人教版 九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 课时训练（Word版 含答案）

人教版
九年级数学上册
24.3
正多边形和圆
课时训练
一、选择题
1.
正八边形的中心角是(　　)
A．45°
B．135°
C．360°
D．1080°
2.
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
3.
(2019?贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4.
2019·安徽月考
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是(　　)
A．AE∥BF
B．AF∥CD
C．DF＝AF
D．AB＝BF
5.
若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为(　　)
A.
B．2
C.
D．1
6.
已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为(　　)
A.r，r，r2
B．r，，2r2
C.r，r，r2
D．r，，r2
7.
以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是
(　　)
A.
B.
C.
D.
8.
如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是(　　)
A．5∶2
B．3∶2
C．3∶1
D．2∶1
9.
如图0，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1.以点D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；
2.连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
2.连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．　
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对
B．甲不对，乙对
C．两人都对
D．两人都不对
10.
如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有(　　)
A．10个
B．8个
C．6个
D．4个
二、填空题
11.
一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为________．
12.
如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40
cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10
cm，则该脸盆的半径为________cm.
13.
如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.
14.
如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．
15.
(2019?扬州)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=__________．
16.
如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．
17.
如图为一个半径为4
m的圆形场地，其中放有六个宽为1
m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.
三、解答题
18.
如图，在正六边形ABCDEF中，点O是中心，AB＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积．
19.
如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)
求图①中∠MON的度数；
(2)
图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
20.
如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.
(1)计算∠CAD的度数；
(2)连接AE，求证：AE＝ME.
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九年级数学上册
24.3
正多边形和圆
课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】A
2.
【答案】A　[解析]
∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．
故选A.
3.
【答案】A
【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD==120°，BC=CD，
∴∠CBD=(180°-120°)=30°，故选A．
4.
【答案】C
5.
【答案】A　[解析]
如图所示，连接OA，OE.
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝OE.
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2，
∴OE＝.故选A.
6.
【答案】D
7.
【答案】D　[解析]
如图①，∵OC＝1，∴OD＝；
如图②，∵OB＝1，∴OE＝；
如图③，∵OA＝1，∴OD＝，
则该三角形的三边长分别为，，.
∵()2＋()2＝()2，∴该三角形是以，为直角边长，为斜边长的直角三角形，
∴该三角形的面积是××＝.
故选D.
8.
【答案】C　[解析]
正六边形的面积＝6××(2a)2＝6
a2，阴影部分的面积＝a·2
a＝2
a2，
∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6
a2∶2
a2＝3∶1.
9.
【答案】C　[解析]
由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是菱形，所以∠BOC＝120°，则∠BAC＝60°.因为四边形OBDC是菱形，所以AD⊥BC，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.
10.
【答案】A　[解析]
如图，当AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．
综上所述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.
二、填空题
11.
【答案】
12.
【答案】25　【解析】
如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O
的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝20.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25
cm.
　　　　
13.
【答案】48　[解析]
连接AO，则有∠AOM＝×360°＝120°，∠AOB＝×360°＝72°，
∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝120°－72°＝48°.
14.
【答案】　[解析]
边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为.
15.
【答案】15
【解析】如图，连接OB，
∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．
16.
【答案】12　[解析]
连接OA，OB，OC，如图．
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝30°，∴n＝＝12，即BC恰好是⊙O内接正十二边形的一边．
17.
【答案】　[解析]
设圆心是O，连接OA，OB，过点O作OC⊥BC于点C，交AD于点D.设长方形摊位的长是2x
m．在Rt△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝x
m，则OD＝x
m.
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝
m.
∵OC－OD＝CD＝1
m，
∴＝x＋1，
解得x＝(负值已舍去)，
则2x＝，
∴长方形摊位的长为
m.
三、解答题
18.
【答案】
解：连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于点H.∵正六边形的中心角为＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴半径R＝OB＝BC＝AB＝10.∵OH⊥BC，∴∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝5.
在Rt△OBH中，边心距r＝OH＝＝5
，周长l＝6AB＝6×10＝60.
∵S△OBC＝BC·OH＝×10×5
＝25
，
∴正六边形的面积S＝6S△OBC＝6×25
＝150
.
19.
【答案】
解：(1)方法一：连接OB，OC.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：连接OA，OB.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON＝°.
20.
【答案】
解：(1)∵A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CAD＝∠COD＝36°.
(2)证明：∵A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，∴＝＝＝＝，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠CAD＝36°，
∴∠MAE＝72°，
∴∠AME＝180°－∠MAE－∠AEB＝72°＝∠MAE，∴AE＝ME.