4.7《相似三角形的性质》教案
教学目标：
1、知识与技能目标：
（1）经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”的探究过程.
（2）会运用上述两个性质解决简单的几何问题;
2、过程与方法目标：
通过探索相似三角形性质的过程，渗透逻辑推理的方法，引导学生从直观发现向自觉说理过渡，从而获得发现问题、解决问题的经验，发展了学生的数学问题意识和创新意识，为后续学习奠定基础。
3、情感与态度目标：
通过相似三角形定理及应用的学习，培养学生类比思想、归纳思想及特殊到一般的认识规律，拓展学生思维。
教学重点：（1）相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比；
（2）相似三角形性质的应用。
教学难点：（1）用转化的思想、类比的方法进行归纳推理，得到相似三角形的性质；
（2）相似三角形判定和性质的综合运用
教学过程：
课题引入
现有直角三角形纸片，两种方式剪下正方形，图中的正方形的面积相同吗？为什么？
相似三角形的定义
三角分别相等，三角也成比例的两个三角形叫相似三角形
若△ABC∽
△A1B1C1则相似三角形对应角相等、对应边成比例.
符号表示：若△ABC∽△A1B1C1,则
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
除了这些之外，还有其他什么相关性质呢？
二、预习·自学
指导：
请同学们认真阅读106-107页的相关内容，边读边思考，重点解决下列例题问题：
1.如何证明相似三角形对应高的比等于相似比？
2.如何证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比？
3.如何证明相似三角形对应中点的比等于相似比？
5.如图，AD是△ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长.
6.拓展提升：你能应用问题5中的方法解决下面两个正方形大小的比较问题吗？
三小组讨论
1.时间6分钟
2.要求：1、2、3组重点解决1、4、5题
4、5、6组重点解决2、5、6题
7、8、9组重点解决3、4、6题
3.对应组分别再黑板上写出1、2、3题的证明过程.
4.解决问题4的组还能有其他拓展吗？
5.解决问题5、6的组要做好展示答案与思路的准备.
四小组展示、老师精讲
展示
1已知△ABC
∽
△DEF，
△ABC
与△DEF的相似比为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对应角平分线的比是多少？
2已知△ABC
∽
△DEF，
△ABC
与△DEF的相似比为K，AM1、DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
3已知△ABC
∽
△A'
B'
C'，
△ABC
与△A'
B'
C'的相似比为K，AD
和
A'
D'
分别为三角形的高，它们的对应的高的比是多少？
老师拓展
问题4：相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.
老师在学生讨论展示的基础上精讲
例1
解：（1）∵四边形PQRS是正方形
∴
RS∥BC
∴
∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴
△ASR∽△ABC.(两角分别相等的两个三角形相似)
2）∵
△ASR∽△ABC.
∴
(相似三角形对应高的比等于相似比)
设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.
例2
一块直角三角形木板的两条直角边分别为3和4，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？
思路与方法
在问题2中运用了勾股定理、等面积法、相似三角形对应边的高之比等于相似比
五跟踪练习【组长批阅、讲解】
（1）△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知
,B′D′=4cm，则BD=
____
（2）△ABC∽△A′B′C′，AD和
A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8cm，A′D′＝3cm，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为_____
（3）．顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是( )
A．1∶4
B．1∶3 C．1∶2
D．1∶
（4）两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别2cm和5cm，在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是4cm，那么较长的中线为（
）
5.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2
m，CD＝5
m，点P到CD的距离是3
m，则点P到AB的距离是
.
6图,小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm.他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
解：
六、感悟·收获
六、布置作业
基础性作业：《课本》
随堂练习1,2
A
B
C
S
R
E
P
D
Q(共17张PPT)
北师大版数学九年级上册
第四章
图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第1课时
课堂导入
现有直角三角形纸片，两种方式剪下正方形，图中的正方形的面积相同吗？为什么？
相似三角形的定义
三角分别相等，三角也成比例的两个三角形叫相似三角形
A
C
B
A1
C1
B1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
△ABC∽
△A1B1C1
相似三角形的性质
若△ABC∽△A1B1C1,则
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
除了这些之外，还有其他什么相关性质呢？
A
C
B
A1
C1
B1
自学指导
请同学们认真阅读106-107页的相关内容，边读边思考，重点解决下列例题问题：
1.如何证明相似三角形对应高的比等于相似比？
2.如何证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比？
3.如何证明相似三角形对应中点的比等于相似比？
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
5.如图，AD是△ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长.
6.拓展提升：你能应用问题5中的方法解决下面两个正方形大小的比较问题吗？
4.若△ABC∽△A1B1C1，
，此时
是否还是
相似比呢？若是把
改为
呢？
小组讨论
1.时间6分钟
2.要求：1、2、3组重点解决1、4、5题
4、5、6组重点解决2、5、6题
7、8、9组重点解决3、4、6题
3.对应组分别再黑板上写出1、2、3题的证明过程.
4.解决问题4的组还能有其他拓展吗？
5.解决问题5、6的组要做好展示答案与思路的准备.
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B
=∠E,
∠BAC=∠EDF.
又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线,
∴∠BAM=∠EDN,
∴△AMB∽△DNE
(两角对应相等的两个三角形相似),
已知△ABC
∽
△DEF，
△ABC
与△DEF的相似比为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对应角平分线的比是多少？
(相似三角形对应边成比例).
A
B
C
M
D
E
F
N
分组讨论，类似结论
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B
=∠E,
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比
A
B
C
M
E
F
N
又∵AM1,DN1分别是△ABC和△DEF的中线，
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).
且∠B
=∠E，
已知△ABC
∽
△DEF，
△ABC
与△DEF的相似比为K，AM1、DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
∴
∴
∵△ABC
∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B'
，
证明：如图，分别作出
△ABC
和
△A'
B'
C'
的高
AD
和
A'
D'
．
则∠ADB
=∠A'
D'
B'=90°.
∴△ABD
∽△A'
B'
D'
.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
已知△ABC
∽
△A'
B'
C'，
△ABC
与△A'
B'
C'的相似比为K，AD
和
A'
D'
分别为三角形的高，它们的对应的高的比是多少？
问题4：相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比.
展示与评价
例1
解：（1）∵四边形PQRS是正方形
∴
RS∥BC
∴
∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴
△ASR∽△ABC.(两角分别相等的两个三角形相似)
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
例题展示
（2）∵
△ASR∽△ABC.
∴
(相似三角形对应高的比等于相似比)
设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.
A
B
C
S
R
E
P
D
Q
例2
一块直角三角形木板的两条直角边分别为3和4，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？
达标检测
3．顺次连接三角形三边的中点，所构成的三角形与原三角形对应高的比是( )
A．1∶4
B．1∶3 C．1∶2
D．1∶
C
5.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2
m，CD＝5
m，点P到CD的距离是3
m，则点P到AB的距离是
.
课堂总结
相似三角形的性质
角
相似三角形的对应角相等
对应角平分线的比等于相似比
对应中线的比等于相似比
对应高的比等于相似比
有关线段
对应边的比等于相似比
谢
谢
