北师大版八年级上册
第五章
第3节《应用二元一次方程组-鸡兔同笼》
教学设计
【教学目标】
1、在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能。
2、使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力。
3、进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识。
4、通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心。
【教学重点】
根据等量关系列二元一次方程组解决实际问题。
【教学难点】
理解方程是刻画现实的有效工具，掌握建模思想；读懂古算题，理解“鸡兔同笼”中的数量关系。
【教学过程设计】
一、学习新课:
1、引例
：
“鸡兔同笼”题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？
问题：1.上有35头”的意思是什么?“下有94足”呢？
2.这个题目中的已知量和未知量分别是什么？
3.题目中存在哪些等量关系？
4.你能解决这个有趣的问题吗?能找几种方法？与同学交流
等量关系
解：
小结：本题有几种解法？你喜欢哪种？
设计说明：多媒体展示"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的"难题"，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路,写出解题过程，同时体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
2、典例学习：
例：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？
2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？.
等量关系
解：
设计说明：通过之前的引入，学生基本掌握“鸡兔同笼”中的等量关系，再加以类似问题，帮助学生分析问题，让学生尝试解决问题，提起学生的兴趣，
树立信心，从具体问题中理解方程的作用。
3.归纳小结：
列二元一次方程组解应用题的步骤：
列二元一次方程组解决实际问题的关键是：
二、学以致用：
列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？
等量关系
设计说明：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能，使学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题。此例用于巩固例题中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤。学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能。
三、学习大比拼：（试卷）
学习大比拼
难度系数（★）
1.
马到成功：《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为____________________
2.绳索量竿：我国清代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是(
)
A.
B.
C.
D.
3.爱国情怀：国庆期间，《我和我的祖国》热映，我校某班买了35张电影票，共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，求甲、乙两种票各多少张？
难度系数（★★）
1．盈不足术：我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_______元．
2．青山绿水：为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池。第一天收集了1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克。试问1号电池和5号电池每节分别重多少克？
3．绫罗绸缎：明朝《永乐大典》中有这样一道题：“今有银钱二十贯，上街去买绫和罗，四十三文一尺绫，四十四文一尺罗，共买四百六十尺，绫、罗数量各几何？”请你求出文中绫和罗的数量各是多少尺？(1贯＝1
000文)
难度系数（★★★）
1.
雀重燕轻：《九章算术》方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”
2.鸽上枝头：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2.鸽上枝头：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
设计说明：此环节分小组，以比赛的形式开展本节练习，使学生变被动为主动，由学生选择难度系数来解决，顾及全体学生，提升了学生的主体意识，同时感受中国古代丰富的数学问题，合作交流，解决问题，丰富解题经验，进一步提升解题能力，并借此动力，鼓励学生大胆探索，巩固知识，掌握学法，加深理解。
四、课堂小结：
1．
通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？
2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？
3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
4．
列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
设计说明：通过以上四个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问，引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
五、布置作业：
【必做题】
完成学案二：智力大挑战
【选做题】
1.“五一节”期间，学校组织课外兴趣小组的学生到玉溪一中参观，租用两
种客车，2辆大巴车和1辆中巴车一次能运载99人，
，问一辆大巴车和一辆中巴车一次各能运载多少人？此题中间有一句话被墨水污染了，请帮忙把此题补全。并解答问题。
2.
(铜仁中考)某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：
(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？
六、课堂检测：
1、设甲数为x，乙数为y，则甲数的2倍与
乙数的3倍的和为15
，列出方程为
.
2、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，
若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组
为
.
3、小刚有5角硬币和一元硬币有8枚，币值共有6元5角，
求5角和一元的硬币各有多少枚？(共29张PPT)
大约一千五百年前，我国古代祖先著有《孙子算经》。现在《孙子算经》的流传本共三卷，卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。
?
情景引入
“鸡兔同笼”:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何?
“鸡兔同笼”题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？
1.“上有35头”的意思是什么?“下有94足”呢？
4.你能解决这个有趣的问题吗?能找几种方法？与同学交流.
2.这个题目中的已知量和未知量分别是什么？
总头数和总脚数是已知量，鸡和兔子的个数是未知量
鸡＋兔＝35
，鸡脚＋兔脚＝94
3.题目中存在哪些等量关系？
鸡和兔子的头有35头，鸡和兔子的脚有94只
------古题今解
算术法
枚举法
列方程
列方程组
“鸡兔同笼”题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？
------古题今解
（3）列一元一次方程：
解：设笼中有鸡x只，有兔子为（35-x）
只，
根据题意得：
2x+4(35-x)=94
解得：
x=23
35-x=12
答：笼中有鸡23只、兔12只
解：设笼中有鸡x只，有兔y只.
由题意可得：
解此方程组得：
x+y=35，
2x+4y=94.
x=23,
y=12.
答：笼中有鸡23只、兔12只.
(4)列二元一次方程组：
?
