课时作业24 空间直角坐标系的建立与点的坐标
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是( D )
A．(4,8,2)
B．(4,2,8)
C．(4,2,1)
D．(2,4,1)
解析：由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．
2．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．
其中正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：②③④正确．
3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( A )
A．(－3,4,5)
B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5)
D．(－3,4，－5)
解析：∵关于yOz平面对称，∴纵坐标和竖坐标不变，横坐标变为相反数，即(－3,4,5)．
4．已知点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB的中点坐标是( B )
A．(1,9，－4)
B．(，，－2)
C．(5,1，－10)
D．(－5，－1,10)
解析：由中点坐标公式可得AB的中点坐标是(，，)，即(，，－2)．
5．在空间直角坐标系中，已知点M(－1,2,3)，过该点作x轴的垂线，垂足为H，则点H的坐标为( C )
A．(－1,2,0)
B．(－1,0,3)
C．(－1,0,0)
D．(0,2,3)
解析：因为垂足H在x轴上，故点H与点M的x坐标相同，其余两个坐标均为0，故选C.
6．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为( D )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
解析：两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，而纵坐标和竖坐标均相差一个符号，也就是这两个点的纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.应选D.
7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，E是CC1中点，以A为原点建立空间直角坐标系，如图，则点E的坐标为( B )
A．(1,1,2)
B．(2,2,2)
C．(0,2,2)
D．(2,0,2)
解析：点C的坐标是(2,2,0)，点C1的坐标是(2,2,4)，又E是CC1的中点，∴点E的坐标为(2,2,2)．故选B.
8．如图，正方体OABC－O1A1B1C1的棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( D )
A．(2,2,1)
B.
C.
D.
解析：由于EB⊥平面xOy，而B(2,2,0)，故设E(2,2，z)，
又因|EB|＝2|EB1|，所以|BE|＝|BB1|＝＝z，
故E.
二、填空题
9．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为(0,2,1)．
解析：由题意C(0,2,0)，C1(0,2,2)，∴N(0,2,1)．
10．点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是(2,0,0)，(0,3,0)，(0,0,4)．
解析：P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0)，在y轴上的射影为(0,3,0)，在z轴上的射影为(0,0,4)．
11．有一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个平面都平行于坐标平面，给出以下各点：A(1,0,1)，B(－1,0,1)，C(，，)，D(，，)，E(，－，0)，F(1，，)，则位于正方体之外的点是A、B、F.
解析：由题意知，位于正方体内的点的三坐标的绝对值均小于或等于.
三、解答题
12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|?|AD|?|AA1|＝1?2?4.试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F点的坐标．
解：以A为坐标原点，分别以射线AB，AD，AA1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝1，|CE|＝|AB|＝，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝|AD|－|CE|＝2－＝，所以点E的坐标为(1，，0)，点F的坐标为(1,2,1)．
13．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．
解：∵点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3)，点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，∴线段AA3的中点M的坐标为(－4,0,0)．
——能力提升类——
14．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是(1,1，－1)．
解析：因为O点是线段AC1的中点，又A(0,0,0)，C1(2,2，－2)，故O点坐标是(1,1，－1)．
15．已知正四棱锥P－ABCD底面边长为2，侧棱长为4，试建立适当的空间直角坐标系，写出各个顶点的坐标．
解：以正四棱锥的底面中心为原点，垂直于AB、BC所在边的直线为x轴、y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．连接OC，∵PC＝4，AB＝2，∴PO＝＝，由图可知，正四棱锥各个顶点的坐标分别是P(0,0，)，A(1，－1，0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)．
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2课时作业25 空间两点间的距离公式
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．点M(3,4,1)到点N(0,0,1)的距离是( A )
A．5
B．0
C．3
D．1
解析：由空间两点间的距离公式，得
|MN|＝＝5.
2．在空间直角坐标系中，点A(3,2，－5)到x轴的距离d等于( B )
A.
B.
C.
D.
解析：过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3,0,0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝.
3．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，BP＝BD′，则P点坐标为( D )
A．(，，)
B．(，，)
C．(
，，)
D．(，，)
解析：连接BD′，点P在坐标平面xDy上的射影在BD上，
∵BP＝BD′，所以Px＝Py＝，Pz＝，∴P(，，)．
4．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：|AB|＝
＝＝≥＝.
