数学北师大版必修1 同步教学课件（25份）

(共26张PPT)
2.3　映射
一
二
三
一、映射
若两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的映射,记作:
f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像,记作f:x→y.
一
二
三
【做一做1】
已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},下列A到B的四种对应法则中,能够构成映射的有(　　)
?
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:所给对应中①,③符合映射的定义,②中的元素4在B中无元素与之对应,而④中A的元素3在B中有两个元素与之对应,因此都不能构成映射.
答案:B
一
二
三
二、一一映射
如果映射f:A→B满足A中的不同元素的像不同且B中的每一个元素都有原像,那么称映射f:A→B为一一映射,一一映射也称为一一对应.
映射和一一映射的区别与联系
一
二
三
【做一做2】
下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为(　　)
①A=N,B=Z,f:x→y=-x.
②A=N+,B={0,1},f:除以2所得的余数.
③A={-4,-1,1,4},B={-2,-1,1,2},f:x→y=±
.
④A={平面内边长不同的等边三角形},B={平面内半径不同的圆},f:作等边三角形的内切圆.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①是映射,但不是一一映射,如集合B中4没有原像;②中所有正偶数在对应法则f下只有零一个值,所以不是一一映射;③中集合A的每个值,有两个集合B中的值对应,不是映射;只有④是一一映射.
答案:A
一
二
三
三、函数与映射
函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空数集的映射.函数的概念可以叙述为:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:A→B就叫作A到B的函数.在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)映射f:A→B与映射f:B→A是同一个映射.
(　　)
(2)映射f:A→B中,A中的元素可以没有像与之对应.
(　　)
(3)映射f:A→B中,B中的任一元素均有原像与之对应.(　　)
(4)一一映射f:A→B中,B中的任一元素均有原像与之对应.
(　　)
(5)映射是函数,函数也是映射.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
映射的概念
【例1】
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?
(1)A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},对应关系f:x→y=x+1;
(2)A=N,B=N+,对应关系f:x→|x-1|;
(3)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},对应关系f:x→
.
分析:依次按照映射、一一映射、函数的定义进行判断.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,所以此对应是从A到B的映射.又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应,故该对应是一一映射.又A,B是非空数集,因此该对应也是从集合A到集合B的函数.
(2)集合A=N中元素1在对应关系f的作用下为0,而0?N+,即A中元素1在B中没有元素与之对应,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射.
(3)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3,而3?B,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
如何判断一个对应是否构成从A到B的映射
先看集合A中的每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若有,看对应元素是否唯一,若对应元素唯一,则是映射;否则,不是映射;集合B中有剩余元素不影响映射的成立.想说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可,若进一步判断该映射是否是函数,只需看两个集合A,B是否是非空数集即可,若A,B均为非空数集,则是函数,否则不是函数;若进一步判断是否为一一映射,还需注意B中的每一个元素在A中都有原像,集合A中不同元素对应的像不同.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1下列对应或关系式中是A到B的映射的是(　　)
A.A∈R,B∈R,x2+y2=1
B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:
解析:对于A项,x2+y2=1可化为y=±
,显然对任意x∈A,y值不唯一,故不符合.对于B项,符合映射的定义.对于C项,2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.对于D项,-1∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
像与原像的计算
【例2】
已知映射f:A→B中,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).
(1)求A中元素(1,2)的像;
(2)求B中元素(1,2)的原像.
分析:(1)根据规则直接代入求像;
(2)建立方程组求原像.
解:(1)当x=1,y=2时,3x-2y+1=0,4x+3y-1=9,
故A中元素(1,2)的像为(0,9).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解决映射中像与原像的计算问题时,要紧扣其定义.若已知A中的元素a(即原像a),求B中与之对应的元素b(即像b),这时相当于已知自变量的值求函数值,只要将元素a代入对应关系f求解即可;若已知B中的元素b(即像b),求A中与之对应的元素a(即原像a),这时相当于已知函数值求自变量的值,只需构造方程(组)进行求解即可,但应注意解得的结果可能不唯一.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
构成映射个数问题
【例3】
(1)已知集合A={a,b,c},B={d,e},则从A到B可以建立不同的映射个数为(　　)
A.5
B.6
C.8
D.9
(2)已知集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数为(　　)
A.2
B.3
C.5
D.8
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)用树状图写出所有的映射为:
(2)满足条件f(a)+f(b)=0的情形有:-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0,共3个,即满足条件的映射有3个.
答案:(1)C　(2)B
1.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则A→B共有nm个不同的映射.
2.含条件的映射个数的确定,解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件,要采用分类讨论的思想,利用列举法来解决.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},映射f:A→B满足1是4的一个原像,则符合条件的映射的个数为(　　)
A.27
B.9
C.8
D.6
解析:要完成题设条件所给的映射,主要是给集合A中的元素2,3找像,可分以下几类:
①1→4,2和3分别对应5,6中的一个(构成一一映射),有2个;
②1→4,2,3都对应4,有1个;
③1,2都对应4,3对应5,6中的一个,有2个;
④1,3都对应4,2对应5,6中的一个,有2个;
⑤1→4,2,3都对应5,有1个;
⑥1→4,2,3都对应6,有1个.
综上所述,共有2+1+2+2+1+1=9个.
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对函数与映射的概念理解不清致误
【典例】
下列对应f是从集合A到集合B的函数的是　　　　　.
(填序号)?
①A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8.
②A=Z,B={-1,1},n为奇数时,f(n)=-1;n为偶数时,f(n)=1.
③A=B={1,2,3},f(x)=2x-1.
错解:①②③均为集合A到B的函数.
正解:对于①,集合A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像,同时集合A和B都是数集,可知对应关系f是集合A到集合B的函数.
对于②,对应关系f也是集合A到集合B的函数.
对于③,由于f(3)=2×3-1=5?B,即集合A中的元素3在集合B中没有像,
因此对应关系f不是集合A到集合B的函数.
答案:①②
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.对于能否构成映射或函数的问题,一定要紧扣其定义,抓住“任意”“唯一”等关键词.
2.错解中仍没有弄清A中的元素在B中都有唯一的元素与之对应,缺一不可.
1
2
3
4
5
1.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是(　　)
A.对集合A中的数开平方
B.对集合A中的数取倒数
C.对集合A中的数取算术平方根
D.对集合A中的数立方
解析:对A,C,当a,b,c中有小于零的数时,在集合B中没有对应元素;对B,当a,b,c中有等于零的数时,在集合B中没有对应元素.故选D.
答案:D
6
1
2
3
4
5
2.在如图所示的对应中是A到B的映射的是(　　)
?
A.②
B.①③
C.③④
D.①④
解析:①A中元素b在B中没有与之对应的元素,②A中元素2在B中有两个元素与之对应,因而均不能构成从A到B的映射;③和④符合映射的定义,均能构成从A到B的映射.
答案:C
6
1
2
3
4
5
3.已知集合A=N+,B={奇数},映射f:A→B使A中任一元素a与B中元素2a-1相对应,则在映射f下,像17对应的原像是(　　)
A.3
B.5
C.9
D.17
解析:由2a-1=17,得a=9,故选C.
答案:C
6
1
2
3
4
5
4.下列对应是集合A到集合B的一一映射的是(　　)
解析:考查一一映射的概念.本题可用排除法.A中,集合A中的元素0在f下集合B中没有元素与它对应,这个对应不是映射,排除A;B中,集合A中的元素±1在f下的像都是1,故排除B;C中,负实数及0在f下集合B中没有元素与它对应,排除C;D符合一一映射的定义.
答案:D
6
1
2
3
4
5
5.已知A={a,b},B={c,d,e},则集合A到集合B的不同的映射f的个数为　　　　　.?
解析:能构成f:A→B的个数为32.
答案:9
6
1
2
3
4
5
6(共24张PPT)
5.1　对数函数的概念
5.2　对数函数y=log2x的图像和性质
一
二
三
一、对数函数的概念
一般地,函数
y=logax
(a>0,a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).a叫作对数函数的底数.特别地,我们称以10为底的对数函数y=lg
x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数y=ln
x为自然对数函数.
【做一做1】
若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=　　　　　.?
解析:由a2-a+1=1,解得a=0,1.
又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.
答案:1
一
二
三
二、反函数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和指数函数y=
ax
(a>0,a≠1)互为反函数.
答案:C
一
二
三
三、函数y=log2x的图像与性质
一
二
三
【做一做3】
(1)函数y=log2x在x∈[2,8]上的值域为　　　　　.?
(2)函数f(x)=
的定义域是　
.?
解析:(1)∵y=log2x在[2,8]上为增函数,
∴ymin=log22=1,ymax=log28=3,
∴该函数的值域为[1,3].
(2)要使函数有意义,应满足log2x≠0,且x>0,因此x>0,且x≠1,即函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠1}.
答案:(1)[1,3]　(2){x|x>0,且x≠1}
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)函数
(a>0,且a≠1)是对数函数.
(　　)
(2)函数y=log2x是非奇非偶函数.
(　　)
(3)若函数y=logax的图像过点(m,n),则函数y=ax的图像定过(n,m).
(　　)
(4)函数y=log2x是R上的增函数.
(　　)
(5)互为反函数的函数的图像关于直线y=x对称.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数函数的概念
【例1】
(1)若对数函数f(x)的图像经过点(4,-1),则
=　　;
(2)下列函数中,是对数函数的是　　　　　.(填序号)?
①y=log4x;②y=log2(3x);③y=logx2;④y=log3(x-1);⑤y=log2x2;
⑥y=
log3x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)①y=log4x符合对数函数定义,是对数函数;
②y=log2(3x)中,真数是3x,不是单个自变量x,故不是对数函数;
③y=logx2中,底数是自变量x,不是常数,故不是对数函数;
④y=log3(x-1)中,真数是x-1,不是自变量x,故不是对数函数;
⑤y=log2x2中,真数是x2,而不是自变量x,故不是对数函数;
答案:(1)2　(2)①
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.对数函数是一个形式定义:
2.求对数函数的解析式时,主要采用待定系数法求出底数a的值,即得其解析式.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=loga(2x)
B.y=lg(10x)
C.y=loga(x2+x)
D.y=ln
x
(1)解析:根据对数函数的定义可知仅有D满足对数函数的标准形.
答案:D
(2)解:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则2=loga16,故a=4,即y=log4x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反函数问题
【例2】
若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(
,a),则f(x)等于(　　)
答案:B
函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1);函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0,且a≠1).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2函数f(x)=3x(0A.(0,+∞)
B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
解析:∵
0即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数函数y=log2x的图像与性质
【例3】分别画出函数y=|log2x|和y=log2|x|的图像,并分析它们的定义域、值域、奇偶性、单调性.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,是偶函数,在(-∞,0)上是减少的,在(0,+∞)上是增加的.
对数函数y=log2x的性质较为简单,研究由y=log2x的图像变换得到的函数的图像与性质时,通常是先通过图像变换得到函数图像,再结合图像研究其性质.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3根据函数f(x)=log2x的图像和性质求解以下问题:
(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;
(2)求y=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最值.
解:函数y=log2x的图像如图所示.
(1)函数y=log2x是增函数,若f(a)>f(2),
即log2a>log22,则a>2.
∴a的取值范围为(2,+∞).
(2)∵2≤x≤14,
∴3≤2x-1≤27,
∴log23≤log2(2x-1)≤log227.
∴函数y=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最小值为log23,
最大值为log227.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
忽略对数函数真数的范围而致误
错解:由题意可得log2(1-x)≤0,
即log2(1-x)≤log21,
∴1-x≤1,解得x≥0.
又log2(1-x)≤0,∴-log2(1-x)≥0,∴y≥0,
∴函数的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).
正解:由题意知log2(1-x)≤0,即log2(1-x)≤log21,
又log2(1-x)≤0,
∴-log2(1-x)≥0,∴y≥0,
∴函数的定义域为[0,1),值域为[0,+∞).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对于含有偶次根式中被开方式为对数式时,要注意被开方的代数式为非负,还要顾及对数式中本身的真数大于0这一隐含信息,错解中显然忘记了真数大于0这一隐含条件.
1
2
3
4
5
6
1.下列函数中,是对数函数的是(　　)
A.y=log2x-1
B.y=logx3x
C.y=
D.y=3log5x
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.若函数y=f(x)的反函数图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点(　　)
A.(5,1)
B.(1,5)
C.(1,1)
D.(5,5)
解析:由于原函数与反函数的图像关于直线y=x对称,而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必经过点(5,1).
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.函数y=|log2(x+1)|的图像是(　　)
解析:当x=0时,y=0,故函数图像经过原点,且函数值非负,故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
答案:[3,+∞)
1
2
3
4
5
6
6.已知函数f(x)=log2|x+m|(m>0),且f(2)=2,(1)求m的值;(2)求f(x)的单调区间.
解:(1)由f(2)=2得log2|m+2|=2,即|m+2|=4,于是m=2(m=-6舍去).
(2)由(1)知f(x)=log2|x+2|,该函数图像由y=log2|x|的图像向左平移2个单位长度得到,所以f(x)在(-∞,-2)上是减少的,在(-2,+∞)上是增加的,故f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).(共31张PPT)
§3　函数的单调性
一
二
三
一、函数在区间上增加(减少)的定义
1.
一
二
三
2.
一
二
三
【做一做1】
已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
一
二
三
解析:已知函数的图像判断其在定义域内的单调性,应从它的图像是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数.
答案:B
一
二
三
二、单调区间、单调性与单调函数
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为
单调区间.
如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.
一
二
三
【做一做2】
已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为　　　　　　　　　　　　.?
一
二
三
函数单调区间的写法
(1)求函数的单调区间,必须先看函数的定义域.如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”).
(2)因为函数的单调性反映函数图像的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性,因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.
一
二
三
三、函数的最大值与最小值
1.最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1)对于任意x∈D,都有f(x)≤M
;
(2)存在x0∈D,使得f(x0)=M
.
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0).
2.最小值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1)对于任意x∈D,都有f(x)≥M
;
(2)存在x0∈D,使得f(x0)=M
.
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值,记作ymin=f(x0).
一
二
三
【做一做3】
函数y=x-1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.6,3
B.5,2
C.9,3
D.7,4
解析:函数y=x-1在区间[3,6]上是增加的,则当3≤x≤6时,
f(3)≤f(x)≤f(6),即2≤y≤5,所以最大值和最小值分别是5,2.
答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)
在其定义域内是增函数.
(　　)
(2)若函数y=f(x)在定义域上有f(1)(　　)
(3)
的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
(　　)
(4)若函数y=f(x)在区间[2,6]上为减少的,则函数y=f(x)的单调减区间为[2,6].
(　　)
(5)函数f(x)在区间[m,n]上的最大值为f(n),最小值为f(m).
(　　)
(6)若任意x1,x2∈A,当x1,则y=f(x)在A上是增加的.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
探究一
探究二
探究三
思想方法
函数单调性的判断与证明
【例1】
(1)下列函数在区间(-∞,0)上为增加的是
(　　)
分析:(1)根据单调性定义,并结合函数图像作答;
(2)严格按照函数单调性的定义来证明.
探究一
探究二
探究三
思想方法
(1)答案:D
(2)①解:由题意知x+1≠0,即x≠-1.
所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
如何判断函数的单调性
(1)判断具体函数的单调性,除了用定义外,还可结合其图像,这在客观题中常用;
(2)利用定义法证明函数单调性的步骤是:
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1(1)下列函数中,在区间(-∞,0)上为增加的,且在区间(0,+∞)上为减少的函数为(　　)
(2)证明函数f(x)=-x2+4x+1在区间(-∞,2]上是增加的.
(1)答案:A
(2)证明:设x1,x2是区间(-∞,2]上的任意两个实数,且x1因为x10,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在区间(-∞,2]上是增加的.
探究一
探究二
探究三
思想方法
用图像法求函数的单调区间
【例2】
已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间.
分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.
由图像可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);
单调减区间为[1,2].
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间和闭区间均可,但最好加上区间端点.
2.加绝对值的函数图像的处理方法
常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.加绝对值的函数图像的画法也有两种:
(1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像.
(2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2画出函数f(x)=-x2+2|x|+3的图像,根据图像指出其单调区间.
探究一
探究二
探究三
思想方法
函数单调性的简单应用
【例3】(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减少的,求实数a的取值范围;
(2)求函数
在区间[3,4]上的最值;
(3)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),求t的取值范围.
分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,画出图形,寻找对称轴与区间的位置关系求解;
(2)先利用单调性的定义判断f(x)的单调性,再求最值;
(3)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.
解:(1)∵f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
∴该二次函数图像的对称轴为x=1-a.
∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是减少的,
∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.
∴1-a≥4,解得a≤-3.
探究一
探究二
探究三
思想方法
(2)在区间[3,4]上任取两个值x1,x2,且x1探究一
探究二
探究三
思想方法
函数单调性的简单应用一般表现为以下三个方面:
(1)比较大小,利用函数的单调性可以把函数值的大小比较问题转化为自变量的大小比较问题;
(2)求函数的值域,根据函数的单调性可求出函数在定义域上的最值,进而求出值域;
(3)求解析式中的参数(或其范围),根据函数的单调性的定义及函数的图像可列出参数满足的等式(或不等式),进而可求出参数(或其范围).
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3(1)已知函数f(x)=x2-4ax+1在区间[-1,+∞)上是增加的,则实数a的取值范围是(　　)
探究一
探究二
探究三
思想方法
解析:(1)f(x)=x2-4ax+1的图像开口向上,对称轴为x=2a.
∵f(x)在区间[-1,+∞)上是增加的,
(3)y=x+1在[-3,-1]上是增加的,
此时ymax=0,ymin=-2;
y=-x-1在(-1,4]上是减少的,
此时ymin=-5,且y<0,无最大值.
故函数最大值为0,最小值为-5.
答案:(1)C　(2)D　(3)-5　0
探究一
探究二
探究三
思想方法
分类讨论思想在函数的单调性中的应用
【典例】
讨论函数
(-1分析:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.
解:设x1,x2是(-1,1)上的任意两个自变量,且x1∵x1x2+1>0,x2-x1>0,-1<0,-1<0,
∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
此时f(x)在(-1,1)上是减少的;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)此时f(x)在(-1,1)上是增加的.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在(-1,1)上是减少的;
当a<0时,函数f(x)在(-1,1)上是增加的.
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
1
2
3
4
5
1.函数f(x)=-
的递增区间是(　　)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-∞,0)和(0,+∞)
解析:由f(x)的图像可知,其递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
答案:D
1
2
3
4
5
解析:∵f(x)是R上的减函数,∴2a-1<0.∴a<
.
答案:D
1
2
3
4
5
3.函数f(x)=2x2+x在区间[-1,0]上的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　.?
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)3.2　全集与补集
一
二
一、全集
1.定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集.
2.符号表示:全集通常记作U
.
3.图示:用Venn图表示全集U,如图所示.
全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.例如,在研究数集时,常常把实数集看作全集.
