第二章检测试题
时间：90分钟 分值：120分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列推理不正确的是( )
A．A∈b，A∈β，B∈b，B∈β?b?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝直线MN
C．直线m不在α内，A∈m?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
2．下列说法中正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
3．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
6．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
7．如图，ABCD?A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则异面直线AB与A1C1所成的角、AA1与B1C所成的角分别为( )
A．30°，30°
B．30°，45°
C．45°，45°
D．60°，45°
8．在三棱锥P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
9．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．当A1M＋MC取得最小值时，B1M的长为( )
A.
B.
C．2
D．2
10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于( )
A．8
B．9
C．10
D．11
11．正方体ABCD?A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
12．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是（
）．
14．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于（
）.
如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．则异面直线SA与PD所成角的正切值为（
）
16．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A?D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P?AD1?C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点运动的路线是过D1点的直线．
其中正确结论的编号是（
）(写出所有真命题的编号)．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)
17．(10分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形．
18．(10分)如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
19．(10分)如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E?BCD的体积．
20．(10分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
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11第二章检测试题
时间：90分钟 分值：120分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．下列推理不正确的是( C )
A．A∈b，A∈β，B∈b，B∈β?b?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝直线MN
C．直线m不在α内，A∈m?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
解析：由空间中点线面的位置关系知选C.
2．下列说法中正确的是( D )
A．经过三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定4个平面
解析：考查确定平面的公理二及其推论，易知选D.
3．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( C )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
解析：D∈l，l?β，∴D∈β，又C∈β，
∴CD?β；同理，CD?平面ABC，
∴平面ABC∩平面β＝CD.
4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( D )
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
解析：A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中α、β可以平行或相交．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( C )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.
6．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( C )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．
7．如图，ABCD?A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则异面直线AB与A1C1所成的角、AA1与B1C所成的角分别为( B )
A．30°，30°
B．30°，45°
C．45°，45°
D．60°，45°
解析：∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，又BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a，∴B1C1＝BC＝a，则BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.
8．在三棱锥P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( B )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
9．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．当A1M＋MC取得最小值时，B1M的长为( A )
A.
B.
C．2
D．2
解析：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，连接A1C′，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1的中点．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，B1A1⊥平面A1D1DA，则B1A1⊥A1M，又A1M＝，故B1M＝＝＝.故选A.
10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n等于( A )
A．8
B．9
C．10
D．11
解析：取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
11．正方体ABCD?A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( D )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
解析：
因为AH⊥平面A1BD，BD?平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A，所以BD⊥平面AA1H.又A1H?平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．
12．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：
如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC?A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.
又AO＝×＝1，
∴tan∠PAO＝＝，∴∠PAO＝.
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是菱形．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC.∴AC⊥BD.
14．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于90°.
解析：∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN?平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，
∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1，又MC1?平面MB1C1，
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.
15．如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．则异面直线SA与PD所成角的正切值为.
解析：如图，连接PO，则PO∥SA，PO＝＝，∴∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角，且△OPD为直角三角形，∠POD为直角，∴tan∠OPD＝＝＝.
16．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A?D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P?AD1?C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点运动的路线是过D1点的直线．
其中正确结论的编号是①③④(写出所有真命题的编号)．
解析：因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VA?D1PC＝VP?ACD1为定值，①正确；因为P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度在变化，所以AP与平面ACD1所成角的大小是变量，②错误；平面PAD1即平面ABC1D1，又平面ABC1D1与平面ACD1所成二面角的大小不变，故③正确；M点运动的路线为A1D1，④正确．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)
17．(10分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形．
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.
又DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形．
又PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．
18．(10分)如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.
因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.
因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
19．(10分)如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E?BCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.
又因为BD?平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，
所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
所以三棱锥E?BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
20．(10分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.
又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，
又AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(3)如图，取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，
由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.
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