1.4.1 解直角三角形 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4.1 解直角三角形 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-11-19 09:06:28 | ||
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文档简介
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北师大版初中数学九年级下册第1章直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形同步练习（一）
一．选择题
1．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，若BC：AC＝3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C．2 D．2
二．填空题
7．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝12，S△BCE＝24，则tanC＝ ．
8．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC＝ ．
9．如图，点A，B，C均在正方形网格点上，则tanC＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝cm，则∠B＝ ，AB＝ ，BC＝ ．
11．已知△ABC中，，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：CD＝2：1，则△ABC的面积为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（，2），则cosα的值为 ．
三．解答题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
15．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
17．如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，D是BC中点，tanC＝，求BC的长与tan∠ADB．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E是AC上一点，EF＝AC．
（1）求证：∠A＝2∠CBF；
（2）求tan∠DEF的值．
北师大版初中数学九年级下册第1章直角三角形的边角关系1.4 解直角三角形同步练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．答案：D
解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝，
故选：D．
2．答案：A
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACD＝＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
∴△CEG∽△FEC，
∴＝，
∴y＝，
∴y2＝，
∴＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴＝x2﹣4，
∴+4＝x2，
故选：A．
3．答案：B
解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，
根据勾股定理，AB＝5x，
设CD为a，
BD平分∠ABC，则DE＝CD＝a，
AD＝4x﹣a，AE＝5x﹣3x＝2x，
在Rt△ADE中，
AD2＝DE2+AE2，
即（4x﹣a）2＝a2+（2x）2，
解得，a＝x，
tan∠DBC＝
故选：B．
4．答案：A
解：如图所示，在Rt△ABD中，
tanB＝＝．
故选：A．
5．答案：B
解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故选：B．
6．答案：A
解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
二．填空题
7．答案：见试题解答内容
解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BD＝DC＝6，
∵S△EBC＝×BC×DE＝24，
∴DE＝4，
∴tanC＝＝＝，
故答案为．
8．答案：见试题解答内容
解：如图，连接BE交CD于O．
∵四边形BDEC是正方形，
∴BE⊥CD，OC＝OD＝OE＝OB
∴∠POB＝90°，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴PC＝OP，
∴OB＝2OP，
∵∠APC＝∠BPO，
∴tan∠APC＝tan∠BPO＝＝2，
故答案为：2．
9．答案：见试题解答内容
解：连接AD，如图，
易得∠ADC＝90°，
而CD＝2AD，
所以tanC＝＝．
故答案为．
10．答案：见试题解答内容
解：在Rt△ACD中，
∵cos∠DAC＝＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝30°，
在Rt△ACB中，∵sinB＝，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵tanB＝，
∴BC＝＝＝5（cm）．
故答案为：30°，10cm，5cm．
11．答案：见试题解答内容
解：如图1所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝4，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝，
∴S△ABC＝BC?AD＝×6×＝8；
如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝12，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝8，
∴S△ABC＝BC?AD＝×6×8＝24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．
12．答案：见试题解答内容
解：作MN⊥x轴于N，如图所示：
∵点M的坐标为（，2），
∴ON＝，MN＝2，
∴OM＝＝＝3，
∴cosα＝＝；
故答案为：．
三．解答题
13．答案：见试题解答内容
解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；
14．答案：见试题解答内容
