6.4 正余弦定理及其应用 同步学案

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正余弦定理的应用学案
一．学习目标
一般地，三角形的三个角的对边分别为，叫做三角形的元素；已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一；命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点。
二．基础知识
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边与它所对的角的正弦的比相等；
即（R表示外接圆的半径）；
2.余弦定理：
三角形任意一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍；
即：在一个三角形中，三边与某个角存在如下等量关系；
；，
等价变形：，，
3.三角形中三个角自带关系：
；
①，
②，
③
④
4.三角形的面积公式
5.正余弦定理结论延伸
与正弦定理有关的结论：
①，，（化边为角）
②（其次项可代换<两边的组成多项式的各个式子同时含有边或角>）
③，，（化角为边）
④
⑤，，
与余弦定理有关的结论：
在中，如果为锐角，则；如果为直角，则；如果为钝角，则
在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑采用正弦定理；如果以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，防止出现增根或漏解。
三．问题引论
1.在中，若，，，能否说分别是直角三角形，钝角三角形，锐角三角形？
提示：①若，则是直角三角形；
②若，则是钝角三角形；
③若，则不一定是锐角三角形，因为不一定是最大边。
2.勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系；余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
3.正余弦定理分别均可实现三角形中的边与角的相互转化，对任意的三角形均适用；通过正弦定理与余弦定理的表达式，发现每一个等式均涉及四个量，知道其中的三个可以求得第四个。
四．典例分析与性质总结——余弦定理的应用
余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形。
题型1：已知三角形三边解三角形
例1：已知中，，求的各内角度数。
[方法技巧]
已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角．
利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的．当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角．
题型2：已知三角形两边及一角解三角形
例2：(1)在中，已知，，，求；
(2)已知在中，，最大边和最小边的长是方程的两实根，求边的长．
[方法技巧]
已知三角形的两边及一角解三角形的方法,已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
题型3：判断三角形的形状
例3：在中，若，且，试判断的形状
[方法技巧]
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
题型4：方程思想的运用
余弦定理中涉及三边一角，未知量较多，题目所给条件往往不是一个，需要根据具体条件进行整合，建立方程或方程组求解．
例4：如图，在中，，为的中点，且，求边长．
[方法技巧]
解决此类题应注意利用余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，同时注意利用公共边这一等量关系，这也是解三角形中经常用到的等量关系．
五．典例分析与性质总结——正弦定理的应用
正弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形；但是由于正弦函数在不是单调的，也取不到正弦函数值域的每一个值，因此应用正弦定理解三角形时可能会出现无解、一解以及两解的情况。
题型1：已知两角和任意一边解三角形
例1：在中，已知，，，解三角形．
[方法技巧]
已知两角及一边解三角形的解题方法
1.若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
2.若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边。
题型2：已知两边及一边的对角解三角形
例2：下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)；
(2)；
(3).
[方法技巧]
本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型；此类问题解的情况如下：
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定；
由正弦定理得，
①若，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若，则满足条件的三角形个数为1或2.
列成表格如下所示：
为钝角
为直角
为锐角
一解
一解
一解
无解
无解
一解
无解
无解
两解
一解
无解
题型3：利用正弦定理判断三角形形状
例3：在中，的对边分别为，且
，试判断的形状．
[方法技巧]
1.判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.
2.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
题型4：正余弦定理的综合应用
例4：在中，角的对边分别为，设满足条件
和，求角和的值．
[方法技巧]
在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当选取定理，简化运算过程，提高解题速度；同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件.解题时要综合、灵活地运用这两个定理，认真分析已知条件，结合三角形的有关性质，如大角对大边，大边对大角，三角形内角和定理等，并注意数形结合，防止出现漏解或增解的情况.
例5：在中，若，判断的形状．
[分析]　
[方法技巧]
依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：
1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论.
六．变式演练与提高
1.(1)在中，，则的最小角为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)在中，角的对边分别为；已知，，且最大角为，求此三角形的最大边长。
2.在中，角的对边分别为，若，，试判断的形状．
3.已知三个内角的对边分别为，，，，求.
4.的内角的对边分别为，若，，，求.
5.在中，若，求的取值范围。
6.已知三个内的对边分别为，；
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求边.
7.在中，的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，试判断的形状．
8.在中，角的对边分别为，，，，判断此三角形解的个数。
七．反思总结
1．对正余弦定理的理解
(1)结构形式
正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式连等式，实际上是三个边角关系式：
；余弦定理的关系式中涉及到“平方”、“夹角”、“余弦”，因此出现三角形线
段的平方因式时，首选余弦定理。
(2)定理本质
正弦定理指出了任意三角形中三条边与它们所对角的正弦之间的一个关系式，余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式；两者非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(3)主要功能：实现三角形中边角关系的转化。
2．三角形解的个数的确定
当三角形的两角和任一边确定时，三角形唯一确定；当三角形中已知两边和其中一边的对角时，三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．
判断三角形解的个数可由“三角形中大边对大角”来判定．设A为锐角，若，则，从而
为锐角，有一解；若，则，由正弦定理得：①，无解；②，
一解；③，两解．
由于正弦定理、余弦定理阐述了三角形的边角之间的关系，因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的知识解决；有时题目还会涉及向量等其他章节的知识，要全面掌握才可以解题。
八．课后作业
1.在中，已知，且，则的值为(　　)
A．4
B．8
C．4或8
D．无解
2.在中，已知，则等于(　　)
A．1
B.
