抛物线的标准方程
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文档简介
抛物线的标准方程（共2课时）
目标：掌握抛物线的定义和标准方程的几种形式，会画抛物线的草图会；处理简单的直线与抛物线的位置关系问题。
重点：抛物线的标准方程和定义的应用。
难点：抛物线标准方程的各种形式。
一、课前预习
图形
方程
焦点
准线
1、填表：
2、已知抛物线的标准方程是（1），（2），求它的焦点坐标和准线方程。
3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是；（2）经过点。
内容讲解
1、抛物线定义：
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设（），那么焦点的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点，则有。
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程。
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是。
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下。
3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出（），则抛物线的标准方程如下：
(1), 焦点:，准线：。
（2), 焦点:，准线：。
(3), 焦点:，准线：。
(4) , 焦点:，准线：。
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。
不同点：(1)图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为、左端为；图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为，左端为。 （2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号。
焦点在轴上的抛物线标准方程：。
焦点在轴上的抛物线标准方程：。
4、抛物线的焦半径及其应用：
定义：抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：
抛物线，；
抛物线， ；
抛物线， ；
抛物线，。
5、焦点弦：
定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
抛物线， 。
抛物线， 。
当抛物线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：
抛物线， 。
抛物线，。
6、通径
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义，得到通径：。
7、几个常见的结论：
已知抛物线，若过焦点的直线倾斜角，与抛物线两交于点，两交点，则
（1）；（2），；
（3）。
二、例题讲解
例1、（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线的焦点坐标是，求它的标准方程。
变式训练：1、根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点；（2）准线方程；（3）焦点到准线的距离为
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）；（2）；（3）；（4）
例2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于，求抛物线的方程和的值。
变式训练：1、抛物线（）上一点到焦点距离是（），则点到准线的距离是_______，点的横坐标是__________。
2、若点A（3，2）在抛物线y2＝2x内，焦点为F，点P在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标是_________，这个最小值是________。
例3、已知抛物线与定点，过点作直线交抛物线于、两点，求线段中点的轨迹方程。
变式训练：设抛物线过定点，且以直线为准线。求抛物线顶点的轨迹的方程。
例4、斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，求线段的长。
变式训练：求过定点且与抛物线只有一个公共点直线方程。
随堂练习
1、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 ( )
A、 B、 C、 D、
2翰3333、过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )
A、一条 B、两条 C、三条 D、无数条
3、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是 ( )
A、 B、4 C、8 D、2
4、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )
A、 B、 C、 D、
5、点与点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是_____________。
6、经过点（2，0）斜率为1的直线与抛物线相交与点A、B，求线段AB的长。
目标：掌握抛物线的定义和标准方程的几种形式，会画抛物线的草图会；处理简单的直线与抛物线的位置关系问题。
重点：抛物线的标准方程和定义的应用。
难点：抛物线标准方程的各种形式。
一、课前预习
图形
方程
焦点
准线
1、填表：
2、已知抛物线的标准方程是（1），（2），求它的焦点坐标和准线方程。
3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是；（2）经过点。
内容讲解
1、抛物线定义：
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设（），那么焦点的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点，则有。
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程。
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是。
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下。
3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出（），则抛物线的标准方程如下：
(1), 焦点:，准线：。
（2), 焦点:，准线：。
(3), 焦点:，准线：。
(4) , 焦点:，准线：。
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即。
不同点：(1)图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为、左端为；图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为，左端为。 （2）开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号。
焦点在轴上的抛物线标准方程：。
焦点在轴上的抛物线标准方程：。
4、抛物线的焦半径及其应用：
定义：抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：
抛物线，；
抛物线， ；
抛物线， ；
抛物线，。
5、焦点弦：
定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
抛物线， 。
抛物线， 。
当抛物线焦点在轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：
抛物线， 。
抛物线，。
6、通径
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义，得到通径：。
7、几个常见的结论：
已知抛物线，若过焦点的直线倾斜角，与抛物线两交于点，两交点，则
（1）；（2），；
（3）。
二、例题讲解
例1、（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程。
（2）已知抛物线的焦点坐标是，求它的标准方程。
变式训练：1、根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点；（2）准线方程；（3）焦点到准线的距离为
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）；（2）；（3）；（4）
例2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点到焦点的距离等于，求抛物线的方程和的值。
变式训练：1、抛物线（）上一点到焦点距离是（），则点到准线的距离是_______，点的横坐标是__________。
2、若点A（3，2）在抛物线y2＝2x内，焦点为F，点P在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标是_________，这个最小值是________。
例3、已知抛物线与定点，过点作直线交抛物线于、两点，求线段中点的轨迹方程。
变式训练：设抛物线过定点，且以直线为准线。求抛物线顶点的轨迹的方程。
例4、斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，求线段的长。
变式训练：求过定点且与抛物线只有一个公共点直线方程。
随堂练习
1、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 ( )
A、 B、 C、 D、
2翰3333、过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )
A、一条 B、两条 C、三条 D、无数条
3、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，则AB的长是 ( )
A、 B、4 C、8 D、2
4、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )
A、 B、 C、 D、
5、点与点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是_____________。
6、经过点（2，0）斜率为1的直线与抛物线相交与点A、B，求线段AB的长。