江苏省响水中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省响水中学2020～2021学年度秋学期高二年级期中考试
数学试题
命题人：
考生注意：
1.本试题分第I卷和第II卷，共4页。
2.满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）
1．已知为实数，且，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．双曲线方程为,则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3．在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5．若，且，则的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则( )
A.2 B.2或4 C.1或2 D.1
7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中记载的一道题目翻译如下：把60个大小相同的面包分给5个人，使毎个人所得面包个数从少到多依次成等差数列，且较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份面包个数为( )
A．16 B．18 C．19 D．20
8．在关于的不等式的解集中至多包含1个整数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上。)
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则
D．若在上恒小于0，则的取值范围是
10．已知是椭圆上一点，、分别为的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．准线方程为 D．周长为16
11．设，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与
抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4
C． D．
第II卷（90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
13．双曲线的渐近线方程为__________.
14．“”是“”成立的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选填）.
15．已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交与两点，为坐标原点，则的面积为__________.
16．在数列中，若，记是数列的前项和，则__________.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知不等式的解集为．
(1)求、的值；
(2)解关于的不等式.
18．（本小题满分12分）已知在等比数列中，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
19．（本小题满分12分）设命题：不等式对于恒成立；
命题：的解集为．
（1）如果是真命题，求实数的取值集合；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）在数列中，为的前项和，若___________在①；②，这两个条件中任选一个填入上面的横线上并解答．注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（1）证明为等比数列；
（2）设，且，证明.
21．（本小题满分12分）响水某服装厂在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
(1)将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？
22．（本小题满分12分）设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值；
（3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为．试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.
江苏省响水中学2020～2021学年度秋学期高二年级期中考试
数学试题答案
一、单选题
1~5. BDCCC 6~8. BAA
多选题
9. BC 10. ABC 11.AC 12. BCD
填空题
13． 14．充分不必要 15． 16．
四、解答题
17．解：(1)由题意知，且，是方程的根，
∴.又，∴................................5分
(2)不等式可化为，即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为．
综上：
当时，不等式的解集为}；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．...............10分
18．解：（1）设等比数列的公比为
，，成等差数列
............................6分
(2)
....................12分
19．解：（1）要使对于，恒成立
令，则只需即可
因为，当且仅当，即时等式成立；
因为，所以，所以，集合...............6分
（2）集合
因为是的必要不充分条件，所以
所以，..............................................12分
20．证明：（1）选条件①，在，中，
令，得
当时，
符合上式，所以
所以，
是以3为首项，3为公比的等比数列.......................6分
选条件②，在，中，
令，得即
当时，由 ，得到则
又，所以，
是以3为首项，3为公比的等比数列.......................6分
（2）
..............................................10分
...................................................12分
21．解：(1)由题意知：每件产品的销售价格为，

，......................6分
(2) 由
当且仅当，即时取等号
答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大..............12分
22．解：（1）由题意可知，，又，所以，
所以椭圆的标准方程为：............................3分
（2）,设，
因为点在椭圆上，所以
又，
...........................................7分
（3）设直线的方程为：，，则，
联立方程可得：，
所以，
所以 ，
又直线的方程为：，
令，
则
，
所以直线恒过，
同理，直线恒过，
即直线与交于定点................................... 12分