(共16张PPT)
6.2.2
反比例函数的图象与性质
初中数学
北师大版
九年级上册
第六章
反比例函数
济南市济阳区曲堤镇中学
高夏青
1.反比例函数
的图象是一个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线
2.反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
3、反比例函数的图象可能与x、y轴相交吗？为什么？
不能与x轴、y轴相交。
因为x≠0，所以不与y轴相交；
因为y≠0，所以不与x轴相交。
结论：图象的两个分支无限接近x、y轴，
但永远不会与x、y轴相交
4、将反比例函数的图象绕原点旋转1800后，
能与原来的图象重合吗？
能重合。因为双曲线是中心对称图形，
对称中心是原点
5、将反比例函数的图象沿直线y=x或直
线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
能重合，双曲线是轴对称图形，有两条
对称轴，是直线y=x或直线y=-x
二、学习目标
1.
理解和掌握反比例函数的图象和性质.
(重点)
2.
能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
(重点)
3.
理解反比例函数的系数
k
的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
(重点、难点)
观察K=2，4，6时，
图象的共同特征
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
第一、三象限内
x>0时，图象在第一象限；
x<0
时，图象在第三象限。
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时,图象在第三象限？
三、思考·探究:增减性
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
为什么？
在每一个象限内，y随x的增大而减小
图象
的图象有又什么共同特征？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
思考·探究:增减性
x>0时，图象在第四象限；x<0
时，图象在第二象限
（2）当x取什么值时，图象在第二象限？当x取什么值时,图象在第四象限？
第二、四象限内
小结：
反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内,
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
反比例函数的图象是双曲线
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内,
在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；
并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有____________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.
（1）（2）（3）
(4)
练一练
2.
已知反比例函数
在每个象限内，y
随着
x
的增大而减小，求
m
的值．
解：由题意得
m2－10=－1，且
3m－8＞0．
解得
m=3.
（1）已知点（-6，y1）（-4，y2）在反比例函数
的图象上，试比较y1与y2的大小.你是怎么做的？
y1＜y2
练一练3
（2）已知点（4，y3）（6，y4）在反比例函数
的图象上，试比较y3与y4的大小.你是怎么做的？
（3）已知点（-4，y5）（6，y6）在反比例函数
的图象上，试比较y5与y6的大小.你是怎么做的？
y3＜y4
y5＞y6
P
Q
S1
S2
1.S1、S2、S3有什么关系？为什么？
点P、Q、R是反比例函数
上的点分别向
x
轴、y
轴作垂线，围成面积分别为S1，S2、S3的矩形
R
S3
Ｓ１＝Ｓ２＝Ｓ３
想一想：
因为
所以xy=k，所以S=|
k
|，即过双曲线上任意
一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|
k
|
四、反比例函数解析式中
k
的几何意义
2.|K|增大相应的S的值有何变化？
增大
P
Q
反比例函数
想一想：
三角形的面积：Ｓ=1/2
|K|
（x1，y1）
（x2，y2）
与坐标轴围成的三角形面积为S1
，S2
S3
有什么关系？为什么？
O
点P、Q、R是反比例函数
上的点分别向
x
轴作垂线，且连接坐标原点.围成面积分别为S1，S2，S3的三角形.
R
强调：
几何意义：反比例函数图象上的任意一点向X轴和Y轴作垂线，它们与坐标轴围成的矩形面积等于__
|
k
|
_；它们与坐标轴围成的直角三角形面积等于1/2
|K|.
通过K的绝对值可以求矩形、三角形面积，反之通过面积可以求关系式中的K.
1如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上．若S矩形OABC＝6，则k＝______________
2.如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形的面积是4，则反比例函数的解析式为________．
练一练
6
3.
如图点Ｐ
是反比例函数y=
4/x 的图象上的任意点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则Ｓ＝_____
2
4.如图所示，P1、P2、P3是双曲线上的三个点，过这三点分别作y轴的垂线，得三个三角形OP1A1、OP2A2、OP3A3，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则（
）
A.S1B.
S2
S3
C.S1<
S3<
S2
D.
S1=S2=S3
D
五、课堂小结
反比例函数
的性质
增减性
反比例函数图象中比例系数k的几何意义
当k＞0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而减小.
当k<0时，在每一象限内，
y的值随x的增大而增大.§6.2.2
反比函数的图像与性质（2）
教学目标：
1.
理解和掌握反比例函数的图象和性质.
(重点)
2.
能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.
(重点)
3.