一
二
二、补集
一
二
【做一做1】
设全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={1,3,5,7},则?UM等于(　　)
A.{1,2,7}
B.{4,6}
C.{2,4,6}
D.{2,4}
答案:C
【做一做2】
如图所示的阴影部分表示的集合是
(　　)
?
A.A∩(?UB)
B.B∩(?UA)
C.?U(A∩B)
D.?U(A∪B)
解析:阴影部分表示A以外的部分与B的交集,故阴影部分表示的集合为B∩(?UA).
答案:B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).
(　　)
(2)对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
(　　)
(3)A∩(?RA)=R.
(　　)
(4)若A=?,则?R?=?.
(　　)
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
探究一
探究二
探究三
思想方法
补集的简单运算
【例1】
求解下列各题:
(1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则?UA=　　　　　;?
(2)设全集U={三角形},集合A={直角三角形},则?UA=　　　　.
分析:(1)中集合为不等式的解集,应借助数轴分析求解;(2)可从元素的特征性质入手求解.
解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得?UA={x|x<0,或x≥3}.
(2)∵U={三角形},A={直角三角形},
∴?UA={锐角三角形或钝角三角形}.
答案:(1){x|x<0,或x≥3}　(2){锐角三角形或钝角三角形}
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.若所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
2.若所给集合是无限集,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取到.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1已知全集U,A={x|23},
B={x|4≤x<6},求?UB.
解:因为A={x|23},
所以U=A∪(?UA)={x|x>2},
所以?UB={x|2探究一
探究二
探究三
思想方法
交集、并集、补集的综合运算
【例2】
已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2分析:可借助数轴分析求解.
解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),
?
由图可知?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},
A∩B={x|-2?U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4},
(?UA)∩B={x|-3探究一
探究二
探究三
思想方法
在进行交集、并集、补集的综合运算时,
(1)对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.
(2)对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(?RB)=(　　)
A.{x|x>1}
B.{x|x≥1}
C.{x|1D.{x|1≤x≤2}
解析:∵?RB={x|x≥1},∴A∩(?RB)={x|1≤x≤2}.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
与补集有关的含参问题
【例3】已知集合A={x|2a-2分析:不要忘记讨论集合A是空集的情况.
解:易知?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?.
∵A??RB,∴分A=?和A≠?两种情况讨论.
若A=?,此时有2a-2≥a,∴a≥2.
∴a≤1.
综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤1,或a≥2}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范围时,通常是借助数轴,结合相关定义进行分析求解,其中特别要注意区域端点的“取”与“不取”,还要注意分类讨论思想的应用以及空集在解题中的特殊作用.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(?UA)={2},A∩(?UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
解:∵B∩(?UA)={2},∴2∈B,但2?A.
∵A∩(?UB)={4},∴4∈A,但4?B.
探究一
探究二
探究三
思想方法
补集思想的综合应用
【典例】
已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴?RA={x|x<0,或x>2}.
设(?RA)∪B=R,如图可知:
?
∴a≤0且a+3≥2,即a≤0且a≥-1,
∴满足(?RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a<-1,或a>0}.
(2)若A∩B=A,则A?B,又A≠?,
∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,
即{a|a<-1,或a>0}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.
1.运用补集思想求参数范围的方法:
(1)否定已知条件考虑反面问题;
(2)求解反面问题对应的参数范围;
(3)将反面问题对应的参数范围取补集.
2.补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.
1
2
3
4
5
1.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=(　　)
A.{0,4}
B.{1,5}
C.{2,0,4}
D.{2,0,5}
解析:∵A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5},
全集U={0,1,2,3,4,5},∴?U(A∪B)={0,2,4},故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
2.已知全集U={0,1,2},且?UA={2},则集合A的真子集共有(　　)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
解析:由题意得,A={0,1},故其真子集分别为?,{1},{0},共3个.
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知全集U={2,0,3-a2},P={2,a2-a-2},且?UP={-1},则实数a的值为(　　)
A.-1
B.2
C.-1或2
D.-2
解析:∵?UP={-1},∴-1∈U,且-1?P.
经检验,a=2符合题意,故实数a的值为2.
答案:B
1
2
3
4
5
4.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则?U(A∪B)等于　　.?
答案:{5}
1
2
3
4
5
5.设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},且B?(?UA),求实数a的取值范围.
解:∵U=R,A={x|x>1},∴?UA={x|x≤1}.
∵x+a<0,x<-a,∴B={x|x<-a}.
又B??UA,∴-a≤1,∴a≥-1.
即实数a的取值范围是a≥-1.(共28张PPT)
3.1　交集与并集
一
二
一、交集
若A∩B=?,则集合A,B可能的情况为:
(1)集合A,B均为空集;
(2)集合A,B中有一个是空集;
(3)集合A,B均为非空集,但无相同元素.
一
二
【做一做1】
设集合P={-1,0,1},Q={-2,4},则P∩Q等于(　　)
A.?
B.{-2,-1,0,1,4}
C.{4}
D.{0,1}
答案:A
一
二
二、并集
【做一做2】
设集合A={1,2},B={2,3},则A∪B等于(　　)
A.{1,2,2,3}
B.{2}
C.{1,2,3}
D.?
答案:C
一
二
集合{x|x∈A,或x∈B}与集合{x|x∈A,且x∈B}不一定相等.
在数学中,“或”表示至少有一个成立,而“且”表示都成立.“x∈A,或x∈B”表示元素x可能在集合A中,也可能在集合B中,也可能同时在集合A和B中,因此集合{x|x∈A,或x∈B}是集合A和B的并集.而“x∈A,且x∈B”仅表示元素x同时在集合A和B中,即是集合A和B的公共元素,因此集合{x|x∈A,且x∈B}表示集合A和B的交集.所以这两个集合不一定相等,并且一定有{x|x∈A,且x∈B}?{x|x∈A,或x∈B}.
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若A∩B=?,则A=?或B=?.
(　　)
(2)A∩B=A?A?B.
(　　)
(3)A∪B=A?A?B.
(　　)
(4)A∪B=?,则A=B=?.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
集合的交集运算
【例1】
求下列各对集合的交集.
(1)C={x|x是直角三角形},D={x|x是等腰三角形};
(2)E={x|1≤x≤3},F={x|x>2};
(3)M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=-2}.
分析:(1)可通过分析元素的特征性质得到交集;(2)要借助数轴求解;(3)应通过解方程组得到交集.
解:(1)由已知得C∩D={x|x是等腰直角三角形}.
(2)结合数轴分析,
可得E∩F={x|2(3)由已知得M∩N={(x,y)|x+y=2}∩{(x,y)|x-y=-2}
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求两个集合的交集的注意事项
(1)弄清所给集合的含义,明确集合的元素或对集合进行化简;
(2)如果集合是用列举法表示的有限集合,那么可直接由定义观察出结果,也可借助Venn图求得结果;如果集合是用描述法表示的无限数集,那么一般要借助数轴分析写出结果.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)已知集合A={0,2,4,6},B={2,4,8,16},则A∩B等于(　　)
A.{2}
B.{4}
C.{0,2,4,6,8,16}
D.{2,4}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　)
A.{x|0≤x≤2}
B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}
D.{x|1≤x≤4}
解析:(1)观察集合A,B,可得集合A,B的全部公共元素是2,4,所以A∩B={2,4}.
(2)在数轴上表示出集合A与B,如下图.
?
则由交集的定义可得A∩B={x|0≤x≤2}.
答案:(1)D　(2)A
探究一
探究二
探究三
易错辨析
集合的并集运算
【例2】
求下列各对集合的并集.
(1)A={x|-3(2)C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
分析:(1)要借助数轴分析;(2)应从集合的特征性质入手分析求得并集.
解:(1)用数轴表示集合A,B,如图所示,
?
可得A∪B={x|-3(2)由已知得C∪D={x|x是矩形}∪{x|x是正方形}={x|x是矩形}.
点评(1)求两个集合的并集时,要注意利用集合中元素的互异性这一属性,重复的元素只能算一个.
(2)当集合A,B满足A?B时,A∪B=B.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求两个集合的并集要注意:
(1)如果集合是有限集合,那么可把集合中的元素一一列举出来,由并集的定义观察即得其并集;(2)如果集合是无限集合,特别是用描述法表示的连续的数集,那么应首先对集合进行化简,然后把集合分别标在数轴上,结合并集的定义求得并集.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2(1)设集合M={4,5,6,8},N={3,5,7,8},则M∪N等于(　　)
A.{3,4,5,6,7,8}
B.{5,8}
C.{3,5,7,8}
D.{4,5,6,8}
(2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2A.{x|x>-2}
B.{x|x>-1}
C.{x|-2D.{x|-1解析:(1)由并集的定义知,M∪N={3,4,5,6,7,8}.
(2)画出数轴如图所示,故A∪B={x|x>-2}.
?
答案:(1)A　(2)A
探究一
探究二
探究三
易错辨析
交集、并集性质的应用
【例3】设集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.
分析:集合A,B均是关于x的一元二次方程的解集,由A∪B=A可得B?A,通过讨论集合B是否为空集来求得实数a的取值范围.
解:A={x|x2-x-2=0}={-1,2},B是关于x的方程x2+x+a=0的解集.
∵A∪B=A,∴B?A.
∵A={-1,2}≠?,∴B=?或B≠?.
当B=?时,关于x的方程x2+x+a=0无实数解,
则Δ=1-4a<0,即a>
.
当B≠?时,关于x的方程x2+x+a=0有实数解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∪B=B,A∩B=A等这类条件,解答时常借助A∪B=B?A?B,A∩B=A?A?B进行转化求解.
(2)当集合A,B满足A?B时,如果集合B是一个确定的集合,而集合A不确定时,那么要考虑A=?和A≠?两种情况,切不可漏解.
(3)求解与一元二次方程的解集有关的集合问题,要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3设集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p,q为常数,x∈R,当A∩B=
时,求p,q的值和A∪B.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
忽视集合A为空集的情况而致误
【典例】
设集合A={x∈R|x2+2x+2-p=0},B={x|x>0},且A∩B=?,求实数p满足的条件.
错解:由于A∩B=?,则A=?,所以关于x的方程x2+2x+2-p=0没有实数根.
所以Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1.
所以实数p满足的条件为p<1.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正解:由A∩B=?,且B≠?,
得A=?或A≠?,且A与B没有公共元素.
当A=?时,Δ=22-4(2-p)<0,解得p<1.
当A≠?,且A与B没有公共元素时,
设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解:x1,x2,
解得1≤p≤2.
综上,实数p满足条件为p≤2.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.错解:中误认为“A∩B=?就对应着方程x2+2x+2-p=0无根,近而得出Δ<0”.而实际上忽视了B为正实数集这一条件.
2.若原题中B=R,则错解:中的思路是正确的,但当限制条件B有所加强,问题就复杂了.当A=?时显然符合题意,但当A≠?时,也有可能与B={x|x>0}的交集为空集.因此本题的核心是解决当A≠?时,如何保证A∩B=?.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练已知集合A={x|-1解:∵(A∩B)??,
∴A∩B=?.
当B=?时,2a≥a+2,得a≥2;
解得a≤-3或1≤a<2.
综上所述,a的取值范围是a≤-3或a≥1.
1
2
3
4
5
1.已知集合M={x|-1A.{x|-2B.{x|-1C.{x|1D.{x|-2解析:借助数轴可知M∩N={x|-1答案:B
6
7
1
2
3
4
5
2.已知集合M={x|-35},则M∪N等于(　　)
A.{x|x<-5,或x>-3}
B.{x|-5C.{x|-3D.{x|x<-3,或x>5}
解析:如图:
?
∴M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
答案:A
6
7
1
2
3
4
5
3.若集合A={1,2},B={1,2,4},C={1,4,6},则(A∩B)∪C=(　　)
A.{1}
B.{1,4,6}
C.{2,4,6}
D.{1,2,4,6}
解析:根据题意,集合A={1,2},B={1,2,4},集合A∩B={1,2}.
又C={1,4,6},则(A∩B)∪C={1,2,4,6}.故选D.
答案:D
6
7
1
2
3
4
5
4.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a}满足A∩B={2},则实数a=　　　　　.?
解析:∵A∩B={x|a≤x≤2}={2},∴a=2.
答案:2
6
7
1
2
3
4
5
5.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是　　　　　.?
答案:a≤1
6
7
1
2
3
4
5
6
7
6.用集合分别表示下列各图中的阴影部分:
?
(1)　　　　　;(2)　　　　　.?
解析:(1)由图(1)可知,该阴影部分为集合A,C的公共部分与集合B,C的公共部分的并集,故可用(A∩C)∪(B∩C)表示.
(2)由图(2)可知,该阴影部分为集合B与集合A,C的公共部分的并集,故可用B∪(A∩C)表示.
答案:(A∩C)∪(B∩C)　B∪(A∩C)
1
2
3
4
5
6
7
7.已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|ax+1-a=0}.
(1)用列举法表示集合A;
(2)若A∩B=B,求实数a的值.
解:(1)解方程x2+4x=0,得x1=0,x2=-4.所以A={-4,0}.
(2)∵A∩B=B,∴B?A.
①当a=0时,B=?,符合题意;(共33张PPT)
2.1　函数概念
一
二
一、函数的概念
给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数.函数符号表示为
f:A→B或y=f(x),x∈A.其中集合A称之为函数的定义域,集合{f(x)|x∈A}称之为函数的值域,习惯上我们称
y是x的函数.
【做一做1】
下列式子中不能表示函数y=f(x)的是(　　)
A.x=y2
B.y=x+1
C.x+y=0
D.y=x2
答案:A
一
二
【做一做2】
下列说法正确的是(　　)
B.A=N,B=Z,f:x→y=±
,则f是从集合A到集合B的一个函数
C.A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},f:x→y=x2,则f是从A到B的一个函数
D.y2=x是函数
对于B,对集合A中的元素4,在B中有2个元素与之对应,不是函数.
对于D,当x=4时,y=±2,两个值与之对应,不满足函数定义.
对于C,A中每一个元素在B中都有唯一元素与之对应,符合函数的概念.
答案:C
一
二
对函数定义,要从以下四个方面去理解,(1)A,B必须是非空数集;(2)A中任何一个元素在B中必有元素与其对应;(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应;(4)函数的定义中“任何一个数x”与“存在唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x,f(x)的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
一
二
二、区间与无穷的概念
1.区间
设a,b是两个实数,而且a这里实数a,b都叫作相应区间的端点.
2.无穷概念及无穷区间
一
二
【做一做3】
把下列集合用区间表示出来:
(1){x|2(2){x|x≤2};
(3){x|2(4){x|x≠0};
(5){x|2≤x<3}.
答案:(1)(2,3);(2)(-∞,2];(3)(2,4)∪(5,9);(4)(-∞,0)∪(0,+∞);(5)[2,3).
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)已知定义域和对应关系就可确定一个函数.
(　　)
(2)y=f(x)表示“y等于f与x的乘积”.
(　　)
(3)对于函数y=f(x),x∈A来说,一个函数值y有可能对应多个自变量x.
(　　)
(4)函数f:A→B中A是定义域,B是值域.
(　　)
(5)区间可以表示任何集合.
(　　)
答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】
求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合,一般归结为建立关于自变量x的不等式(组)求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)f(x)为整式函数,x取任意实数时,f(x)都有意义,故函数f(x)的定义域为R.
(2)要使函数f(x)有意义,应满足x+2≠0,即x≠-2,故函数f(x)的定义域为{x|x≠-2}.
又x∈Z,则x只能取-4,-3,-2,-1,0,1.
故函数f(x)的定义域为{-4,-3,-2,-1,0,1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求函数定义域的基本原则
(1)整式函数的定义域为R;
(2)分式中,分母不为零;
(3)偶次根式中,被开方数非负;
(4)对于y=x0,要求x≠0;
(5)由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用区间表示数集
【例2】
将下列集合用区间的形式表示.
(1)A={x|0≤x<1};
(2)B={x|-1≤x<2或3(3)C={x|x>2};
(4)D={x|x∈R,且x≠1}.
分析:可以先在数轴上标记好,再写成区间,注意不连续的区间要用“∪”符号连接.
解:(1)A=[0,1).
(2)B=[-1,2)∪(3,4).
(3)C=(2,+∞).
(4)D=(-∞,1)∪(1,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
有些数集可以用区间表示,但区间并不能表示任何数集;用区间表示数集要首先弄清区间的含义,掌握区间的四种形式所对应的数集,其次要特别注意数集中的符号“≤”“≥”“<”“>”与区间中的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2(1)数集{x|x≤-2}用区间表示为　　　　　　　;?
(2)数集{x|x>7}用区间表示为　　　　　　　;?
(3)数集{x|0(4)数集{x|x<-6或x≥10}用区间表示为　　　　　　　　.?
答案:(1)(-∞,-2]　(2)(7,+∞)　(3)(0,3]
(4)(-∞,-6)∪[10,+∞)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
同一函数的判断
【例3】
下列各组函数是否表示同一函数?为什么?
分析:判断每一对函数的定义域是否相同,对应关系是否相同即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
=x的对应关系完全相同,只是表示形式不同;对于(2),前者x≠0,后者x∈R,两者定义域不同;对于(3),前者定义域为[0,+∞),后者定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞);对于(4),尽管两个函数的自变量一个用x表示,另一个用t表示,但它们的定义域相同,对应关系相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是　　　　　(填上所有正确的序号).?
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;
③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;
④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.
答案:⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求函数值或函数的值域
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4(1)已知函数f(x)=2x+3,g(x)=3x2-5,则f(g(2))=　　　　.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因非等价变形而致误
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
在求函数定义域时,要注意在化简函数解析式时要等价变形,不能仅用化简后的函数解析式求得的x的范围当作原函数的定义域,还要注意x的取值必须使原函数有意义才行,因此每一步的变形或化简都要与原函数式等价才行,本例中变形后的函数式中x可以取0,但这对原函数式是没意义的,因此导致最后结果错误.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练已知下列说法:
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①函数y=
的定义域为{x|x≠0},则易知①不正确;②函数的定义域为{x|x≠-2},故②不正确;③当x=-1时,函数值y=2,故③不正确.
答案:A
1
2
3
4
5
1.下列图形中不是函数图像的是(　　)
解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图像,其余B、C、D均符合函数定义.
答案:A
6
1
2
3
4
5
6
2.函数
的定义域是(　　)
A.{x|x≤4}
B.{x|x<4}
C.{x|x≥4}
D.{x|x≠4}
解析:要使函数f(x)有意义,应有4-x>0,所以x<4.
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:-1
1
2
3
4
5
6
5.用区间表示下列数集.
(1){x|x≥2}=　　　　　;?
(2){x|3(3){x|x>1,且x≠2}=　　　　　.?
解析:由区间的定义,可将集合写成相应区间.
答案:(1)[2,+∞)　(2)(3,4]　(3)(1,2)∪(2,+∞)
1
2
3
4
5
6
6.已知函数y=x2-3,求:
(1)x∈R时的函数值域;
(2)x∈{-2,-1,0,1,2}时的值域;
(3)x∈[-2,1]时的值域.
