教学设计
课题：《图形的相似》复习课
学习过程：
归纳、总结本章知识，使知识成体系，对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固和提升。
体现研究图形问题的多种方法，培养处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
培养对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等能力，发展探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。
重点与难点
重点：掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
难点：培养处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
教学准备：学案
教学过程：
一、出示本章知识要点
1、了解比例的基本性质，黄金分割。
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。
6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。
二、思维导图：学生展示自己设计的思维导图并讲解，教师点评。
三、复习内容:
知识点一：1、生活中我们会碰到许多这样形状相同的．大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为——相似形。
2、相似形的特点：相似多边形的特征:
对应边成比例,对应角相等
。
3、对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相，
即
a:b
=
c:d，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional
segments）.
4、比例基本性质
5、黄金分割
点P把线段AB分成两部分AP
、BP（AP
＞BP）,
如果AP
：BA=BP：AP.那么称线段AB被点P
黄金分割,点P为线段AB
的
黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为黄金比。
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
小试身手
1．若
a:3=b:7,
则(a+3b):2b=
；
2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比例，则d=
；
3
4若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,则x为（
）
A
8
B
10
C
12
D
16
知识点二
:
出示三角形相似的判定、性质
相似三角形的判定
（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
（1）对应边成比例，对应角相等.
（2）相似三角形的周长比等于相似比.
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.。
大显身手
如图，DE∥BC,
AD:DB=2:3,
则△
AED和△
ABC
的相似比为＿＿＿.
已知三角形甲各边的比为3:4:6，
和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,
使△ABC∽
△BDC,
则DC=______.
4.
如图，△ADE∽
△ACB,
则DE:BC=_____
。
如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使
△ABC
∽
△DBA的条件是（
）.
A.
AC:BC=AD:BD
B.
AC:BC=AB:AD
C.
AB2=CD·BC
D.
AB2=BD·BC
6.
D、E分别为△ABC
的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=
∠
A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。
7.下列命题正确的是（
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。
B.
△ABC的三边长为3，4，5.
△A’B’C’的三边为
a+3,a+4,a+5.则△ABC∽
△A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
（2）证明题：
1.
D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD=
∠
ABC.
求证：AC2=AD·AB.
△ABC中,∠
BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线
于E，交AB于D，连AM.求证：①
△
MAD
∽
△
MEA
②
AM2=MD
·
ME
知识点三：相似三角形的应用
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。
巩固提高：
教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），
经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？
2、如图，已知：AB⊥DB于点B
，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。
在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？
知识点四：位似
如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似.
课堂小结：谈谈本节课的收获有哪些？
五、布置作业：导学案整理与复习
六、课后反思
这节课采取分组交流合作法为主，探究式教学法、发现法、启发式教学法等多种方法相结合，以学生的活动为主线，突出重点突破难点，发展学生的数学素养，注重教学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想；注重学生的个性差异，因材施教，分层教学；总的来说达到了预期的教学目标，突出了重点，突破了难点，学生的总体参与度还不错，学生能积极主动的参与并且大胆发言，气氛较为活跃，整个课堂体现了教师的引导作用和学生的主体地位，让学生在数学上得到较大发展。(共28张PPT)
1、了解比例的基本性质，黄金分割
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方
3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小
5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题
6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换
知识要点：
相似图形
定义
性质
相似三角形
定义
判定
性质
应用
画法
坐标
AA
SAS
SSS
定义
对应边成比例
对应角相等
中位线
重心
相似比
影子
平面镜
位似图形
平移旋转轴对称相似等
基本变换在坐标的反映
生活中我们会碰到许多这样形状相同的．
大小不一定相同的图形，
在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
相似形
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相，
即
=
，那么这四条线段叫做成比例线
段，简称比例线段（proportional
segments）
a
b
c
d
(1)比例基本性质
.
.
.
A
P
B
点P把线段AB分成两部分AP
BP,
如果
那么称线段AB被点P
黄金分割,
点P为线段AB
的
黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称为
黄金比.
PB
AP
AP
AB
=
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
>
1．若
a:3=b:7,
则(a+3b):2b=
；
2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比例，则d=
；
3
4若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,则x为（
）
A
8
B
10
C
12
D
16
相似三角形的判定
（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
（1）对应边成比例，对应角相等
（2）相似三角形的周长比等于相似比
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
一.填空、选择题:
1、如图，DE∥BC,
AD:DB=2:3,
则△
AED和△
ABC
的相似比为＿＿＿.