解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵，
∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，
∴
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴
15．答案：见试题解答内容
解：（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD，
∴＝．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝
16．答案：见试题解答内容
解：在Rt△CDE中，sinC＝，
∴CE＝＝12；
在Rt△ABC中，tanC＝，
∴BC＝＝8．
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣12，
∴BE的长为8﹣12．
17．答案：BC＝18，tan∠ADB＝．
解：作AE⊥BC于点E，
∵∠B＝45°，AB＝3，∠AEB＝90°，
∴∠B＝∠45°，
∴AE＝BE＝3，
∵tanC＝，
∴CE＝5AE＝15，
∴BC＝BE+CE＝3+15＝18，
∵BC＝18，点D为BC的中点，
∴BD＝9，
∴DE＝BD﹣BE＝6，
∴tan∠ADB＝＝，
即BC＝18，tan∠ADB＝．
18．答案：（1）证明见解析部分．
（2）．
解：（1）证明：如图1中，作AH⊥BC于H，HN⊥AC于N．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵HN⊥AC，
∴∠AHC＝∠HNC＝90°，
∴∠CAH+∠C＝90°，∠CHN+∠C＝90°，
∴∠CHN＝∠CAH，
∵BF⊥AC，HN⊥AC，
∴HN∥BF，
∴∠CHN＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CAH，
∴∠CAB＝2∠CBF．
（2）作DM⊥AC于M，如图所示：
∵BF⊥AC，
∴DM∥BF，
∵D是AB的中点，
∴DM是△ABF的中位线，
∴DM＝BF，AM＝FM，
设AF＝x，则CF＝8﹣x，
在Rt△ABF和Rt△CBF中，由勾股定理得：BF2＝AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
即82﹣x2＝42﹣（8﹣x）2，
解得：x＝7，
∴AF＝7，
∴BF＝＝，FM＝AM＝AF＝，
∴DM＝BF＝，
∵EF＝AC＝4，
∴EM＝EF﹣FM＝，
∴tan∠DEF＝＝＝，
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北师大版初中数学九年级下册第1章直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形同步练习（一）
一．选择题
1．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，若BC：AC＝3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C．2 D．2
二．填空题
7．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝12，S△BCE＝24，则tanC＝ ．
8．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC＝ ．
9．如图，点A，B，C均在正方形网格点上，则tanC＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD＝cm，则∠B＝ ，AB＝ ，BC＝ ．
11．已知△ABC中，，过点A作BC边上的高，垂足为D，且BD：CD＝2：1，则△ABC的面积为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（，2），则cosα的值为 ．
三．解答题
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝6．解这个三角形．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝，BD＝3．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）若AB＝3，求AD的长．
15．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．
（1）如图1，若AE＝DE，
①求证：CD平分∠ACB；
②求的值；
（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
17．如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，D是BC中点，tanC＝，求BC的长与tan∠ADB．
18．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E是AC上一点，EF＝AC．
（1）求证：∠A＝2∠CBF；
（2）求tan∠DEF的值．
北师大版初中数学九年级下册第1章直角三角形的边角关系1.4 解直角三角形同步练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．答案：D
解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝，
故选：D．
2．答案：A
解：如图所示：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝AD＝4，
∴∠A＝∠ACD，
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，
∴tan∠ACD＝＝tanA＝y，
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACD＝∠FCE，
∴△CEG∽△FEC，
∴＝，
∴y＝，
∴y2＝，
∴＝FE2，
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
∴＝x2﹣4，
∴+4＝x2，
故选：A．
3．答案：B
解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，
根据勾股定理，AB＝5x，
设CD为a，
BD平分∠ABC，则DE＝CD＝a，
AD＝4x﹣a，AE＝5x﹣3x＝2x，
在Rt△ADE中，
AD2＝DE2+AE2，
即（4x﹣a）2＝a2+（2x）2，
解得，a＝x，
tan∠DBC＝
故选：B．
4．答案：A
解：如图所示，在Rt△ABD中，
tanB＝＝．
故选：A．
5．答案：B
