课
题
6.2反比例函数的图象与性质（1）
【学生知识状况分析】
学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究函数的一般过程。一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。
【教学任务分析】
本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象需要注意的问题。理解函数的三种表示方法及相互转换，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的直观工具，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，在相互交流中锻炼从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.
（一）知识目标：
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.
2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.
3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
（二）能力训练目标
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.
（三）情感与价值观目标
让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.
【教学重点】
画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.
【教学难点】
反比例函数的图象特点及性质的探究.
【教学方法】
引导发现法、讨论法.
【学法指导】
学生已经学习过一次函数，对研究函数的图象和性质的思想方法已有所了解，在此基础上探索反比例函数的图象和性质，学生通过类比的方法学习，实现知识的迁移，可以学得比较轻松，同时也会对二次函数和高中阶段各种函数的学习产生积极的影响。所以要加强引导学生的自主学习，培养学生自主探索，终身学习的意识。在本节课中，学生通过列表、描点、连线画出有别于一次函数图象的双曲线，以及由反比例函数的图象归纳总结出反比例函数的性质会有一定的挑战性，但同时也为学生进行探究学习和合作学习提供了思维活动空间。
由于学生认知水平，学习能力以及学好函数的信心等方面存在差异，所以探讨活动的效果也会因人而异。这一点我们应该尊重学生的个体差异，尽可能让每个学生都学有所获。
【教具准备】
多媒体课件、幻灯片
【教学过程】
教师幻灯片展示下列问题：
回顾与思考
下列函数中哪些是反比例函数？
①
y
=
3x-1
②
y
=
2x2
③
④
⑤
y
=
3x-1
⑥
⑦
⑧
2.如何画函数的图象？
3.
目的：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思路，来研究反比例函数.
效果：通过对问题的回答，激起学生对函数研究的兴趣.
【做一做】1.作出反比例函数的图象
(1)列表：
…
…
…
…
（2）描点
（3）连线
做出反比例函数的图象
(1)列表：
…
…
…
…
（2）描点
（3）连线
教学策略：
小组内交流：教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足；通过展台展示学生出现的问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总，问题如下：
目的：运用类比的思想，学生独立画反比例函数图象，体现了结构式教学的特点，让学生自己发现问题，自己指出问题，自己解决问题。教师在此环节仅是作为引导者和组织者，充分发挥学生课堂学习的主动性.
效果：在画反比例函数图象的过程中，学生们出现了很多问题，通过老师的引导组织将这些问题进行指正、修改、加深了学生们对反比例函数图象的认识.
【议一议】
（1）观察和
的图象，它们有什么相同点和不同点?
（2）反比例函数
的图象在哪两个象限,由什么确定？
（3）反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心。是轴对称图形吗？如果是，找出对称轴．
反比例函数图象的特征
反比例函数的图象是由
组成，当>0时
位于
象限内；当<0时
位于
象限内。函数图象是轴对称图形，对称轴是
；是中心对称图形，对称中心是
.
目的：本环节的设置体现了数学结合的思想，通过观察函数图象来得到函数的基本性质是初中阶段学生所应具备的基本能力.问题（3）让学生动手折叠找出对称轴，然后通过看视频感受反比例函数的对称性。
效果：让学生自己观察总结并且进行小组交流讨论，这种课堂模式能够充分体现以学生为主体的，并且调动学生学习的积极性，培养学生学习的兴趣和动手能力。
“试金石”
双胞胎之间的差异
下面给出了反比例函数和
的图象，你能知道哪一个是
图象吗？为什么？
【练一练】
反比例函数的图像大致是（
）
目的：通过两道题目的求解让学生更加熟练的掌握反比例函数图象的基本性质.
【典例精析】
例1:若双曲线的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是(
)
A.k>
B.k<
C.k=
D.不存在
例2：如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数
(k＞0)的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的表达式为________．
目的：通过这两个例题让学生进一步掌握反比例函数的图象和性质。
效果：对例1的处理学生口述教师板书，例2让学生去讲台讲解，培养了学生的语言表达能力。
【当堂练习】
1．已知反比例函数y
=的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是
.
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有
,图象位于第二、四象限的有
。
3.如图，已知直线y=mx与双曲线的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是
(
)
A.(1,3)
B.(3,1)
C.(1,-3)
D.(-1,3)
【课堂小结】
【达标测试】
1.(A层）的图象叫
，图象位于
象限.
2.（A层）写出一个图象分布在二、四象限内的
反比例函数解析式
.
