(共35张PPT)
2.1.2 指数函数及其性质
一
二
一、指数函数的定义
1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y.
(1)变量x与y间存在怎样的关系?
提示:y=2x,x∈N
.
(2)上述对应关系是函数关系吗?为什么?
提示:是.符合函数的定义.
2.如果x∈R,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有何结构特征?
提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量.
3.填空:
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
一
二
4.指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?
提示:将a如数轴所示分为:a<0,a=0,0
1五部分进行讨论:
(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要;
(4)如果01,即a>0且a≠1,x可以是任意实数.
一
二
5.做一做:
函数y=(a-2)ax是指数函数,则( )
A.a=1或a=3
B.a=1
C.a=3
D.a>0且a≠1
解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,
则a-2=1,解得a=3.
答案:C
6.判断正误:
y=x2
019-x是指数函数.
( )
答案:×
一
二
二、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质
一
二
(1)图象分布在哪几个象限?这说明了什么?
提示:图象分布在第一、二象限,说明值域为(0,+∞).
(2)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?
提示:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象下降,为减函数.
(3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗?
提示:图象恒过定点(0,1),与a无关.
一
二
3.你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax的哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)
提示:定义域为R,值域为(0,+∞),过定点(0,1),当a>1时在R上是增函数,当0一
二
4.填表:
指数函数的图象和性质
一
二
5.做一做:
(1)不论a取何值,函数f(x)=a2x-1+3(a>0,且a≠1)一定经过定点( )
(2)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )
一
二
(2)函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则由于指数函数是单调函数,则有a>1,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上面,可知B正确.
答案:(1)C (2)B
一
二
6.判断正误:
(1)y=3-x是R上的增函数.( )
答案:(1)× (2)√
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一指数函数的概念
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
分析:(1)设出指数函数f(x)的解析式,然后代入已知点的坐标求解参数,从而确定函数解析式,然后代值求解;(2)依据指数函数的形式定义,确定参数a所满足的条件求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(1)解析:设f(x)=ax(a>0,a≠1),
∴a-2=
.∴a=2.∴f(4)f(2)=24·22=64.
答案:64
反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练(1)已知指数函数图象经过点P(-1,3),则f(3)= .?
(2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a= .?
解析:(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),由题意得a-1=3,
(2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究二指数函数的图象问题
例2
(1)如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a(2)已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是 .?
(3)函数y=
的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
分析:(1)作直线x=1,其与函数图象的交点纵坐标即为指数函数底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可解得;(3)先讨论x,将函数写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域和单调区间.
(1)解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有b探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.
由图可知b答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.
答案:(-1,4)
所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
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反思感悟1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.
2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).
3.指数函数y=ax与y=
(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢?
则原函数的图象关于y轴对称,如图.
由图象可知,函数的值域为[1,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三指数函数的性质及其应用
例3
(1)求下列函数的定义域与值域:
(2)比较下列各题中两个值的大小:
①2.53,2.55.7;
③2.3-0.28,0.67-3.1.
分析:(1)根据解析式有意义的条件求解函数定义域,然后结合指数函数的单调性求解函数的值域;(2)根据两数的结构特征构造指数函数,将其转化为指数函数的单调性问题求解,或借助中间值比较大小.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)①∵由x-4≠0,得x≠4,
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,∴2.53<2.55.7.
③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:
(1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.
①换元,令t=f(x);
②求t=f(x)的定义域x∈D;
③求t=f(x)的值域t∈M;
④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.
2.比较幂的大小的常用方法:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.
若0∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;
当1(a-1)2.4.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
换元法在求函数值域中的应用
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数的值域.
探究一
探究二
探究三
思想方法
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探究一
探究二
探究三
思想方法
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反思感悟
1.定义域、值域的求解思路
形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.
2.求解技巧
复合函数的值域,往往用换元法解决,但要注意新元和旧元的关系.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(1)当m=-2时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域;
(2)若对任意x∈[0,+∞),总有|f(x)|≤6成立,求实数m的取值范围.
