课时作业15 变量间的相关关系
——基础巩固类——
1．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的是( D )
A．学生的座号与数学成绩
B．学生的学号与身高
C．曲线上的点与该点的坐标之间的关系
D．学生的身高与体重
解析：A，B中的两个变量之间没有任何关系，是相互独立的；C中的两个变量之间是确定的函数关系；D中的两个变量是相关关系．
2．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是( A )
解析：直接根据相关关系的定义判断，显然只有A正确．
3．设有一个回归直线方程为＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时，y平均( C )
A．增加1.5个单位
B．增加2个单位
C．减少1.5个单位
D．减少2个单位
解析：根据回归直线方程＝x＋中b的几何意义知C正确．
4．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的回归直线＝x＋必过( D )
A．点(2,2)
B．点(1.5,0)
C．点(1,2)
D．点(1.5,4)
解析：由于回归直线必过样本中心点(，)，由题意知＝＝1.5，＝＝4，故回归直线＝x＋必过点(1.5,4)．
5．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程＝x＋，则( A )
A.>0，<0
B.>0，>0
C.<0，<0
D.<0，>0
解析：由题中数据知，<0，∵＝(3＋4＋5＋6＋7＋8)＝，＝(4.0＋2.5－0.5＋0.5－2.0－3.0)＝，∴＝＋，＝－，又<0，∴>0.
6．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为
＝60＋90x，下列判断正确的是( C )
A．劳动生产率为1千元时，工资为50元
B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元
D．劳动生产率为1千元时，工资为90元
解析：因工人月工资依劳动生产率变化的回归方程为
＝60＋90x，当x由a提高到a＋1时，
2－
1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.
7．在2018年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：
＝－3.2x＋
，那么
的值为( D )
A．－24
B．35.6
C．40.5
D．40
解析：由题意得回归直线过样本点的中心(，)，经计算得＝10，＝8，代入
＝－3.2x＋
，得
＝40.
8．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( C )
A.>b′，>a′
B.>b′，
C.a′
D.解析：＝＝，＝，代入公式求得＝＝，＝－＝－×＝－，而b′＝2，a′＝－2，∴a′.
9．下列各组变量中是函数关系的有①②；是相关关系的有③④⑤；没有关系的是⑥.(填序号)
①电压U与电流I；②自由落体运动中位移s与时间t；③粮食产量与施肥量；④人的身高与体重；⑤广告费支出与商品销售额；⑥地球运行的速度与某个人行走的速度．
10．已知x，y的值如下表所示：
x
2
3
4
y
5
4
6
如果y与x呈线性相关且回归直线方程为
＝
x＋3.5，那么
＝0.5.
解析：由表可知＝3，＝5，代入
＝
x＋3.5得
＝0.5.
11．已知x，y间的一组数据如表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.则根据最小二乘法思想可得拟合程度最好的直线是④.(填序号)
解析：线性回归直线必过点(，)，又＝4，＝6，
①当x＝4时，y＝5，不成立；②当x＝4时，y＝7，不成立；③当x＝4时，y＝6，当x＝6时，y＝9.2；④当x＝4时，y＝6，当x＝6时，y＝9，所以拟合程度最好的直线是④.
12．有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表所示.
人均GDP(万元)
10
8
6
4
3
1
患白血病的儿童数
351
312
207
175
132
180
(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；
(2)若两个变量的拟合直线方程为＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？
解：(1)作出散点图如图所示，由散点图知这两个变量具有线性相关关系．
(2)不正确．当x＝12时，y＝23.25×12＋102.25＝381.25，这只是预测值，不是精确值，实际值可能大于380，也可能小于380，也可能等于380.
13．某个体服装店经营的某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如下表所示.
服装件数x(件)
3
4
5
6
7
8
9
某周内所获纯利y(元)
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)若所获纯利y(元)与每天销售这种服装的件数x(件)之间是线性相关的，求回归直线方程；
(3)若该店每周至少要获利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？(以下数据供选择：＝280，＝45
309，iyi＝3
487)
解：(1)由题意得＝(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
＝(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.
(2)若y与x线性相关，则＝≈4.75，＝－≈79.86－4.75×6＝51.36，∴回归直线方程为＝4.75x＋51.36.