3.(B层）已知函数是反比例函数，且图象经过
一、三象限，
求m的值
【课后作业】
1．（A层）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数表达式可能是(
)
2.（A层）若反比例函数的图象位于第二、四象限则k的取值可以是(
)
A.
0
B.1
C.2
D．以上都不是
3.（B层）如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是( )
A.
2
B.4
C.6
D.8
【板书设计】
6.2.1反比例函数的图象与性质（一）
图象的画法：描点法
四、对称性
图象的形状：双曲线
既是轴对称图形又是中心对称图形
图象的位置：由k决定
例1：
k>0
一三象限
K<0
二四象限(共21张PPT)
北师大版
九年级上册
第六章
反比例函数
6.2.1
反比例函数的图象与性质（1）
y
x
o
x
y
o
学习目标
1．会通过列表、描点、连线等步骤，作反比例函数的图象．
2．了解反比例函数图象的形状的特点，会根据函数表达式的系数特点判别反比例函数图象的分布规律．
3．了解反比例函数图象是中心对称和轴对称图形．
回顾与思考
1.
下列函数中哪些是反比例函数？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
y
=
3x-1
y
=
2x2
y
=
x
1
y
=
2x
3
y
=
3x-1
y
=
x
1
y
=
1
3x
yx
=
3
2
2.如何画函数的图象？
函数图象画法
描点法
列
表
描
点
连
线
函数
正比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
一、三象限
从左到右上升
y随x的增大而增大
二、四象限
从左到右下降
y随x的增大而减小
k
(k是数,k≠0)
y
=
x
反比例函数
对比函数的图像与性质
反比例函数
的图象
一
讲授新课
问题：如何画反比例函数
的图象？
解析：画出函数的图象一般分为
列表
描点
连线
解：列表如下
x
...
...
y=
...
...
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
描点：
x
-8
–7
–6
–5
–4
–3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
87654321
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
x
...
-8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
...
y=
...
...
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
连线:
列表：
描点：
x
...
-8
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
...
...
...
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
请大家用同样的方法作反比例函数
的图象.
y
x
-8
–7
–6
–5
–4
–3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
87654321
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
连线：
想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?
用光滑的曲线连接各点
不和坐标轴相交
无限靠近坐标轴
图象是延伸的，不要画成有明确端点
(1)观察
和
的图象，它们有什么相同点和不同点?
双曲线
(3)反比例函数图象是中
心对称图形吗？如果是，
请找出对称中心。是轴对
称图形吗？如果是，找出
对称轴．
x
y
x
y
O
O
(2)反比例函数
(k≠0)的
图象在哪两个象限,由什么
确定？
第一、三象限
第二、四象限
形状:
反比例函数
的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数
的图象为双曲线.
位置：由k决定：
当k>0时,两支曲线分别位于_______________内;
当k<0时,两支曲线分别位于_______________内.
对称性：
反比例函数是轴对称图形，对称轴是
和
反比例函数是中心对称图形，对称中心是
直线y=x
直线y=-x
原点
“双胞胎”之间的差异
y
x
o
x
y
o
下面给出了反比例函数
和
的图象，你能知道哪一个是
图象吗？为什么？
y=
-2
x
y=
2
x
y=
-2
x
“试金石”
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
C
(抢答）
B
典例精析
例2：如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数
(k＞0)的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的表达式为________．
当堂练习
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有_____________;图象位于二、四象限的有________.
（1）（2）（3）
(4)
3.如图，已知直线y=mx与双曲线
的一个交点坐标为(-1,3)，则它们的另一个交点坐标是
(
)
A.
(1,3)
B.
(3,1)
C.
(1,-3)
D.
(-1,3)
x
y
C
O
课堂小结
反比例函数的图象
形状
双曲线
位置
画法
当k＞0时，两支曲线分别位于第一、
三象限内
当k<0时，两支曲线分别位于第二、
四象限内
描点法：列表、描点、连线
通过本节课的学习，你有什么收获？
对称性
既是轴对称图形又是中心对称图形
达标测试
1.(A层）
的图象叫
，
图象位于
象限.
2.（A层）写出一个图象分布在二、四象限内的
反比例函数解析式
.
3.(B层）已知函数
是反比例
函数，且图象经过
一、三象限，
求m的值
1．（A层）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数表达式可能是(
)
A．y＝x
2.（A层）若反比例函数
则k的取值可以是( )
的图象位于第二、四象限，
A．0 B．1 C．2 D．以上都不是
3.（B层）如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数
y＝
与
y＝－
的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
再
见