解:(1)∵x∈R,且y=x2-3≥-3,
∴函数的值域为[-3,+∞).
(2)当x=-2时,y=1;当x=-1时,y=-2;当x=0时,y=-3;
当x=1时,y=-2;当x=2时,y=1.
故当x∈{-2,-1,0,1,2}时,函数y=x2-3的值域为{-3,-2,1}.
(3)∵函数图像的对称轴为x=0,且0∈[-2,1],图像开口向上,
∴函数y=f(x)的最小值为y=f(0)=-3,
最大值为y=f(-2)=(-2)2-3=1,
∴其值域为[-3,1].(共37张PPT)
§5　简单的幂函数
一
二
一、幂函数的概念
如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数称为幂函数,如y=x3,y=x4,y=x-2等都是幂函数.
【做一做1】
下列函数中是幂函数的是(　　)
①y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);②y=
+x2;③y=x9;④y=(x-1)3.
A.①③④
B.③
C.③④
D.全不是
解析:由幂函数的定义知③为幂函数,其他都不是,故选B.
答案:B
一
二
幂函数的几个重要性质
(1)所有幂函数的图像均经过(1,1)点;
(2)所有幂函数的图像均不经过第四象限;
(3)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增加的;当α<0时,y=xα在(0,+∞)上是减少的.
一
二
二、奇函数、偶函数的定义
1.一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数;图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.
2.在奇函数f(x)中,f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0;
在偶函数f(x)中,f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0.
3.当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性.
一
二
【做一做2】
下列函数是偶函数的为(　　)
A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
解析:选项A中,函数的定义域不关于原点对称,则函数不是偶函数;选项B中,f(-x)≠f(x),函数不是偶函数;选项C中,f(-x)=-x3=-f(x),函数是奇函数;选项D中,f(-x)=x2=f(x),且定义域也关于原点对称,所以函数是偶函数.
答案:D
一
二
【做一做3】
下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(　　)
A.y=x+1
B.y=-x2
C.y=
D.y=x|x|
解析:对于A,非奇非偶;对于B,是偶函数;对于C,是奇函数,但不是增函数;
对于D,令f(x)=x|x|,
∴f(-x)=-x|-x|=-f(x),
∴函数是增函数,只有D满足.
答案:D
一
二
对函数奇偶性的几点理解
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质.
(2)函数按照奇偶性可划分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函数,又是偶函数,例如函数
,这个函数的定义域是{1,-1},解析式可化简为f(x)=0,满足奇函数、偶函数的定义;④既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称.若其定义域不关于原点对称,则它一定是非奇非偶函数.
(4)对于偶函数f(x),总有f(x)=f(-x)=f(|x|).
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)二次函数一定是幂函数.
(　　)
(2)奇函数的图像一定过原点.
(　　)
(3)偶函数的图像一定是轴对称图形.
(　　)
(4)既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)=0,x∈R.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
幂函数及其简单应用
分析:先求幂函数的解析式,再求值、列表、描点画图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α.
2.画幂函数的图像时要注意先确定定义域,再者列表时要有代表性的取值,使得画出的图像更为准确.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
∴α=-2.∴y=x-2.
(2)①③的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此①③是幂函数;②中x2的系数为2,因此不是幂函数;④是由幂函数复合而成的函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数中xα前的系数为1,因此不是幂函数.
答案:(1)B　(2)①③
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
判断函数的奇偶性
【例2】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=x2+1.
分析:判断函数的奇偶性先要观察函数的定义域是否关于原点对称,再利用f(x)与f(-x)的关系进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
故函数f(x)既不是奇函数,又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R.
∵f(-x)=(-x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x),
∴函数f(x)=x3-2x是奇函数.
(3)函数的定义域为R.
(方法一)∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
∴函数f(x)=x2+1是偶函数.?
(方法二)画出y=x2+1的图像如图,
由图可知其图像关于y轴对称.
故函数f(x)=x2+1是偶函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
如何判断函数的奇偶性
(1)判断函数的奇偶性一般不用其定义,而是利用定义的等价形式,即考察f(-x)与f(x)的关系,具体步骤如下:
①求f(x)的定义域;
②若定义域不关于原点对称,则函数f(x)不具有奇偶性,若定义域关于原点对称,可再利用定义验证f(-x)与f(x)的关系.
(2)对于一些较复杂的函数,也可以用如下性质判断函数的奇偶性:
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
②奇函数的和、差仍为奇函数;
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2判断下列函数的奇偶性:
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
奇、偶函数图像的应用
【例3】
奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧的图像如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为　　　　　.?
分析:奇函数的图像关于原点对称,据此可作出f(x)在[-5,0)上的图像,然后找出图像位于x轴下方的部分即得x的取值集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解析:奇函数f(x)在[-5,5]上的图像如图所示,由图像可知,x∈(2,5)时,f(x)<0;x∈(0,2)时,f(x)>0.因为其图像关于原点对称,所以x∈(-5,-2)时,f(x)>0;x∈(-2,0)时,f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2答案:{x|-2探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.
2.函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图像的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图像,试比较f(1)与f(3)的大小.
解法一∵函数y=f(x)是偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1).
又由图像可知,f(-3)>f(-1),∴f(3)>f(1).
解法二∵函数y=f(x)是偶函数,
∴其图像关于y轴对称,如图所示,
?
由图像知,f(3)>f(1).
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
函数奇偶性的综合应用
【例4】(1)已知f(x)=
是奇函数,求实数m的值;
(2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求x<0时,
f(x)的解析式.
分析:(1)利用定义法或取特殊值法求解;(2)设x<0,则-x>0,先求出f(-x),再由奇函数满足的关系式求得f(x).
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)(方法一)因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R都成立,
于是-2x+m=-2x-m,故m=-m,所以m=0.
(方法二)因为f(x)是奇函数,
(2)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1.
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=x+1,
所以当x<0时,f(x)=-x-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
已知函数f(x)奇偶性求f(x)解析式中的参数
通常有两种解法:一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证.特别地,当f(x)是在原点有定义的奇函数时,可利用f(0)=0求得参数值.
求奇函数或偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,通过适当推导,求得所求区间上的解析式.对于分段函数求解析式还有如下结论:
(1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x,y分别替换为-x,-y,然后解出y即可.
(2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x<0时的解析式.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,∴a=0.
设x>0,则-x<0.
∵f(-x)=-3(-x)2+b(-x)+c=-3x2-bx+c.
又x>0时,f(x)=3x2-2x+5.
由f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x).
∴-3x2-bx+c=-(3x2-2x+5).
∴-b=2,c=-5,∴b=-2,c=-5.
当b=-2,c=-5,x<0时,f(x)=-3x2-2x-5.
则-x>0,故f(-x)=3x2+2x+5,
即-f(-x)=-3x2-2x-5.
故f(-x)=-f(x),
则当x<0时满足f(-x)=-f(x).
故a=0,b=-2,c=-5.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
忽视x的限制条件而致误
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段函数都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,才能说明该函数的奇偶性.一般方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且应该进行双向验证,若函数在x=0处有定义,还要对f(0)加以验证.
2.本题错解中,两段表达式中x的范围是不一致的,不能比较f(-x)与f(x)的关系,因此需对x>0,x<0的情况分别说明才行.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:函数的定义域是(-∞,0)∪[0,+∞)=R.
∵当x>0时,有f(x)=x(x-1),-x<0,
∴f(-x)=-(-x)·(-x+1)=x(1-x)=-x(x-1)=-f(x).
当x<0时,有f(x)=-x(x+1),-x>0,
∴f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x).
当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0).
∴对x∈R,均有f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于
(　　)
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析:因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},
根据奇函数的定义域关于原点对称,
所以a与b有一个等于1,一个等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.下列说法正确的是(　　)
A.y=x(-1B.若f(x)是奇函数,则f(0)=0
C.偶函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相反
D.y=x3+1是奇函数
解析:A错,因为奇函数、偶函数的定义域关于原点对称,而y=x(-1是奇函数,但当x=0时无意义;C正确,D错,故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
4.若f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=
x2+4x,则f(2)=　　　　　.?
解析:因为f(x)是偶函数,所以f(2)=f(-2)=
×(-2)2+4×(-2)=-6.
答案:-6
1
2
3
4
5
6
5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-1)=2,则f(0)+f(1)=　　　　　.
解析:∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,
∴f(0)+f(1)=0-2=-2.
答案:-2
1
2
3
4
5
6
6.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x0-1;
(2)f(x)=(x-2)
;
(3)f(x)=x2+ax+1(a为常数);
(4)f(x)=|x+4|-|x-4|.
1
2
3
4
5
6
解:(1)∵函数的定义域为{x|x∈R,且x≠0},
又f(x)=x0-1=0,
∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)既为偶函数又为奇函数.
(2)∵x=-2时函数有意义,而x=2时函数无意义,
∴函数的定义域不关于原点对称.∴函数f(x)是非奇非偶函数.
(3)函数定义域为R关于原点对称,
又f(x)=x2+ax+1,∴f(-x)=x2-ax+1.
当a=0时,f(x)=f(-x),此时函数f(x)为偶函数;
当a≠0时,f(x)≠f(-x),f(x)≠-f(-x),此时函数f(x)为非奇非偶函数.
(4)函数定义域为R关于原点对称,
又f(x)=|x+4|-|x-4|,
∴f(-x)=|-x+4|-|-x-4|=|x-4|-|x+4|.
∴f(-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.(共24张PPT)
2.1　指数概念的扩充
一
二
三
一、整数指数幂
一
二
三
二、分数指数幂
1.分数指数幂的定义
一
二
三
答案:C
一
二
三
一
二
三
答案:(1)D　(2)A
一
二
三
三、指数范围的扩充
1.无理数指数幂
当a>0,p是一个无理数时,ap的值可用指数p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数指数幂序列无限趋近得到,无理数指数幂ap是一个实数.
2.对于任意的实数α,有1α=1,a-α=
(a>0).
3.指数幂aα中,必有a>0,aα>0.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)根式一定是无理式.
(　　)
(2)在分数指数幂
中,m与n可以为任意整数.
(　　)
(3)ap(p是无理数,a>0)是一个实数且是一个无理数.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分数指数幂的概念及应用
【例1】
(1)在
中,实数x的取值范围是　　　　　　　;
(2)将下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式:
①a3=54;②a3=(-2)8;③a-3=104m(m∈N+);④a-2=6.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.分数指数幂是一个正实数,即b=
?bn=am,其中a,b均为正实数,且m,n∈Z,m,n互素.
2.将bk=d中的正实数b改写成分数指数幂的形式时,主要根据分数指数幂的意义,同时一定要注意式子中字母的取值要求.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1若b-3n=5m(m,n∈N+),则b=(　　)
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分数指数幂与根式的互化
探究一
探究二
探究三
易错辨析
进行分数指数幂与根式的互化时,主要依据公式
(a>0,m,n∈N+),同时应注意以下几点:
(1)在分数指数幂中,若幂指数为负数,可先将其化为正数,再利用公式化为根式;
(2)若表达式中根式较多,含有多重根号时,要理清被开方数,由里向外逐次用分数指数幂表示,最后再运用相关的运算性质化简.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
指数幂
的计算
求指数幂的值时,首先要将指数幂转化为根式的形式,然后再进行计算.注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值,这是快速、准确进行幂值计算的关键.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:B
1
2
3
4
5
6
1.若a6=8(a>0),则a等于(　　)
A.68
B.86
答案:D
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.在式子
中,实数x的取值范围是　　　　　.?
解析:依题意有2x-2>0,则x>1.
答案:x>1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
5.把下列各式中的正实数x写成根式的形式:
(1)x2=3;
(2)x7=53;
(3)x-2=d9(d>0).
1
2
3
4
5
6
6.计算下列各式的值:(共43张PPT)
§2　实际问题的函数建模
一
二
三
一、实际问题的函数刻画
在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容.
一
二
三
【做一做1】
某地为了改善生态环境,政府决定绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果植树总亩数是时间(年数)的一次函数,这个函数的图像是下图中的(　　)
一
二
三
解析:由题意知该一次函数的图像必过(1,0.5)和(2,1.5)两点,故排除B,C,D.
答案:A
一
二
三
二、用函数模型解决实际问题
函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.
通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到
数据,再通过数据拟合得到的.
一
二
三
【做一做2】
某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(　　)
A.45.606
B.45.6
C.45.56
D.45.51
解析:设在甲地销售量为a,则在乙地销售量为15-a,设利润为y,则
y=5.06a-0.15a2+2(15-a)(0≤a≤15,a∈N),
即y=-0.15a2+3.06a+30,
∵a∈N,
∴当a=10时,ymax=45.6.
答案:B
一
二
三
三、数学建模
1.定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.
2.过程:如下图所示.
一
二
三
常见的函数模型及其特点:
(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k>0).
(2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其增长特点是函数值先减小后增大(a>0)或先增大后减小(a<0).
(3)反比例函数模型:y=
型,其增长特点是当x>0时,y随x的增大而减小(k>0)或y随x的增大而增大(k<0).
(4)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.
(5)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大越来越慢(底数a>1,m>0).
一
二
三
(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).
一
二
三
【做一做3】
某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:
则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数(　　)
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=ax2+b
D.y=
解析:画出散点图(如图所示):
由散点图可知,此函数图像不是直线,排除A;此函数图像是上升的,是增函数,排除C,D,故选B.
答案:B
一
二
三
应用数学模型解决实际问题的步骤
(1)阅读理解,认真审题.
读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学问题,尤其是理解叙述中的名词、概念,以及题中单位之间的关系.分析出已知是什么,求什么,涉及哪些知识,确定变量之间的关系.
(2)引进数学符号,建立数学模型.
设自变量为x,函数为y,用含x的表达式表示各相关变量,根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识,结合各变量之间的关系,建立函数关系式,即建立数学模型.
(3)用数学方法将所得到的函数问题予以解答,求得结果.
(4)转化成实际问题,进行检验,作出规范解答.
简言之,可概括为“四步八字”,即审题—建模—求解—还原.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
建立二次函数模型解决实际问题
【例1】
设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多?
分析:求解(1)时应明确第二产业的产值不减少的条件是分流之后剩余人员创造的产值应不小于没有分流时创造的产值100a,求解(2)时应根据题意求出分流后第二、三产业的总产值每年增加量f(x)关于x的函数关系式,并求其最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求解本题时,应注意以下两点:一是x∈N+,二是第二、三产业的总产值每年增加量为剩余人员创造的产值与分流人员创造产值的和减去没有人员分流时创造的产值.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1有A,B两城相距100
km,在A,B两城之间距A城x
km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10
km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
建立指数函数、对数函数模型解决实际问题
【例2】
某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,决定用买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价值为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元时比礼品价值为n元(n∈N+)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时,利润yn(单位:元)与n的函数关系式;
(2)请你设计礼品的价值,以便商店获得最大利润.
分析:(1)根据题意易得;(2)需借助指数函数的单调性,使得n取某个值时,其前面和后面的取值都比它小即可,即
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)设没有礼品时销售量为m,则当礼品价值为n元时,
销售量为m(1+10%)n,
利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0(2)令yn+1-yn≥0,
即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,
解得n≤9.
∴y1令yn+1-yn+2≥0,
即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,
解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,
∴当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.指数函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利息、细胞分裂等问题都可以建立指数函数模型来解决问题,建立函数解析式时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系,探寻内在的规律.
2.对于本题通过作差探讨出模型函数的单调情况是解题的关键所在.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2
000
m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数
,单位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时,它的游速是多少?
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大?并说明理由.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
建立分段函数模型
【例3】
WAP手机上网每月使用量在500
min以下(包括500
min),按30元计费;超过500
min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60
min)使用量在1
min以下不计费,在1
min以上(包括1
min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x
min与所付费用y元之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20
h,要付多少钱?
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?
分析:由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)设上网时间为x
min,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
(2)当x=20×60=1
200(min)时,
x>500,应付y=30+0.15×(1
200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500
min,
由解析式可得上网时间为900
min.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:
该企业职工每人每月工资为1
200元,其他经营性费用为每月13
200元.
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)设该企业职工人数为t,依题意p=52时,q=36时,
则(52-40)×36×100=1
200t+13
200,∴t=25.
即该企业有25名职工.
(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=
∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,
当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,
∵450>441,∴p=55时,能更早还清贷款,
又(100×450-1
200×20-13
200)×12=93
600,
∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
拟合函数模型解决实际问题
【例4】某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图(1)(2)所示.
观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,
所以y=-0.15(x-4)2+2.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.
设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,
所以y=0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
设下月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(单位:万元),总纯利润为W(单位:万元),那么
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
此时xB=8.8.
即该经营者下月用3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大纯利润约为4.1万元.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解决拟合函数模型问题一般有以下步骤:
(1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图.
(2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数:y=ax2+bx,y=kx+b,y=logax,y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.
(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适.
因为函数y=kx+b,y=logax,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.
(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
错误理解题意而致误
【典例】
某林区2016年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
错解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后木材蓄积量为200(1+5%×2);
经过x年后木材蓄积量为200(1+5%·x).
所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).
(2)设x年后木材蓄积量为300万立方米,
故经过10年,木材蓄积量达到300万立方米.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
正解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米.
经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;
所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x.
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).
(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值验证可知8探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.首先要弄清题目情景,木材蓄积量年平均增长问题实质上为一指数函数类模型.若初始蓄积量为a,年平均增长率为b%,则x年后木材蓄积量y与x的关系为y=a(1+b%)x,x∈N+.
2.本例中错解显然把函数模型弄错了,不是y=200(1+5%x),而是y=200(1+5%)x.
1
2
3
4
5
6
1.一辆汽车从甲地开往乙地,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示汽车行驶的路程s,那么下面四个图中,较好地反映了s与t的函数关系的是
(　　)
解析:易知s随t的增大而增大,因在中途休息了一段时间,故这段时间s不变.
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2000年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.化学上通常用pH来表示溶液酸碱性的强弱:pH=-lg{c(H+)},其中c(H+)表示溶液中H+的浓度.若一杯胡萝卜汁的pH比一杯葡萄汁的pH小2,则胡萝卜汁中c(H+)是葡萄汁中c(H+)的倍数为(　　)
A.2
B.10
C.100
D.200
解析:设胡萝卜汁中的c(H+)和葡萄汁中的c(H+)分别为a和b,依题意有lg
b-lg
a=-2,因此
=-2,即a=100b.
答案:C
1
2
3
4
5
6
4.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为(　　)
A.亏5.20元
B.亏5.92元
C.盈6元
D.盈5元
解析:可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.
答案:B
1
2
3
4
5
6
5.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10
m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6
m时,球到达最高点,此时球高3
m,已知球门高2.44
m,　　　　　踢进球门(填“能”或“不能”).?
解析:建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).
