人教版八年级数学上册教学13.4 课题学习 最短路径问题课件（18张）

---13.4课题学习 最短路径问题1
B
A
l
人教版数学八年级上册
将军饮马问题
学习目标
1.能利用轴对称变换解决实际问题.
2.能利用作图解决生活中的轴对称问题. （作图建模）
路径极值问题的转换方法.
学习重点：
B
·
l
A
·
如图所示，点A、B分别是直线 l异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
两点之间，线段最短.
连接AB，与直线 l相交于一点，这个交点即为所求.
复习旧知
　　问题1 如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B 地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
解题思路
1、解读题干，提取信息
　　A地、B地抽象为两个点，笔直河边抽象为直线 l ，在河边什么地方饮马抽象为直线 l上一个动点C，这样就将问题转化为数学模型：
B
·
·
A
l
已知：点A、B在直线 l 的同侧，
求作：在直线 l 上找一个点C，使AC+BC最小。
解题思路
　　 让学生动手操作，画出自己认为最短路径的点C的位置。
2、动手操作，发现疏漏
解题思路
（1）探究点A、B在直线 l 的异侧，在直线 l 上找一点C，使AC+BC最小。
l
A
B
3、探究问题，突破难点
解题思路
只要连接这两点,与直线的交点即为所求．
（2）探究点A、B在直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点C，使AC+BC最小。
l
A
B
3、探究问题，突破难点
解题思路
l
A
B
C
B′
轴对称
转化
方法小结
线段的和最短
一条线段
B
·
l
A
·
B′
4、规范作图，学会方法
（1）作出点B关于 直线 l 的对称点B′ ，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB.
·
解题思路
（2）连接AB′，交直线 l 于点C．
则点C 即为所求．
B
·
l
A
·
B′
C
4、规范作图，学会方法
解题思路
5、推理论证，证明结论
证明：在直线 l 上另取一点C′，连接AC′，B′C′，BC′.
根据轴对称的性质可知BC=B′C，BC′=B′C′
∴AC+BC=AC+B′C=AB′
AC′+BC′=AC′+B′C′
由△AB′C′三边关系可知
A′B 则AC+BC ∴AC+BC最短
B
·
l
A
·
B′
C
C′
解题思路
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
转化
数学建模
轴对称
变换
思想方法
如图，A、B是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.
解：如图，P点即为该点.
变式1---变背景
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.
A?
B?
P
Q
.
.
.
.
变式2---变任务
l1
l2
A
A2
A1
M
N
要在两条街道 l1和 l2上各设立一个邮筒,A处是邮局,问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？
变式3---变地点
P
拓展---中考题
（△PAC周长最小时，求点P的坐标。）
（2017·七里河） 如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．