21.2.1 第2课时　用配方法解一元二次方程 教案

中小学教育资源及组卷应用平台 年级数学人教版上册新教案
第2课时　用配方法解一元二次方程
1．了解配方法的概念，掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
2．理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想．
3．增强学生合作交流意识，培养探究精神，激发学习数学的乐趣．
重点
讲清配方法的解题步骤．
难点
把二次项系数化为1，常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
一、引入新课
[问题](投影展示)要使一块长方形的场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长与宽各是多少？
[导引]如果设这个长方形场地的宽为x m，则长为______，由题意可列出的方程为______．
[提问]你能将此方程化为(x＋n)2＝p的形式，并求出它的解吗？
学生思考完成，教师点评：(x＋6) cm　x(x＋6)＝16
二、探索新知
探究一：配方．
学生阅读教材第6～7页探究内容，再完成下面的“想一想”．
想一想：下列各题中的括号内填入怎样的数合适？
谈谈你的看法．
(1)x2＋10x＋(　　)＝(x＋　)2；
(2)x2－3x＋(　　)＝(x－　)2；
(3)x2－x＋(　　)＝(x－　)2；
(4)x2＋x＋(　　)＝(x＋　)2.
分析：结合公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，各式都要加“一次项系数一半的平方”．
学生交流回答，教师投影展示订正：
依次填入：(1)25，5；(2)，；(3)，；(4)，.
[思考]
1．请说一说用配方法解形如x2＋bx＋c＝0的一元二次方程的方法是怎样的？
2．如果某个一元二次方程的二次项系数不是1，还能用配方法解这个一元二次方程吗？
学生讨论交流，师生共同总结．
探究二：用配方法解一元二次方程．
请同学们思考一下，下面的两道题能否用直接开平方法解方程？
(1)x2－8x＋7＝0；(2)x2＋4x＋1＝0.
学生讨论回答，并展示．
[老师点评]用直接开平方法的形式为：方程左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数．
解：(1)移项，得x2－8x＝－7，
x2－8x＋(－4)2＝－7＋(－4)2，
∴(x－4)2＝9.
解得：x1＝7，x2＝1.
(2)移项，得x2＋4x＝－1，
x2＋4x＋22＝－1＋22，
则(x＋2)2＝3.
解得：x1＝－2＋，x2＝－2－.
[师生归纳]
1．配方法的概念．
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2．配方法步骤．
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p(Ⅱ)的形式，那么就有：
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根x1＝－n－，x2＝－n＋；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根．
例1　解方程．
(1)x2－4x－1＝0；(2)2x2＋4x＋1＝0.
分析：(1)中二次项系数为1，可直接移项后配方；(2)中二次项系数先化为1，然后再配方．
答案：(1)x＝2±；(2)x＝－1±.
探究三：用配方法进行代数证明．
例2　求证：无论x为何值时，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
分析：可用配方法构造一个完全平方式，再证明．
小组讨论完成，教师评价后并投影展示．
证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋)＝2(x2－2x＋12－12＋)＝2＝2(x－1)2＋1.∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1>0，∴无论x为何值，2x2－4x＋3的值恒大于0.
[供选用例题]试说明无论a取何值，方程(a2＋4a＋6)·x2＋7x＋8＝0是关于x的一元二次方程．
学生分小组讨论，教师点评：只要说明a2＋4a＋6不可能为0就行了．
三、巩固练习
1．基础练习：教材第9页练习1，2题．
2．补充练习：已知a、b、c是△ABC的三边，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，判断△ABC的形状，并说明理由．
答案：等边三角形，理由略．
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
在学生回答的基础上，老师点评：(1)配方法的概念：通过配成完全平方式解一元二次方程的方法；(2)配方法解一元二次方程的步骤：“一除、二移、三配、四开”．
五、布置作业
1．教材第17页习题21.2第2，3题．
2．完成相关练习．
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