答案:能
1
2
3
4
5
6
6.某市电力公司在电力供不应求时期,为了让居民节约用电,采用“阶梯电价”方法计算电价,每月用电不超过100度时,按每度0.5元计费,每月用电超过100度时,超过部分按每度0.6元计费,每月用电超过150度时,超过部分按每度0.7元计费.
(1)设每月用电x度,应交电费y元,写出y关于x的函数;
(2)已知小王家第一季度缴费情况如下:
问:小王家第一季度共用了多少度电?
1
2
3
4
5
6
解:(1)依题意,当0≤x≤100时,y=0.5x,
当100当x>150时,y=0.5×100+0.6×50+0.7(x-150)=0.7x-25,
(2)小王家一月份缴费87元>80元,令0.7x-25=87,得x=160,
二月份缴费62元>50元,且62元<80元,
令0.6x-10=62,得x=120,
三月份缴费45.8元<50元,令0.5x=45.8,得x=91.6,
以上三个月相加得160+120+91.6=371.6(度),
所以小王家第一季度共用了371.6度电.(共15张PPT)
4.2　换底公式
解析:结合换底公式的特征,可知选项D不正确.因为底数必须满足大于0且不等于1.
答案:D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)logab=
(a>0且a≠1,b>0且b≠1).
(　　)
(2)logab·logbc·logca=1(a,b,c>0且均不等于1).
(　　)
(3)lo(-4)3=
log3(-4).
(　　)
答案:(1)√　(2)√　(3)×
探究一
探究二
利用换底公式化简与求值
【例1】
(1)化简:(log227)·(log38)=　　　　　.?
(2)化简:(log43+log83)(log32+log92)=　　　　　.?
探究一
探究二
1.利用换底公式计算、化简、求值问题的思路:
(1)先利用对数的运算性质进行部分运算,再换成同一底数进行计算;
(2)一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值.
2.要善于运用公式
进行对数式的化简与求值.在化简求值时,要注意将对数的底数与真数用幂的形式表示出来,再化简.
探究一
探究二
变式训练1计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
探究一
探究二
换底公式的应用
【例2】(1)已知lg
2=a,lg
3=b,试用a,b表示log324;
分析:(1)将log324用换底公式化为常用对数,再利用对数的运算性质求解;
(2)用整体代换法通过取对数得到x,y,z的表达式,再利用对数的运算性质证明.
探究一
探究二
1.用已知的对数表示未知的对数时,主要利用对数的运算性质和换底公式寻求它们之间的关系,通过运算性质发现真数间的关系,利用换底公式实现底数之间的变换.
2.在一个等式的两边取对数,是一种常用的技巧.一般地,给出的等式是以指数形式出现时,常用此法,值得一提的是,在取对数时,要注意合理选取对数的底数.
探究一
探究二
答案:1
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
3.若log45·log5x=2,则x=　　　　　.?
答案:16
1
2
3
4
5
答案:log38
1
2
3
4
5(共26张PPT)
1.2　利用二分法求方程的近似解
一
二
一、二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断,且满足
f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过每次取函数f(x)的零点所在区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.
一
二
【做一做1】
下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求其函数零点的是(　　)
一
二
解析:依据“二分法”求近似解的步骤,以及前提条件可知B正确.
答案:B
一
二
二、利用二分法求方程实数解的过程
一
二
利用二分法求方程实数解的过程可以用图表示出来.
在这里:
“初始区间”是一个两端函数值反号的区间;
“M”的含义是:取新区间,一个端点是原区间的中点,另一端是原区间两端点中的一个,新区间两端点的函数值反号;
“N”的含义是:方程解满足要求的精度;
“P”的含义是:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.
在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试验估计.初始区间可以选的不同,不影响最终计算结果.
一
二
【做一做2】
下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值:
由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为　　　　　.(精确到0.1)?
解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.406
5,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.
答案:1.4
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)用二分法可求所有函数零点的近似值.
(　　)
(2)用二分法求方程的近似解时,精度可以为小数点后的任一位.
(　　)
(3)二分法无规律可循.
(　　)
(4)只有在求函数零点时才用二分法.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
二分法定义的理解
【例1】(1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为(　　)
A.[-2,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
(2)下列图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
(2)B选项中,函数零点x0左右两侧的函数值均小于0,不能用二分法求零点近似值,故选B.
答案:(1)A　(2)B
1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.
2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A.f(x)=2x+3
B.f(x)=ln
x+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1
D.f(x)=2x-1
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点近似值时,已知f(2)f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1=
=3,计算得f(2)f(x1)<0,则函数零点所在的区间是
(　　)
A.(2,4)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.无法确定
解析:(1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
答案:(1)C　(2)B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
用二分法求方程的近似解
【例2】
求方程lg
x-2-x+1=0的近似解(精度为0.1).
分析:先确定f(x)=lg
x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
解:令f(x)=lg
x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数(证明略),所以f(x)至多有一个零点.
又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解.
使用二分法求解,如下表
探究一
探究二
探究三
易错辨析
至此,得到区间[0.493
75,0.55],其区间长度为0.55-0.493
75=0.056
25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
利用二分法求方程近似解的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,以及时终止计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精度0.1)是　　　　　.?
解析:由题表可知f(1.5)·f(1.562
5)<0,且|1.562
5-1.5|=|0.062
5|<0.1,故函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值为1.6.
答案:1.6
探究一
探究二
探究三
易错辨析
二分法在实际中的应用
【例3】
中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1
000元之间,选手开始报价:1
000元,主持人说:高了.选手紧接着报价900元,高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
解:取价格区间[500,1
000]的中点750,如果主持人说低了,就再取区间[750,1
000]的中点875;否则取另一个区间[500,750]的中点;若遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,
843,859,851,经过6次可以猜中价格.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
二分法在实际生活中经常用到.如在平时的线路故障、气管故障等检查中,可以利用二分法较快地得到结果.还可用于实验设计、资料查询等方面.用二分法解决实际问题时应考虑的两个问题:一是转化成函数的零点问题;二是逐步缩小考察范围,逼近问题的解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3某市A地到B地的电话线路发生故障,这是一条10
km长的线路,每隔50
m有一根电线杆,最少经过　　　　　次查找,可将故障范围缩小到50~100
m.?
解析:如图所示,可首先从中点C开始查找,用随身携带的工具检查,若发现AC段正常,则故障在BC段,再到BC段中点D检查,若CD段正常,则故障在BD段,再到BD段中点E检查,如此这般,每次检查就可以将待查的线路缩短一半,经过7次查找,即可将故障范围缩小到50~100
m.
答案:7
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对二分法原理理解不到位而致误
探究一
探究二
探究三
易错辨析
错解中没有准确理解二分法的原理,二分法是逐步逼近零点的方法,但有时零点恰好在端点或中点处.
1
2
3
4
5
1.下列函数中能用二分法求零点的是(　　)
解析:只有选项C满足二分法求零点的两个条件.
答案:C
1
2
3
4
5
2.根据表格中的数据,可以判定方程f(x)=ex-x-3的一个零点所在的区间为(　　)
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
解析:显然f(1)·f(2)<0,而且在表中范围最小.
答案:C
1
2
3
4
5
3.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　.?
解析:记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
答案:1
1
2
3
4
5
4.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的零点,验证得f(2)·f(4)<0.给定精度ε=0.01,取区间(2,4)的中点
x1=
=3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈　　　　　.(填区间)?
解析:∵f(2)·f(3)<0,∴x0∈(2,3).
答案:(2,3)
1
2
3
4
5
5.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的近似零点(精度为0.1).
解:用二分法逐次计算,列表如下
因为区间[1.312
5,1.375]的长度为1.375-1.312
5=0.062
5<0.1,所以当精度为0.1时,该区间内的每一个数都是函数f(x)的近似零点,不妨取1.3作为函数f(x)在[1,1.5]内的近似零点.(共20张PPT)
2.2　指数运算的性质
指数幂的运算性质
当a>0,b>0时,对任意实数m,n都满足以下性质:
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)(ab)n=anbn.
答案:(1)D　(2)C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(2)指数幂的运算性质只适用于指数为有理数的形式.
(　　)
(3)当a>0时,均有amn=(am)n=(an)m.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√
探究一
探究二
易错辨析
利用指数运算性质化简或求值
【例1】
计算下列各式的值.
分析:求解时根据所给式子的特征,将根式化为分数指数,将负指数化为正指数,将小数化为分数再根据幂的运算法则求解.
探究一
探究二
易错辨析
进行指数幂的运算时的几点注意
(1)有括号先算括号里的,无括号先做指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,从而去掉负号;底数是带分数,先化成假分数.
(4)含有根式时,通常先将根式转化为分数指数幂再运算.
(5)尽可能将各项用幂的形式表示.
探究一
探究二
易错辨析
变式训练1计算或化简下列各式:
探究一
探究二
易错辨析
条件求值问题
探究一
探究二
易错辨析
探究一
探究二
易错辨析
已知代数式的值求其他代数式的值,通常又简称为“条件求值”,解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.要注意正确地变形,对平方立方等一些常用公式要熟练应用.
探究一
探究二
易错辨析
探究一
探究二
易错辨析
忽视指数幂的运算性质成立的条件致误
1.指数幂的运算性质(am)n=amn,要明确a,m,n的取值为a>0,m∈R,n∈R;
2.本例中的错解显然忽视了运算律中a>0这一约束条件;
3.遇到此类问题先要弄清a的正负,若a为负,则先将负号提出或去掉再利用运算律处理.
探究一
探究二
易错辨析
1
2
3
4
5
6
1.下列运算结果中,正确的是(　　)
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
C.(
-1)0=1
D.(-a2)3=-a6
答案:D
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
答案:44
1
2
3
4
5
6
答案:-23
1
2
3
4
5
6
6.已知2x+2-x=5,求:(1)4x+4-x;(2)8x+8-x.
解:(1)4x+4-x=(22)x+(22)-x=(2x)2+(2-x)2=(2x)2+2·2x·2-x+(2-x)2-2
=(2x+2-x)2-2=52-2=23.
(2)8x+8-x=(23)x+(23)-x=(2x)3+(2-x)3=(2x+2-x)·[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2]
=(2x+2-x)·(4x+4-x-1)=5×(23-1)=110.(共26张PPT)
1.1　利用函数性质判定方程解的存在
一
二
一、函数的零点
1.函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
2.函数f(x)的零点就是方程
f(x)=0的解.
【做一做1】
函数y=x2+2x-8的零点为(　　)
A.(-4,0),(2,0)
B.-4,2
C.-4
D.2
解析:根据零点的定义,令y=x2+2x-8=0.
解得x1=-4,x2=2.所以零点为-4,2.
答案:B
一
二
二、函数零点的存在性定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即
f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.
【做一做2】
函数f(x)=2x-8+log3x的零点一定位于区间(　　)
A.(5,6)
B.(3,4)
C.(2,3)
D.(1,2)
解析:因为f(3)=6-8+1=-1<0,f(4)=8-8+log34=log34>0,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以零点一定位于区间(3,4),故选B.
答案:B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)零点就是函数图像与x轴的交点.
(　　)
(2)二次函数有可能有三个零点.
(　　)
(3)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,且满足f(a)·f(b)<0,则零点不一定只有一个,也可能有多个.
(　　)
(4)若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点,但不一定有f(a)·f(b)<0.
(　　)
(5)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像不是连续曲线,则当f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)内一定有零点.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
探究一
探究二
探究三
规范答题
求函数的零点
【例1】
求下列函数的零点:
(1)f(x)=x2+3x-4;
(2)f(x)=
-4x;
(3)f(x)=1+log3x.
分析:函数解析式均已给出,可用代数法求函数的零点.
解:(1)令f(x)=x2+3x-4=0,得x=-4或x=1,所以函数零点为-4和1.
探究一
探究二
探究三
规范答题
求函数零点的方法通常有两种:
(1)代数法,求f(x)的零点,就是解方程f(x)=0,方程的实数根就是函数的零点.其中解分式方程、根式方程、对数方程时要注意验根,保证方程有意义,避免增解;
(2)几何法,求f(x)的零点,就是求f(x)的图像与x轴交点的横坐标.
探究一
探究二
探究三
规范答题
变式训练1(1)函数f(x)=x2-2x+a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　.?
(2)求函数f(x)=4x-16的零点.
(1)解析:由题意可知,方程x2-2x+a=0有两个不同的解,故Δ=4-4a>0,即a<1.
答案:(-∞,1)
(2)解:令4x-16=0,得4x=42,解得x=2,所以函数的零点为x=2.
探究一
探究二
探究三
规范答题
函数零点个数的判断
【例2】
判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,
解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.
探究一
探究二
探究三
规范答题
探究一
探究二
探究三
规范答题
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg
3-2=2+lg
3>0,
∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.
又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个实根,即f(x)只有一个零点.
(方法二)
?
在同一坐标系中作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图像如图所示.
由图像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一个交点,
即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
规范答题
判断函数零点个数的三种方法
(1)利用方程的根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数.
(3)转化为两个函数图像交点问题.
例如,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数,也就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的个数.
探究一
探究二
探究三
规范答题
探究一
探究二
探究三
规范答题
答案:(1)C　(2)1
探究一
探究二
探究三
规范答题
函数零点性质的应用
【例3】设函数f(x)=ax+3a+1(a≠0)在-2≤x≤2上存在一个零点,求实数a的取值范围.
分析:函数f(x)为关于x的一次函数,当它穿过零点时,函数值变号.
解:∵f(x)=ax+3a+1(a≠0)在区间[-2,2]上存在零点,∴f(-2)·f(2)≤0,
∴(-2a+3a+1)(2a+3a+1)≤0,
即(a+1)(5a+1)≤0.
探究一
探究二
探究三
规范答题
1.由于一次函数一定是单调函数,因此当一次函数y=f(x)在[a,b]上存在零点时,一定有f(a)·f(b)≤0.
2.本题中涉及一元二次不等式的解法,解一元二次不等式可以借助一元二次不等式对应的函数图像(当一元二次不等式小于等于0时,其图像在x轴下方的自变量的取值范围就是其解集),也可以将一元二次不等式因式分解后变为g(x)h(x)≤0,则不等式等价于
探究一
探究二
探究三
规范答题
变式训练3当实数a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上?
解:当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一个根,不符合题意.
当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,
因为方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上,
探究一
探究二
探究三
规范答题
二次函数的零点综合问题
【典例】
已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;
(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;
(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).
分析:本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.
探究一
探究二
探究三
规范答题
探究一
探究二
探究三
规范答题
1.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,也可以说x1,x2是f(x)=ax2+bx+c的两个零点,则有
.
2.本题中如果忽视Δ,将会影响α2+β2的范围而导致出错.
1
2
3
4
5
6
1.如下图四个函数图像,在区间(-∞,0)内存在零点的函数是(　　)
解析:在区间(-∞,0)内,只有B中的函数图像与x轴的负半轴有交点.
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
3.若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
解析:根据零点的判断方法,因为f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定是否存在零点.如图所示,图①②中区间(1,2)上有零点,但图③中区间(1,2)上无零点.
?
答案:C
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
答案:2
1
2
3
4
5
6
6.若函数f(x)=x2+2x-a的一个零点大于1,另一个零点小于1,求实数a的取值范围.
解:由题意知,抛物线f(x)=x2+2x-a的开口向上,与x轴的两个交点位于点(1,0)的两侧,因此必有f(1)<0,即12+2×1-a<0,解得a>3,即实数a的取值范围是a>3.(共29张PPT)
4.1　二次函数的图像
一
二
三
一、二次函数的定义
1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫作二次函数,其中a,b,c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.
2.二次函数的定义域为R.
【做一做1】
若函数
是关于x的二次函数,则t的值为(　　)
A.3
B.0
C.0或3
D.1或2
答案:B
一
二
三
二、二次函数图像的变换
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由y=x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到.
2.二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图像的开口大小及方向;h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;
k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),通过配方可以得到它的恒等变形y=a(x+h)2+k,然后由y=ax2的图像左右平移、上下平移得到其图像.
【做一做2】
将函数y=x2的图像先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得函数的解析式为(　　)
A.y=(x+2)2+1
B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2-1
D.y=(x+2)2-1
答案:C
一
二
三
二次函数图像的变换规律
(1)函数y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的a(a≠0)倍,横坐标不变,得到函数y=af(x)的图像.
(2)将函数y=f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x+a)的图像;将函数y=f(x)的图像向右平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x-a)的图像.简称为“左加(+)右减(-)”.
(3)将函数y=f(x)的图像向上平移b(b>0)个单位
长度得到函数y=f(x)+b的图像;将函数y=f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位长度得到函数y=f(x)-b的图像.简称为“上加(+)下减(-)”.
一
二
三
三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的基本特征
2.在研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像时,我们通常通过配方,把它化成y=a(x+h)2+k的形式.由此解析式可以找出函数图像的顶点(-h,k),对称轴x=-h,采用简化了的描点法画出二次函数的图像.
一
二
三
答案:A
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)二次函数y=3x2的图像与y轴不相交.
(　　)
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图像开口一定向上.
(　　)
(3)二次函数y=ax2+c在y轴左侧是减少的,在y轴右侧是增加的.
(　　)
(4)将函数y=f(x+a)(a>0)的图像向左平移a个单位长度即得到y=f(x)的图像.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
探究一
探究二
探究三
思想方法
二次函数的图像变换
【例1】
函数y=3x2+6x-1的图像是由函数y=x2的图像经过怎样的变换得到的?
分析:根据平移法则“左加右减,上加下减”.
解:因为y=3x2+6x-1=3(x+1)2-4,所以变换步骤如下:
先将函数y=x2图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,得到函数y=3x2的图像;
再将y=3x2的图像向左平移1个单位长度,得到函数y=3(x+1)2的图像;
最后将函数y=3(x+1)2的图像向下平移4个单位长度,得到y=3(x+1)2-4的图像,即y=3x2+6x-1的图像.
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.所有二次函数的图像均可以由函数y=x2的图像经过变换得到.变换前,先将二次函数的解析式化为f(x)=a(x+h)2+k的形式,再确定变换的步骤.
2.对一个已知函数的图像进行变换后,可按照“左加右减”“上加下减”等规律写出变换后图像所对应的函数解析式.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
求二次函数的解析式
【例2】
根据下列条件,求二次函数y=f(x)的解析式.
(1)图像过点(1,-1),(3,3),(-2,8);
(2)图像顶点为(1,-2),并且过点(2,4);
(3)图像过点(-2,0),(4,0),且函数y=f(x)有最小值-18.
分析:(1)图像上三点坐标已知,可用一般式;(2)顶点坐标已知,应用顶点式;(3)图像与x轴交点坐标已知,应用两根式.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
求二次函数解析式的常用设法
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
当已知抛物线上任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式,然后列出三元一次方程组并求解.
(2)顶点式:y=a(x+h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常将函数的解析式设为顶点式.
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,a≠0).