C．2
D．4
3.在中，角的对边分别为；若，，，则
.
4.在中，，为边上的高，求的长.
5.在中，已知，角的余弦值是方程的根，求第三边的长。
6.在中，，判断的形状．
7.在中，若，，，则(　　)
A．
B．
C.
D.
8.在中，若，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．
9.在锐角中，角所对的边长分别为；若，求角的度数。
10.三角形的三内角的对边分别为；若
，求角的大小。
11.在中，分别根据下列条件指出三角形解的个数．
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，.
九．参考答案
（四．典例分析与性质总结——余弦定理的应用）
例1：解析
∵，令，．
由余弦定理的推论得：，∴，
，∴.
∴.
例2：解析
(1)由余弦定理，得；
所以。
(2)由余弦定理得：，其中，，；
由方程根与系数关系，，
∴，∴，∴.
例3：解析
∵中，，
又，∴，
又∵，∴
又∵，∴，∴
∴由余弦定理知，
∴.∴，∴为等边三角形．
例4：解析
设边为，则.
在中，，
在中，，
∵，∴，
即；解得
（五．典例分析与性质总结——正弦定理的应用）
例1：解析：
因为，，所以；
由正弦定理，得，
解得，．
例2：解析：
(1)，，，本题无解．
(2)，，，本题有一解．
∵由正弦定理，
∴，；∴．
(3)，
又∵，∴本题有两解．
由正弦定理得：
，∴或，
当时，，；
当时，，.
∴，，或，，.
例3：解析：
∵，
∴
，即
由正弦定理，
∵，所以，所以
∴或，即或。
∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
例4：解析：
由余弦定理，得，∴.
在中，
由已知条件和正弦定理，得
；解得.
例5：解析：
解法一：∵，
∴由正、余弦定理，得
，
整理，得，即
∴或.
∴或.
故为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
解法二：根据正弦定理，原等式可化为
即
∵，∴
∴.
∴或，即或.
∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。
（六．变式演练与提高）
1.解析：
(1)∵，∴为最小角且为锐角，
由余弦定理，得
∴.
(2)已知，则.又，所以，从而知，所以为最大边，故，，.
由余弦定理，得，即
，解得（舍去）或，即此三角形的最大边长为14。
2.解析：
由余弦定理得.
又因为，，所以.
所以，所以，所以是直角三角形.．
3.解析：
方法一：由余弦定理得，得，
∴为方程的两根，∴.
方法二：由余弦定理得，
∴，则，解得
4.解析：
在中，由，，可得，，
又，由正弦定理得.
5.解析：
因为，，
所以，所以，所以，
因为，所以，故.
6.解析：
(1)由及正弦定理得，
整理得，，即
因为，所以，所以.
(2)因为的面积，所以.①
由余弦定理得，，代入可得，②
联立①②，解得.
7.解析：
(1)∵，
∴，即，
∴；∴.
(2)∵，∴，
由，得，
∴
∴，即.
∴，即，∴；
∴为正三角形.
8.解析：
[分析]　由于不确定的边长，无法知道与的大小关系，即无法判断是否为钝角，这就需要对的取值进行分类讨论．
当时，由“大边对大角”知为锐角，，此时三角形有唯一解；
当时，，∴，不一定为锐角，∴有两种结果，此时有
两解；
当时，，则，此时有一解；
当时，，无解，此时无解．
综上可知，当或时，有一解；
当时，有两解；
当时，无解．
（八．课后作业）
1.解析：
由，得，利用余弦定理可得，即，解得或.
2.解析：
.
3.解析：
由余弦定理得，所以.
4.解析：
由余弦定理得，
∴，
∴，
∴.
5.解析：
解得，(舍去)．∴.
根据余弦定理，；
∴，即第三边长为4.
6.解析：
由题意得，即.
由正弦定理得，所以是直角三角形．
7.解析：
由正弦定理得，即，解得.
8.解析：
由及，得，；
由正弦定理，得
9.解析：
由正弦定理得，，，
因为为锐角三角形，所以.
10.解析：
由正弦定理得，，
即，，
又，所以。
11.解析：
(1)∵，，∴，∴有两解．
(2)∵，，∴，∴有一解．
(3)∵，，∴无解．
(4)∵，，，∴无解．
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精品试卷·第
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