(3)当y＝200时，200＝4.75x＋51.36，x≈31.3，所以该店每天至少要销售这种服装32件．
——能力提升类——
14．现有一个由身高预测体重的回归方程，体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130磅，其中体重与身高分别以磅和英寸为单位，如果换算为公制(1英寸≈2.5
cm,1磅≈0.45
kg)，回归直线方程应该是体重预测值＝0.72(kg/cm)×身高－58.5_kg(身高：cm)．
解析：由题意知4(磅/英寸)≈4×(kg/cm)＝0.72(kg/cm)，130磅≈130×0.45＝58.5(kg)，故回归直线方程应为体重预测值＝0.72(kg/cm)×身高－58.5
kg(身高：cm)．
15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1
000＝－202＋361.25，
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
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5课时作业14 用样本的数字特征估计总体的数字特征
——基础巩固类——
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( C )
A．85、85、85
B．87、85、86
C．87、85、85
D．87、85、90
解析：从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.
2．下列对一组数据的分析，不正确的说法是( B )
A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定
解析：平均数小，数据波动大小不确定，而极差、方差(标准差)越小，数据分布越集中、稳定，故B错误．
3．如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( B )
A．56分
B．57分
C．58分
D．59分
解析：易得甲得分的中位数是32，乙得分的中位数是25，其和为32＋25＝57.
4．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( D )
A．9.4,0.484
B．9.4,0.016
C．9.5,0.04
D．9.5,0.016
解析：＝＝9.5，
s2＝(0.12×4＋0.22)＝0.016.
5．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2等于( A )
A.
B.
C.
D．2
解析：甲＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝，
乙＝7，s＝[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝，
两组数据的方差中较小的一个为s，即s2＝.故选A.
6．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为5，方差为4，则数据3x1＋7,3x2＋7，…，3xn＋7的平均数和方差分别为( B )
A．22、42
B．22、36
C．52、36
D．52、19
解析：由题意得(x1＋x2＋…＋xn)＝5，
[(x1－5)2＋(x2－5)2＋…＋(xn－5)2]＝4，
(3x1＋7＋3x2＋7＋…＋3xn＋7)＝3×(x1＋x2＋…＋xn)＋7＝22，
[(3x1＋7－22)2＋(3x2＋7－22)2＋…＋(3xn＋7－22)2]＝9×[(x1－5)2＋(x2－5)2＋…＋(xn－5)2]＝36.故选B.
7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则( D )
A．me＝m0＝
B．me＝m0<
C．meD．m0解析：由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me＝＝5.5.又众数为m0＝5，平均值＝(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝，∴m08．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则( B )
A.甲<乙，m甲>m乙
B.甲<乙，m甲C.甲>乙，m甲>m乙
D.甲>乙，m甲解析：本小题主要考查平均数、中位数以及茎叶图的相关知识，解题的突破口为根据茎叶图把数据整理出来，甲的数据为5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43；乙的数据为10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.
计算甲＝
＝，
乙＝
＝，
显然甲<乙，
又m甲＝＝20，m乙＝＝29，m甲故选B.
9．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则(1)平均命中环数为7；
(2)命中环数的标准差为2.
解析：(1)由公式知，平均数为(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.
(2)由公式知，s2＝(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4，解得s＝2.
10．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为67
km/h.
解析：平均时速为0.1×50＋0.2×80＋0.3×60＋0.4×70＝67.
11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：
等待时间(分钟)
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25]
频数
4
8
5
2
1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝9.5.
解析：＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5
12．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征？
解：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
13．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
甲
12
13
14
15
10
16
13
11
15
11
乙
11
16
17
14
13
19
6
8
10
16
哪种小麦长得比较整齐？
解：由题中条件可得：
甲＝＝13，
乙＝＝13，
s＝＝3.6，
s＝＝15.8.
∵甲＝乙，s∴甲种小麦长得比较整齐．
——能力提升类——
14．某5人上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2的值为208.
解析：
整理，得
所以x2＋y2＝208.
15．某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分(分数为整数，满分为100分)，从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40,100]内．现将这些分数分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：
(1)算出第三组[60,70)的频数，并补全频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数．
解：(1)因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为f＝1－(0.005＋0.015＋0.030＋0.025＋0.010)×10＝0.15，
所以第三组[60,70)的频数为120×0.15＝18(人)．
完整的频率分布直方图如图．
(2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分．
又根据频率分布直方图得样本的平均数的估计值为：
45×(10×0.005)＋55×(10×0.015)＋65×(10×0.015)＋75×(10×0.03)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.01)＝73.5(分)．
所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分．
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2课时作业13 用样本的频率分布估计总体分布
——基础巩固类——
1．一个容量为n的样本，已知某组的频率为0.25，频数为5，则n＝( C )
A．50 B．40 C．20 D．10
解析：∵频率＝，∴0.25＝，n＝20.