∵x∈(-∞,0),∴t∈(1,+∞),
∴y=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,对称轴t=1,图象开口向上,
∴g(t)在t∈(1,+∞)为增函数,
∴g(t)>3,即f(x)的值域为(3,+∞).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
1.函数y=2-x的图象是图中的( )
答案:B
2.已知集合M={y∈R|y=2x,x>0},N={x∈R|x2-2x<0},则M∩N=( )
A.(1,2)
B.(1,+∞)
C.[2,+∞)
D.(-∞,0]∪(1,+∞)
答案:A
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
3.已知2x>21-x,则x的取值范围是( )
答案:C
4.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点的坐标是 .?
解析:∵a>3,∴a-2>1.令2x+6=0,得x=-3,
则f(-3)=4(a-2)0-1=3.
故函数f(x)恒过定点的坐标是(-3,3).
答案:(-3,3)
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
5.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a,则a= .?
解析:当a>1时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,有f(2)=a2=3a,解得a=3(舍去a=0);
当0综上可知,a=3.
答案:3
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
6.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为 .?
解析:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
答案:{x|x<0或x>4}
7.求函数f(x)=7-x+5的定义域、值域.
故函数f(x)=7-x+5的值域为(5,+∞).(共31张PPT)
第2课时 分段函数与映射
一
二
一、分段函数
1.在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如国内邮寄信函(本埠),每封信函的重量和对应邮资如下表:
一
二
(1)邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?
提示:据函数定义知M是m的函数,其解析式为
(2)在(1)中有几个函数?为什么?
提示:一个.因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分,但不是5个函数,只不过在定义域的不同子集内,对应关系不同而已.
一
二
2.填空:
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
一
二
3.做一做:
(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为 .?
(2)由题图可知,当x∈[-2,4]时,f(x)∈[-2,3];
当x∈[5,8]时,f(x)∈[-4,2.7].
故函数f(x)的值域为[-4,3].
答案:(1)A (2)[-4,3]
一
二
4.判断正误:
分段函数是多个函数.
( )
答案:×
一
二
二、映射
1.在某次数学测试中,高一(1)班的54名同学都取得了较好的成绩,该班54名同学的名字构成集合A,他们的成绩构成集合B.
(1)A中的每一个元素在B中有且只有一个元素与之对应吗?
提示:是的.
(2)从集合A到集合B的对应是函数吗?为什么?
提示:不是.因为集合A不是数集.
2.填空:
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
3.函数与映射有怎样的关系?
提示:函数是一种特殊的映射.
一
二
4.做一做:
已知M={1,2,3},N={e,g,h},从M到N的四种对应方式如图,其中是从M到N的映射的是( )
一
二
解析:选项A中,集合M中的元素2在集合N中没有与之对应的元素,不具备任意性,并且集合M中的元素3在集合N中有两个元素g,h与之对应,也不具备唯一性;
选项B中,集合M中的元素2在集合N中有两个元素e,h与之对应,不具备唯一性;
选项D中,集合M中的元素3在集合N中有两个元素g,h与之对应,不具备唯一性.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一求分段函数的值
(2)若f(x)=2,求x的值.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟
1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量取值的步骤
(1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入到不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
∴-2∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究二分段函数的图象
例2
画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
(2)y=|x+1|+|x-3|.
分析:先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,
它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟
1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.
答案:C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究三映射的判断
例3
下列对应是A到B的映射的有( )
②A={2018年俄罗斯足球世界杯参赛的足球运动员},B={2018年俄罗斯足球世界杯参赛的足球运动员的身高},f:每个运动员对应自己的身高;
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
分析:紧扣映射概念中的“任意一个”“存在唯一”即可判断.
解析:①中,对于A中的元素-1,在B中没有与之对应的元素,则①不是映射;②中,由于每个运动员都有唯一的身高,则②是映射;③中,对于A中的任一元素,在B中都有唯一的元素与之对应,则③是映射.
答案:C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟
判断一个对应是不是映射的两个关键点
(1)对于A中的任意一个元素,在B中是否有元素与之对应;
(2)在B中的对应元素是不是唯一的.
注意:“一对一”或“多对一”的对应都是映射.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练2下列对应是A到B上的映射的是( )
A.A=N
,B=N
,f:x→|x-3|
B.A=N
,B={-1,1,-2},f:x→(-1)x
D.A=N,B=R,f:x→x的平方根
解析:选项A,因为A中的元素3在对应关系f的作用下在B中找不到与之相对应的元素,所以不是映射;选项B,对于任意的正整数x,所得(-1)x均为1或-1,在集合B中有唯一的1或-1与之对应,满足映射的定义,所以是映射;选项C,0在f的作用下无意义,所以不是映射;选项D,正整数在实数集R中有两个平方根与之对应,不满足映射的概念,所以不是映射.
