第2练 不等式
[考情分析] 不等式作为高考命题热点内容之一，命题较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等，直接考查时主要是关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
考点一 不等式的性质与解法
要点重组
1．判断关于不等式的命题真假的方法：
(1)直接运用不等式的性质．
(2)利用函数的单调性．
(3)特殊值验证法．
2．解含参数的不等式要分类讨论，对参数的范围分类要做到不重不漏．
3．不等式恒成立问题的解题方法：
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立?f(x)min>a，x∈I；
f(x)
(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立?当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量．
1．(2019·全国Ⅱ)若a>b，则( )
A．ln(a－b)>0
B．3a<3b
C．a3－b3>0
D．|a|>|b|
答案 C
解析 由函数y＝ln
x的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b2．(多选)(2020·山东青岛58中月考)下列命题为真命题的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则<
D．若a>b，则<
答案 AB
解析 由ac2>bc2，可得c2≠0，即>0，∴ac2·>bc2·，即a>b，故A正确；
若a|b|>0，得a2>ab>b2，故B正确；
若a>b>0，c<0，则a2>b2，得0<<，则0>>，故C不正确；
若a>b，取a＝1，b＝－1，则<不成立，
故D不正确，故选AB.
3．已知0A．M>N
B．MC．M＝N
D．不能确定
答案 A
解析 ∵00,1＋b>0,1－ab>0.
∴M－N＝＋＝>0，∴M>N，故选A.
4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0的解集为______．
答案 (－∞，－ln
3)
解析 ∵一元二次不等式f(x)<0的解集为，
∴设－1和是方程x2＋ax＋b＝0的两个不相等的实数根，则a＝－＝，
b＝－1×＝－，
∴f(x)＝－＝－x2－x＋.
∴不等式f(ex)>0，即e2x＋ex－<0，
解得－1∵ex>0，∴0解得x，即x<－ln
3.
∴f(ex)>0的解集为{x|x<－ln
3}．
考点二 基本不等式
要点重组
1．基本不等式：≥，a>0，b>0；变形：ab≤2；适用条件：一正二定三相等；若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致．
2．基本不等式求最值的解题技巧：(1)凑项．(2)常值代换．(3)凑系数．(4)换元．
5．设x>0，y>0，若xlg
2，lg
，ylg
2成等差数列，则＋的最小值为( )
A．8
B．9
C．12
D．16
答案 D
解析 ∵xlg
2，lg
，ylg
2成等差数列，
∴2lg
＝(x＋y)lg
2，∴x＋y＝1，
∴＋＝·(x＋y)＝10＋
≥10＋2＝10＋6＝16.
当且仅当x＝，y＝时取等号．
6．已知实数a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值是( )
A．3
B．2
C．3
D．2
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，＋＝1，
∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·－3
＝1＋2＋＋－3≥3＋2－3＝2，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时取等号．
故a＋2b的最小值是2，故选B.
7．(2020·山东淄博实验中学模拟)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为( )
A.
B．3
C．6
D.
答案 C
解析 由椭圆与双曲线的对称性，不妨令椭圆与双曲线的焦点在x轴上，如图，
设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，由题意可知|F1F2|＝|PF2|＝2c.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＋2c＝2a1，|PF1|－2c＝2a2，两式相减，
可得a1－a2＝2c.
∴＋＝＋
＝＝
＝＝4＋＋，
∵＋≥2＝2，
当且仅当＝，即c＝2a2时等号成立，
∴＋的最小值为6.
8．设x>0，则y＝x＋－的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x＝时取等号，
所以y＝x＋－的最小值为0.
1．如果aA.<
B．abC．－ab<－a2
D．－<－
答案 D
解析 方法一 对于A项，由a得b－a>0，ab>0，故－＝>0，
所以>，故A项错误；
对于B项，由a0，
即ab>b2，故B项错误；
对于C项，由a0，
即a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；
对于D项，由a0，
故－－＝<0，
所以－<－成立，故D项正确．
方法二 由a2．(多选)若a>1,0A．log2
021a>log2
021b
B．logca>logba
C．(c－b)ac>(c－b)ab
D．(a－c)ac>(a－c)ab
答案 ABC
解析 因为a>1,0b>0，c－b<0，a－c>0.函数y＝log2
021x在(0，＋∞)上单调递增，所以log2
021a>log2
021b，A正确；根据对数函数的性质可得logca>logba，B正确；因为函数y＝ax单调递增，所以ac(c－b)ab，(a－c)ac<(a－c)ab，C正确，D不正确．
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ab>bc
B．acC．|ab|>|bc|
D.＋>0
答案 B
解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，当b＝0时，显然A，C错误；
因为a>b，c<0，所以ac4．(多选)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的取值可能为( )
A．9
B．12
C．18
D．24
答案 AB
解析 因为a>0，b>0，
所以m≤min.
又因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，
当且仅当＝，即a＝3b时，等号成立，所以m≤12，
故选AB.
5．已知函数f(x)＝x2ex，若a>0，b>0，p＝f?，q＝f?，r＝f(ab)，则下列关系式中正确的是( )
A．q≤r≤p
B．q≤p≤r
C．r≤p≤q
D．r≤q≤p
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，
∴－2
＝－＝≥0，
∴≥2.
