQ，NQ.
∵NQ是△PDC的中位线，
∴NQ∥PD.
∵NQ?平面PAD，PD?平面PAD，∴NQ∥平面PAD.
∵M，Q分别是AB，DC的中点，且四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD.
∵MQ?平面PAD，AD?平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，
∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN?平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.
——能力提升类——
12．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的( C )
A．一个侧面平行
B．底面平行
C．仅一条棱平行
D．某两条相对的棱都平行
解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A，B错．如图，当平面α∥SA时，截面是四边形DEFG，又SA?平面SAB，平面SAB∩平面DEFG＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF，∴DG∥EF，同理当平面α∥BC时，GF∥DE.∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故平面α仅与一条棱平行．故选C.
13．如图所示，在三棱台ABC?A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是( C )
A．平面
B．直线
C．线段，但只含1个端点
D．圆
解析：因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1C∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)．
14.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．
解析：由面面平行的性质定理可以推出四边形ABCD的两组对边分别平行，故四边形ABCD是平行四边形．
15．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
解：(1)证明：因为在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AD綊
B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.又因为AO1?平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.同理可证CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
PAGE
6课时作业13 直线与平面平行的性质
——基础巩固类——
1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( D )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：a不平行于α，则a与α相交或a在α内，故A，B，C不正确，故选D.
2．下列说法正确的是( D )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点
解析：A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义可知D正确．
3．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线( C )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
解析：根据线面平行的性质定理可知C正确．
4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a?β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( C )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
解析：条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.
5．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( D )
A．都平行
B．都相交
C．在两个平面内
D．至少和其中一个平行
解析：它可以在一个平面内与另一个平面平行，也可以和两个平面都平行．
6．如图所示，长方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG和AB的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
解析：因为E、F是AA1、BB1的中点，所以EF∥AB，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.又EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝HG，所以EF∥HG，所以HG∥AB，故选A.
7．已知α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，且l∥m，则直线l，m，n的位置关系为相互平行．
解析：如图所示，因为l∥m，m?γ，l?γ，所以l∥γ.又l?α，α∩γ＝n，所以l∥n，又因为l∥m，所以m∥n，即直线l，m，n相互平行．
8．如图，三棱柱ABC?A′B′C′中，D是BC上一点，且满足A′B∥平面AC′D，则D是BC的中点．
解析：如图所示，连接A′C，交AC′于O，连接OD.由A′B∥平面AC′D，则A′B∥DO.又O为AC′中点，则OD为△A′BC的中位线，∴D是BC中点．
9．已知直线m，n及平面α，β，有下列关系：
①m，n?β；②n?α；③m∥α；④m∥n.
现把其中的一些关系看做条件，另一些看做结论，可以组成的正确推论是①②③?④(或①②④?③)．(只写出一种情况即可)
10.如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF.故四边形BCFE是梯形．
11．如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
求证：(1)l∥BC；
(2)MN∥平面PAD.
证明：(1)∵BC∥AD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD＝l，∴BC∥l.
(2)如图，取PD的中点E，连接AE，NE，
则NE∥CD，且NE＝CD，
又AM∥CD，且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM.
∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.
又∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
——能力提升类——
12．如图，四棱锥S?ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( C )
A．2＋
B．3＋
C．3＋2
D．2＋2
解析：因为CD∥AB，AB?平面SAB，CD?平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD?平面CDEF，平面SAB∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF，所以四边形CDEF为等腰梯形，且CD＝2，EF＝1，DE＝CF＝，所以四边形CDEF的周长为3＋2，选C.
13．如图，已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面A1ADD1的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为.
解析：当Q是平面A1B1C1D1的中心时，PQ∥C1D∥AB1，满足条件PQ∥平面AA1B1B.此时PQ＝C1D＝.
14．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，则的值为.
解析：连接BC1交B1D于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因为A1B∥平面B1DE，EF?平面B1DE，所以A1B∥EF，所以＝.因为BC∥B1C1，所以△BDF∽△C1B1F，所以＝.因为D是BC的中点，所以＝，所以＝.