答案:B
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究四根据分段函数图象求解析式
例4已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
解析:根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
∵点(1,1),(0,2)在射线上,
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
∴当1探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练
3已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
利用数形结合思想求方程根的个数
典例
对于m不同的取值范围,讨论方程x2-4|x|+5=m的实根的个数.
分析:可考虑给定方程左侧对应函数的图象,即画出函数y=x2-4|x|+5的图象,看图象与直线y=m的交点个数的变化便可得出结论.
解:将方程x2-4|x|+5=m实根的个数问题转化为函数y=x2-4|x|+5的图象与直线y=m的交点个数问题.
作出图象,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
当m<1时,直线y=m与该图象无交点,故方程无解.
当m=1时,直线y=m与该图象有两个交点,
故方程有两个实根.
当1故方程有四个实根.
当m=5时,直线y=m与该图象有三个交点,
故方程有三个实根.
当m>5时,直线y=m与该图象有两个交点,
故方程有两个实根.
反思感悟
本题通过构造函数,利用数形结合的思想,直观形象地通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练
讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)的横坐标,因此原方程的解的个数就是这两个函数图象的交点个数.
当a<0时,原方程没有实数解;
当a=0或a>1时,原方程有两个实数解;
当a=1时,原方程有三个实数解;
当0探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
A.0
B.π
C.π2
D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1对应,则当y=2时,x= .?
解析:由x2+1=2,得x=±1.
答案:±1
解析:当a≥0时,由a+1=2,得a=1>0,
所以a=1符合题意;
答案:1
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
5.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?
(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应关系是“求平方”;
(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系是“作圆的内接矩形”.
解:(1)是映射.因为A中的任何一个实数的平方均大于或等于0,则在B中都能找到唯一的元素与之对应.
(2)不是映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.(共26张PPT)
第2课时 对数的运算
一
二
一、对数的运算性质
1.指数的运算法则有哪些?
提示:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
(3)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
(4)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
2.计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?
提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,
∴log24+log28=log2(4×8)=log232;
一
二
3.计算lg
10,lg
100,lg
1
000及lg
104的值,你能发现什么规律?
提示:lg
10=1,lg
100=lg
102=2,lg
1
000=lg
103=3,lg
104=4,可见lg
10n=nlg
10=n.
4.填表:
对数的运算性质
一
二
5.判断正误:
log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).
( )
答案:×
6.做一做:
A.0
B.2
C.4
D.6
解析:原式=2lg
5+2lg
2-2=2(lg
5+lg
2)-2=0.
答案:A
一
二
二、换底公式
一
二
答案:×
4.做一做:
已知lg
2=a,lg
3=b,用a,b表示log125= .?
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一对数运算性质的应用
例1
计算下列各式的值:
分析:利用对数的运算性质进行计算.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)原式=2lg
5+2lg
2+lg
5×(1+lg
2)+(lg
2)2
=2(lg
5+lg
2)+lg
5+lg
2(lg
5+lg
2)
=2+lg
5+lg
2=2+1=3.
反思感悟1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg
2+lg
5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
=3+2lg
10=3+2×1=5.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-
=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究二换底公式的应用
例2
计算下列各式的值:
分析:用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练2化简:(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
例3
已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式,将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数的运算.
解:∵18b=5,∴b=log185.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三对数的综合应用
分析:用对数式表示出x,y,z后再代入所求(证)式子进行求解或证明.
解:(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
反思感悟对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
对数方程的求解方法
典例
解下列方程:
(2)lg
x+2log10xx=2;
(3)
(2x2-3x+1)=1.
解得x=15或x=-5(舍去),
经检验x=15是原方程的解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
归纳总结(1)在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.
(2)解对数方程可将其转化为同底数对数后求解,或通过换元转化为代数方程求解,注意在将对数方程化为代数方程的过程中,未知数的范围扩大或缩小容易导致增、失根.故解对数方程必须把求出的解代入原方程进行检验,否则易造成错解:.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练
方程log3(x2-10)=1+log3x的解是 .?
解析:原方程可化为log3(x2-10)=log33x.
所以x2-10=3x,
解得x=-2或x=5.