解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，
故选：B．
6．答案：A
解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
二．填空题
7．答案：见试题解答内容
解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BD＝DC＝6，
∵S△EBC＝×BC×DE＝24，
∴DE＝4，
∴tanC＝＝＝，
故答案为．
8．答案：见试题解答内容
解：如图，连接BE交CD于O．
∵四边形BDEC是正方形，
∴BE⊥CD，OC＝OD＝OE＝OB
∴∠POB＝90°，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴PC＝OP，
∴OB＝2OP，
∵∠APC＝∠BPO，
∴tan∠APC＝tan∠BPO＝＝2，
故答案为：2．
9．答案：见试题解答内容
解：连接AD，如图，
易得∠ADC＝90°，
而CD＝2AD，
所以tanC＝＝．
故答案为．
10．答案：见试题解答内容
解：在Rt△ACD中，
∵cos∠DAC＝＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝30°，
在Rt△ACB中，∵sinB＝，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵tanB＝，
∴BC＝＝＝5（cm）．
故答案为：30°，10cm，5cm．
11．答案：见试题解答内容
解：如图1所示：
∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝4，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝，
∴S△ABC＝BC?AD＝×6×＝8；
如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，
∴BD＝12，
∵AD⊥BC，tanB＝，
∴＝，
∴AD＝BD＝8，
∴S△ABC＝BC?AD＝×6×8＝24；
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，
故答案为8或24．
12．答案：见试题解答内容
解：作MN⊥x轴于N，如图所示：
∵点M的坐标为（，2），
∴ON＝，MN＝2，
∴OM＝＝＝3，
∴cosα＝＝；
故答案为：．
三．解答题
13．答案：见试题解答内容
解：由勾股定理得，c＝＝＝＝12，
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
即：c＝12，∠A＝30°，∠B＝60°；
14．答案：见试题解答内容
解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵，
∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，
∴
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴
15．答案：见试题解答内容
解：（1）①证明：∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ACD，
∴EA＝EC，
∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，
∴∠ACD＝22.5°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，
∴CD平分∠ACB．
②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．
∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，
∴DA＝DT，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴BD＝DT＝AD，
∴＝．
（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．
∵AE⊥BE，CT⊥AT，
∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠ABE＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAT（AAS），
∴AE＝CT，BE＝AT，
∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，
∴ET＝CT＝AE，
∴BE＝2AE，
∴tan∠ABE＝＝
16．答案：见试题解答内容
解：在Rt△CDE中，sinC＝，
∴CE＝＝12；
在Rt△ABC中，tanC＝，
∴BC＝＝8．
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣12，
∴BE的长为8﹣12．
17．答案：BC＝18，tan∠ADB＝．
解：作AE⊥BC于点E，
∵∠B＝45°，AB＝3，∠AEB＝90°，
∴∠B＝∠45°，
∴AE＝BE＝3，
∵tanC＝，
∴CE＝5AE＝15，
∴BC＝BE+CE＝3+15＝18，
∵BC＝18，点D为BC的中点，
∴BD＝9，
∴DE＝BD﹣BE＝6，
∴tan∠ADB＝＝，
即BC＝18，tan∠ADB＝．
18．答案：（1）证明见解析部分．
（2）．
解：（1）证明：如图1中，作AH⊥BC于H，HN⊥AC于N．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵HN⊥AC，
∴∠AHC＝∠HNC＝90°，
∴∠CAH+∠C＝90°，∠CHN+∠C＝90°，
∴∠CHN＝∠CAH，
∵BF⊥AC，HN⊥AC，
∴HN∥BF，
∴∠CHN＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CAH，
∴∠CAB＝2∠CBF．
（2）作DM⊥AC于M，如图所示：
∵BF⊥AC，
∴DM∥BF，
∵D是AB的中点，
∴DM是△ABF的中位线，
∴DM＝BF，AM＝FM，
设AF＝x，则CF＝8﹣x，
在Rt△ABF和Rt△CBF中，由勾股定理得：BF2＝AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
即82﹣x2＝42﹣（8﹣x）2，
解得：x＝7，
∴AF＝7，
∴BF＝＝，FM＝AM＝AF＝，
∴DM＝BF＝，
∵EF＝AC＝4，
∴EM＝EF﹣FM＝，
∴tan∠DEF＝＝＝，
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