理解反比例函数的系数
k
的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
(重点、难点)
一、学习导入
复习提问
1、反比例函数
的图象是一个怎样的图象？
2、反比例函数的图象的位置与k有怎样关系？
3、反比例函数的图象可能与x、y轴相交吗？为什么？
4、将反比例函数的图象绕原点旋转1800后，能与原来的图象重合吗？
5、将反比例函数的图象沿直线y=x或直线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
设计意图：结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫．
探究新知
内容1：试一试
观察反比例函数，，的图象，你能发现它们的共同特征吗?
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
教学策略：
1．本环节的问题串，能有效的激发学生的思考热情，教师要善于运用启发性的语言，调动起学生思维的“小宇宙”．
2．对于问题（2）、（3），教师要给学生留有充分的讨论、交流的时间和空间，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、交流，鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，并对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统．
3．在讨论、交流过程中，教师要指导学生勇于表达自己的想法，善于倾听他人的见解，让讨论在质疑、追问中进行．内容2：议一议
考察当=-2，-4，-6时，反比例函数的图象，它们有哪些共同特征？
第三环节：实际运用
巩固新知
内容：练一练
1.下列函数：①；②；③；④中
（1）图象位于二、四象限的有
；
（2）在每一象限内，随的增大而增大的有
；
（3）在每一象限内，随的增大而减小的有
．
2.
已知反比例函数
在每个象限内，y
随着
x
的增大而减小，求
m
的值．
3.（1）已知点（-6，y1）（-4，y2）在反比例函数
的图象上，试比较y1与y2的大小.你是怎么做的？
（2）已知点（4，y3）（6，y4）在反比例函数
的图象上，试比较y3与y4的大小.你是怎么做的？
（3）已知点（-4，y5）（6，y6）在反比例函数
的图象上，试比较y5与y6的大小.你是怎么做的？
四环节：激趣质疑
再探新知
内容1：想一想
在一个反比例函数图象任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为，与有什么关系？为什么？
（1）让我们从具体的反比例函数开始考虑：
此时，与有什么关系？为什么？
（2）对于一般的反比例函数呢？
教学策略：
给出具体的反比例函数，让学生按题目要求，取点、构造矩形、，自主探究与之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．
第五环节：活学活用
巩固提高
1如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上．若S矩形OABC＝6，则k＝______________
2.如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形的面积是4，则反比例函数的解析式为________．
3.
如图点Ｐ
是反比例函数y=
4/x 的图象上的任意点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则Ｓ＝_____
4.如图所示，P1、P2、P3是双曲线上的三个点，过这三点分别作y轴的垂线，得三个三角形OP1A1、OP2A2、OP3A3，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则（
）
A.S1B.
S2
S3
C.S1<
S3<
S2
D.
S1=S2=S3
第六环节：归纳总结
纳入系统
内容：
本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?
你有哪些感悟和收获？
你还有想继续探究的问题吗？
你对小组成员有什么评价和建议呢？
师生活动：教师帮助学生梳理、归纳。
设计意图：通过归纳，培养学生的抽象概括能力。
三、应用新知
（1）下列图象中是反比例函数图象的是（
）．
（2）如图所示的图象对应的函数解析式为（
）．
A.
B.
C.
D.
第（2）题图
第（3）题
（3）填空：
①
反比例函数的图象在第______象限．
②
反比例函数的图象如图所示，则k____0；在图象的每一支上，y随x的增大而______．
师生活动：师生问答，引导学生关注各题对应考查的知识点。
设计意图：通过练习，实现知识向能力的转化。
四、
课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容，学生回答以下问题，最后教师总结各环节的学习方法和数学思想。
（1）这节课我们从哪几个方面去研究反比例函数？
（2）在这些环节中你学到了哪些知识？
（3）从中体会到了哪些数学思想方法？
设计意图：教师引导学生回顾本节课的学习过程，梳理知识脉络，归纳知识点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为完整、全面的认识。
结束语：今天，我们通过反比例函数图像与性质的学习与探究，对比一次函数的学习，我们发现图像由“一条”到“两支”，由“连续”到“间断”，形态由“直”到“曲”，由与坐标轴“相交”到“无限趋近”.这是知识与方法的一次拓展，是理解与认识的一次升华，是思维上的一次飞跃.以后，我们将继续用“数形结合”的视角研究反比例函数更多的性质，探究更多新函数.
五、分层作业，共同提升
1.必做题：
习题6.3
选做题：
1.如图，直线x＝2与反比例函数y＝，y＝－的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是__
__．
2.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于轴的直线分别交双曲线于，两点，连接，，则的面积为________．
x
y
O
x
y
O