5．在x轴上与点(3,2,1)的距离为3的点是( D )
A．(－1,0,0)
B．(5,0,0)
C．(1,0,0)
D．(5,0,0)和(1,0,0)
解析：设所求点的坐标为(x,0,0)，则＝3，∴x＝1或5，∴在x轴上与点(3,2,1)的距离为3的点是(5,0,0)和(1,0,0)．
6．点A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1，点A关于xOz平面的对称点为A2，则d(A1，A2)＝( A )
A．2
B.
C．6
D．4
解析：A(1,2,3)关于xOy平面的对称点为A1(1,2，－3)，点A关于xOz平面的对称点为A2(1，－2,3)，
∴d(A1，A2)＝
＝＝2.
7．已知三角形ABC的顶点A(2,2,0)，B(0,2,0)，C(0,1,4)，则三角形ABC是( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：利用两点间的距离公式计算得|AB|＝2，|AC|＝，|BC|＝，|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，故三角形ABC为直角三角形．
8．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C，则它在yOz平面上射影的面积是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，
∵|A′B′|＝＝1，
|B′C′|＝＝2，
|A′C′|＝＝，
∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2.∴△ABC在yOz平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1.
二、填空题
9．已知空间两点A(1,2，z)，B(2，－1,1)之间的距离为，则z＝0或2.
解析：因为空间两点A(1,2，z)，B(2，－1,1)之间的距离为，即＝，则(z－1)2＝1，得z＝0或2.
10．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是(0，－1,0)．
解析：本题考查空间两点间距离公式．
由题意可设M(0，y,0)，又|MA|＝|MB|，
∴
＝，
解得y＝－1.故M的坐标为(0，－1,0)．
11．若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x，y，z满足的关系式是(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.
解析：由|PA|＝5得＝5，
∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.
三、解答题
12．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，∴N.
又M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝
＝.
13．已知空间直角坐标系O?xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A，且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点．
(1)求点P的坐标满足的条件；
(2)求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．
提示：由A(1,1,1)的坐标及确定点的方法联想到正方体，取三条共顶点的棱为轴建系后．A是一个顶点的坐标．这样用正方体作衬托可描出点A.
解：(1)以OA为一条对角线画出正方体OC1A1B1?DCAB，则A点位置如图所示．因为平面α过A且与OA垂直，P(x，y，z)是平面α内任意一点，连接AP、OP，则△OAP为直角三角形，
∴|OA|2＋|AP|2＝|OP|2，
即3＋[(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2]＝x2＋y2＋z2，
∴x＋y＋z＝3，这就是平面α内任一点P(x，y，z)所满足的条件．
(2)∵平面α内任一点P(x，y，z)满足x＋y＋z＝3，∴平面α与x轴、y轴、z轴的交点M、N、Q也满足x＋y＋z＝3，
∴M(3,0,0)，N(0,3,0)，Q(0,0,3)，显然O?MNQ是一个三棱锥．
由三棱锥体积计算公式有：
VO－MNQ＝VQ－OMN＝×·|OQ|＝×(×3×3)×3＝.
——能力提升类——
14．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2,3，)，则|PA|的最小值是( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O，P，A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝
－1＝4－1＝3.
15．正方形ABCD和ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0
(1)求MN的长；
(2)求a为何值时，MN的长最小．
解：
(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，而平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABC.
∴AB、BC、BE两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则M(a,0,1－a)，N(a，a，0)．
|MN|＝
＝＝.
(2)由(1)知，当a＝时，|MN|最短为，
此时，M、N恰为AC、BF的中点．
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6课时作业23 圆与圆的位置关系
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．已知圆C1与C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为( A )
A．6或14
B．10
C．14
D．不确定
解析：由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，解得r＝6或r＝14.
2．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：两圆的圆心距d＝＝，半径分别为r1＝1，r2＝4，则d>r1＋r2，所以两圆相离，因此它们有4条公切线．
3．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( B )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2＋6x－8y＝0或x2＋y2＋6x＋8y＝0
解析：由题意知所求圆与已知圆只能外切，∴选项中只有B项适合题意．
4．两圆x2＋y2－2y－3＝0与x2＋y2＋2x＝0的公共弦所在的直线方程为( C )
A．2x－2y－3＝0
B．2x－2y＋3＝0
C．2x＋2y＋3＝0
D．2x＋2y－3＝0
解析：两圆方程相减得2x＋2y＋3＝0.即为两圆的公共弦所在的直线方程．
5．若两圆(x＋1)2＋y2＝4和(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是( B )
A．0B．－4C．－4D．－2解析：两圆圆心C1(－1,0)和C2(a,0)，半径r1＝2，r2＝1，
∵两圆相交，∴1<|C1C2|<3，∴1<|a＋1|<3.