2．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( B )
A．0.2
B．0.4
C．0.5
D．0.6
解析：由茎叶图知落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因为共有10个数据，所以数据落在区间[22,30)内的频率为＝0.4.
3.观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2
700,3
000)内的频率为( D )
A．0.001
B．0.01
C．0.003
D．0.3
解析：本题主要考查频率分布直方图的有关概念与性质，频率＝×组距，组距＝3
000－2
700＝300，高＝＝0.001，所以频率＝0.001×300＝0.3.
4．在一个样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为( A )
A．32
B．0.2
C．40
D．0.25
解析：本题主要考查频率分布直方图的性质．设中间一个小长方形的面积为x，则x＋4x＝1，x＝，因此中间一组的频率为，所以中间一组的频数为×160＝32.
5．某市进行了一次法律常识竞赛，满分100分，共有N人参赛，得分全在[40,90]内，经统计，得到如下的频率分布直方图，若得分在[40,50]的有30人，则N＝( A )
A．600
B．450
C．60
D．45
解析：由频率分布直方图得：得分在[40,50]的频率为：1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05，∵得分在[40,50]的有30人，∴N＝＝600.故选A.
6．下列关于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系的说法中，正确的是( D )
A．频率分布折线图与总体密度曲线无关
B．频率分布折线图就是总体密度曲线
C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
解析：
选项
正误
理由
A
×
当总体个数较多时，随着样本容量的增加，组数增加，组距减小，频率分布折线图趋向于总体密度曲线，所以两者有关
B
×
只有当样本容量很大时，频率分布折线图趋向于总体密度曲线
C
×
总体密度曲线是由频率分布折线图估计的，样本容量越大就越准确
D
√
频率分布折线图在样本容量无限增大，分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线
7.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( A )
A．15
B．16
C．17
D．19
解析：由题意得样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为30×0.8－4－5＝15.
8．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( B )
A．588
B．480
C．450
D．120
解析：∵少于60分的学生人数为600×(0.05＋0.15)＝120，∴不少于60分的学生人数为480.
9．为了解某地高一年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)分组情况如下：
分组
151.5～158.5
158.5～165.5
165.5～172.5
172.5～179.5
频数
6
21
m
频率
a
0.1
则表中的m＝6，a＝0.45.
解析：由频率的计算公式得0.1＝，m＝6，所以落在165.5～172.5的男生的频数为60－(6＋21＋6)＝27，所以a＝＝0.45.
10．如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的优秀(120分及以上为优秀)率为30%.
解析：由频率分布直方图知数据落在120～150的频率为10×(0.022
5＋0.005＋0.002
5)＝0.3＝30%，即优秀率为30%.
11．在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m－1个小矩形面积和的，且样本容量为100，则第3组的频数是20.
解析：由s＝(1－s)，解得s＝0.2，∴100×0.2＝20.
12．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段(单位：分)：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，然后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率；
(2)补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)．
解：(1)根据各小组的频率之和等于1，可得第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3.
(2)第四小组对应的小矩形的高为0.03，频率分布直方图如图所示．
根据题意知，得60分及以上的分数在第三、四、五、六小组，频率之和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽取学生的成绩的及格率为75%，据此估计这次考试的及格率为75%.
13．在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54]
2
合计
100
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示．
(2)纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38,1.50)的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
——能力提升类——
14．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( A )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析：由折线图，可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少．A错误．
15．某市2018年4月1日至4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101，
103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85，
75,71,49,45.
(1)完成频率分布表．
(2)作出频率分布直方图．
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优：在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
解：(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
10
[91,101)
5
[101,111]
2
合计
30
1
(2)频率分布直方图：
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善．
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1课时作业12 分层抽样
——基础巩固类——
1．简单随机抽样、系统抽样和分层抽样之间的共同点是( C )
A．都是从总体中逐个抽取的
B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
C．抽样过程中每个个体被抽到的机会是相等的
D．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取
解析：由三种抽样方法的定义可知，在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，∴选C.
2．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为( C )
A．6
B．4
C．3
D．2
解析：据分层抽样，得抽取的女生人数为×18＝3，选C.
3．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( D )
A．7,11,18
B．6,12,18
C．6,13,17
D．7,14,21
解析：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1?2?3.
由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42＝7人，中年人应抽取的人数为×42＝14人，青年人应抽取的人数为×42＝21人．
4．某校数学教研组为了解学生学习教学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于( B )
A．660
B．720
C．780
D．800
解析：因为从高一600人，高二780人，高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，所以＝，解得n＝720.