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时,通常将函数的解析式设为两根式.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过(0,0),(2,0),最高点纵坐标为3,则该函数的解析式为(　　)
A.y=-3x2-6x
B.y=-3x2+6x
C.y=-6x2-3x
D.y=-6x2+3x
解析:由题意知图像的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,3),则设y=a(x-1)2+3,将(0,0)代入可得a=-3.化简得y=-3x2+6x.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
二次函数图像的应用
【例3】画出函数f(x)=-x2+2x+3的图像,并根据图像回答下列问题:
(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小;
(2)若x1(3)求当x分别为何值时,y<0,y=0,y>0?
分析:本题考查配方法和二次函数的图像,解题的关键是配方,完成配方后再结合函数图像研究提出的问题.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4的图像如图所示.
(1)由图可知,二次函数f(x)图像的对称轴为x=1,开口向下,且|0-1|<|3-1|,
故f(1)>f(0)>f(3).
(2)∵x1|x2-1|.
又f(x)的图像对称轴为x=1,开口向下,
∴f(x1)(3)由图可知,
当x>3或x<-1时,y<0;
当x=-1或x=3时,y=0;
当-10.
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.通过二次函数的图像,可以观察到函数的对称性、单调性以及图像与坐标轴的交点等,据此可以求解一些函数值的大小比较、自变量的取值范围等问题.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根,二次函数图像在x轴上方部分对应的x取值范围,即为不等式ax2+bx+c>0的解;同样二次函数图像在x轴下方部分对应的x取值范围,即为不等式ax2+bx+c<0的解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3已知函数f(x)=-x2+4x+5.
(1)用配方法求出函数图像的对称轴、顶点坐标,并作出图像,指出其单调区间;
(2)由图像写出y≥0时x的取值范围.
解:(1)f(x)=-x2+4x+5=-(x2-4x)+5=-(x-2)2+9,则该函数图像的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,9),其图像如图所示.其单调增区间为(-∞,2],单调减区间为[2,+∞).
(2)由图像知当y=0时,x=-1或x=5;当y>0时,-1探究一
探究二
探究三
思想方法
数形结合思想在二次函数中的应用
【典例】
若方程x2-2x-3=a有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
分析:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,将方程有两个不相等的实数根转化为两个函数的图像有两个不同的交点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:令f(x)=x2-2x-3,g(x)=a,作出f(x)的图像如图所示.
f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2-2x-3=a根的个数.
由图可知①当a<-4时,f(x)与g(x)的图像无交点,即方程x2-2x-3=a无实根;②当a=-4时,f(x)与g(x)的图像有一个公共点,即方程x2-2x-3=a有一个实根;③当a>-4时,f(x)与g(x)的图像有两个公共点,即方程x2-2x-3=a有两个实根.
综上所述,当方程x2-2x-3=a有两个实数根时,实数a的取值范围是(-4,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
讨论f(x)=g(x)根的情况,不妨适当变形后令y=f(x)与y=g(x)两个函数,然后把方程根的问题转化为两个函数图像交点问题,体现了数与形的完美结合.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是　　　　.?
1
2
3
4
5
6
解析:在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,|a|越大,其图像开口越小.
答案:D
1
2
3
4
5
6
2.二次函数y=x2+2x图像的开口方向及顶点坐标分别为(　　)
A.向上,(1,-1)
B.向上,(-1,-1)
C.向下,(1,-1)
D.向下,(-1,1)
解析:因为y=x2+2x=(x+1)2-1,所以其图像的开口向上,顶点坐标为(-1,-1).
答案:B
1
2
3
4
5
6
A.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
5.已知二次函数图像的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),求这个二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k,而其图像的顶点坐标是(2,3),
故有y=a(x-2)2+3,这样只需确定a的值.
因为二次函数图像经过点(3,1),
所以x=3,y=1满足关系式y=a(x-2)2+3,即1=a(3-2)2+3,
解得a=-2.
所以函数解析式为y=-2(x-2)2+3,
即y=-2x2+8x-5.
1
2
3
4
5
6(共33张PPT)
§1　集合的含义与表示
一
二
三
四
一、元素与集合的相关概念
一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合常用大写字母A,B,C,D,…标记.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.常用小写字母a,b,c,d,…表示集合中的元素.
【做一做1】
下列各组对象能构成集合的有(　　)
①2018年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;②不超过10的非负奇数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①中元素确定,能构成集合;②中不超过10的非负奇数有:1,3,5,7,9共5个数,是确定的,故能构成集合;③中“接近零”的标准不明确,故不能构成集合;④中“比较好”没有明确的界限,不满足元素的确定性,故不能构成集合.
答案:B
一
二
三
四
集合中元素的性质
(1)确定性:指的是给定一个集合A,任何一个元素a是不是这个集合的元素就确定了,即某一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.
(2)互异性:集合中的元素必须是互异的.就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性:集合中的元素是没有顺序的.也就是说,集合中的元素没有先后之分.
一
二
三
四
【做一做2】
集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(　　)
答案:D
一
二
三
四
三、常用数集及集合的分类
1.常用数集及符号表示
2.集合的分类
一
二
三
四
解析:(1)(2)(3)(4)正确,(5)(6)错误,(5)(6)中应为
∈R,-1?N.
答案:4
【做一做4】
下列各式正确的是(　　)
A.?∈{0}
B.0∈?
C.0=?
D.0∈{0}
解析:0是一个元素;?是一个集合,不含任何元素;{0}表示含有一个元素0,比较四个选项可知D正确.
答案:D
一
二
三
四
四、集合的常用表示方法
1.列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法,形式为{x1,x2,…,xn}.
2.描述法:用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法,形式为{x∈A|p(x)}.
在不引起混淆的情况下,为了简便,用描述法表示某些集合时,可以省去竖线及竖线左边表示元素的符号.如所有奇数组成的集合,可以表示为{奇数}.“{　}”本身就有“全部”“所有”的意思.
【做一做5】
(1)用列举法表示集合{x∈N|-1≤x≤
}为　　　　　.?
(2)不等式3x<4在实数范围内的解集可表示为　　　　　.?
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)个子很高的同学可以构成一个集合.
(　　)
(2)若2
018与a是集合M中的两个元素,则a≠2
018.
(　　)
(3){x∈R|x2+x+1=0}=?.
(　　)
(4)集合{(0,1),(1,2),(2,3)}中含有6个元素.
(　　)
(5)二次函数y=x2+1的图像上所有点的集合可表示为{y|y=x2+1,x∈R}.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
集合的判定
【例1】
2018年9月,我们踏入了心仪的高中校园,找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由.
(1)你所在班级中全体同学;
(2)班级中比较高的同学;
(3)班级中身高超过178
cm的同学;
(4)班级中比较胖的同学;
(5)班级中体重超过75
kg的同学;
(6)学习成绩比较好的同学;
(7)总分排前五名的同学.
分析:根据研究对象的特征是否具有衡量、判断的标准,即是否具有确定性进行逐个判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)班级中全体同学是确定的,所以可以构成一个集合;
(2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(3)因为“身高超过178
cm”是确定的,所以可以构成一个集合.
(4)“比较胖”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(5)“体重超过75
kg”是确定的,可以构成一个集合;
(6)“比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(7)“总分排前五名”是确定的,可以构成一个集合.
判断一组对象能否构成集合的关键在于能否找到一个明确的标准.对于任何一个对象,都能确定它是否为给定集合的元素,不存在模棱两可的情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1给出下列几种说法:
①高一数学课本中的难题;
②所有的正三角形;
③方程x2+2=0的实数解.
其中能够构成集合的是(　　)
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
解析:①中,任给高一数学课本中一道题,是否为难题无法客观地判断,不能构成一个集合;②中,任给一个三角形,可明确判断出它是否为正三角形,因此能构成集合;③x2+2=0在实数范围内无解,因此方程x2+2=0的解集为?,?也是一个集合,只不过是不含任何元素的集合.
综上知,能构成集合的是②③.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
判断元素与集合的关系
【例2】
用符号“∈”和“?”填空:
答案:(1)∈　∈　?　(2)∈　?　(3)?　∈
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.如果集合是用列举法给出的,那么可通过观察直接判断元素是否属于该集合;如果集合是用描述法给出的,那么应判断元素是否具有这个集合元素的共同属性.
2.如果是利用元素与集合的关系求参数,那么应该注意求参后要有代入检验的意识.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是否是集合A中的元素?
②若-5∈A,求实数a的值;
③若1?A,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.
(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,则代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式,解之即可.
(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(1)解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
答案:C
(2)解:①将x=0代入方程,02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1?A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用列举法表示集合
【例3】
试用列举法表示下列集合.
(1)满足-3≤x≤0且x∈Z;
(2)倒数等于其本身数的集合;
(3)满足x+y=3且x∈N,y∈N的有序数对;
(4)方程x2-4x+4=0的解.
分析:用列举法表示集合,需要先辨析集合中元素的属性及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)∵x∈Z且-3≤x≤0,∴x=-3,-2,-1,0.
故满足条件的集合为{-3,-2,-1,0}.
(2)∵x=
,∴x=±1.
∴满足条件的集合为{-1,1}.
(3)由x+y=3且x∈N,y∈N,
∴x=0时,y=3;x=1时,y=2;x=2时,y=1;x=3时,y=0.
∴满足条件的集合为{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}.
(4)∵方程x2-4x+4=0的解为x=2,
∴满足条件的集合为{2}.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中的元素较多或无限,且有一定规律时,也可用列举法表示,但必须把元素间的规律呈现清楚,才能用省略号.
2.要弄清楚集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他的元素,从而用相应的形式写出元素表示集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3用列举法表示下列集合.
(1)15以内质数的集合;
(2)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合;
(3)一次函数y=x与y=2x-1的图像的交点组成的集合.
分析:(1)质数又称素数,指在一个大于1的自然数中,除了1和此数自身外,不能被其他自然数整除的数;(2)中要明确方程x(x2-1)=0的实数根有哪些;(3)中要明确一次函数y=x与y=2x-1的图像的交点有哪些,应怎样表示.
解:(1){2,3,5,7,11,13}.
(2)解方程x(x2-1)=0,得x1=-1,x2=0,x3=1,故方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合为{-1,0,1}.
因此一次函数y=x与y=2x-1的图像的交点为(1,1),
故所求的集合为{(1,1)}.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用描述法表示集合
【例4】
用描述法表示以下集合.
(1)所有不小于2且不大于20的实数组成的集合;
(2)平面直角坐标系内第二象限内点组成的集合;
(3)使
有意义的实数x组成的集合;
(4)200以内的正奇数组成的集合;
(5)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
分析:用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.
(2)第二象限内的点(x,y)满足x<0,且y>0,
故集合可表示为{(x,y)|x<0,y>0}.
(3)要使该式有意义,需有
解得x≤2,且x≠0.
故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}.
(4){x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(5){x|x2-5x-6=0}.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用描述法表示集合应注意的问题
(1)写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数还是点或是其他形式;
(2)准确说明集合中元素所满足的特征;
(3)所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号;
(4)用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4给出下列说法:
①在直角坐标平面内,第一、三象限的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};
②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};
③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.
其中正确的有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
忽视集合中元素的互异性
【典例】
已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为　　　　　.?
错解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.故填1或-1.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
错因分析:以上错解中没有注意到元素a与a2不相等,得到了错误答案1或-1.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
正解:因为1∈A,所以a=1或a2=1.
当a=1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.
当a2=1,即a=±1时,a=1舍去.
若a=-1,集合A含有两个元素1和-1,符合集合中元素的互异性.
综上,a=-1.
答案:-1
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.分类讨论思想的运用
解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中由1∈A,可知a=1或a2=1.
2.集合中元素的互异性的作用
求解与集合有关的字母参数时,需要利用集合中元素的互异性来检验所求字母参数的值是否符合要求.如本例中需对所求出的1与-1分别进行检验.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练已知集合A={3,4,5},B={4,5,6,7},定义A
B={(a,b)|a∈A,
b∈B},则A
B中元素的个数为　　　　　.?
解析:本题是考查“新定义”型集合问题,首先应明确A
B是一个点集,点的横坐标为集合A中的元素,点的纵坐标为集合B中的元素,然后从A和B中分别取数确定点,所确定的点的个数即为A
B中元素的个数.所确定的点有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),
(5,5),(5,6),(5,7).故填12.
答案:12
1
2
3
4
5
1.下列各组对象中,不能组成集合的是(　　)
A.北京大学2018年入学的全体学生
B.参加某校校庆65周年招待会的全体成员
C.清华大学建校以来毕业的所有学生
D.中国的著名数学家
答案:D
1
2
3
4
5
2.给出下列关系:
其中正确的个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①②正确,③④错误.
答案:B
1
2
3
4
5
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{-1,0,1,2,3,4,5}
答案:C
1
2
3
4
5
4.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1
B.3
C.5
D.9
解析:因为B中的x,y均是从0,1,2中任意取值,所以x-y能取到的值为0,-1,-2,1,2.
所以B={0,-1,-2,1,2},选C.
答案:C
1
2
3
4
5
5.选择适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;
(3)一次函数y=x+6图像上所有的点组成的集合;
(4)坐标平面内坐标轴上的点组成的集合.
解:(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.
(4)由于坐标轴上的点的横坐标x与纵坐标y满足xy=0,故此集合可表示为{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}.(共42张PPT)
§3　指数函数
一
二
一、指数函数的定义
函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,其中x是自变量.
【做一做1】
函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m=(　　)
A.2
B.1
C.3
D.2或-1
解析:由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.
答案:D
一
二
二、指数函数y=ax(a>0,a≠1,x∈R)的图像和性质
一
二
一
二
【做一做2】
(1)函数y=(
-1)x在R上是(　　)
A.增函数
B.奇函数
C.偶函数
D.减函数
(2)如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图像,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)
A.aB.bC.1D.a一
二
(2)(方法一)在①②中底数小于1且大于零,在y轴右边,底数越小,图像越靠近x轴,故有b(方法二)设x=1与①②③④的图像分别交于点A,B,C,D,如图,则其坐标依次为(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),由图像观察可得c>d>1>a>b.故选B.
答案:(1)D　(2)B
一
二
函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的定义域、值域、奇偶性、单调性分别如下:
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.
(　　)
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)是非奇非偶函数.
(　　)
(3)所有的指数函数图像过定点(0,1).
(　　)
(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图像是相同的.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
指数函数定义的理解
【例1】
(1)下列函数中,一定是指数函数的是　　　　　.(填序号)?
(2)若指数函数g(x)的图像经过点(-1,5),则g(2)=　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
1.判断一个函数是否是指数函数,关键是分析该函数的解析式是否完全符合指数函数的解析式y=ax(a>0,且a≠1),其特征是:
(1)底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;
(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1;
(3)ax的系数是1.
2.确定指数函数解析式的实质是确定参数a的值,这时可通过待定系数法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1(1)已知指数函数图像经过点P(-1,3),则f(3)=　　　　.
(2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
指数型函数的定义域与值域问题
【例2】
(1)求下列函数的定义域与值域:
分析:(1)求定义域要根据函数自身的要求,找出关于x的不等式或不等式组,解此不等式或不等式组可得定义域.求值域要根据定义域,借助换元思想与指数函数的单调性求解;(2)先求出y=2x-x2的最值,再结合指数函数的单调性确定原函数的最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
函数y=af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y=af(x)的定义域即y=f(x)的定义域.
(2)函数y=af(x)的值域的求法如下:
①换元,令t=f(x);
②求t=f(x)的定义域x∈D;
③求t=f(x)的值域t∈M;
④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
答案:(1)A　(2)(0,1]
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
指数型函数的图像问题
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
(2)函数y=ax-1+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点　　　　　.?
(3)方程2|x|+x=2的实根的个数为　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(2)(方法一)∵指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像过定点(0,1),
∴函数y=ax-1+2中令x-1=0,即x=1,则y=1+2=3.
∴函数图像恒过定点(1,3).
(方法二)函数可变形为y-2=ax-1,把y-2看作x-1的指数函数,
则当x-1=0,即x=1时,y-2=1,即y=3.
∴函数图像恒过定点(1,3).
(方法三)由图像变换可知:
∵指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像过定点(0,1),
∴y=ax-1的图像恒过定点(1,1).
∴y=ax-1+2的图像恒过点(1,3).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(3)由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一坐标系中作出函数y=2|x|与y=2-x的图像(如图),可观察到两个函数图像有且仅有2个交点,故方程有2个实数根,应填2.
答案:(1)D　(2)(1,3)　(3)2
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
1.牢记指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像恒过定点(0,1),分布在第一和第二象限.
2.对于形如“f(x)-g(x)=0”的等式,若讨论方程根的个数,一般将等式化归为“f(x)=g(x)”的形式,并且使等号两边的函数能方便画出图像,这样把方程根的个数问题变成了两函数图像交点个数问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
3.平移变换(φ>0),如图(1)所示.
4.对称变换,如图(2)所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(2)如果a>1,b<-1,那么函数y=ax+b的图像在
(　　)
A.第一、二、三象限
B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、四象限
(3)方程2-x2=2x的根的个数为　　　　　.?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:(3)根据方程的两端分别设函数f(x)=2x,g(x)=2-x2,在同一直角坐标系中画出函数f(x)=2x与g(x)=2-x2的图像,如图所示.
?
由图可以发现,二者仅有两个交点,∴方程2-x2=2x的根的个数为2.
答案:(1)B　(2)B　(3)2
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
指数函数单调性的应用
【例4】比较下列各组数的大小:
(1)3.30.1,3.30.2;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1;(4)a1.3,a2.5(a>0,a≠1).
分析:由于(1)(2)中的底数相同,因此可直接应用指数函数的单调性进行比较,而(3)中的底数不同,指数也不同,可借助中间值来比较大小,(4)中底数相同,但范围不确定,应讨论.
解:(1)因为3.3>1,所以指数函数y=3.3x在R上为增函数.又因为0.1<0.2,所以3.30.1<3.30.2.
(2)因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x在R上为减函数.又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.
(4)当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3当0a2.5.
故当a>1时,a1.3a2.5.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
如何比较幂值的大小
若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
【例5】
解下列不等式.
(2)a2x+1-a-3x>0(a>0,且a≠1).
分析:本题考查利用指数函数性质解指数不等式的方法.求解时需将所给不等式化为两边均含相同底数的形式,利用指数函数的单调性转化为关于指数的不等式求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解指数方程或指数不等式要注意:
1.指数方程的类型可分为:
(1)形如af(x)=ag(x)(a>0,a≠1)的方程,化为f(x)=g(x)求解.
(2)形如a2x+b·ax+c=0的方程,用换元法求解.
2.指数不等式的类型为:af(x)>ag(x)(a>0,a≠1):
当a>1时,f(x)>g(x);
当0探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
指数型函数的综合应用
【典例】
设函数f(x)=kax-a-x(a>0,且a≠1)是奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)>0,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0;
(3)若f(1)=
,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
分析:(1)根据f(x)是R上的奇函数,利用f(0)=0求k即可;
(2)先利用f(1)>0求得实数a的范围,再根据函数的单调性解关于x的不等式即可;
(3)先利用f(1)=
求出实数a的值,再利用换元法将问题转化为二次函数的最值问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
1.特殊值法主要用在解选择题上,在解答题中有时也起到很重要的作用,如本例中利用奇函数在原点有意义的特殊性求解,比利用奇函数的定义求解简单.