又≥，
∴2≥ab，
∴≥2≥ab.
又∵函数f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴f(ab)≤f?≤f?，即r≤q≤p.
6．(2020·北京东城区模拟)配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5
000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大)．配件的存储费为每件每天2元(当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费)．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为________．
答案 5
解析 每个周期内的总费用为5
000＋400＋400×2＋400×3＋…＋400(n－1)＝5
000＋200n(n－1)，
∴每个周期内每天的平均费用为
＝＋200n－200
≥2－200＝1
800，
当且仅当＝200n，即n＝5时取等号．(共31张PPT)
不等式
第2练
考情分析
不等式作为高考命题热点内容之一，命题较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等，直接考查时主要是关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上.
考点一 不等式的性质与解法
要点重组
1.判断关于不等式的命题真假的方法：
(1)直接运用不等式的性质.
(2)利用函数的单调性.
(3)特殊值验证法.
2.解含参数的不等式要分类讨论，对参数的范围分类要做到不重不漏.
题组对点练
3.不等式恒成立问题的解题方法：
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立?f(x)min>a，x∈I；
f(x)(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立?当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方.
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量.
1.(2019·全国Ⅱ)若a>b，则
A.ln(a－b)>0
B.3a<3b
C.a3－b3>0
D.|a|>|b|
√
解析 由函数y＝ln
x的图象(图略)知，当0因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；
因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；
当b1
2
3
4
5
6
7
8
2.(多选)(2020·山东青岛58中月考)下列命题为真命题的是
A.若ac2>bc2，则a>b
B.若aab>b2
C.若a>b>0且c<0，则
D.若a>b，则
√
1
2
3
4
5
6
7
8
√
若a|b|>0，得a2>ab>b2，故B正确；
故D不正确，故选AB.
1
2
3
4
5
6
7
8
A.M>N
B.MC.M＝N
D.不能确定
√
1
2
3
4
5
6
7
8
4.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为
，则f(ex)>0的解集为_______________.
1
2
3
4
5
6
7
8
(－∞，－ln
3)
1
2
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5
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8
1
2
3
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5
6
7
8
∴f(ex)>0的解集为{x|x<－ln
3}.
要点重组
1.基本不等式：
，a>0，b>0；变形：ab≤
；适用条件：一正二定三相等；若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致.
2.基本不等式求最值的解题技巧：(1)凑项.(2)常值代换.(3)凑系数.
(4)换元.
考点二 基本不等式
A.8
B.9
C.12
D.16
√
1
2
3
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5
6
7
8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
7.(2020·山东淄博实验中学模拟)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则
的最小值为
√
1
2
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6
7
8
解析 由椭圆与双曲线的对称性，不妨令椭圆与双曲线的焦点在x轴上，如图，
设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，
由题意可知|F1F2|＝|PF2|＝2c.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＋2c＝2a1，|PF1|－2c＝2a2，两式相减，
可得a1－a2＝2c.
1
2
3
4
5
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1
2
3
4
5
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0
1
2
3
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6
7
8
押题冲刺练
1
2
3
4
5
6
1.如果a√
1
2
3
4
5
6
解析 方法一 对于A项，由a0，ab>0，
对于B项，由a0，
即ab>b2，故B项错误；
对于C项，由a0，
即a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；
对于D项，由a0，
1
2
3
4
5
6
方法二 由a2.(多选)若a>1,0A.log2
021a>log2
021b
B.logca>logba
C.(c－b)ac>(c－b)ab
D.(a－c)ac>(a－c)ab
√
√
√
解析 因为a>1,0b>0，c－b<0，a－c>0.函数y＝log2
021x在(0，＋∞)上单调递增，所以log2
021a>log2
021b，A正确；
根据对数函数的性质可得logca>logba，B正确；
因为函数y＝ax单调递增，所以ac(c－b)ab，(a－c)ac<(a－c)ab，C正确，D不正确.
1
2
3
4
5
6
3.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是
A.ab>bc
B.acC.|ab|>|bc|
D.
>0
√
1
2
3
4
5
6
解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
当b＝0时，显然A，C错误；
因为a>b，c<0，所以ac当a＝2，c＝－1时，显然D错误.
A.9
B.12
C.18
D.24
√
√
故选AB.
1
2
3
4
5
6
5.已知函数f(x)＝x2ex，若a>0，b>0，p＝
?，q＝
?，r＝f(ab)，则下列关系式中正确的是
A.q≤r≤p
B.q≤p≤r
C.r≤p≤q
D.r≤q≤p
√
1
2
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4
5
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解析 ∵a>0，b>0，
1
2
3
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5
6
又∵函数f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，
1
2
3
4
5
6
6.(2020·北京东城区模拟)配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5
000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元(当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费).在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为________.
5
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解析 每个周期内的总费用为
5
000＋400＋400×2＋400×3＋…＋400(n－1)＝5
000＋200n(n－1)，
∴每个周期内每天的平均费用为
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本课结束