观察比较
（2）枚举法：从列表可以看出:94
只脚对应的是
12
只兔子和
23只鸡．
(1)“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？
(2)“若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？
千年古国源远流长，数学教育一脉相承。中国是世界四大文明古国之一，像鸡兔同笼问题这样浅显有趣的数学题目还有很多，在我国明代数学家程大位编著的数学名著《算法统宗》中记载：
以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
----古题今解
题中有哪些等量关系?
用绳子测量水井的深度.
如果将绳子折成三等份，
一份绳长比井深多5尺；
如果将绳子折成四等份，
一份绳长比井深多1尺.
绳长、井深各是多少尺？
----古题今解
以绳测井
若将绳三折测之，绳多五尺；
若将绳四折测之，绳多一尺.
绳长、井深各几何？
关系一
×绳长－井深＝5
关系二
×绳长－井深＝1
等量关系
解：设绳长x尺，井深y尺，由题意，得
x
3
x
4
-y=5,
①
-y=1.
②
答：绳长48尺，井深11尺.
解得：
x=48,
y=11.
｛
----古题今解
列二元一次方程组解应
用题的步骤是什么？
（1）审：审题；
（2）设：设两个未知数，找两个等量关系；
（3）列：根据等量关系列方程，联立方程组；
（4）解：解方程组；
（5）验：检验；
（6）答：作答.
?
学以致用
今有牛五、羊二，直金十两．
牛二、羊五，直金八两．
牛、羊各直金几何？
《九章算术》是中国东汉初期张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。里面有专门用方程命名的一章，记载了用一组方程解决实际问题的方法，这不仅是我国古代数学中的伟大成就，也是世界数学史上的一份非常宝贵的遗产。
5头牛、2只羊，共值金10两；
《九章算术》里记载：
2头牛、5只羊，共值金8两.
问每头牛、每只羊各值金多少两？
解:设每头牛值金x两，每头羊
值金
y两，
由题意，得：
5x+2y=10,
2x+5y=8.
答:牛值金
两,羊值金
两.
解得
x=
y=
{
?
学以致用
难度系数
马到成功
NEXT
马到成功
绳索量竿
3.国庆期间，《我和我的祖国》热映，我校某班买了35张电影票，共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，求甲、乙两种票各多少张？
x＋y＝35
，
8x＋6y＝250.
解：设甲种票x张，乙种票y
张，由题意得：
x＝20,
y＝15.
答：甲种票20张，甲种票15
张.
解得：
爱国情怀
盈不足术
雀重燕轻
绫罗绸缎
2.
为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池。第一天收集了1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克。试问1号电池和5号电池每节分别重多少克？
注：中国环境标志图形由青山、绿水、太阳及十个环组成，中心结构表示人类赖以生存的环境，外围的十个环紧密结合，环环紧扣，其寓意为“全民联合起来，共同保护人类赖以生存的环境。
青山绿水
2.
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，
则树下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则
树上、树下鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子
吗？
《一千零一夜》故事
鸽上枝头
经过本节课的学习，
你有哪些收获？
小
结
（1）审：审题；
（2）设：设两个未知数，找两个等量关系；
（3）列：根据等量关系列方程，联立方程组；
（4）解：解方程组；
（5）验：检验；
（6）答：作答.
通过对“题目中的已知量、未知量是什么”,“各个量之间的关系是什么”等问题的分析，形成解决实际问题的一般性策略：
【必做题】完成学案二：学习大比拼
作业一
---基本知识复习巩固
?
作业布置
1.
“五一节”期间，学校组织课外兴趣小组的学生到玉溪一中参观，租用两种客车，2辆大巴车和1辆中巴车一次能运载99人，
，问一辆大巴车和一辆中巴车一次各能运载多少人？此题中间有一句话被墨水污染了，请帮忙把此题补全。并解答问题。
2.
(铜仁中考)某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：
(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？
作业二
---
【选做题】
?
作业布置
1、设甲数为x，乙数为y，则甲数的2倍与
乙数的3倍的和为15
，列出方程为
.
2、一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组
为
.
3、小刚有5角硬币和一元硬币有8枚，币值共有6元5角，
求5角和一元的硬币各有多少枚？
2x+3y=15
x
+y=10
6x+8y=68
?
当堂检测
金鸡独立，兔子站起
94÷2=47（只）
47－35=12（只）
脚数：
头数：
35－12=23（只）
兔
鸡
⑴
《孙子算经》中记载的算法：
算数解法:
------古题今解
（2）枚举法：从列表可以看出:94
只脚对应的是
12
只兔子和
23只鸡．
------古题今解
（3）列一元一次方程：
解：设笼中有鸡x只，有兔子为（35-x）
只，
根据题意得：
2x+4(35-x)=94
解得：
x=23
35-x=12
答：笼中有鸡23只、兔12只.
----古题今解
解：设笼中有鸡x只，有兔y只.
由题意可得：
解此方程组得：
x+y=35，
2x+4y=94.
x=23,
y=12.
答：笼中有鸡23只、兔12只.
----古题今解
（4）列二元一次方程组：