5．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为＝，因此植物油类应抽取10×＝2(种)，果蔬类食品应抽20×＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.
6．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( B )
A．101
B．808
C．1
212
D．2
012
解析：根据分层抽样，得N×＝96，解得N＝808，故选B.
7．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( D )
A．p1＝p2B．p2＝p3C．p1＝p3D．p1＝p2＝p3
解析：因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D.
8．已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某加工厂的同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层抽样的方法进行抽取．设从三个等级A，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t＝m＋n，则420箱腌菜中等级为C级的箱数为( D )
A．110
B．120
C．130
D．140
解析：由2t＝m＋n，可知等级为C级的腌菜占全部箱数的，故420箱腌菜中等级为C级的箱数为420×＝140.
9．从总体容量为N的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N等于120.
解析：分层抽样是等可能抽样，故总体容量为30÷0.25＝120.
10．某校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生，采用分层抽样抽一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，高三年级共有学生300人，则此学校共有学生900人．
解析：高三年级被抽取了45－20－10＝15人，设此学校共有学生N人，则＝，解得N＝900.
11．某地有居民100
000户，其中普通家庭99
000户，高收入家庭1
000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是5.7%.
解析：所抽取的990户普通家庭中有50户拥有3套或3套以上住房，所抽取的100户高收入家庭中有70户拥有3套或3套以上住房，那么99
000户普通家庭中就有5
000户拥有3套或3套以上住房，1
000户高收入家庭中就有700户拥有3套或3套以上住房．那么该地100
000户居民中拥有3套或3套以上住房的家庭占的比例为＝＝5.7%.
12．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本，按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽取多少？
解：用分层抽样方法抽样，
∵＝，∴200×＝8,125×＝5,125×＝5,50×＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
各种血型的抽取可用简单随机抽样(如AB型)或系统抽样(如A型)，直至取出容量为20的样本．
13．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的样本，按照三种抽样方法抽取，分别计算总体中每个个体被抽取的可能性．
解：简单随机抽样：因为总体中的个体数为N＝120，样本容量n＝20，故每个个体被抽到的可能性均为.
系统抽样：将120个零件分组，k＝＝6，即6个零件一组，每组取1个，显然每个个体被抽到的可能性均为.
分层抽样：一、二、三级品个数之比为2?3?5,20×＝4,20×＝6,20×＝10，故分别从一、二、三级品中抽取4个、6个、10个零件，每个个体被抽到的可能性分别为，，，即都为.
——能力提升类——
14．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x，设此次抽样中，某件产品A被抽到的可能性为y，则x，y的值分别为( D )
A．25，
B．20，
C．25，
D．25，
解析：根据分层抽样的定义和方法可得＝，解得x＝25，由于分层抽样的每个个体被抽到的可能性相等，则y＝＝.
15．共享单车的出现方便了人们的出行，深受市民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校学生中随机抽取了部分同学进行调查，得到男生、女生每周使用共享单车的时间(单位：小时)如下表：
使用时间
[0,2]
(2,4]
(4,6]
女生人数
20
20
z
男生人数
20
40
60
按每周使用时间分层抽样的方法在这些学生中抽取10人，其中每周使用时间在[0,2]内的学生有2人．
(1)求z的值．
(2)将每周使用时间在(2,4]内的学生按性别分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，计算女生和男生的人数．
解：(1)根据分层抽样原理，样本为10时，在[0,2]内的抽取的学生有2人，所以＝，解得z＝40.
(2)每周使用时间在(2,4]内的学生女生有20人，男生有40人，按性别分层抽样，样本容量为6时，女生抽取2人，男生抽取4人．
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4课时作业11 系统抽样
——基础巩固类——
1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，该抽样方法记为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学业负担情况，该抽样方法记为②.那么( A )
A．①是系统抽样，②是简单随机抽样
B．①是简单随机抽样，②是简单随机抽样
C．①是简单随机抽样，②是系统抽样
D．①是系统抽样，②是系统抽样
解析：对于①，因为每隔30分钟抽取一袋，是等间距抽样，故①为系统抽样；对于②，总体数量少，样本容量也小，故②为简单随机抽样．
2．中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众，现采用系统抽样的方法抽样，其每组容量为( C )
A．10
B．100
C．1
000
D．10
000
解析：依据题意要抽10名幸运小观众，应分为10组．
3．在200只灯泡中，正品有180只，次品有20只，且用系统抽样法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：系统抽样是公平的，每个个体被抽取的可能性为＝.故选D.