∴06．⊙A，⊙B，⊙C两两外切，半径分别为2,3,10，则△ABC的形状是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：△ABC的三边长分别为5,12,13,52＋122＝132，所以△ABC为直角三角形．
7．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( C )
A．5
B．0
C．3－5
D．5－3
解析：若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为|C1C2|－r1－r2.
(x－4)2＋(y－2)2＝9的圆心为C1(4,2)，半径r1＝3.
(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2.又|C1C2|＝3，显然两圆相离，所以|PQ|的最小值为3－5.
8．两圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)只有一条公切线，则a＋b的最小值为( C )
A．1
B.
C．－
D．－2
解析：由题意可得，两圆内切，两圆的标准方程分别为
(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－b)2＝1，
圆心分别为(－a,0)，(0，b)，半径分别为2和1，
∴|C1C2|＝＝1，∴a2＋b2＝1，
由2≤，得(a＋b)2≤2，∴－≤a＋b≤.
当且仅当“a＝b”时取“＝”．
∴a＋b的最小值为－.故选C.
二、填空题
9．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.
解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3，0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.
10．圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与圆x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是.
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为＝3>2，故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3－－＝.
11．已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，则两圆的公共弦长为.
解析：两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程联立所组成的方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的交点所在的直线的方程，利用勾股定理可求出两圆的公共弦长．
设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，
由①－②，得x＋y－3＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x＋y－3＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C2的圆心坐标为C2(1,1)，半径r＝，
又C2到直线AB的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝.即两圆的公共弦长为.
三、解答题
12．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离、内含？
解：将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k<50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|<5<1＋，
即14当1＋<5，即34当|－1|>5，即k<14时，两圆内含．
13．求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点的所有圆中，具有最小面积的圆的方程．
提示：过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两点的连线为直径的圆，因此，只需求出交点，便可确定所求圆的圆心和半径．
解：解法一：解方程组
得两交点的坐标为A(－2,2＋)，B(－2,2－)．
从而圆心C的坐标为(－2,2)．
半径r＝·|AB|＝|2＋－(2－)|＝.
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法二：直线x＝－2与圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0的交点A，B的横坐标都为－2，从而圆心C的横坐标为－2，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，把直线方程代入圆方程，整理得y2－4y－11＝0.
则y1＋y2＝4，y1y2＝－11.∴圆心的纵坐标为＝2.
半径r＝|y2－y1|＝·
＝＝.
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法三：∵直线x＋2＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0相交，故可设过交点的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－11＋λ(x＋2)＝0，即x2＋(λ＋2)x＋y2－4y＋2λ－11＝0.
∴半径r＝
＝.
要使圆面积最小，只需半径r最小．
当λ＝2时，r最小值为，
因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
——能力提升类——
14．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( B )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
解析：利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，将(－1，－1)代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.
15．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝x＋b在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b的取值范围．
解：
直线方程是x－2y＋2b＝0，
当直线与⊙C1相切时，＝2，解得b＝±3，
当直线与⊙C2相切时，＝2，解得b＝5或b＝11，
结合图形(如图)知3PAGE
1课时作业18 两条直线的交点
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是( D )
A．2ax－ay＋6＝0(a≠0)
B．y＝2x
C．2x－y＋5＝0
D．2x＋y－3＝0
解析：直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．
2．若(－1，－2)为直线ax＋3y＋8＝0与x－by＝0的交点，则a，b的值分别为( A )
A．2，
B.，2
C．－2，－
D．－2，
解析：∵(－1，－2)为两条直线的交点，
∴得
3．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为( C )
A．6
B．－24
C．±6
D．以上都不对
解析：分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.
4．直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是( A )
A．－1B．a>－1
C．a<2
D．a<－1或a>2
解析：由得
所以交点为(，)．
由于交点在第一象限，故解得－15．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线的方程为( D )
A．19x－9y＝0
B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0
D．3x＋19y＝0
解析：解方程组，得，
∴k＝－，又过原点，∴方程为3x＋19y＝0.
6．直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点( C )
A．(1，－3)
B．(4,3)
C．(3,1)
D．(2,3)
解析：直线方程整理得(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，令，解得，则直线过定点(3,1)，故选C.