检验知,方程的解为x=5.
答案:x=5
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
1.log248-log23=( )
A.log244
B.2
C.4
D.-2
答案:C
2.log52·log425等于( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:D
4.已知3a=2,用a表示log34-log36= .?
解析:∵3a=2,∴a=log32,
∴log34-log36=log322-log3(2×3)
=2log32-log32-log33=a-1.
答案:a-1
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:36
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)(lg
2)2+lg
2·lg
500+lg
125.
=log78-log79+log79-log78=0.
(2)原式=lg
2(lg
2+lg
500)+3lg
5
=lg
2·lg
1
000+3lg
5=3lg
2+3lg
5
=3(lg
2+lg
5)=3lg
10=3.(共30张PPT)
1.3.2 奇偶性
一
二
一、偶函数
1.观察下列函数的图象,你能通过这些函数的图象,归纳出这三个函数的共同特征吗?
提示:这三个函数的定义域关于原点对称,图象关于y轴对称.
一
二
2.对于上述三个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系?
提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.
3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?
提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
4.填空:
(1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
(2)偶函数的图象特征:图象关于y轴对称.
一
二
5.判断正误:
定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数.
( )
答案:×
6.做一做:
下列函数中,是偶函数的是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x
C.f(x)=
D.f(x)=x+x3
答案:A
一
二
二、奇函数
1.观察函数f(x)=x和f(x)=
的图象(如图),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?
提示:容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称.
2.对于上述两个函数f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?
提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).
一
二
3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?
提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称.
4.填空:
(1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
(2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.
一
二
5.判断正误:
(1)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.( )
(2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.( )
答案:(1)× (2)×
一
二
6.做一做:
(1)函数f(x)=
-x的图象关于( )对称.
A.y轴
B.直线y=-x
C.坐标原点
D.直线y=x
(2)下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
一
二
解析:(1)因为f(x)=
-x是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.
(2)选项A中的函数图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
答案:(1)C (2)B
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:
分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑
与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)∵函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
∴函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
(4)函数的定义域关于原点对称.
(方法一)当x>0时,-x<0,
f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
图象关于原点对称,
∴f(x)是奇函数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为
奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.
2.判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
(2)图象法:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=0.
解:(1)f(x)的定义域是R,
所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究二利用函数的奇偶性求解析式
例2
已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
分析:(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解即可.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟1.这类问题常见的情形是:
已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三分段函数的奇偶性问题
解析:∵当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.
∴f(x)=x2+2x=x2+mx.∴m=2.
答案:2
反思感悟
分段函数奇偶性的判断技巧
(1)分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判断函数的奇偶性,否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数;(2)若能画出分段函数的图象,则利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性,这是一种非常有效的方法.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练
2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.
分析:对a进行分类讨论.
解:若a=0,则f(x)=|x|-|x|=0.
因为x∈R,定义域R关于原点对称,
所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.
当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),故f(x)是奇函数.
综上,当a=0时,函数f(x)既是奇函数,又是偶函数;当a≠0时,函数f(x)是奇函数.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例
若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),
所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.
设x1由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.
2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.
比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练
定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2
019,则下列说法正确的是( )
A.f(x)-1是奇函数
B.f(x)+1是奇函数
C.f(x)-2
019是奇函数
D.f(x)+2
019是奇函数
解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2
019,
即f(0)=-2
019.
令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2
019,
即f(α)+f(-α)=-4
038,
则f(-α)+2
019=-2
019-f(α)=-[2
019+f(α)],即f(x)+2
019是奇函数,故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于
( )
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析:因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},
根据奇函数的定义域关于原点对称,
所以a与b有一个等于1,一个等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
答案:A
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
3.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1
B.-3
C.1
D.3
解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
答案:B
4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .?
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,
∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.
答案:4
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
综上所述,在(-∞,0)∪(0,+∞)上总有f(-x)=-f(x).
因此函数f(x)是奇函数.
解法二作出函数的图象,如图所示.
又因为函数的图象关于原点对称,所以是奇函数.(共25张PPT)
第1课时 对数
一、对数的概念
1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数N是多少?
提示:N=2x.
(2)上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为8个,16个,则分裂的次数分别是多少?
提示:3次,4次.
(3)上述问题中,如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?
提示:能,x=log2N.