4．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( C )
A．13
B．19
C．20
D．51
解析：由系统抽样的原理可知，抽样的间隔k＝＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，从而可知C项正确．
5．为了了解参加知识竞赛的1
252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( A )
A．2
B．4
C．5
D．6
解析：因为1
252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体．
6．中央电视台动画城节目为了对本周的热心观众给予奖励，要从2
014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2
014人中剔除14人，剩下的2
000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2
014人中，每个人被抽取的可能性( C )
A．均不相等
B．不全相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
解析：因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除14人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等．所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为＝.
7．将420名工人编号为：001,002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005，这420名工人来自三个工厂，从001到200为A工厂，从201到355为B工厂，从356到420为C工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为( A )
A．28,23,9
B．27,23,10
C．27,22,11
D．28,22,10
解析：抽样间隔为420÷60＝7，且第一组抽得号码为005，则从001到200应抽取200÷7＝28…4，即抽取28名；从201到355应抽取355÷7＝50…5，即抽取51－28＝23名；从356到420应抽取60－51＝9名，故选A.
8．二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量，采用了两种方法，一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计，统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确，德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5，假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有( B )
A．1
050辆
B．1
350辆
C．1
650辆
D．1
950辆
解析：设德国共制造“虎式”坦克n辆，
由题意＝675.5，所以n＝1
350.
9．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为3.
解析：系统抽样的抽取间隔为＝6，设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.
10．用系统抽样法从200名学生中抽取容量为20的样本，现将200名学生随机地从1～200编号，按编号顺序平均分成20组(1～10号，11～20号，…，191～200号)，若前3组抽出的号码之和为39，则抽到的第2组的号码是13.
解析：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，由于200名学生平均分成20组，故每组10人，则前3组抽到的号码为x,10＋x,20＋x，则x＋10＋x＋20＋x＝39，解得x＝3，则第2组中应抽出的号码为13.
11．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均值，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均值，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为9.5；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为10.5.
解析：20个小球分4组，每组5个，(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17,4个小球编号平均值为＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18,4球编号平均值为＝10.5.
12．一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手．现从中抽取13人参加某项运动会，若种子选手必须参加，请用系统抽样的方法给出抽样过程．
解：步骤如下：
第一步，先将198名运动员(非种子选手)随机编号，编号为001,002，…，198.
第二步，取分段间隔k＝＝18，将总体均匀分为11段，每段含18个个体．
第三步，在第1段001,002，…，018这18个编号中用简单随机抽样的方法抽取一个号(如010)作为起始号．
第四步，将编号为010,028，…，190的个体抽出，组成除种子选手外的代表队员．
13．要从1
002个学生中选取一个容量为20的样本．试用系统抽样的方法给出抽样过程．
解：第一步，将1
002名学生用随机方式编号．
第二步，从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1
000名学生重新编号(编号分别为000,001,002，…，999)，并分成20段．
第三步，在第一段000,001,002，…，049这五十个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如003)作为起始号码．
第四步，将编号为003,053,103，…，953的个体抽出，组成样本．
——能力提升类——
14．一个总体中有100个个体，随机编号为00,01,02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10，现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个数数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是63.
解析：由题意知第7组中的数为“60～69”10个数，当m＝6，k＝7时，m＋k＝13，其个位数字是3，即第7组中抽取的号码的个位数是3，则在第7组中抽取的号码是63.
15．一个总体中有1
000个个体，随机编号为0,1,2,3，…，999，以编号顺序将其平均分成10个小组，组号依次为0,1,2,3，…，9，要用系统抽样方法抽取一容量为10的样本．规定：如果在第0小组中随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组中的号码，即第k小组中抽取的号码的后两位数字与x＋33k的后两位数字相同．
①当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
②若所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，求x的取值范围．
解：①当x＝24时，所抽取样本的10个号码依次为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
②当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
由所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，可得x的取值可能为
87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
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1课时作业10 简单随机抽样
——基础巩固类——
1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5
000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5
000名居民的阅读时间的全体是( A )
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
解析：5
000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200名居民的阅读时间是样本，故选A.
2．下列抽样方法是简单随机抽样的是( D )
A．从50个零件中一次性抽取5个进行检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个进行检验
C．从实数集中逐个抽取10个整数分析奇偶性
D．运动员从8条跑道中随机选取一条跑道
解析：选项A错在“一次性”抽取；选项B错在“有放回”抽取；选项C错在总体容量是无限的，故选D.