7．若三条直线2x＋3y＋8＝0、x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝( B )
A．－2
B．－
C．2
D.
解析：由得
依题意知点(－1，－2)在直线x＋ky＝0上，
因此－1－2k＝0，解得k＝－.故选B.
8．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( C )
A．2个
B．3个
C．4个
D．6个
解析：三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－.故实数m的取值最多有4个，故选C.
二、填空题
9．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为－1.
解析：由得
∴直线ax＋2y＋8＝0过点(4，－2)，∴4a＋(－4)＋8＝0，∴a＝－1.
10．经过两条直线2x－y＋3＝0和4x＋3y＋1＝0的交点，且垂直于直线2x－3y＋4＝0的直线方程为3x＋2y＋1＝0.
解析：联立，得，∴两条直线2x－y＋3＝0和4x＋3y＋1＝0的交点为(－1,1)，设垂直于直线2x－3y＋4＝0的直线方程为3x＋2y＋c＝0，把(－1,1)代入，得－3＋2＋c＝0，解得c＝1，∴所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.
11．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是－解析：由
可解得交点的坐标(，)，
因为交点在第二象限，所以<0且>0，
解之得－三、解答题
12．求过两条直线x－y＋5＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
解：解方程组，得，
即已知的两条直线的交点坐标为(－，)．
设所求直线方程为－2x－3y＋C＝0，
将点(－，)代入方程得，C＝，
故所求直线方程为－2x－3y＋＝0，即14x＋21y－15＝0.
13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，∴A的坐标为(4,3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组，解得
∴反射光线与直线l的交点坐标为(，3)．
——能力提升类——
14．无论a为何实数值，直线(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0必过定点(3,4)．
解析：原方程可化为x－2y＋5＋a(2x＋3y－18)＝0，它表示过直线x－2y＋5＝0与直线2x＋3y－18＝0交点的直线系方程(不包括直线2x＋3y－18＝0)，无论a取何值它都过两直线的交点，由解得所以直线必过定点(3,4)．
15．已知三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax－2y＋3＝0，l3：x－(a＋1)y－5＝0.
(1)若这三条直线交于同一点，求实数a的值；
(2)若这三条直线相交，且能围成一个三角形，求实数a的取值范围．
解：(1)由l1，l2的方程组成的方程组
解得所以l1与l2的交点是P.
又因为三条直线交于同一点，所以点P的坐标满足l3的方程．即－(a＋1)·－5＝0，
解得a＝－7或a＝－2(舍去)．
故a＝－7.
(2)要使l1，l2，l3能围成三角形，应使l1，l2，l3两两相交．
①若l1，l2，l3交于同一点，由(1)知a＝－7；
②若l1∥l2，此时应满足1×(－2)＝1×a，得a＝－2；
③若l1∥l3，此时应满足1×(－a－1)＝1×1，得a＝－2；
④若l2∥l3，此时应满足－a(a＋1)＝－2×1，得a＝－2或a＝1.
综上，当a＝－7时，三条直线交于同一点；当a＝－2时，三条直线两两平行；当a＝1时，l2与l3平行，都与l1相交．因此要使三条直线能围成三角形，需a≠－7，且a≠－2，且a≠1.
即a的取值范围是(－∞，－7)∪(－7，－2)∪(－2,1)∪(1，＋∞)．
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5课时作业17 两条直线的位置关系
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列命题：
①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；
②若两直线平行，则它们的斜率相等；
③若两直线的斜率之和为－1，则它们垂直；
④若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为( B )
A．①②③④
B．①③
C．②④
D．以上全错
解析：当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且两直线不重合时，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，故④错．
2．若直线l1：2x－ay－1＝0过点(1,1)，则直线l1与l2：x＋2y＝0( C )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．相交于点(2，－1)
解析：由题意，得2×1－a－1＝0，解得a＝1.l1：2x－y－1＝0，斜率k1＝2，l2的斜率k2＝－，k1k2＝－1，所以两条直线垂直，故选C.
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A )
A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
解析：所求直线与直线x－2y－2＝0平行，故所求直线的斜率k＝.又该直线过点(1,0)，利用点斜式得所求直线的方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( A )
A．3x＋2y－1＝0
B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0
D．2x－3y＋8＝0
解析：本题考查直线方程的点斜式，以及两条直线的垂直关系．
∵直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，∴直线l的斜率k＝－，
又∵直线l过点(－1,2)，∴其方程为y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0.