2.对指数函数的性质要记准记牢,特别是指数函数的单调性在解题中的应用要掌握,如本例中就需要根据函数的单调性得到关于x的不等关系.
3.在解含有字母的问题时要重视分类讨论思想的应用,如本例中在求二次函数的最值时,就需要根据字母m的范围确定顶点的位置.
1
2
3
4
5
6
答案:B
7
8
1
2
3
4
5
6
答案:B
7
8
1
2
3
4
5
6
3.当a>1时,函数y=ax和y=(a-1)x2的图像只可能是
(　　)
解析:由a>1知函数y=ax的图像过点(0,1),分布在第一象限和第二象限,且从左到右是上升的.由a>1知,函数y=(a-1)x2的图像开口向上,对称轴为y轴,顶点为原点.故选项A正确.
答案:A
7
8
1
2
3
4
5
6
4.函数f(x)=a3-x+1(a>0,a≠1)的图像恒过定点　　　　　.?
答案:(3,2)
7
8
1
2
3
4
5
6
答案:(-∞,0]
7
8
1
2
3
4
5
6
解析:设出指数函数f(x)的解析式,然后代入已知点的坐标求解参数,从而确定函数解析式,然后代值求解.
设f(x)=ax(a>0,a≠1),
∴a-2=
.∴a=2.
∴f(4)f(2)=24·22=64.
答案:64
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)确定a的值;
(2)求函数的定义域;
(3)求函数的值域.
1
2
3
4
5
6
7
8(共25张PPT)
§1　正整数指数函数
一
二
一、正整数指数函数
1.定义:一般地,函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作正整数指数函数,其中x是自变量(x在指数位置上),底数a是常数.
2.定义域:N+.
3.图像:正整数指数函数的图像是一群孤立的点,且都位于x轴的上方.
一
二
【做一做1】
下列函数中一定是正整数指数函数的是
(　　)
A.y=(-4)x(x∈N+)
B.y=
(x∈N+)
C.y=2×3x(x∈N+)
D.y=x3(x∈N+)
解析:y=(-4)x的底数-4<0,不是正整数指数函数;y=2×3x中3x的系数等于2,不是正整数指数函数;y=x3中自变量x在底数的位置上,是幂函数,不是正整数指数函数;由正整数指数函数的定义知,只有y=
(x∈N+)是正整数指数函数,故选B.
答案:B
一
二
在正整数指数函数的定义中,为什么规定解析式中底数a的范围是a>0,且a≠1?
(1)若a=0,由于x∈N+,则ax=0,即ax是一个常量,没有研究的必要;
(2)若a=1,由于x∈N+,则ax=1,即ax也是一个常量,没有研究的必要;
(3)若a<0,则由正整数指数函数的定义扩充到指数函数的定义时,对于x的某些取值,ax无意义,这样不利于定义的扩充和数学知识体系的构建.
因此,为避免出现以上几种情况,规定a>0,且a≠1.
一
二
二、指数型函数
我们把形如y=kax(k∈R,a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数.
【做一做2】
某市现有人口总数为100万人,若年自然增长率为1.2%,则经过x(x∈N+)年后,该市人口总数y(单位:万人)的表达式为　　　　　.?
解析:经过1年,该市人口总数为100×(1+1.2%);经过2年,该市人口总数为100×(1+1.2%)2,…,因此经过x年后,该市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
答案:y=100×(1+1.2%)x
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)函数y=2x是正整数指数函数.
(　　)
(2)函数y=3x-1,x∈{2,3,4,5,…}是正整数指数函数.
(　　)
(3)正整数指数函数y=ax,x∈N+中a的范围为a>0.(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正整数指数函数的定义
【例1】
若函数f(x)=(a2-4a+4)·ax是一个正整数指数函数,则实数a的值等于　　　　　.?
分析:根据正整数指数函数的定义建立关于a的关系式求解.
解析:由于函数f(x)=(a2-4a+4)·ax是正整数指数函数,
因此有
解得a=3,故实数a的值等于3.
答案:3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
如何判断一个函数是否是正整数指数函数
关键看两点:
(1)函数解析式的形式,函数解析式必须是指数幂的形式,系数为1,幂的底数为常数,且该常数应大于0且不等于1,指数位置仅为自变量x;
(2)该函数的定义域:自变量x的取值范围是全体正整数.此外,如果给定的函数解析式经化简后符合上述要求,那么它也是正整数指数函数.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1下列函数一定是正整数指数函数的是
(　　)
A.y=2x+1,x∈N+
B.y=x2,x∈N+
C.y=3x,x∈N+
D.y=2
018×
,x∈N+
解析:由正整数指数函数定义知,仅有y=3x,x∈N+符合形如y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)的形式.
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正整数指数函数的图像与性质
【例2】(1)画出正整数指数函数y=3x(x∈N+)的图像,并指出其单调性和值域;
(2)若函数f(x)=(3a-1)x(x∈N+)是正整数指数函数,且满足f(10)解:(1)列表、描点作图,如图所示.
单调性:函数y=3x(x∈N+)是增函数.
值域:{3,32,33,…}.
(2)由f(10)0,因此有0<3a-1<1,解得
,此即为实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.画正整数指数函数的图像时,通常采用列表描点法,其图像是一系列孤立的点,且这些点全部在第一象限内.
2.正整数指数函数不具有奇偶性,但具有单调性,当底数a>1时,函数是增函数;当底数03.正整数指数函数y=ax(a>0,且a≠1,x∈N+)的值域是{a,a2,a3,…}.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2函数y=
,x∈N+的图像是(　　)
A.一条上升的曲线
B.一条下降的曲线
C.一系列上升的点
D.一系列下降的点
解析:画出函数y=
,x∈N+的图像(图略)可知,其图像是一系列下降的点.
答案:D
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正整数指数函数的实际应用
【例3】
某种储蓄按复利计算利息,已知本金为a元,每期利率为r.
(1)写出本利和y(单位:元)关于存期x的函数关系式;
(2)如果存入本金10
000元,每期利率为3.5%,试计算2期后的本利和.
分析:列出本利和随存期逐期变化的情况,总结变化过程便可得到函数关系式,再根据函数关系式求解第(2)小题.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)已知本金为a元,每期利率为r,则
1期后的本利和为a+a×r=a(1+r)元,
2期后的本利和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2元,
3期后的本利和为a(1+r)3元,
……
x期后的本利和为a(1+r)x元,
所以本利和y关于存期x的函数关系式为
y=a(1+r)x,x∈N+.
(2)已知a=10
000,r=3.5%,x=2,
所以y=10
000×(1+3.5%)2=10
000×1.0352=10
712.25(元).所以2期后的本利和为10
712.25元.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.
2.在实际问题中,对于平均增长率的问题,若原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3有关部门计划于2017年投入某市128辆电力型公交车,且随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问,该市在2023年应投入多少辆电力型公交车?
解:由题意知,在2018年应投入电力型公交车的数量为
128×(1+50%);
在2019年应投入电力型公交车的数量为
128×(1+50%)×(1+50%)=128×(1+50%)2;
在2020年应投入电力型公交车的数量为
128×(1+50%)2×(1+50%)=128×(1+50%)3,……
故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1+50%)6,
即128×
=1
458(辆).
答:该市在2023年应投入1
458辆电力型公交车.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
忽略实际问题中函数的定义域而致误
【典例】
一种机器的年产量原为1万台,在今后10年内,计划使年产量平均比上一年增加10%.
(1)试写出年产量y(单位:万台)随年数x(单位:年)变化的关系式,并写出其定义域;
(2)画出函数图像.
错解:(1)y=(1+10%)x=1.1x,即y与x的关系式是y=1.1x,其定义域是[0,+∞).
(2)画出函数图像如图所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正解:(1)y=(1+10%)x=1.1x,即y与x的关系式是y=1.1x,其定义域是{x|x≤10,x∈N+}.
(2)画出函数图像如图所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.对于函数应用的实际问题,在表达出函数式后一定不要忽视定义域,也不能想当然地认为定义域为正实数集.
2.本例中错解就是没把题目的信息年份x的取值弄清楚.要知道函数式确定后,函数定义域也是函数的构成要素,这一细节往往引发很大错误结论,应引起重视.
1
2
3
4
5
1.下列函数中一定是正整数指数函数的是(　　)
A.y=x5(x∈N+)
B.y=3x+2(x∈N+)
C.y=2-x(x∈N+)
D.y=4×3-x(x∈N+)
解析:y=2-x=
(x∈N+)是正整数指数函数.
答案:C
1
2
3
4
5
2.函数f(x)=
(x∈N+)是(　　)
A.增函数
B.减函数
C.奇函数
D.偶函数
解析:画出函数f(x)=
(x∈N+)的图像(图略),知f(x)是增函数.
答案:A
1
2
3
4
5
3.某企业的年利润计划由2018年到2028年翻两番,那么年利润的年平均增长率x应满足(　　)
A.(1+x)10=2
B.(1+x)10=4
C.(1+x)9=2
D.(1+x)9=4
解析:设2018年利润为a,则2028年的利润为4a,因此有a·(1+x)10=4a,即(1+x)10=4.
答案:B
1
2
3
4
5
4.已知f(x)=ax(a>0,且a≠1,x∈N+)的图像过点(3,64),则f(2)=　　　　.?
解析:∵由题意,得a3=64,∴a=4.
∴f(x)=4x.
∴f(2)=42=16.
答案:16
1
2
3
4
5
5.画出函数y=
(x∈N+)的图像,并说明该函数的单调性.
解:由图像知,y=
的图像是由一些孤立的点组成的,并且随着x(x∈N+)的增大,y逐渐减小,即函数是减函数.(共27张PPT)
4.1　对数及其运算
一
二
三
四
一、对数的概念
一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b
.其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
一
二
三
四
对数式与指数式之间的关系:
(1)指数式ab=N与对数式b=logaN(a>0,a≠1,N>0)是等价的,它们表达的是a,b,N三者之间的同一种关系.但a,b,N在两个式子中的名称是不相同的(如下表):
(2)由于在指数式ab=N中,有a>0,且a≠1,因此在对数式b=logaN中也要求a>0,且a≠1.
(3)并非所有的指数式都能直接改为对数式,如(-2)2=4不能改写为log-24=2.只有在a>0,a≠1,N>0时,才有ab=N?b=logaN.
一
二
三
四
答案:C
一
二
三
四
二、对数logaN(a>0,a≠1)的性质
1.零和负数没有对数,即logaN中N必须大于零;
2.1的对数为0,即loga1=0;
3.底数的对数为1,即logaa=1;
4.对数恒等式:__________.
【做一做2】
使对数式log5(3-x)有意义的x的取值范围是(　　)
A.x>3
B.x<3
C.x>0
D.x<3,且x≠2
解析:由对数的定义可知,3-x>0,即x<3.
答案:B
一
二
三
四
三、常用对数与自然对数
1.常用对数:以10为底的对数叫作常用对数,记作:lg
N
.?
2.自然对数:以e为底的对数叫作自然对数,
N的自然对数logeN简记作ln
N
.?
【做一做3】
有以下三个说法:
(1)lg(lg
10)=0;
(2)若10=lg
x,则x=10;
(3)ln(ln
e)=0.
其中正确的序号是　　　　　.?
解析:lg(lg
10)=lg
1=0;ln(ln
e)=ln
1=0,故(1),(3)正确.若10=lg
x,则x=1010,故(2)错误.
答案:(1)(3)
一
二
三
四
四、对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则
1.loga(MN)=logaM+logaN;
2.logaMn=nlogaM
(n∈R);
3.loga
=logaM-logaN
.
正确理解、记忆、应用运算性质应注意以下几点:
(1)对数的运算性质可简记为:积的对数等于对数的和,商的对数等于对数的差.
(2)注意前提条件:a>0,a≠1,M>0,N>0,尤其是“M,N都是正数”这一条件,否则M,N中有一个小于或等于0,就导致logaM或logaN无意义.另外还要注意,M>0,N>0与M·N>0并不等价.
(3)要注意对数运算性质的逆用.
一
二
三
四
【做一做4】
下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x,y,z>0)(　　)
答案:D
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)因为(-2)2=4,所以log-24=2.
(　　)
(2)log34与log43表示的含义相同.
(　　)
(3)0的对数是0.
(　　)
(4)lg
N是自然对数.
(　　)
(5)logax·logay=loga(x+y).
(　　)
(6)loga(-3)4=4loga(-3).
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数式与指数式的互化
【例1】
完成下表指数式与对数式的转换.
解析:(1)103=1
000?log101
000=3,即lg
1
000=3;
(2)log39=2?32=9;
(3)log210=x?2x=10;
(4)e3=x?logex=3,即ln
x=3.
答案:(1)lg
1
000=3　(2)32=9　(3)2x=10
(4)ln
x=3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数式和指数式互化的几个注意:
(1)指数式与对数式只有在满足底数大于0且不等于1时,才可以相互转化.
(2)把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数.
(3)在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0.
(4)注意常用对数与自然对数的表示方法.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数基本性质与对数恒等式的应用
【例2】
求下列各式的值:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
1.利用对数的定义可以求对数值,这时通常是先将对数式化为指数式,再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式,从而列出方程,求出结果.
2.注意特殊对数值的应用.若logaN=0,则必有N=1;若logaN=1,则必有a=N.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
对数式的化简与求值
【例3】化简下列各式:
分析:利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数.
(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-3
=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(1)注意对数运算法则的正用和逆用;
(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧,如化为最简形式或统一底数等.
(3)对于常用对数的化简,要充分利用“lg
2+lg
5=1”“lg
2=1-lg
5”“lg
5=1-lg
2”来解题.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)原式=2lg
5+2lg
2+lg
5×(1+lg
2)+(lg
2)2
=2(lg
5+lg
2)+lg
5+lg
2(lg
5+lg
2)
=2+lg
5+lg
2
=2+1=3.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
忽视对数真数与底数的限制条件而致误
【典例】
已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
错解:由对数的性质,可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.
1.由对数的定义可知,对数logaN的底数a>0,且a≠1,真数N>0,因此我们在解题时一定要注意这些限制条件,若忽视了这些条件,则很容易出错.
2.本例中的错解显然忽视了真数为正及对数底数的范围要求.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:因为lg
x+lg
y=2lg(x-2y),
所以xy=(x-2y)2,
即x2-5xy+4y2=0.所以(x-y)(x-4y)=0,
解得x=y或x=4y.因为x>0,y>0,x-2y>0,
1
2
3
4
5
6
1.对数式x=ln
2化为指数式是(　　)
A.xe=2
B.ex=2
C.x2=e
D.2x=e
解析:∵x=ln
2=loge2,∴ex=2.
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.下列各式中正确的是(　　)
A.loga6=loga2+loga4(a>0,且a≠1)
B.loga9=(loga3)2(a>0,且a≠1)
C.loga6=loga2·loga3(a>0,且a≠1)
D.loga(-2)2=2loga2(a>0,且a≠1)
解析:对于D项,loga(-2)2=loga22=2loga2,正确,其余均不对.
答案:D
1
2
3
4
5
6
3.已知b=log(a-2)(5-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.a>5或a<2
B.2C.2D.3答案:C
1
2
3
4
5
6
4.若log15(log5x)=0,则x=　　　　　.?
解析:由已知得log5x=1,从而x=5.
答案:5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
6.计算下列各式的值.
(1)
;
(2)log3(27×92);
(3)lg
40+lg
5-lg
2;
(4)(lg
5)2+lg
2·lg
5+lg
2.(共26张PPT)
5.3　对数函数的图像和性质
对数函数的图像和性质
下表是对数函数y=logax(a>0,a≠1)在其底数a>1及0【做一做】
下列说法正确的是(　　)
A.y=ln(x-1)的图像恒过定点(1,0)
B.y=lg
x的值域是[0,+∞)
C.当x>1时,a越大,对数函数图像越靠近x轴
D.y=log3x与
的图像关于x轴对称
解析:A错,y=ln(x-1)的图像恒过定点(2,0);B错,y=lg
x的值域是R;C错,当x>1,且a>1时,a越大,对数函数图像越靠近x轴;D正确.
答案:D
(1)对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的函数值的符号规律:
当x<1,a<1或x>1,a>1时,logax>0,简称为“同正”;
当x<1,a>1或x>1,a<1时,logax<0,简称为“异负”.
因此对数的符号简称为“同正异负”.
(2)函数y=logax(a>0,a≠1)的底数变化与函数图像位置的关系:
观察图像,注意变化规律:
?
①上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,a越大,图像越靠近x轴,当0②左右比较:函数图像与y=1的交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像均在x轴上方.
(　　)
(2)y-4=logm(x+9)(m>0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4).
(　　)
(3)当01时,y=logax为R上的增函数.
(4)因为x2+1>0恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
探究一
探究二
探究三
思想方法
与对数函数有关的函数定义域问题
【例1】
(1)函数
的定义域为(　　)
A.(0,2)
B.(0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
(2)函数y=log(x+1)(16-4x)的定义域是　　　　　.?
解析:(1)令log2x-1>0,解得x>2,
∴f(x)的定义域为(2,+∞).
∴该函数的定义域为{x|-1答案:(1)C　(2){x|-1探究一
探究二
探究三
思想方法
求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还对这种函数自身有如下要求:(1)要特别注意真数大于零;(2)要注意对数的底数;(3)按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究一
探究二
探究三
思想方法
答案:C
探究一
探究二
探究三
思想方法
比较对数值的大小
【例2】
比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(3)log23,log0.32;
(4)logaπ,loga3.14(a>0,a≠1).
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以log31.9(3)因为log23>log21=0,log0.32所以log23>log0.32.
(4)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
则有logaπ>loga3.14;
当0则有logaπ综上可得,当a>1时,logaπ>loga3.14;
当0探究一
探究二
探究三
思想方法
比较两个对数值的大小的常用方法
(1)底数相同,真数不同时,用对数函数的单调性来比较;
(2)底数不同,而真数相同时,常借助图像比较,也可用换底公式转化为同底数的对数后比较;
(3)底数与真数都不同时,需寻求中间值比较;
(4)分类讨论:当底数与1的大小关系不确定时,要对底数与1比较,分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思想方法
答案:A
探究一
探究二
探究三
思想方法
与对数函数有关的图像问题
(1)解析:由于f(x)=log4
=-log4x,其图像与y=log4x的图像关于x轴对称,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.一般地,函数y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称,函数y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称,函数y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称.
利用上述关系,可以快速识别一些函数的图像.
2.与对数函数有关的一些对数型函数,如y=logax+k,y=loga|x|,
y=|logax+k|等,其图像可由y=logax的图像,通过平移变换、对称变换或翻折变换而得到.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3已知函数f(x)=|log2(x+1)|,
(1)画出函数图像,并写出函数的值域及单调区间;
(2)若方程f(x)=k有两解,求实数k的取值范围.
