§5.1认识二元一次方程组
【教学目标】
1、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程式刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识．
2、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
3、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力．
【教学重点与难点】
教学重点：
（1）理解二元一次方程和二元一次方程组的概念.
（2）了解二元一次方程、二元一次方程组的解.
教学难点：会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解,并尝试用列方程(组)的方法来解决实际问题.
【教学方法】
通过设计具有现实性和趣味性的问题情境，引导学生探索.为此选择了“谁的包裹多”“公园门票”这样的两个问题．学生在建立了二元一次方程和二元一次方程组模型之后，基于学生的学习心理规律，他们自然会产生探求其解的欲望，因此，接着设计了一个“做一做”活动，让学生对其中的一个问题——“公园门票”问题进行自主探索，尝试获得方程组的解．
【教学过程】
一、情景引入
1、创设问题情境：
（1）在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真又带有几分不解地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
（2）小明对小华说：“昨天，我们８个人去红山公园玩，买门票化了34元．”红山公园每张成人票5元，每张儿童票3元．小华想知道究竟他们去了几个成人、几个儿童，聪明的你能不能帮助小华呢？
（设计说明：用多媒体课件展示以上情景的动画，用趣味性的背景吸引学生，引发他们对问题的思考．去帮助别人解决问题，也就是要为自己解决问题，正需要学生们自己探索出解决“包裹多少问题”和“门票问题”的方法和途径，激发他们的探究欲望和分析研究的潜能．）
2、学习小组讨论：给学生独立思考的几分钟时间之后，他们对这个问题肯定有了自己的主意和看法，当然会很想去展示自己的思路．由各小组的组长负责，组内共同交流，讨论个人的观点．然后，教师组织以小组为单位的全班交流，给学生充分发挥展示自己的机会．
经过师生共同讨论，达成共识：
（1）这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的数量，因此可以选择两个未知数来表示，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x－y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，
得方程：x+1=2(y－1)
（2）这个问题涉及到成人人数和儿童人数，所以也可以用两个未知数来表示．设他们
中有x个成人，y个儿童，根据题一般可以得到方程x+y=8和5x+3y=34
3、教师引导学生观察所列出的两个方程，并提出问题：
（1）上面所列方程有几个未知数？（含有两个未知数）
（2）含未知数的项的次数是多少？（所含未知数项的次数是1）
以上的两个问题充分的提醒了学生应该去关注二元一次方程定义的两个要点，鼓励学生自己归纳得出二元一次方程的概念：
含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的定义中需要强调两点：
（1）含有两个未知数．
（2）含未知数的项的次数是一次．
（教学说明：为了改变对基本概念的教学枯燥乏味的模式，采用了生动的动画情景引入课题，符合初中学生的年龄特点，他们会由于兴趣的激发，而更积极地投入到本节课的学习中去．基本的二元一次方程的概念不是生硬的灌输，而是让学生饶有兴趣的去通过为小马解释困惑而去体会．当然，不排除学生有能力的差异，所以考虑到这些问题，又采用了小组讨论的方法继续深入研究，个人加上集体的智慧，问题也就会显得容易许多．最终，讨论的结果会体现出方程解题的优越性，同时，要训练学生清楚地表达如何把握题目中的等量关系，以及怎么样合理的选择未知数，建立起方程．教师应在课堂上及时的肯定学生们列出的方程，他们自然会很有兴趣，再设计问题，指导其对方程的特点进行观察归纳，就不难得出二元一次方程的概念了．）
随堂巩固练习：
（1）下列方程有哪些是二元一次方程：
①，②，
③，
④，
⑤，
⑥.
（2）如果方程是二元一次方程，那么m＝
，n＝
.