5．已知A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：根据判定两直线平行或垂直的方法进行判定．
∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴AB方程为y－2＝－(x＋4)，即3x＋5y＋2＝0.
∴C(12,6)不在AB上．∴AB∥CD.
又∵kAD＝＝，∴kAB·kAD＝－1.∴AB⊥AD.
∵kAC＝＝，kBD＝＝－4，∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.∴四个结论中①、②、④正确．故选C.
6．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A )
A．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0
解析：由平面几何知识知，所求直线与OA垂直，故其斜率为－，由点斜式方程得所求直线为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
7．两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直等价于( A )
A．A1A2＋B1B2＝0
B．A1A2－B1B2＝0
C.＝－1
D.＝1
解析：当两条直线斜率都存在且不为0时，有
(－)·(－)＝－1，即A1A2＋B1B2＝0.
当一个斜率为0，一个斜率不存在时，上式仍旧成立．
8．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( A )
A．－10
B．－2
C．0
D．8
解析：由题意可得，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，∴＝－2，求得m＝－8.
由于直线l3的斜率为－，l2⊥l3，
∴－2×(－)＝－1，求得n＝－2，
∴m＋n＝－10，故选A.
二、填空题
9．若经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则x＝0.
解析：设直线l1的斜率为k，则k＝.
∵l1∥l2，且l2的斜率为1，∴k＝1＝，∴x＝0.
10．已知A(2,5)，B(－1,3)，C(－2,7)，则△ABC中BC边上的高所在直线的方程为x－4y＋18＝0.
解析：∵kBC＝＝－4，∴k高＝－＝.∴BC边上高所在直线的方程为y－5＝(x－2)，即x－4y＋18＝0.
11．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，点D使直线CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标是(0,1)．
解析：设D(x，y)，则kCD＝，kAB＝＝3，
kCB＝＝－2，kAD＝＝.
因为CD⊥AB，所以kCD·kAB＝－1，即×3＝－1，
即x＋3y－3＝0.①
又因为CB∥AD，所以kCB＝kAD，即－2＝，
即2x＋y－1＝0.②
由①②，得x＝0，y＝1.∴D(0,1)．
三、解答题
12．判断下列各对直线的位置关系(平行或垂直)，并说明理由．
(1)l1：y＝3x－1，l2：y＝3x＋4；
(2)l1：y＝x，l2：y＝2x－1；
(3)l1：x＝2，l2：y＝0；
(4)l1：y＝x－1，l2：y＝－3x＋2；
(5)l1：3x－2y＋6＝0，l2：2x＋3y－1＝0.
解：利用两条直线位置关系的条件去判定．
(1)设两直线的斜率分别为k1，k2.在y轴上的截距分别为b1，b2，则k1＝3，b1＝－1，k2＝3，b2＝4，因为k1＝k2且b1≠b2，所以l1∥l2.
(2)设两直线的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2，则k1＝1，b1＝0，k2＝2，b2＝－1，因为k1≠k2，所以l1与l2不平行．
(3)由方程可知，l1⊥x轴，l2就是x轴，从而l1⊥l2.
(4)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝，k2＝－3，
有k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
(5)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝，k2＝－，
有k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
另外还可以这样做，∵3×2＋(－2)×3＝0，∴l1⊥l2.
13．已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A、B、C、D四点，试判断四边形ABCD的形状．
解：由题意，知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式，得
kAB＝＝，kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．
——能力提升类——
14．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( D )
A．过点P且与l垂直的直线
B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线
D．不过点P且与l平行的直线
解析：∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，故选D.
15．(1)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0，分别令x＝0，
解得y＝－，令y＝0，解得x＝－，
∵l与两坐标轴围成的三角形面积为24，
∴|(－)×(－)|＝24，解得m＝±24，
∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0.
(2)解法一：设直线l的斜率为k.
∵l与直线2x＋y－10＝0垂直，
∴k·(－2)＝－1，∴k＝.
又∵l经过点A(2,1)，
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
解法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0.
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5课时作业16 直线方程的两点式和一般式
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为( A )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝.
2．在x轴、y轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( B )
A.＋＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.＋＝0
解析：由方程的截距式易知直线方程为＋＝1，即－＝1.