解:(1)函数f(x)=|log2(x+1)|的图像如图所示.
?
由图像知,其值域为[0,+∞),f(x)在(-1,0]上是减少的,在[0,+∞)上是增加的.
(2)由(1)的图像知,当k>0时,方程f(x)=k有两解,故k的取值范围是(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
对数函数的综合应用
【典例】
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.
(1)求实数k的值.
(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围.
分析:(1)要求实数k的值,只需列出关于k的方程,根据函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数即可求解.
(2)将方程f(x)=log4(a·2x-a)转化为一元二次方程,根据一元二次方程的根的分布来求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.利用函数的奇偶性求参数,需要根据奇偶函数的定义建立关于参数的恒等式,通过比较等式两边确定参数的值,解题时要注重挖掘隐含条件,比如本例由函数为偶函数可挖掘出f(-x)=f(x)这一隐含条件.
2.在解决有关指数、对数的综合问题时,常常利用换元的思想,将指、对问题转化为我们熟悉的一次函数或二次函数问题来解决.如本例中令t=2x,将问题转化为二次函数的根的方程问题,有利于问题的解决.
1
2
3
4
5
6
1.已知函数f(x)=log(a+1)x是(0,+∞)上的增函数,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)
B.(1,+∞)
C.(-1,0)
D.(0,+∞)
解析:由题意得a+1>1,解得a>0.
答案:D
1
2
3
4
5
6
2.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则(　　)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
D.c>a>b
解析:a=log23.6=log43.62,函数y=log4x在(0,+∞)上为增函数,且3.62>3.6>3.2,故选B.
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
4.函数y=loga(x-3)+2的图像恒过定点(　　)
A.(3,0)
B.(3,2)
C.(4,0)
D.(4,2)
解析:令x=4,则y=loga(4-3)+2=2,
故函数的图像恒过定点(4,2).
答案:D
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6(共26张PPT)
习题课——函数单调性与奇偶性的综合应用
一、函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判定函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.
二、在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常函数都是偶函数.
三、设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么它们在公共定义域上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.
四、若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a五、若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).
【做一做1】
若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)(　　)
A.在[1,7]上是增加的
B.在[-7,2]上是增加的
C.在[-5,-3]上是增加的
D.在[-3,3]上是增加的
解析:因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,
所以m=1.
所以f(x)=-x2+2,结合函数f(x)可知选C.
答案:C
【做一做2】
若奇函数f(x)满足f(3)A.f(-1)B.f(0)>f(1)
C.f(-2)D.f(-3)解析:因为f(x)是奇函数,
所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).
又f(3)所以f(-3)>f(-1).
答案:A
【做一做3】
定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为　　　　.
解析:由已知条件可知f(x)在[0,+∞)上递减,
∴f(3)再由偶函数性质得f(3)答案:f(3)探究一
探究二
探究三
思想方法
利用函数的奇偶性求解析式
【例1】
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:
(1)f(0);
(2)当x<0时,f(x)的解析式;
(3)f(x)在R上的解析式.
分析:(1)利用奇函数的定义求f(0);
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用函数奇偶性求解析式的注意事项
(1)在哪个区间求解析式,就把“x”设在哪个区间;
(2)利用已知区间的解析式进行代入;
(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x);
(4)定义域为R的奇函数满足f(0)=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1本例中若把“奇函数”换成“偶函数”,求x<0时f(x)的解析式.
解:设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∴f(x)=-2x2-3x+1,x<0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
【例2】
设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增加的,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是
(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)解析:∵f(x)在R上是偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).
而2<3<π,且f(x)在[0,+∞)上为增加的,
∴f(2)∴f(-2)答案:A
探究一
探究二
探究三
思想方法
应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2若将本例中的“增加的”改为“减少的”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
解:因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减少的,所以有f(2)>f(3)>f(π).又f(x)是R上的偶函数,故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
探究一
探究二
探究三
思想方法
应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
【例3】
设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)解:因为f(x)在[-2,2]上为奇函数,且在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上为减少的.又f(1-m)探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究
在本例中,把“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”,其余条件不变,结果又如何?
解:因为f(-x)=f(x),f(x)在区间[0,2]上单调递减,
所以y=f(x)在[-2,0]上是单调递增的.
因为f(1-m)探究一
探究二
探究三
思想方法
(1)解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式组.另外,要特别注意函数的定义域.
(2)因为偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内再利用单调性,去掉符号f,使不等式获解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增加的,且f(a+1)>f(3-a),求a的取值范围.
解:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增加的,
∴f(a+1)>f(3-a),
∴f(-|a+1|)>f(-|3-a|).
∴-|a+1|>-|3-a|.
∴|a+1|<|3-a|.
∴a2+2a+1<9-6a+a2.
∴a<1,即a的取值范围为(-∞,1).
探究一
探究二
探究三
思想方法
化归思想在解抽象不等式中的应用
【典例】
已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上单调递减;③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
分析:要由不等式f(1-a)+f(1-a2)<0求实数a的取值范围,应利用函数f(x)的奇偶性与单调性去掉“f”,建立关于a的不等式组求解.
解:∵f(x)是奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1).
∴f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a)<-f(1-a2)?f(1-a)∵f(x)在定义域(-1,1)上是单调递减的,
∴a的取值范围为(0,1).
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.本题的解答充分体现了化归的作用,将抽象不等式借助函数的性质转化成为具体不等式,问题从而解决.
2.当然本题中还要注意以下化归与计算等细节易错问题:
(1)由函数f(x)为奇函数,将不等式f(1-a)+f(1-a2)<0等价变形时出错;
(2)利用函数f(x)单调递减去掉“f”,建立关于a的不等式组时,因忽略函数f(x)的定义域出错;
(3)解错不等式(组)或表示a的取值范围出错.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是减少的,实数a满足不等式f(3a2+a-3)解:∵f(x)在区间(-∞,0)上是减少的,
∴f(x)的图像在y轴左侧呈下降趋势.
又f(x)是奇函数,∴f(x)的图像关于原点中心对称,
则在y轴右侧同样递减.
又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,
∴f(x)的图像在R上递减.
∵f(3a2+a-3)∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1,
即实数a的取值范围为(1,+∞).
1
2
3
4
5
1.若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是(　　)
A.增函数且最小值是-1
B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1
D.减函数且最小值是-1
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
答案:C
1
2
3
4
5
2.已知x>0时,f(x)=x-2
018,且知f(x)在定义域R上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=x+2
018
B.f(x)=-x+2
018
C.f(x)=-x-2
018
D.f(x)=x-2
018
解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2
018.
又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2
018.故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=
　　　　　.
解析:∵f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8=10,∴25+a·23+2b=-18.
∴f(2)=25+a·23+2b-8=-26.
答案:-26
1
2
3
4
5
4.若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增加的,则f(-5),f(
),f(-2),f(4)的大小关系为?　　　　　　.?
解析:因为f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增加的,
所以f(x)在[0,+∞)上是减少的,且f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).
又f(5)),故f(-5)).
答案:f(-5))
1
2
3
4
5
5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,
∴3a-10>2a-4.
∴a>6,即a的取值范围为(6,+∞).
1
2
3
4
5
6(共30张PPT)
§2　集合的基本关系
一
二
三
四
五
一、子集
符号“∈”与“?”的区别
(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如1∈N,-1?N.
(2)“?”是表示集合与集合之间的关系,比如N?R,{1,2,3}?{3,2,1}.
(3)“∈”的左边是元素,右边是集合,而“?”的两边均为集合.
一
二
三
四
五
二、Venn图
为了直观地表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.如图所示,集合A是集合B的子集.
一
二
三
四
五
三、集合相等
【做一做1】
下列说法不正确的是(　　)
A.{0,1,2}={2,1,0}
B.?={x∈R|x2+1=0}
C.{(1,2)}={1,2}
D.若M,N,Q表示集合,且M=Q,N=Q,则M=N
解析:根据集合相等的定义可知A,B,D正确,C错误,故选C.
答案:C
一
二
三
四
五
四、真子集
【做一做2】
用适当的符号填空(?,=,?).
(1){0,1}　　　　　N;?
(2){2}　　　　　{x|x2=x};?
(3){2,1}　　　　　{x|x2-3x+2=0}.?
答案:(1)?　(2)?　(3)=
一
二
三
四
五
五、两个规定
(1)空集是任何集合的子集,即??A.
(2)空集是任何非空集合的真子集,即??A(A≠?).
【做一做3】
下列表述正确的有(　　)
①空集没有子集;
②任何集合都有至少两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若A≠?,则??A.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:???,故①错误;?只有一个子集,即它本身,故②错误;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故③错误;④正确,故选B.
答案:B
【做一做4】
集合A={-1,1}的所有子集有　　　　　　.?
答案:?,{-1},{1},{-1,1}
一
二
三
四
五
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若一个集合中含有n个元素,则该集合的非空子集个数为2n.
(　　)
(2)空集是任意集合的子集.
(　　)
(3)?与{?}的关系为?={?}.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
判断集合间的关系
【例1】
判断以下给出的各对集合之间的关系.
(1)A={x|x是矩形},B={x|x是平面四边形};
(2)A={x|x2-x=0},B={x|x2-x+1=0};
(3)A={x|0(4)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z}.
分析:对于(1)(4),可分析集合中元素的特征性质判断两集合的关系;对于(2),要注意空集的特殊性;对于(3),可借助数轴进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)由于矩形一定是平面四边形,但平面四边形不一定是矩形,由真子集定义知,集合A是集合B的真子集,即A?B.
(2)由于A={x|x2-x=0}={0,1},而集合B中的方程x2-x+1=0没有实数解,即B=?,所以B?A.
(3)由数轴(如图所示)可知A?B.
(4)当k∈Z时,2k-1是奇数,且能取到所有的奇数;当k∈Z时,2k+1也是奇数,也能取到所有的奇数,因此集合A和集合B都表示所有奇数的集合,即A=B.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
判断两个集合之间的关系的方法
(1)对于有限集合,特别是元素个数较少时,可将元素一一列举出来进行判断;
(2)对于无限集合,特别是用描述法表示的集合,应从特征性质入手进行分析判断,看其元素之间具备什么关系,从而得到集合间的关系;
(3)当集合是不等式的解集时,可借助数轴分析判断集合间的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
A.M?N
B.M?N
C.N?M
D.N?M
解析:设n=2m或n=2m+1,m∈Z,
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
确定给定集合的子集、真子集
【例2】
写出集合M={x|x(x-1)2(x-2)=0}的所有子集,并指明哪些是集合M的真子集.
分析:先解方程x(x-1)2(x-2)=0,求出其所有的根,从而确定集合M中的元素,再按照子集、真子集的定义写出子集,并判断哪些是真子集.
解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M={0,1,2}.
由0个元素构成的子集为?;
由1个元素构成的子集为{0},{1},{2};
由2个元素构成的子集为{0,1},{0,2},{1,2};
由3个元素构成的子集为{0,1,2}.
因此集合M的所有子集为?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
其中除集合{0,1,2}以外,其余的子集全是集合M的真子集.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.求一个有限集合的子集(真子集)时,首先要确定该集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的个数分类,分别写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,注意不能忘记空集和集合本身.
2.与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素,则有:
(1)A的子集的个数为2n;
(2)A的真子集的个数为2n-1;
(3)A的非空子集的个数为2n-1;
(4)A的非空真子集的个数为2n-2.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},则集合A的个数为(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
集合相等及其应用
【例3】已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.
分析:A=B→列方程组→解方程组求x,y
解:∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同.
经检验,当x=0,y=0时,A={2,0,0},这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.
2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.
3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
答案:1
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
根据子集关系确定参数范围
【例4】
已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论,然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
?
由图可知,B?A.
(2)由已知A?B.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,
?
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.已知两个集合之间的关系求参数的值(或范围)时,要明确集合中的元素,通常依据相关的定义,把这两个集合中元素的关系转化为解方程(组)或解不等式(组).
2.对于给定的集合是不等式的解集时,这类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圆圈表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},且A?B,求实数a的取值范围.
解:(1)因为A={x|-5(2)①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,
?
由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥
或a≤-7.
又因为a<1,所以a≤-7.
综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-7.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
忽视空集这一情况而致误
【典例】
已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|mx-1=0},若Q?P,则实数m的值为　　　　　.?
错解:由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2};
错因分析:当集合Q=?,即m=0时,显然也满足Q?P,错解中少了这种情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
空集是一种特殊的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,当Q?P时,Q为空集的情况容易被忽略,因此,当条件不明确时,要注意分情况来讨论,本题中若不考虑Q为空集的情况,将会丢掉m=0这个解.
1
2
3
4
5
1.如图所示,对A,B,C,D的关系描述正确的是(　　)
A.B?C
B.D?A
C.A?B
D.A?C
解析:结合图示及子集的概念可知,A中的任一元素,都是C中的元素,且C中存在元素不在A中,故A?C.
答案:D
1
2
3
4
5
2.集合A={x|x2=x,x∈R},满足条件B?A的所有集合B的个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵A={0,1},B?A,∴集合B的个数为22=4.
答案:D
1
2
3
4
5
3.在下列各式中:①1∈{0,1,2};②{1}?{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2};④??{0,1,2};⑤{0,1,3}={3,0,1}.其中错误的个数是(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由集合与集合及元素与集合之间的关系可知①正确,②错误,③正确,④正确,⑤正确,故错误的个数为1.
答案:A
1
2
3
4
5
4.设A={x|1解析:由题意可知B={x|x?
要使A?B,则需a≥2.
答案:a≥2
1
2
3
4
5
5.设集合A={x,y},B={2,x2-2}.若A=B,求实数x,y的值.
分析:本题已知的两个集合中均含有参数,且这两个集合相等,可从集合相等的概念着手,转化为元素间的相等关系.
解:因为A=B,所以x=2或y=2.
当x=2时,x2-2=2,则B中元素2重复出现,此时不满足集合元素的互异性,故舍去;
当y=2时,应有x=x2-2,解得x=-1或x=2(舍去).
此时A={-1,2},B={2,-1},满足条件.
综上可知,x=-1,y=2.(共24张PPT)
§1　生活中的变量关系
一
二
一、变量间的依赖关系
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
一
二
二、变量间的函数关系
1.并非有依赖关系的两个变量都有函数关系;
2.函数关系是指满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与之对应.
一
二
【做一做】
下列说法正确的是(　　)
A.家庭收入增多,其消费支出也增多
B.人的身高和年龄之间的关系是函数关系
C.两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系
D.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在函数关系
解析:A错误,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确定性;B错误,人的身高和年龄之间有一定的依赖关系,但这种关系并不是函数关系,人的身高并不单纯由人的年龄而定,还受环境、饮食等条件的影响;C错误,不一定,只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值时,才称它们之间有函数关系;D正确,因为对于任意给定的时间,电梯都有唯一的高度.
答案:D
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)两个变量具有依赖关系,这两个变量不一定有函数关系.
(　　)
(2)某同学的数学成绩与理、化成绩的关系不具有函数关系.
(　　)
(3)任何两个集合之间都可以建立函数关系.
(　　)
答案:(1)√　(2)√　(3)×
探究一
探究二
探究三
依赖关系与函数关系的判断
【例1】
下列各变量之间是否存在依赖关系?若存在依赖关系,则其中哪些是函数关系?
(1)人的身高与体重的关系;
(2)一枚炮弹发射后,飞行高度与时间的关系;
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.
分析:判断的依据是:两个变量中的一个变量发生变化时,如果另一个变量也发生变化,那么它们之间具有依赖关系;如果两个变量已具有依赖关系,且还满足一个变量发生变化时,另一个变量取值唯一,那么它们之间具有函数关系.
探究一
探究二
探究三
解:(1)人的身高与体重之间具有依赖关系,但不具有函数关系.人的身高越高,其体重不一定越重.
(2)炮弹的飞行高度与时间具有依赖关系,也是函数关系.因为对于任一给定的时间的值,都有炮弹的唯一的飞行高度与之对应.
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系,且具有确定性,是函数关系.
可以按照以下两个步骤判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系:(1)确定自变量和因变量;(2)判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否有唯一确定的值与之对应.若满足,则是函数关系;否则,不是函数关系.
探究一
探究二
探究三
变式训练1以下两个变量之间存在函数关系的是
(　　)
A.商品的销售额与广告费的关系
B.玉米的亩产量与对应的施肥量间的关系
C.一个正三角形的面积与其对应边长的关系
D.学生的学习成绩与其娱乐时间的关系
答案:C
探究一
探究二
探究三
根据表格分析两个变量之间的关系
【例2】
(1)以下是某电视台的广告价格表(2017年1月报价,单位:元)
试问:广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系?
探究一
探究二
探究三
(2)口香糖的生产已有很长的历史,咀嚼口香糖有很多益处,但其残留物也会带来污染.为了研究口香糖的黏附力与温度的关系,一位同学通过实验测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力,得到了如下表所示的一组数据:
①请根据上述数据,绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像;
②根据上述数据以及得到的图像,你能得到怎样的实验结论呢?
探究一
探究二
探究三
解:
?
(1)不是函数关系,因为广告价格既与播出时间段有关,也与播出时长有关.
(2)①用横轴表示温度t,纵轴表示口香糖黏附力F,根据表格中的数据在坐标系中描出各点,即可画出图像(如图所示).
②实验结论:随着温度的升高,口香糖的黏附力先增大后减小;当温度在37
°C时,口香糖的黏附力最大.
探究一
探究二
探究三
利用表格分析两个变量之间的关系时,首先要明确表格中的各个项目,确定好给出的变量,其次要弄清表格中给出的两个变量的各组数据间的对应关系,在此基础上判断它们是否具有依赖关系,是否具有函数关系.必要时,可将表格中的各组数据转化为图像,结合图像分析变量的特点及关系.
探究一
探究二
探究三
变式训练2声音在空气中传播的速度简称音速,实验测得音速与气温的一些数据如下表:
此表反映的是变量　　　　　随　　　　　的变化,气温与音速是函数关系吗??
答案:此表反映的是变量音速随气温的变化,是函数关系.
探究一
探究二
探究三
根据图像分析两个变量之间的关系
【例3】如图,小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回到家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况.
?
(1)图像表示了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)在10时和13时,他离家分别有多远?
(3)他在什么时间段离家最远?
(4)小明离家的时刻是离家的距离的函数吗?
探究一
探究二
探究三
分析:结合图像中给出的数据信息以及函数关系的定义进行判断.
解:(1)图像表示了时间与距离两个变量之间的关系,时间是自变量,距离是因变量.
(2)在10时和13时,他离家分别为10千米和30千米.
(3)他在12时至13时这一时间段离家最远.
(4)不是,因为对于某一个确定的离家距离,与之对应的时间的值不是唯一的.例如,离家距离为30千米时,离家的时刻是12时至13时,不唯一.