（教学说明：用这两道有代表性的题目，引导学生深入的思考和分析，更好的把握概念中的两个要点，加深学生对二元一次方程概念的理解．）
二、深入研究
议一议：上面的方程中x－y=2，x+1=2(y－1)的x含义相同吗？y呢？
（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同．）
由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x－y=2和x+1=2(y－1)，我们把这两个方程用大括
（教学说明：关键是让学生明白，两个方程中的x，y的含义分别相同，从而可以将两者联立形成方程组，自然过渡到二元一次方程组的概念．为今后学生理解解二元一次方程的方法奠定一定的基础．事实上，共含有两个未知数的几个一次方程组成的一组方程，都是二元一次方程组，而定义中所指的“两个”是考虑到这种形式的二元一次方程组最为常见．当然对学生的要求，只要他们能够在具体情境中理解二元一次方程即可．应该明确指出的是方程组各方程中同一字母必须代表同一个量．）
三、做一做
（设计说明：教师通过设置问题组，通过不同角度和难度的问题引导学生思考，自主地在解决问题的过程中体会二元一次方程的解的概念．）
问题1：x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？
问题2：x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？
问题3：你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？
1、各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论，由学生回答上面3个问题，老师作出结论
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解
（教学说明：练习1、2、3、4都是对二元一次方程和二元一次方程组的解基本概念的考查，学生们可以选择代入验证的方法来做出判断，并进一步明确概念．练习5和7的出现，让学生体会二元一次方程解的不唯一性，但是在某个限定的未知数的取值范围之内，我们是可以分析得到方程有限多个解的．练习6这类题目，是利用方程（组）及其解的定义，求得方程中的待定系数或字母的值，这也是数学中常见的方法，解答时应紧扣所涉及的定义，灵活应对．）
四、总结反思，情意发展
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获．）
问题1：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
归纳总结：
1、含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程．
2、元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解．
3、含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值．
（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己整节课的学习过程和个人的表现，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，丰富自己数学的知识结构．教师将通过对问题1的总结，让学生们发现他们合作学习，自主研究的过程中所发现的富有价值的方案和策略．通过问题2又结合学生自身的感受提炼本节课的重要知识点和应知应会的基本技巧技能．第3个问题是让学生在反思归纳的基础之上，拓展思维，打开智慧的空间，发散式思考，继续延伸相关知识，为进一步解二元一次方程组打好基础．通过老师为学生提供的展示互动的平台，使得他们善于倾听别人的想法和观点，对比反思个人的认识，提高学生的层次，深化了学习的意义．）
课堂检测
1．下列关于二元一次方程2x－y=3的解，说法正确的是（
）
A．2x－y=3的解是x=1，y=－1
B．2x－y=3的解是x=2，y=7
C．x=1，y=－1是方程2x－y=3的一个解
D．x=2，y=7是方程2x－y=3的一个解
2．根据题意列方程组：
（1）某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？
解：设男生有x人，女生有y人，根据题意列方程组为：________________________.
将一摞笔记本分给若干同学.每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本.共有多少本笔记本、多少个同学？
解：设共有x本笔记本、y个同学，根据题意列方程组为：_________________________.
布置课后作业
1、课本106页习题5.1第1题、第2题、第3题
2、课本106页数学理解第4题、第5题
（教学说明：及时而精选的作业是巩固课堂教学和学生学习成果的重要环节，课堂时间有限，所以安排学生课余完成以上的家庭作业，加深其对各个概念的认识，并能够灵活的应用，提高学生们数学的应用水平．）
PAGE
2(共25张PPT)
北师大版初中数学八年级(上)
§5.1
认识二元一次方程组
累死我了!
你还累?这么大的个,才比我多驮了2个.
1
情境引入：“谁的包裹多”
哼,我从你背上拿来
1个,我的包裹数就是你的
2
倍!
真的？！
1
情境引入：“谁的包裹多”
它们各驮了多少包裹呢?
你还累?这么大的个,才比我多驮了2个.
我从你背上拿来
1个,我的包裹数就是你的
2
倍!
1
情境引入：“谁的包裹多”
1
情境引入：“谁的包裹多”
昨天，我们8个人去红山公园玩，有大人和儿童，买门票一共花了34元。每张成人票5元，每张儿童票3元，你知道他们到底去了几个成人，几个儿童呢？
如果设有x个成人，y个儿童，由此你能得到怎样的方程？
x+y=8
5x+3y=34
1
情境引入：“公园门票”
2
想一想：归纳二元一次方程的概念
1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由.
3
练一练
是
是
否
否
否
是
3
练一练
4
议一议：二元一次方程组的概念
请在自己的草稿纸上列举几个二元一次方程组.
4
写一写
4
练一练
(1)x=6，y=2适合方程x+y=8吗?x=5，y=3呢?x=4，y=4呢?你还能找到其他x，y的值适合方程x+y=8吗?
(2)x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗?x=2，y=8呢?
(3)你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗?
5
做一做
5
做一做
5
做一做
5
练一练
5
练一练
5
练一练
5
练一练
5
练一练
6
总结反思，情意发展
问题1：本节课你有哪些收获？
问题2：本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么？
归纳总结：
1、含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程．
2、二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解．
3、含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值．
7
当堂检测
7
当堂检测
7
当堂检测
8
课后作业
1、课本106页习题5.1第1题、第2题、第3题；
2、课本106页数学理解第4题、第5题.
