椭圆的标准方程
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文档简介
椭圆的标准方程（1）
目标：理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念；熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程；能由椭圆定义推导椭圆的方程。
重点：椭圆的定义和标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导及标准方程的应用。
一、椭圆定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定。
（2）定长--轨迹上任意点到两定点距离和确定。
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）。
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）。
由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)
二、椭圆的标准方程
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.
则，又设与距离之和等于()（常数）
，，
，
化简，得 ，由定义,。
由定义,。
令代入，得 ，两边同除得：。
它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中。
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程。
如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程。
理解：（1）所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；
（2）标准方程有两种形式，取决于焦点所在位置。焦点在轴上时，方程为；焦点在轴上时，方程为，在这两个标准方程中，都有的要求，有时为了解题方便，可设方程；
（3）标准方程中有两个参数和，确定了椭圆的形状和大小；
（4）分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小)。
（5）在椭圆的方程中，、、间的关系为。
4、椭圆标准方程的应用
（1）利用定义求动点轨迹：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆，解题时只需选择适当的坐标系，就可以直接写出椭圆的方程。但有时需要根据实际意义除去不符合条件的点。
如：平面内两个定点的距离为8，求到这个定点距离和为10的动点的轨迹方程。
的周长为，，求顶点的轨迹方程。
（2）解决焦三角形或的最值问题。
处理焦三角形问题要充分利用余弦定理和椭圆的定义，并将视为一个整体。
三、一试身手
1、（1）在直角坐标系中，与两个定点，的距离和为10的点的轨迹是_______，轨迹方程是__________；与两个定点，的距离和为8的点的轨迹是______，轨迹方程是________。椭圆，，线段。
（2）两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）的椭圆的标准方程是_____________。。
2、如果椭圆上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是______________。14
3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1），焦点在轴上；
（2），焦点在轴上；
（3），。或。
四、例题讲解
例1、下列方程的图形是不是椭圆，若是，写出其焦点坐标。
（1）；（2）；（3）
例2、已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ A ）
A：? B：? C：? D：
例3、求经过和两点的椭圆的标准方程。
设方程为。
五、随堂练习
1、方程的图形是__________，焦点坐标分别为_____________。
椭圆；、
2、椭圆的焦点坐标是（ C ）
A：（±5，0）? B：（0，±5） ?C：（0，±12）? D：（±12，0）
3、,焦点在轴上的椭圆的标准方程是 。
。
4、方程表示椭圆，则的取值范围是（ B ）
A： B：
C： D：
5、（2006年，全国II）已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ C ）
A： B：6 C： D：12
6、若方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是_______。
且。
六、课后作业：
1、判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出的值。
①；②；③；④。
2、椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 。
3、方程的曲线是焦点在轴上的椭圆 ，求的取值范围是_________。
4、已知椭圆的标准方程是，是椭圆上的点，则与椭圆的两个焦点的距离分别是_______，______。
5、动点到两个定点和的距离和为，求动点的轨迹方程。
6、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）焦点在轴上，焦距为4，且经过点；
（2），。
目标：理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念；熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程；能由椭圆定义推导椭圆的方程。
重点：椭圆的定义和标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导及标准方程的应用。
一、椭圆定义：
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定。
（2）定长--轨迹上任意点到两定点距离和确定。
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）。
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）。
由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)
二、椭圆的标准方程
取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.
则，又设与距离之和等于()（常数）
，，
，
化简，得 ，由定义,。
由定义,。
令代入，得 ，两边同除得：。
它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中。
注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程。
如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程。
理解：（1）所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；
（2）标准方程有两种形式，取决于焦点所在位置。焦点在轴上时，方程为；焦点在轴上时，方程为，在这两个标准方程中，都有的要求，有时为了解题方便，可设方程；
（3）标准方程中有两个参数和，确定了椭圆的形状和大小；
（4）分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小)。
（5）在椭圆的方程中，、、间的关系为。
4、椭圆标准方程的应用
（1）利用定义求动点轨迹：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆，解题时只需选择适当的坐标系，就可以直接写出椭圆的方程。但有时需要根据实际意义除去不符合条件的点。
如：平面内两个定点的距离为8，求到这个定点距离和为10的动点的轨迹方程。
的周长为，，求顶点的轨迹方程。
（2）解决焦三角形或的最值问题。
处理焦三角形问题要充分利用余弦定理和椭圆的定义，并将视为一个整体。
三、一试身手
1、（1）在直角坐标系中，与两个定点，的距离和为10的点的轨迹是_______，轨迹方程是__________；与两个定点，的距离和为8的点的轨迹是______，轨迹方程是________。椭圆，，线段。
（2）两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（,）的椭圆的标准方程是_____________。。
2、如果椭圆上一点到焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是______________。14
3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1），焦点在轴上；
（2），焦点在轴上；
（3），。或。
四、例题讲解
例1、下列方程的图形是不是椭圆，若是，写出其焦点坐标。
（1）；（2）；（3）
例2、已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ A ）
A：? B：? C：? D：
例3、求经过和两点的椭圆的标准方程。
设方程为。
五、随堂练习
1、方程的图形是__________，焦点坐标分别为_____________。
椭圆；、
2、椭圆的焦点坐标是（ C ）
A：（±5，0）? B：（0，±5） ?C：（0，±12）? D：（±12，0）
3、,焦点在轴上的椭圆的标准方程是 。
。
4、方程表示椭圆，则的取值范围是（ B ）
A： B：
C： D：
5、（2006年，全国II）已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ C ）
A： B：6 C： D：12
6、若方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是_______。
且。
六、课后作业：
1、判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出的值。
①；②；③；④。
2、椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 。
3、方程的曲线是焦点在轴上的椭圆 ，求的取值范围是_________。
4、已知椭圆的标准方程是，是椭圆上的点，则与椭圆的两个焦点的距离分别是_______，______。
5、动点到两个定点和的距离和为，求动点的轨迹方程。
6、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）焦点在轴上，焦距为4，且经过点；
（2），。