3．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点( C )
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(3,1)
D．(2,1)
解析：化为y－1＝k(x－3)，无论k取何值都过定点(3,1)．故选C.
4．直线的方程为ax＋by＋c＝0，当a>0，b<0，c>0时，此直线一定不过( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( C )
A．b>0，d<0，aB．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c
D．b<0，d>0，a解析：由题图可知直线l1和l2的斜率都大于0，即k1＝－>0，k2＝－>0且k1>k2，即－>－，∴c又l1的纵截距－<0，l2的纵截距－>0，
∴b<0，d>0，故选C.
6．过点P(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：由题意设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3.由题意，知＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1.因而满足题意的直线有2条．
7．光线从A(－3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,6)，则BC所在直线的方程为( A )
A．5x－2y＋7＝0
B．2x－5y＋7＝0
C．5x＋2y－7＝0
D．2x＋5y－7＝0
解析：点A(－3,4)关于x轴的对称点A′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线的方程为＝，即5x－2y＋7＝0.
8．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则( D )
A．a＝，b＝1
B．a＝，b＝－1
C．a＝－，b＝1
D．a＝－，b＝－1
解析：直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为＝－1，解得b＝－1，又因为x－y－＝0的倾斜角为60°，所以直线ax＋by－1＝0的倾斜角为120°，从而可得斜率k＝－＝－，解得a＝－，故选D.
二、填空题
9．直线2x＋3y－6＝0与坐标轴围成的三角形面积为3.
解析：令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝3，所以三角形面积为S＝×3×2＝3.
10．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋1＝0.
解析：解法一：∵P(2,3)在已知直线上，
∴，∴2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即＝－，故所求直线方程为y－b1＝－(x－a1)．
∴2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.
解法二：∵P(2,3)在已知直线上，∴.
可见Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，
∴过Q1，Q2两点的直线为2x＋3y＋1＝0.
11．直线l过点P(－2,3)且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的方程为3x－2y＋12＝0.
解析：解法一：由题意知直线l的斜率k存在，
设直线方程为y－3＝k(x＋2)
(k≠0)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2，
∴A(－－2,0)，B(0,2k＋3)，
∵AB中点为P(－2,3)，∴，得k＝.
∴直线l的方程为y－3＝(x＋2)，
即直线l的方程为3x－2y＋12＝0.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，∵P为AB的中点，
∴＝－2，＝3，∴a＝－4，b＝6，
∴直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0.
三、解答题
12．求满足下列条件的直线方程．
(1)斜率为3，经过点(5，－4)；
(2)斜率为－2，经过点(0,2)；
(3)经过两点(2,1)和(3，－4)；
(4)经过两点(2,0)和(0，－3)；
(5)斜率为2，经过点(2,0)．
解：(1)∵k＝3，过点(5，－4)，
∴由直线的点斜式方程，得y＋4＝3(x－5)，
∴所求直线为3x－y－19＝0.
(2)∵k＝－2，在y轴上的截距为2，
由直线的斜截式方程，得y＝－2x＋2，
∴所求直线为2x＋y－2＝0.
(3)∵直线过两点(2,1)和(3，－4)，
由直线的两点式方程，得＝.
∴所求直线为5x＋y－11＝0.
(4)∵直线在两轴上的截距分别为2和－3，
由直线的截距式方程，得＋＝1.
∴所求直线为3x－2y－6＝0.
(5)∵k＝2，在x轴上的截距为2，
∴由直线的点斜式方程，得y＝2(x－2)，
∴所求直线为2x－y－4＝0.
13．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
解：(1)由，解得m＝2，
若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2，即实数m的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)由－＝1，解得m＝0(m＝2舍去)，
所以实数m的值为0.
——能力提升类——
14．已知直线经过A(a,0)，B(0，b)和C(1,3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线方程为( C )
A．3x＋y－6＝0
B．x＋y－4＝0
C．x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
D．无法确定
解析：由已知可得直线方程为＋＝1.