探究一
探究二
探究三
1.结合图像分析两个变量之间的关系时,首先要清楚横轴、纵轴的含义,明确单位等;其次要注意观察,分析图像中蕴含的数据信息,特别注意发现图像中的关键点,如图像与横轴、纵轴的交点,图像的最高点、最低点等.
2.由图像判断两个变量是否具有函数关系时,首先要区分好自变量和因变量,其次要看对于自变量的每一个值,因变量是否都有唯一确定的值与之对应.
探究一
探究二
探究三
变式训练3如图所示为2017年我国某地降雨量的统计情况,图中横轴为月份,纵轴为降雨量(单位:cm).
?
由图中曲线可判断该地2017年的降雨量与月份是否具有函数关系?
解:因为对于2017年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应,所以可得2017年的降雨量与月份具有函数关系,且自变量是月份,因变量是降雨量.
1
2
3
4
5
1.下列说法不正确的是(　　)
A.依赖关系不一定是函数关系
B.函数关系是依赖关系
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数
D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
答案:C
1
2
3
4
5
2.下列两个变量之间的关系是函数关系的是(　　)
A.光照时间和果树产量
B.降雪量和交通事故的发生率
C.人的年龄和身高
D.正方形的边长和面积
解析:对于正方形来说,对于它的某一确定的边长的值,其面积的值是唯一确定的,故正方形的边长与面积之间是函数关系.
答案:D
1
2
3
4
5
3.一天,小明发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,晚上体温渐渐下降直到半夜小明才感觉身上不那么发烫了.下列各图中能基本上反映出小明这一天(0时~24时)体温的变化情况的是(　　)
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
4.从市场中了解到,饰用K金的含金量如下表:
饰用K金的K数与含金量之间是　　　　　关系,K数越大,含金量　　　　　.?
答案:函数　越高
1
2
3
4
5
5.下表给出的y与x的关系是函数关系吗?
解:x,y的取值范围分别是A={1
926,1
932,1
954,2
013,2
015,2
016}∪{x|1
954013},B={1,2,3,4,5,6,7},它们都是非空数集,且按照表格中给出的对应关系,对任意的x∈A,在B中都有唯一确定的值与之对应,所以y是x的函数,即y与x是函数关系.(共26张PPT)
§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较
当a>1时,指数函数y=ax是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快.
当a>1时,对数函数y=logax是增函数,并且当a越小时,其函数值的增长就越快.
当x>0,n>1时,幂函数y=xn显然也是增函数,并且当x>1时,n越大,其函数值的增长就越快.
【做一做】
四个函数在第一象限中的图像如图所示,a,b,c,d所表示的函数可能是(　　)
解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图像的特点,a,c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数.b,d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函数,且它们的增长速度是一样的.
(　　)
(2)函数y=2x与函数y=x3的图像有且只有两个交点.
(　　)
(3)指数函数一定比对数函数增长的快.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×
探究一
探究二
探究三
函数增长快慢的比较
【例1】
已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图,设两个函数的图像相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.
分析:(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线所对应的函数;(2)通过计算比较函数值的大小关系,求出a,b的值.
探究一
探究二
探究三
解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当xx3,即f(x)>g(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x).
因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,
所以x1∈[1,2],即a=1.
又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,
f(8)g(9)=93=729,f(9)f(10)=210=1
024,g(10)=103=1
000,f(10)>g(10),
所以x2∈[9,10],即b=9.
综上可知,a=1,b=9.
探究一
探究二
探究三
比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图像,通过图像特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
探究一
探究二
探究三
变式训练1(1)下列所给函数,增长最快的是
(　　)
A.y=5x
B.y=x5
C.y=log5x
D.y=5x
(2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:
其中关于x成指数函数变化的函数是　　　　　.?
解析:(1)在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数y=5x,故选D.
(2)指数函数中的增长量是成倍增加的,函数y1中增长量分别为6,18,54,162,486,1
458,4
374,…,是成倍增加的,因而y1呈指数变化.
答案:(1)D　(2)y1
探究一
探究二
探究三
根据函数的不同增长特点比较大小
【例2】比较下列各组数的大小:
分析:先观察各组数值的特点,再考虑构造适当的函数,利用函数的性质或图像进行求解.
探究一
探究二
探究三
(2)令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图像相交.由图像知log20.3<0.32<20.3.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.
2.将函数值涉及的函数的图像在同一直角坐标系中画出来,通过图像位置之间的关系比较大小.
探究一
探究二
探究三
A.aB.aC.bD.b解析:由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到a<0,01,因此选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
函数不同增长特点在实际问题中的应用
【例3】
某公司为了实现1
000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求?
探究一
探究二
探究三
解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,
y=1.002x在第一象限的图像如图所示:
观察图像发现,在区间[10,1
000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图像都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.
探究一
探究二
探究三
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1
000]上是单调递增的,当x∈(20,1
000]时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1
000]时,y>5,因此,也不符合要求.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1
000]上是增加的,且当x=1
000时,y=log71
000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
探究一
探究二
探究三
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当x∈[10,1
000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图像(图略),由图像可知f(x)在[10,1
000]上是减少的,因此f(x)7<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1
000]时,y<0.25x.
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
探究一
探究二
探究三
1.在实际问题中,选择函数模型时,首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异,其次要根据问题的实际需要,辅之以必要的数据计算,从而选择最恰当的函数模型.
2.从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
探究一
探究二
探究三
变式训练3某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势.现有三种函数模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q为正常数,且q>2).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系,应选　　　作为模拟函数;若f(1)=4,f(3)=6,则所选函数f(x)的解析式为　
.?
解析:由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)·(x-q)2+p,当x=1时,y=4且x=3时,y=6,
答案:③　f(x)=(x-1)(x-4)2+4
1
2
3
4
5
6
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是
(　　)
A.y=100x
B.y=log100x
C.y=x100
D.y=100x
解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.
答案:D
1
2
3
4
5
6
A.f(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越快
B.f(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越慢
C.f(x)的增减速度越来越慢,g(x)的增减速度越来越慢
D.f(x)的增减速度越来越快,g(x)的增减速度越来越快
解析:由图像可知两个函数的增减速度都是越来越慢的.
答案:C
1
2
3
4
5
6
3.为了治理沙尘暴,A市政府大力加强环境保护,其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%,那么经过x年绿色植被的面积为y,则y=f(x)的图像大致为
(　　)
解析:由已知条件可得函数关系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a为草场绿色植被的初始面积,故选D.
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.若a>1,n>0,则当x足够大时,ax,xn,logax中最大的是　　　　.?
解析:由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知,当x足够大时,ax>xn>logax.
答案:ax
1
2
3
4
5
6
5.已知y随x的变化关系如下表:
则函数y随x呈　　　　　型增长趋势.?
解析:根据表格中给出的数据作出函数的大致图像(图略),由图像可知,y随x呈指数型函数的增长趋势.
答案:指数
1
2
3
4
5
6
解析:在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=m的图像如图所示,易知当m>1时,y=f(x)与y=m有两个不同的交点.
答案:(1,+∞)(共33张PPT)
4.2　二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像及性质
　注:ymax,ymin分别表示函数y=f(x)的最大值、最小值.
【做一做】
已知函数f(x)=x2-2x-3,则
(1)函数f(x)的顶点是　　　　;它的图像的对称轴是　　　　.?
(2)函数的递增区间是　　　　　;递减区间是　　　　　.?
(3)当自变量x为　　　　　时,函数的图像达到最低点,它的最小值是　　　　　.?
(4)该函数在[0,2]上的最小值和最大值分别为　　　　　.?
解析:把已知函数配方得f(x)=(x-1)2-4.
(1)f(x)图像的顶点是(1,-4);对称轴x=1.
(2)因为a=1>0,所以函数图像开口向上,递增区间为[1,+∞),递减区间为(-∞,1].
(3)在x=1时达到最低点,最小值为-4.
(4)结合图像可知函数在[0,2]上的最小值为-4,最大值为-3.
答案:(1)(1,-4)　x=1　(2)[1,+∞)　(-∞,1]　(3)1　-4　(4)-4,-3
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)所有的二次函数在定义域R上一定有最大值和最小值.
(　　)
(2)若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)一定满足关系式f(a+x)=f(a-x).
(　　)
(3)若二次函数f(x)满足关系式f(x)=f(2a-x),则说明该二次函数f(x)图像的对称轴为x=2a.
(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
二次函数图像的对称性
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(3)若二次函数y=f(x)对定义域内所有x都有f(a+x)=f(a-x),则其图像的对称轴为x=a(a为常数).
2.利用对称性,结合开口方向,可以比较二次函数函数值的大小.
(1)若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小;
(2)若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x),求f(1),f(2)的值.
解:由题意知,函数图像关于x=2对称,故-
=2,得b=-4,
所以f(x)=x2-4x+1,f(1)=1-4+1=-2,f(2)=4-8+1=-3.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
二次函数的单调性
【例2】
若函数f(x)=-2x2+mx+1在区间[1,4]上是单调函数,则实数m的取值范围是　
.?
答案:(-∞,4]∪[16,+∞)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围,这是函数单调性的逆向性问题.解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴,通过对称轴的位置建立变量之间的关系,进而求解参数的取值范围.
2.函数在区间(a,b)上单调与函数的单调区间是(a,b)的含义不同,注意区分.前者只能说明(a,b)是相应单调区间的一个子集;而后者说明a,b就是增减区间的分界点,即函数在a,b两侧具有相反的单调性.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2已知函数f(x)=-x2+mx+1在区间[1,+∞)上是减少的,求m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
二次函数的最值(值域)
【例3】
已知函数f(x)=x2+2ax+2.
(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值和最小值;
(2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值.
分析:将原函数先配方,对于第(2)问还要结合图像进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为1∈[-5,5],故当x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1;
当x=-5时,f(x)取得最大值,f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37.
(2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a.
当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增加的,所以f(x)max=f(5)=27+10a,f(x)min=f(-5)=27-10a;
当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图①所示,由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2,f(x)max=f(5)=27+10a;
当0<-a<5,即-5探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
当-a≥5,即a≤-5时,函数在区间[-5,5]上是减少的,
所以f(x)min=f(5)=27+10a,f(x)max=f(-5)=27-10a.
综上可得,当a≥5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为27-10a;
当0≤a<5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27+10a,最小值为2-a2;
当-5当a≤-5时,f(x)在区间[-5,5]上的最大值为27-10a,最小值为27+10a.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的最值问题
首先应采用配方法,化为y=a(x-h)2+k的形式.
(1)求二次函数在定义域R上的最值;
(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型:
①顶点固定,区间也固定.
此种类型是较为简单的一种,只要找到对称轴,画出图像,将区间标出,最值一目了然.
②顶点变动,区间固定.
这种类型是比较重要的,在高考题中多次出现,主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况,然后根据不同情况写出最值.
③顶点固定,区间变动.
此种情况用得较少,在区间里含有参数,根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3求函数f(x)=x2-4x-4在[t,t+1](t∈R)上的最小值g(t).
解:由f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,x∈[t,t+1],知其图像的对称轴为直线x=2.
当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8;
当t+1<2,即t<1时,f(x)在[t,t+1]上是减少的,
g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增加的,
g(t)=f(t)=t2-4t-4.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
二次函数的实际应用
【例4】某人定制了一批地砖,每块地砖(如图所示)是边长为1米的正方形ABCD.点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,△CFE,
△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最省?
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
分析:点E在BC上的位置由CE的长度确定,因此可设CE=x米,然后用x将每块地砖所需的材料费用表示出来,最后利用函数的知识求最小值.
解:设每块地砖所需的材料费用为W元,CE=x米,则BE=(1-x)米.
由于制成△CFE,△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解实际应用问题的方法步骤
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)设月产量为x台,则总成本为20
000+100x,
∴当x=300时,f(x)max=25
000,
当x>400时,f(x)=60
000-100x是减函数,
f(x)<60
000-100×400<25
000.
∴当x=300时,f(x)max=25
000.
即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25
000元.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因缩小了参数的范围而致误
【典例】
已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
错解:结合二次函数f(x)=x2+ax+3-a的图像可知,要使f(x)>0在x∈[-2,2]上恒成立,则只需Δ=a2-4(3-a)<0,解得-6错因分析:原题中信息是f(x)>0对任意x∈[-2,2]恒成立,而上面错解中误认为f(x)>0对任意x∈R恒成立,因此使所求范围缩小了.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1.解答时不能凭想当然,一定要充分利用题干中的信息,并且在化简或化归时要做到等价转化,例如错解中就不是等价转化.
2.本题错解误认为f(x)>0对任意x∈R恒成立,而原题中的信息是f(x)>0对任意x∈[-2,2]恒成立,从而使所求范围缩小了.
1
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1.已知函数y=-x2-4x+1,当x∈[-3,3]时的值域是
(　　)
A.(-∞,5]
B.[5,+∞)
C.[-20,5]
D.[4,5]
解析:因为y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5,所以f(x)图像的对称轴为x=-2,开口向下,所以ymax=f(-2)=5,ymin=f(3)=-20,故函数的值域为[-20,5].
答案:C
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2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　　)
A.[0,3]
B.[-1,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,3]
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.
答案:D
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3.若f(x)=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于x=1对称,则b=　　　.?
解析:由题意知a+2=-2,即a=-4.由1-a=b-1,得b=6.
答案:6
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6
4.某电子产品的利润y(单位:元)关于产量x(单位:件)的函数解析式为y=-3x2+90x,要使利润获得最大值,则产量应为　　　　　件.?
解析:因为y=-3x2+90x=-3(x-15)2+675,所以当x=15时,y取最大值,即产量为15件时,利润最大.
答案:15
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6.已知函数f(x)=-x(x-a),x∈[a,1].
(1)若函数f(x)在区间[a,1]上是单调函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在区间[a,1]上的最大值g(a).(共29张PPT)
2.2　函数的表示法
一
二
一、函数的表示法
一
二
【做一做1】
购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域.
解:(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}.
(列表法)
(图像法)
一
二
二、分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的解析式,这样的函数通常叫作分段函数.
【做一做2】
设函数
(1)求f(f(-2))的值;
(2)若f(a)=4,求实数a的值.
解:(1)∵f(-2)=-(-2)=2,
∴f(f(-2))=f(2)=4.
(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,
∴a=2.
②当a≤0时,f(a)=-a=4,
∴a=-4.
综上可知,a=-4或a=2.
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)列表法与解析法均可表示任意的函数.
(　　)
(2)分段函数由几部分构成就是几个函数.
(　　)
(3)任何一个图形都可以表示函数的图像.
(　　)
答案:(1)×　(2)×　(3)×
探究一
探究二
探究三
思想方法
求函数的解析式
【例1】
根据下列各条件,求函数f(x)的解析式:
(1)f(x)是一次函数,且满足f(2x)+4f(x-2)=18x-29;
(3)f(x)+2f(-x)=x+1.
分析:(1)已知f(x)是一次函数,用待定系数法求解;(2)用配凑法或换元法求解;(3)可用构造方程组求解法.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(2x)+4f(x-2)=2ax+b+4[a(x-2)+b]
=6ax+(5b-8a).
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式的常用方法:
(1)换元法,首先令t=g(x),然后求出f(t)的解析式,最后用x代替t即可.
(2)配凑法,可通过配凑把f(g(x))的解析式用g(x)来表示,再将解析式两边的g(x)用x代替即可.
2.已知函数模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数的解析式,常用待定系数法,其步骤为:(1)设出解析式,(2)根据题设列方程(组)求待定系数.
3.当关系式中同时含有f(x)与f(-x),f(x)与
时,可使用消元法,即利用所给的等式再构造一个等式,进而联立方程组,解出f(x).
探究一
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思想方法
探究一
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思想方法
分段函数的求值
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解.
2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
解析:(1)由于x>0时,f(x)=0,因此f(5)=0.
则f(f(5))=f(0)=-1.
又x<0时,f(x)=2x-3,故f(-2)=-7.
f(f(5))+f(-2)=-8.
探究一
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思想方法
分段函数的图像及应用
【例3】
已知
(1)画出f(x)的图像;
(2)求f(x)的定义域和值域;
(3)解不等式f(x)>x.
分析:(1)先要明确x的不同取值范围,再正确作出图像;
(2),(3)利用数形结合的方法更为直观、简洁.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)函数f(x)的图像如图所示.
?
(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图像知,当|x|≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],当|x|>1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
(3)在同一坐标系中画出y=f(x)和y=x的图像,如图所示,
?
由图像知,不等式f(x)>x的解集为{x|x<0}.
探究一
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探究三
思想方法
分段函数作图及求解的几点注意
(1)作分段函数图像时要格外注意关键点及图像的衔接情况.
(2)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”,其定义域是自变量x各段取值的并集,值域是各段函数值取值范围的并集.
(3)解抽象复杂的不等式问题利用数形结合既简洁,又直观.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练3作出下列函数的图像,并写出函数的值域.
(1)y=|x+2|+|x-3|;
(2)y=|x+1|-|x-2|.
分析:本题考查含绝对值函数图像的作法,求解时可根据绝对值的定义,去掉绝对值符号将函数解析式化简后求解.
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思想方法
探究一
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思想方法
数形结合思想在分段函数中的应用
【典例】
已知
则满足不等式f(1-x)>f(x)的x的取值范围是　　　　　.?
解析:方法一(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下:
当1-x≥0,且x≥0,即0≤x≤1时,
由f(1-x)>f(x),得(1-x)2>x2,解得x<,所以0≤x<;
当1-x≥0且x<0,即x<0时,
由f(1-x)>f(x),得(1-x)2+1>1,解得x≠1,又x<0,所以x<0.
当1-x<0且x<0,此时x不存在,不满足要求.
当1-x<0且x≥0,即x>1时,
由f(1-x)>f(x),得1>x2+1,此时不成立.
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思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上方的函数值大于下方所有函数图像对应的函数值,故可以根据函数图像的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.
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1.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图像是(　　)
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图像上升的速度先快后慢,故选C.
答案:C
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2.已知函数f(x)的图像如图所示,则此函数的定义域、值域分别是(　　)
?
A.(-3,3),(-2,2)
B.[-3,3],[-2,2]
C.[-2,2],[-3,3]
D.(-2,2),(-3,3)
答案:B
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答案:A
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答案:{x|x>1,或x<-3}
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(1)求f(f(2));
(2)若f(m)=10,求m的值;
(3)作出函数f(x)的图像;
(4)求函数f(x)的值域.
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解:(1)f(2)=-2×2=-4,
于是f(f(2))=f(-4)=(-4)2+1=17.
(2)当m≤0时,f(m)=m2+1=10,解得m=-3(m=3舍去);
当m>0时,f(m)=-2m=10,解得m=-5(舍去),
故m的值为-3.
(3)当x≤0时,f(x)=x2+1,其图像是一段抛物线;
当x>0时,f(x)=-2x,其图像是一条射线(不含端点),
所以图像如图所示.
?
(4)由f(x)的图像可知,当x≤0时,f(x)≥1;
当x>0时,f(x)<0,故函数f(x)的值域为(-∞,0)∪[1,+∞).