2:5
5
2cm
2、
已知三角形甲各边的比为3:4:6，
和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,
使△ABC∽
△BDC,
则DC=______.
4.
如图，△ADE∽
△ACB,
则DE:BC=_____
。
5.
如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使
△ABC
∽
△DBA的条件是（
）.
A.
AC:BC=AD:BD
B.
AC:BC=AB:AD
C.
AB2=CD·BC
D.
AB2=BD·BC
6.
D、E分别为△ABC
的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB=
∠
A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3
D
4
A
B
E
D
C
7.下列命题正确的是（
D
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。
B.
△ABC的三边长为3，4，5.
△A’B’C’的三边为
a+3,a+4,a+5.则△ABC∽
△A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
E
二、证明题：
1.
D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD=
∠
ABC.
求证：AC2=AD·AB.
2.
△ABC中,∠
BAC是直角，
过斜边中点M而垂直于斜边
BC的直线交CA的延长线
于E，交AB于D，连AM.
求证：①
△
MAD
∽
△
MEA
②
AM2=MD
·
ME
A
B
C
D
M
A
B
C
D
定义：连接三角形两边中点的线段
叫做
三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
A
B
C
D
E
重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一
2、已知:△ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成△DEF,△DEF的三条中位线又组成△HPN,则△HPN的周长等于——————,为△ABC周长的——,
面积为△ABC面积的——,
1、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,
10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为——cm,面积为——cm2,为原三角形面积的——。
6
10
8
3
5
4
B
C
A
D
E
F
相似三角形的应用：
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点
P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，
当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部
刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两
个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB=
x
m。
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
A
P
Q
B
解：
x
x
12
1.6
9.6
（1）由题得：
x
2x+12
=
1.6
9.6
解得：x
=
3
m
∴两个路灯之间的距离是18
m
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解：
1.6
9.6
18
x
设他的影子长为
x
m，则由题得：
x
18+x
=
1.6
9.6
解得
x
=
3.6
m
∴他的影子长为
3.6
m
？
A
B
做一做
4、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的
同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根
长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树
的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），
经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测
得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一
起算一下，树高为多少？
D
B
A
C
E
H
F
G
解：首先在图上标上字母，
过点C作CE⊥AB，垂足为E
根据题意，可得：
△AEC∽△FGH
2.7m
2.7m
1.2m
1.2m
1m
0.9
AE
FG
=
CE
HG
AE
1
=
2.7
0.9
AE=
3
m
∴树高AB
=
3
+
1.2
=
4.2
m
5、如图，已知：AB⊥DB于点B
，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。
4
6
14
A
D
C
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP
设PD=x，则PB=14―x，
∴6：4=（14―x）:x
则有AB:CD=PB:PD
∴x=5.6
P
6
x
14―x
4
A
D
C
B
P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则
则有AB:PD=PB:CD
设PD=x，则PB=14―x，
∴6：
x
=（14―x）:
4
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
4
6
x
14―x
D
B
C
A
p
巩固提高：
在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？
分析：由于?PBQ与?ABC有公共角∠B；所以若?PBQ与?ABC相似，则有两种可能一种情况为
,即PQ∥AC;另一种情况为
B
C
A
Q
P
8
16
2cm/秒
4cm/秒
如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心.
这时的相似比又称为位似比.
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的
距离之比等于位似比
二、位似图形
知识回顾
两图形中对应边有何关系？对应角呢?
这两个多边形相似吗？相似比是多少？
1．任取一点O；
2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；
3．分别在射线OA、OB、OC、
…上取点A’、
B’、C’、
…
，使：
OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=
…=1.5;
4．连接A’B’、B’C’、
…，得到所要画的
多边形A’B’C’D’E’.
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图18.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，
使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
练习如图：在三角形ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM
，点P从A点出发，沿AB以每秒4CM的速度向B点运动
同时点Q从C
点出发，沿CA以每秒3CM的速度向A点运
动，设运动的时间为X
（1）当X
何值时，PQ‖BC？
（2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC
（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长，若
不能，请说明理由。
A
B
P
Q
C