因为直线过C(1,3)，则＋＝1.又因为a，b为正整数，
所以a＝4，b＝4时适合题意，a＝2，b＝6时适合题意，
此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
15．在平面直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次排列，且O、P、Q三点的坐标分别是O(0,0)、P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)，其中t∈(0，＋∞)．
(1)求顶点R的坐标；
(2)求矩形OPQR在第一象限部分的面积S(t)．
解：(1)设R(xR，yR)，解法一：由|OR|＝|PQ|得
x＋y＝4(1＋t2)，①
由kOR＝kPQ得＝＝－，②
由②得xR＝－tyR代入①得，yR＝±2，∴xR＝±2t，
∴R(2t，－2)或R(－2t,2)．
又∵OPQR按逆时针顺序排列，∴R(－2t,2)．
解法二：由OQ与PR的中点重合得＝，＝.∴xR＝－2t，yR＝2，即R(－2t,2)．
(2)矩形OPQR的面积SOPQR＝|OP||OR|＝2(1＋t2)．
①当1－2t≥0即t∈时，设线段RQ与y轴交于点M，直线RQ的方程为y－2＝t(x＋2t)，得M的坐标为(0,2t2＋2)，△OMR的面积为
S△ORM＝|OM||xR|＝2t(1＋t2)．
S(t)＝SOPQR－S△ORM＝2(1－t)(1＋t2)．
②当1－2t<0时，即t∈时，线段QP与y轴相交，设交点为N，直线QP的方程为y－t＝－(x－1)，N的坐标是.
S(t)＝S△OPN＝|ON|·xP＝.
综上所述S(t)＝
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6课时作业15 直线方程的点斜式
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．过点A(2，－1)，斜率为的直线的点斜式方程是( C )
A．y－1＝(x－2)
B．y－1＝(x＋2)
C．y＋1＝(x－2)
D．y＋1＝(x＋2)
2．直线y＋2＝(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( B )
A．60°，2
B．60°，－2
C．120°，－2
D．30°，2－
解析：斜率为，则倾斜角为60°，当x＝0时，y＝－2，即在y轴上的截距为－2.
3．已知直线l的方程为x－y＋b＝0(b∈R)，则直线l的倾斜角为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．与b有关
解析：∵直线l的斜率k＝1，∴直线l的倾斜角是45°.
4．已知直线l的方程为3x－5y＝4，则l在y轴上的截距为( D )
A．3
B．－3
C．5
D．－
解析：将直线方程化为斜截式可得y＝x－，
∴l在y轴上的截距为－.
5．直线y＝ax－的图像可能是( B )
解析：由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．
6．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么( B )
A．kb<0
B．kb≤0
C．kb>0
D．kb≥0
解析：当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0.当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴kb≤0.
7．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( D )
A．y－1＝3(x－3)
B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1)
D．y－3＝－3(x－1)
解析：如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，kOA＝3，kAB＝－3，∴AB的方程为y－3＝－3(x－1)．
8．已知等边三角形ABC的两个顶点A(0,0)，B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则边BC所在的直线方程是( C )
A．y＝－x
B．y＝－(x－4)
C．y＝(x－4)
D．y＝(x＋4)
解析：由题意知直线BC的倾斜角为60°，故斜率为，由点斜式得边BC所在的直线方程为y＝(x－4)．
二、填空题
9．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成45°角的直线方程是y＝±x－6.
解析：∵所求直线与y轴相交成45°的角，所以所求直线的倾斜角为45°或135°，即斜率为±1，故y＝±x－6即为所求．
10．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝－2，b＝－2.
解析：因为点(1，－4)和(－1,0)在直线y＝kx＋b上，
所以，解得.
11．经过点P(2，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线的方程为y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)．
解析：依题意，直线的斜率必存在，设为k，则其方程为y＋4＝k(x－2)．令x＝0得y＝－2k－4；令y＝0得x＝＋2，所以－2k－4＋＋2＝5，解得k＝－4或k＝.
因此直线方程为y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)．
三、解答题
12．根据条件写出下列直线的方程．
(1)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；
(2)经过坐标原点，倾斜角为60°.
解：(1)由题意知，直线垂直于x轴，所以直线的方程为x＝4.
(2)由题意知，直线的斜率为，所以直线的方程为y＝x.
13．(1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线的斜截式方程；
(2)已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k，在y轴上的截距b，以及与y轴的交点P的坐标．
解：(1)∵直线的斜率为2，在y轴上截距是3，
∴直线的斜截式方程为y＝2x＋3.
(2)把直线l的方程2x＋y－1＝0，化为斜截式为y＝－2x＋1，∴k＝－2，b＝1，点P的坐标为(0,1)．
——能力提升类——
14．过点M(2,1)的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ＝4，则符合条件的直线l有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)．
令x＝0，得y＝－2k＋1，即Q(0，－2k＋1)．
令y＝0，得x＝－＋2，即P.