15.如图所示，四边形EFGH为空间四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解：(1)证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG.因为HG?平面ABD，EF?平面ABD，
所以EF∥平面ABD.
因为EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
所以EF∥AB，所以AB∥平面EFGH.
同理，可证CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0所以四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又0PAGE
1课时作业12 平面与平面平行的判定
——基础巩固类——
1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不可能
解析：易知两平面可能平行或相交．
2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( B )
A．1个或2个
B．0个或1个
C．1个
D．0个
解析：若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B.
3．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是( D )
A．α，β都平行于直线l
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α
解析：对选项D：∵l∥β，m∥β，∴在β内有两条直线l′，m′满足l′∥l，m′∥m，又l∥α，m∥α，∴l′∥α，m′∥α，又l与m异面，所以l′与m′相交，所以α∥β.
4．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：
①m?α，n?α且直线m与n相交，a?β，b?β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.
5.如图，在正方体EFGH?E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( A )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1，故选A.
6．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( C )
A．平面ABB1A1
B．平面BCC1B1
C．平面BCFE
D．平面DCC1D1
解析：如图，分别取AB，DC的中点E1和F1，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1，易知平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
7．六棱柱的面中，互相平行的面最多有4对．
解析：当底面六边形是正六边形时，侧面中有3对互相平行，加上下底面平行，故最多可以有4对互相平行的平面．
8．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为平行或相交．
解析：如图，AB∥CD∥EF且AB＝CD＝EF，则α∥β或α∩β＝l.
9．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
其中，正确命题的序号是①②③④.
解析：展开图可以折成如图(1)所示的正方体．
在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN.因为AN?平面DE，BM?平面DE，所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图(3)所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．
10.如图，已知P是?ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．
求证：平面PAC∥平面EFG.
证明：因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA.又EF?平面PAC，PA?平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理得EG∥平面PAC.
又EF?平面EFG，EG?平面EFG，EF∩EG＝E，所以平面PAC∥平面EFG.
11．如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED.
∵A1B∥平面AC1D，ED?平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点．
又∵ED?平面A1BC，A1B?平面A1BC，∴ED∥A1B.
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，∴BD∥C1D1，且BD＝C1D1，
∴四边形C1D1BD为平行四边形，
∴C1D∥BD1，∴BD1∥平面AC1D.
又A1B∩BD1＝B，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
——能力提升类——
12．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( B )
解析：B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF.故选B.
13.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③直线EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是①②③④.
解析：把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理可知①②③④正确．
14．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则截面的面积为2.
解析：分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.∵A1N∥PC1∥MC，且A1N＝PC1＝MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1.
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，
∴△A1MN为等腰三角形．∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2.
15．如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．
解：当F为AB的中点时，平面C1CF∥ADD1A1.理由如下：
∵在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF
綊C1D1，∴四边形AFCD是平行四边形，且四边形AFC1D1是平行四边形，∴CF∥AD，C1F∥AD1.又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
PAGE
6课时作业11 直线与平面平行的判定
——基础巩固类——
1．b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α的是( D )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
解析：b是平面α外的一条直线，要使b∥α，则b与平面α无公共点，即b与α内的所有直线不相交．
2．下列命题(其中a、b表示直线，α表示平面)中，正确的个数是( A )
①若a∥b，b∥α，则a∥α；
②若a∥b，a?α，则a∥α；
③若a∥α，b?α，则a∥b.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①中a可能在α内；②中无b?α的条件，推不出a∥α；③中a与b还可能异面．故选A．
3．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是( C )
A．MN∥β
B．MN与β相交或MN?β
C．MN∥β或MN?β
D．MN∥β或MN与β相交或MN?β