3．下列说法正确的个数是( C )
①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
②在对总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样
③百货商场的抽奖活动是抽签法
④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等(有剔除时例外)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①、②、③正确，故选C.
4．下列抽样试验中，用抽签法方便的是( B )
A．从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：A、D中个体的总数较多，不适于用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法，B中个体总数较少，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看作是搅拌均匀了，故选B.
5．一个总体中共有100个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是( B )
A.
B.
C.
D．不确定
解析：每个个体被抽到的可能性都是＝，故选B.
6．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面编号方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02，…，99.其中最恰当的序号是( C )
A．①
B．②
C．③
D．②③
解析：只有编号的号码位数相同时，才能达到随机等可能抽样．由①是先选二位数字，还是先选三位数字呢？那就破坏了随机抽样．②③的编号位数相同，可以采用随机数法，但②中号码是三位数，读数费时，③省时．
7．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( B )
(注：如表为随机数表的第8行和第9行)
63
01
63
78
59 16
95
55
67
19 98
10
50
71
75
12
86
73
58
07 44
39
52
38
79
33
21
12
34
29 78
64
56
07
82 52
42
07
44
38
15
51
00
13
42 99
66
02
79
54
A．07
B．44
C．15
D．51
解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.
8．从一群做游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( C )
A.
B．k＋m－n
C.
D．不能估计
解析：设参加游戏的小孩有x人，则＝，因此x＝.
9.一个总体含有100个个体，以简单随机抽样的方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，用抽签法抽样的编号一般为0,1，…，99(或1,2，…，100)，用随机数法抽样的编号一般为00,01，…，99(或001,002，…，100)．
解析：随机数法抽样的编号为00,01，…，99(或001,002，…，100)，以便于运用随机数表．
10．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60颗进行试验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第22列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号301,637,169,555.
(下面摘取了随机数表第7行至第11行)
84
42
17
53
31 57
24
55
06
88 77
04
74
47
67
21
76
33
50
25 83
92
12
06
76 63
01
63
78
59
16
95
55
67
19 98
10
50
71
75 12
86
73
58
07
44
39
52
38
79 33
21
12
34
29 78
64
56
07
82
52
42
07
44
38 15
51
00
13
42 99
66
02
79
54
解析：第8行第22列的数3开始向右读第一个小于850的数字是301，第二个数字是637，也符合题意，第三个数字是859，大于850，舍去，第四个数字是169，符合题意，第五个数字是555，符合题意，故答案为：301,637,169,555.
11．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，以每人被抽取的几率为0.2，向该中学抽取了一个容量为n的样本，则n＝200.
解析：由＝0.2，得n＝200.
12．高一(19)班有50个学生，班主任准备从50个学生中选取5个学生去参加年级组织的学生代表大会．请选择合适的抽样方法，写出抽样过程．
解：因为总体中的个体数较少，现选用抽签法抽取样本：
第一步：先将50个学生编号01,02,03，…，50.然后做号签：把50个号写在形状、大小完全相同的小球(卡片、纸条等)上；
第二步：将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
第三步：从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取5次；
第四步：从总体中将与抽到的号签的编号相一致的个体取出．
13．为了了解高一(10)班53名同学的牙齿健康状况，需从中抽取10名做医学检验，现已对53名同学编号00,01,02，…，50,51,52.从下面所给的随机数表的第1行第3列的5开始从左向右读下去，则选取的号码依次为多少？
随机数表如下：
0154 3287 6595 4287 5346
7953 2586 5741 3369 8324
4597 7386 5244 3578 6241
解：从数5开始从左向右读下去，两位两位地读，在00～52范围内前面没有出现过的记下，否则跳过，直到取满10个为止．如下表
01
54 32
87 65
95 42
87 53
46
79
53 25
86 57
41 33
69 83
24
45
97 73
86 52
44
3578
6241
选取的号码依次为32,42,46,25,41,33,24,45,52,44.
——能力提升类——
14．2016年12月16日，北京正式启动空气重污染红色预警．其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行(即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶)，其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车辆总数的30%.现某单位的公务车，职工的私家车数量如表：
公务车
私家车
单号/辆
10
135
双号/辆
20
120
根据应急措施，12月18日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有154辆．
解析：由题意，单号车共10＋135＝145(辆)，公务车共30辆，停驶车量总数的30%为9辆．所以根据应急措施，12月18日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有154辆．
15．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽6人．
第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个艺人抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位艺人的演出顺序，再汇总即可．
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