∴S△OPQ＝·|－2k＋1|·＝4，
∴4k2－4k＋1＝8|k|.
当k>0时，4k2－12k＋1＝0，解得k＝，均符合题意；
当k<0时，4k2＋4k＋1＝0，解得k＝－，符合题意．
故符合条件的直线有3条，故选C.
15．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)当－3解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图像是一条直线(如图所示)，
若－3则需满足即
解得－≤k≤1.
所以实数k的取值范围是－≤k≤1.
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1课时作业14 直线的倾斜角和斜率
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．下列说法中正确的是( A )
A．每一条直线都唯一对应一个倾斜角
B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90°
C．若直线的倾斜角存在，则有斜率与之对应
D．若直线的倾斜角为α，则sinα>0
解析：对于B，与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，所以B错；对于C，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以C错；对于D，当α＝0°时，sinα＝0，所以D错．
2．直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则( D )
A．l与x轴垂直
B．l与y轴垂直
C．l的倾斜角为45°
D．l的倾斜角为135°
解析：由斜率公式可得k＝＝－1，即tanα＝－1，所以α＝135°.故选D．
3．如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于( D )
A．
B．－
C．
D．－
解析：因为△AOB是等边三角形，所以∠ABO＝60°.于是直线AB的倾斜角为120°，故AB的斜率为tan120°＝－.
4．经过两点A(2,1)，B(1，m)的直线的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( A )
A．m<1
B．m>－1
C．－1D．m>1或m<－1
解析：kAB＝＝1－m，因为直线AB的倾斜角为锐角，所以kAB>0，即1－m>0，所以m<1.
5．设直线l的倾斜角为θ，则l关于y轴对称的直线的倾斜角是( C )
A．θ
B．90°－θ
C．180°－θ
D．90°＋θ
解析：画出图，可知l1与l2的倾斜角总是互补的．
6．直线过点A(2,3)和B(m,7)，且倾斜角θ满足90°<θ<180°，则m的取值范围是( D )
A．m≥2
B．m≤2
C．m>2
D．m<2
解析：∵90°<θ<180°，∴斜率小于0，即<0，
∴m－2<0，即m<2.
7．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( D )
A．k1B．k3C．k3D．k1解析：直线向右上方倾斜时k>0，向左上方倾斜时k<0，平行于x轴时k＝0，逆时针方向转动时k逐渐增大．
8．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( C )
A．[0°，90°]
B．[90°，180°]
C．[90°，180°)或α＝0°
D．[90°，135°]
解析：画图知l的倾斜角应是钝角或坐标轴上的角．A中含锐角不正确，B中180°不在其倾斜角的范围内应被排除，D中含的角不全面．
二、填空题
9．已知三点A(5,4)，B(3,8)，C(n，－2)共线，则n＝8.
解析：由题意得kAB＝kAC，即＝，解得n＝8.
10．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝.
解析：因为A、B、C三点共线，所以＝，
所以(a－2)·(b－2)＝4，即ab＝2a＋2b＝2(a＋b)，
所以＋＝＝＝.
11．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为(－5,0)．
解析：设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2·，解得x＝－5.
三、解答题
12．直线l经过M(2,1)分别交x，y轴正方向于A、B两点，且△AOB的面积为4，求直线l的斜率．
解：设A(a,0)、B(0，b)(a>0，b>0)，
由三角形AOB的面积为4，知＝4，∴ab＝8，
又kMA＝＝，kMB＝＝，
由kMA＝kMB，即＝，得a＝4，
所以kl＝kMA＝＝－.
13．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.
解：①设直线PA的斜率为k，当点P在x轴上时，
设点P(a,0)，∵A(1,2)，∴k＝＝.
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan60°＝，解得a＝1－.
∴点P的坐标为(1－，0)．
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0,2－)．
综合①②，得点P的坐标为(1－，0)或(0,2－)．
——能力提升类——
14．函数y＝f(x)的图像如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围是( B )
A．{3,4}
B．{2,3,4}
C．{3,4,5}
D．{2,3}
解析：＝＝…＝的几何意义是指曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n可取2,3,4.
15．经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点．
(1)求直线l斜率k的范围；
(2)直线l倾斜角的范围．
解：如图，kPA＝＝－1，
kPB＝＝1.
(1)直线l斜率k的范围为[－1,1]；
(2)直线l倾斜角的范围为∪.
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