2.填空:
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
一
二
三
四
一
二
三
四
3.在对数式x=logaN中,底数a和真数N的取值范围是什么,为什么?
提示:由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a,所以a的取值范围为a>0,且a≠1;由于在指数式中ax=N,而ax>0,所以N>0.
4.判断正误:
(1)因为(-2)2=4,所以log-24=2.
( )
(2)log34与log43表示的含义相同.
( )
答案:(1)× (2)×
一
二
三
四
答案:(1)B (2)D (3)C
一
二
三
四
二、常用对数与自然对数
1.10b=a用对数式如何表示?
提示:b=log10a,简记为b=lg
a.
2.在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?
提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.
3.ln
M=n用指数式如何表示?
提示:en=M.
4.填空:
常用对数:以10为底数,记作lg
N.
自然对数:以e为底数,记作ln
N,其中e=2.718
28….
5.做一做:
(1)lg
105= ;(2)ln
e= .?
答案:(1)5 (2)1
一
二
三
四
三、对数式与指数式的互化
1.在指数式和对数式中都含有a,x,N这三个量,那么这三个量在两个式子中各有什么异同点?
提示:幂底数←a→对数底数;指数←x→对数;幂←N→真数.
2.53=125化为对数式是什么?log416=2化为指数式是什么?指数式与对数式具有怎样的关系?
提示:log5125=3,42=16.
当a>0,且a≠1时,ax=N?x=logaN.
3.(-3)2=9能否直接化为对数式log(-3)9=2?
提示:不能,因为只有符合a>0,a≠1时,才有ax=N?x=logaN.
一
二
三
四
4.指数式ab=N和对数式b=logaN(a>0,a≠1)有何区别与联系?
提示:二者反映的本质是一样的,都是a,b,N之间的关系;但二者突出的重点不一样,指数式ab=N中突出的是指数幂N,而对数式b=logaN中突出的是对数b.
5.做一做:
完成下面的指数式与对数式的互化.
四、对数的基本性质
1.(1)“60=?”化成对数式呢?
提示:1 log61=0.
(2)“51=?”化成对数式呢?
提示:5 log55=1.
2.填空:
对数的基本性质
(1)负数和零没有对数.
(2)loga1=0(a>0,a≠1).
(3)logaa=1(a>0,a≠1).
一
二
三
四
一
二
三
四
3.做一做:
(2)若log3(log2x)=0,则x= .?
解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.
答案:(1)D (2)2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一对数式与指数式的互化
例1
将下列指数式与对数式互化:
分析:利用当a>0,且a≠1时,logaN=b?ab=N进行互化.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.logaN=b与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:
2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1将下列指数式与对数式互化:
(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究二利用对数式与指数式的关系求值
例2求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
分析:利用指数式与对数式之间的关系求解.
(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.
(3)∵ln
e2=x,∴ex=e2,∴x=2.
(5)∵lg
0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2求下列各式中的x值:
(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究三利用对数的基本性质与对数恒等式求值
例3
求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg
x)=1;
分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值.
解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.
(2)∵log2(lg
x)=1,∴lg
x=2,∴x=102=100.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.
2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式
=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练3求下列各式中x的值:
解:(1)∵ln(lg
x)=1,∴lg
x=e,∴x=10e.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
因忽视底数的取值范围而致错
典例
已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
错解由对数的性质可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述解法的错误在于忘记检验底数需大于0且不等于1.
解得x=1.故实数x的值为1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
防范措施
1.在对数表达式x=logaN中,需满足底数a>0,且a≠1,真数N>0.
2.在利用对数式的性质求出a的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练已知log2(logx4)=1,求x的值.
解:由底数的对数等于1,得logx4=2,∴x2=4.
又∵x>0,∴x=2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.将log5b=2化为指数式是( )
A.5b=2
B.b5=2
C.52=b
D.b2=5
答案:C
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:-3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= .?
解析:因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3.
所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
答案:12
6.求下列各式中x的值:
(3)由log3(lg
x)=1,得lg
x=3,
故x=103=1
000.(共21张PPT)
第2课时 补集及综合应用
一
二
一、全集
1.方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同?通过这个问题,你得到什么启示?
提示:方程在有理数范围内的解集为{2},在实数范围内的解集为{2,
,-
}.在数学中很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.类似这些给定的集合就是全集.
2.填空:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U
.