解析：MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，因为平面β过直线BC，若平面β过直线MN，则MN?β.若平面β不过直线MN，由线面平行的判定定理可知MN∥β，故选C．
4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m?α，则必有( D )
A．l∥α
B．l?α
C．m∥β且m∥γ
D．m∥β或m∥γ
解析：若α∩β＝m，则m?γ，此时m∥γ，反之则m∥β；若α∩γ＝m，则m?β，此时m∥β，反之则m∥γ.故选D．
5．如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是( C )
A．OQ∥平面PCD
B．PC∥平面BDQ
C．AQ∥平面PCD
D．CD∥平面PAB
解析：因为O为?ABCD对角线的交点，所以AO＝OC，又Q为PA的中点，所以QO∥PC．由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面PAB，故D正确，选C．
6．点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：如图所示，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
7.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是CD∥α或CD?α，原因是CD∥AB．
解析：无论如何，都有CD∥AB．
8．如下图(1)所示，已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是平行．
解析：由图(1)可知BF∥ED，由图(2)可知，BF?平面AED，ED?平面AED，故BF∥平面AED．
9．过三棱柱ABC?A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．
解析：过三棱柱ABC?A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．
10．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD．
证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG、GD．∵M、G分别是A′B、A′C的中点，
∴MG綊BC，同理DE綊BC，
∴MG綊DE，即四边形DEMG是平行四边形，∴ME∥DG.又∵ME?平面A′CD，DG?平面A′CD，
∴ME∥平面A′CD．
11．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．证明：EF∥平面A1CD．
证明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1，又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．
——能力提升类——
12．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( B )
A．①③ B．①④
C．②③
D．②④
解析：对图①，可通过证明PN中点与M的连线平行于AB得到AB∥平面MNP，对图④，可通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B．
13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数有( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是中位线，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．
14．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有平面PAD、平面PCD．
解析：在△DPB中，∵O为BD的中点，E为PB的中点，∴EO∥PD，又EO在平面PAD、平面PCD外，PD在平面PAD、平面PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．
15．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解：
存在．证明如下：如图，取C1D1的中点F，连接B1A交A1B于点M，连接ME，EF，B1F，C1D．
因为E是棱DD1的中点，F为棱C1D1的中点，所以EF綊C1D．
因为C1D綊B1A，M是B1A的中点，所以EF綊B1M，所以四边形EFB1M为平行四边形．所以B1F綊EM.
因为B1F?平面A1BE，EM?平面A1BE，
所以B1F∥平面A1BE.
PAGE
1课时作业10 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
——基础巩固类——
1．正方体的6个面中，一共有几组平面互相平行( C )
A．1组
B．2组
C．3组
D．1组或3组
解析：正方体的6个面中，对面互相平行，所以共有3组，故选C．
2．直线l与平面α有公共点，则有( D )
A．l∥α
B．l?α
C．l与α相交
D．l?α或l与α相交
3．下列命题中的真命题是( A )
A．若点A∈α，点B?α，则直线AB与平面α相交
B．若a?α，b?α，则a与b必异面
C．若点A?α，点B?α，则直线AB∥平面α
D．若a∥α，b?α，则a∥b
4．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是( D )
A．b?平面α
B．b与平面α相交
C．b∥平面α
D．b与平面α相交或b∥平面α
解析：根据空间中直线与平面的位置关系可得b可能与平面α相交，也可能b与平面α平行，故选D．
5．平面α∥平面β，直线a?α，下列四个命题中，正确命题的个数是( B )
①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：借助于长方体模型，可以举出反例说明①③是错误的；利用面面平行的定义进行判断，则有②④是正确的．
6．以下说法正确的是( D )
A．若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交
B．直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b一定相交
C．若直线a和b都和平面α平行，则a和b也平行
D．若直线c平行于直线a，直线b⊥a，则b⊥c
解析：若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交，或a?α，故A错误；直线a和b是异面直线，若直线c∥a，则c与b相交或异面，故B错误；若直线a和b都和平面α平行，则a和b可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误；若直线c平行直线a，直线b⊥a，则b⊥c，故D正确，故选D．
7．若一个平面内的一条直线与另一个平面相交，则这两个平面的位置关系是相交．
8．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是b与α平行或相交或b在α内．
解析：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b?α(其中E，F为棱的中点)．
9．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有7个．
解析：A，B，C，D四个顶点在平面α的异侧，如果一边3个，另一边1个，适合题意的平面有4个；如果每边2个，适合题意的平面有3个，共7个．
10．已知四棱台ABCD?A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是梯形，A1D1∥B1C1，如图所示．
(1)直线A1B1与四棱台的各面有什么位置关系？
(2)平面ABCD与四棱台的其他面有什么位置关系？
解：(1)直线A1B1与平面ABCD平行；直线A1B1与平面BCC1B1、平面ADD1A1、平面CDD1C1均相交；直线A1B1在平面A1B1C1D1、平面AA1B1B内．
(2)平面ABCD与平面A1B1C1D1平行；平面ABCD与平面AA1D1D、平面DD1C1C、平面CC1B1B、平面BB1A1A均相交．
11．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．
证明：如图，已知A∈α，A∈a，B?α，B∈a，求证：直线a与平面α相交．
证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a?α.
