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集合与常用逻辑用语
第1练
考情分析
1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元
二次不等式结合命题.
2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中含有量词的命题的否定、
充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、
不等式、数列等结合命题.
考点一 集合的概念与运算
要点重组
1.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
2.A∩B＝A?A?B?A∪B＝B.
3.若已知A∩B＝?，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?或B＝?；
若已知A?B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?.
题组对点练
解析 ∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2}.
又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{－2,3}.
1.(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则?U(A∪B)等于
A.{－2,3}
B.{－2,2,3}
C.{－2，－1,0,3}
D.{－2，－1,0,2,3}
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2.(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为
A.2
B.3
C.4
D.6
√
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N
，y≥x}
＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，
共4个元素.
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A.A∩B＝(0,3)
B.A∪B＝[－1，＋∞)
C.(?RA)∩B＝(3，＋∞)
D.A∪(?RB)＝(－∞，3)
√
√
√
解析 由题意可得A＝[－1,3)，B＝(0，＋∞)，
故A∩B＝(0,3)，A∪B＝[－1，＋∞)，(?RA)∩B＝[3，＋∞)，
A∪(?RB)＝(－∞，3)，
故ABD正确.
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4.(2020·邢台摸底)设集合A＝{x|x>a2}，B＝{x|x<3a－2}，若A∩B＝?，则a的取值范围是
A.(1,2)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.[1,2]
D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
√
解析 因为A∩B＝?，
所以a2≥3a－2，解得a≤1或a≥2.
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考点二 全称命题与特称命题
要点重组
“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”，“?x0∈M，p(x0)”的否定为“?x∈M，綈p(x)”.简记：改量词，否结论.
5.(2020·湖北部分重点中学新起点考试)命题“?x>1，x2－x>0”的否定是
A.?x0≤1，
－x0≤0
B.?x>1，x2－x≤0
C.?x0>1，
－x0≤0
D.?x≤1，x2－x>0
√
解析 因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“?x>1，x2－x>0”的否定是“?x0>1，
－x0≤0”，故选C.
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7.(多选)下列有四个关于命题的判断，其中正确的是
A.命题“?x0∈(0，＋∞)，3x0＋cos
x0<1”是假命题
B.命题“若xy＝100，则x＝4，y＝25”是假命题
C.命题“?x∈N，lg(x＋1)>0”的否定是“?x0?N，lg(x0＋1)>0”
D.命题“在△ABC中，若
<0，则△ABC是钝角三角形”是真命题
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解析 设f(x)＝3x＋cos
x(x>0)，则f′(x)＝3－sin
x>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>1，
从而命题“?x0∈(0，＋∞)，3x0＋cos
x0<1”是假命题.
易知选项B正确，C错误.
则∠B为锐角，不能判断△ABC是钝角三角形，所以选项D错误.
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8.(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋a，命题p：?x0∈R，f(x0)＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是
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解析 因为该特称命题为假命题，
所以它的否定是全称命题且为真命题，即?x∈R，f(x)≠0，
故Δ＝1－4a2<0，且a≠0，
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考点三 充要条件
要点重组
1.充要条件的判定方法：
(1)定义法：定条件，找推式(条件间的推出关系)，下结论.
(2)集合法：根据集合间的包含关系判定.
2.“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B，但B不能推出A.
9.(2019·北京)设函数f(x)＝cos
x＋bsin
x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析 若f(x)＝cos
x＋bsin
x为偶函数，
则对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos
x＋bsin
x，
∴2bsin
x＝0.
由x的任意性，得b＝0.
故f(x)为偶函数?b＝0.
必要性成立.
反过来，若b＝0，则f(x)＝cos
x是偶函数，充分性成立.
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充要条件.
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10.(2020·湖南衡阳八中月考)设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析 解不等式x2＋x－2>0，得x<－2或x>1，
∵{x|11}的真子集，
∴“x2＋x－2>0”是“11
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11.已知r>0，x，y∈R，p：“x2＋y2≤r2”，q：“|x|＋|y|≤1”，若p是q的充分不必要条件，则实数r的取值范围是
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解析 如图，x2＋y2≤r2(r>0)表示的平面区域是以原点为圆心，r为半径的圆上和圆内的部分，|x|＋|y|≤1表示的平面区域是正方形ABCD及其内部，其中A(1,0)，B(0,1)，C(－1,0)，D(0，－1)，
因为p是q的充分不必要条件，
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12.已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则实数m的最大值为____；若p是q的必要条件，则实数m的最小值为____.
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解析 由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.
解得0＜m≤1，
∴m的最大值为1.
解得m≥4，∴m的最小值为4.
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解析 由loga3＜logb3，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，
由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，
∴“loga3＜logb3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件.
故选B.
1.(2020·山东六地市联考)已设a，b都是正数，则“loga3＜logb3”是“3a＞3b＞3”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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押题冲刺练
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2.(多选)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是
A.M∩N＝N
B.M∩(?UN)≠?
C.M∪N＝U
D.M?(?UN)
√
√
解析 由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0又?UN＝{x|x≤0或x≥1}，
∴M∩(?UN)＝{x|x≤0}≠?，
M∪N＝{x|x<1}＝M，M
(?UN)，
故选AB.
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3.集合A＝{x|－2A.(－∞，－2]
B.[－2,3]
C.[2,3]
D.[3，＋∞)
√
解析 由题意可知t∈(－2,1)，所以x＝t2－a∈[－a,4－a)，
所以B＝{x|－a≤x<4－a}，
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5.“a≥3”是“x＝1为函数f(x)＝－x3＋
(a＋3)x2－ax－1的极小值点”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析 f′(x)＝－3x2＋(a＋3)x－a＝(－3x＋a)(x－1)＝0，
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6.给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出以下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
②
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解析 ①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以①不正确；
②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；
③中，令A1＝{n|n＝3k1，k1∈Z}，A2＝{n|n＝
k2，k2∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k1＋
k2?(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确.
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本课结束
