北京市第43中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

北京市第四十三中学2020—2021学年度第一学期期中
高二数学
2020.11.
试卷满分：150分
考试时间：120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则=
(
)
A．
B．
C．
D．
2．若，，则是(
　)
A．第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一象限角
3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.
，两点之间的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
6．已知向量,且,那么（
）
A．
B．
C．
D．
7．圆的圆心到直线的距离为（
）
A．2
B．
C．1
D．
8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（
）
A．若则
B．若则
C．若则
D．若则
9.
圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（
）
A．36
B.
　
C.
18
　
D.
10.
如图,在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为
（
）
A.
B.
2
C.
D.
3
二．填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题纸上）
11.
已知，，则
12.
过点（1，0）且与直线平行的直线方程是
13.
直线的倾斜角为
,x轴上截距为
14.
在中，，则______，的面积为_______.
15.
已知直线与圆交于两点，若，则____.
16.
已知点P是直线上的一点，过P作圆的切线，
切点为A，则切线长的最小值为__
___.
三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
（本题13分）如图，在正三棱柱中，为的中点.
（Ⅰ）
求证：平面；【6分】
（Ⅱ）
求证：平面.【7分】
18.
（本题12分）在钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知
，
（Ⅰ）求的大小；【4分】
（Ⅱ）求边和的面积．【8分】
19．（本题10分）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（Ⅰ）求直线的方程．【6分】
（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【4分】
20.
（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，
底面，,为棱的中点.
（Ⅰ）求证；【4分】
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；【7分】
（Ⅲ）求点A到平面PBD的距离。【4分】
21.（本题15分）
已知圆C：，直线过定点．
（Ⅰ）若直线与圆C相切，求直线的方程；【5分】
（Ⅱ）若直线与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．【10分】
22.
（本题15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：∥平面；【5分】
（Ⅱ）求证：∥平面；【5分】
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，
使得平面平面？说明理由．
【5分】
参考答案
一。选择题
1.
C
2.
B
3.D
4.B
5.C
6.A
7.B
8.D
9.B
10.D
二。填空题
11.
12.
13.
；
14.
；
15.
16.
三。解答题
17.(Ⅰ)证明：因为正三棱柱，为的中点，
所以，底面.
…………………1分
又因为底面，
所以.
…………………3分
又因为，平面，平面，
所以平面.
…………………6分
(Ⅱ)证明：如图，连接，设，连接，
…………………7分
由正三棱柱，得，
又因为在中，，
所以，
…………………10分
又因为平面，平面，
所以平面.
…………………13分
18【答案】（1）（2），
【详解】：（1）因为
，
所以。。。。。4分
（2）因为所以
得即所以
因为三角形是钝角三角形，所以舍去
所以………12分
错解：（2）没有注意到三角形是钝角三角形，检验cosA<0得到两组解
所以
19．答案：（1）（2）1
【详解】
（），解得，则点的坐标为．
由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，
可设所求直线的方程为．
将点坐标代入得，解得．
故所求直线的方程为．
.。。。。。。。。。。。。6分
（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
。。。。。。。。。。。10分
20【答案】
（Ⅰ）证明：因为底面，　所以．
　因为，
所以.
由于，
所以有．…………………４分
（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
　不妨设，可得，，，.
由为棱的中点，得.
　向量,.
　设为平面的法向量，则即．
　不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.
所以
.
　所以，直线与平面所成角的正弦值为.
…………………11分
（Ⅲ）解：
…………………15分
21．【答案】（1）或
【分析】
（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；
（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.
【详解】
（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.
。。。。。2分
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：
，解之得
.
所求直线l1的方程是或.
。。。。。。。。。。。5分
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,
设直线方程为，
则圆心到直线l1的距离
又∵△CPQ的面积
＝
∴当d＝时，S取得最大值2.
∴＝
∴
k＝1
或k＝7
所求直线l1方程为
x－y－1＝0或7x－y－7＝0
.
.。。。。。。。15分
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
22.
解：（Ⅰ）在三棱柱中，
因为侧棱垂直于底面，
所以平面．
所以．
因为，，
所以平面．
因为平面，
所以．
………5分
（Ⅱ）取中点，连结，．
则∥，且，
又因为∥，且，
所以∥，且．
所以四边形为平行四边形．
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面．
………10分
（Ⅲ）在棱上存在点，且为的中点．
连接．
在正方形中，
因为为中点，
所以△≌△．
所以．
　
所以．
　由（Ⅰ）可得平面，
因为//，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
………15分