若a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾，
若a?α，就与B∈a，B?α矛盾．
所以假设不成立，所以直线a和平面α相交．
——能力提升类——
12．下列四个结论：
①两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．
②两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行．
③两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数为( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：当两条直线都和同一平面平行时，这两条直线也可能相交或异面，即①不正确；两条直线没有公共点时也可能异面，即②不正确；③中的两条直线也可能相交或异面；④中的直线也可能与平面相交或在平面内．因此③④不正确．故选A．
13．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( D )
A．异面
B．相交
C．平行
D．垂直
解析：若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D．
14．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是①(填序号)．
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线．
解析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．
15．给出三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
解：(1)c∥α.理由如下，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.理由如下，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b没有公共点．
因为a，b都在平面γ内，所以a∥b.
又c∥b，所以c∥a.
PAGE
4课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系
——基础巩固类——
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( C )
A．一定平行
B．一定异面
C．相交或异面
D．一定相交
解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．
2．两等角的一组对应边平行，则( D )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．
3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( C )
A．2对
B．3对
C．6对
D．12对
解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．
4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( D )
A．异面
B．平行
C．相交
D．相交、平行、异面均可能
解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．
5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有( D )
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
解析：①中GH∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，故GH，MN必相交，所以①③中GH，MN共面，故选D．
6．在四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：
如图，取BD的中点G，连接EG，GF，则∠EFG即为异面直线EF与BC所成的角．因为EG＝AD，GF＝BC，且AD＝BC，所以EG＝GF.因为AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，所以EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，所以∠EFG＝45°.
7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°.
解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°.
8．如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．
(1)直线AB1和CC1所成的角为45°；
(2)直线AB1和EF所成的角为60°.
解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.
(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，
所以∠AB1C＝60°.
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
其中正确结论的序号是①③.
解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．
求证：(1)GB∥D1F；
(2)∠BGC＝∠FD1E.
证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，
BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.
(2)因为∠BGC与∠FD1E两边的方向都相同，所以∠BGC＝∠FD1E.
11.如图，在三棱锥A?BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，AO⊥OC，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：如图，取AC的中点M，连接OM，ME，OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
EM＝AB＝，OE＝DC＝1，
因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，
所以OM＝AC＝1，
取EM的中点H，连接OH，则OH⊥EM，
在Rt△OEH中，所以cos∠OEM＝＝＝.
——能力提升类——
12．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( A )
A．1B．2C．1≤MN≤5
D．2解析：取AD的中点H，连接MH，NH，则MH綊BD，NH綊AC，且M，N，H三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH－NH|13．在正方体ABCD?A1B1C1D1上有一只蚂蚁从A点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2
018条棱之后的位置可能在( D )
A．点A1处
B．点A处
C．点D处
D．点B1处
解析：
由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2
018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2
018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．
14．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.
解析：
如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，
∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.
15．在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．
解：如图，连接CD1，AC．
由题意得在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝2，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
∵在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC．
∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝2×sin60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，∴AA1＝＝.
PAGE
6