一
二
二、补集
1.A={高一(2)班参加排球队的同学},B={高一(2)班没有参加排球队的同学},U={高一(2)班的同学}.
(1)集合A,B,U有何关系?
提示:U=A∪B.
(2)集合B中的元素与U,A有何关系?
提示:集合B中的元素在U中,但不在A中.
一
二
2.填表:
一
二
3.判断正误:
(1)?A?=A( )
(2)?NN
=0( )
(3)?U(A∪B)=(?UA)∪(?UB)( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
4.做一做:
(1)设全集U={1,2,3},集合A={1,2},则?UA等于( )
A.{3}
B.{0,3}
C.{1,2}
D.{0,1}
(2)已知全集U为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则?UA= .?
解析:(1)由补集的定义知?UA={3}.
(2)集合A={x|x<1,或x≥5}的补集是?UA={x|1≤x<5}.
答案:(1)A (2){x|1≤x<5}
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一补集的基本运算
例1
(1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},则集合B= ;?
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则?UA= .?
分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解.
(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解析:(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
(方法二)满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知?UA={x|x<-3,或x=5}.
答案:(1){2,3,5,7} (2){x|x<-3,或x=5}
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
求集合的补集的方法
1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究若第(2)题中改为:已知集合A={x|-3≤x<5},?UA={x|x≥5},B={x|1解:由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1所以?UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究二并集、交集与补集的综合运算
例2已知全集U=R,集合A={x|-3求:(1)?UA,?UB;(2)?U(A∩B).
分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出.
解:(1)∵A={x|-3在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴?UA={x|x≤-3或x≥3},?UB={m|m≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3∴?U(A∩B)={x|x≤-3或x≥1}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况
1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错.
2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练
已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
分析:先由集合A与?UA求出全集,再由补集定义求出集合B,或利用Venn图求出集合B.
解方法一:∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},
∴B={2,3,5,7}.
方法二:借助Venn图,如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究三补集性质的应用
例3
已知全集为R,集合A={x|x分析:先求出?RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.
解析:∵B={x|1又A={x|x答案:a≥2
反思感悟
由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(?UA)={2},A∩(?UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
解:(1)∵B∩(?UA)={2},∴2∈B,但2?A.
∵A∩(?UB)={4},∴4∈A,但4?B.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
因对补集的概念认识不到位而致错
典例
设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.
错解∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4.
故实数a的值为2或-4.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述求解的错误在于忽略了验证“A?U”这一隐含条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
正解:(方法一)∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,
∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意;
而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.
故实数a的值为2.
(方法二)∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,且|2a-1|=3.
防范措施
准确理解补集的概念是求解此类问题的关键.实际上?UA的数学意义包括两个方面,首先必须具备A?U,其次是定义?UA={x|x∈U,且x?A}.因此本题应先由5∈U求出a的值,再利用5?A验证a的值是否符合题意.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练已知全集U={2,4,-(a-3)2},集合A={2,a2-a+2},若?UA={-1},求实数a的值.
当a=2时,A={2,4},满足A?U,符合题意;
当a=4时,A={2,14},不满足A?U,故舍去.
综上可知,实数a的值为2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.(2019全国Ⅰ,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?UA=( )
A.{1,6}
B.{1,7}
C.{6,7}
D.{1,6,7}
解析:由已知得?UA={1,6,7},
∴B∩?UA={6,7}.
故选C.
答案:C
2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0解析:∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},
∴?U(A∪B)={x|0答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.已知全集U=R,A={x|1≤x解析:∵?UA={x|x<1,或x≥2},
∴A={x|1≤x<2}.∴b=2.
答案:2
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 .?
解析:题图中阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}.
答案:{4,6}
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1∴A∩B={x|-13}.(共43张PPT)
3.2.2 函数模型的应用实例
一
二
一、利用具体函数模型解决实际问题
1.常见的数学模型有哪些?
提示:利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数、分段函数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.
一
二
(4)指数函数模型:f(x)=a·bx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
一
二
2.做一做:
(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A.y=2x
B.y=2x-1
C.y=2x
D.y=2x+1
(2)假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a
,广告效应D=R-A,则当A= 时,取得最大的广告效应.?
解析:(1)分裂一次后由2个变成2×2=22(个),分裂两次后变成4×2=23(个),……,分裂x次后变成2x+1个.
一
二
二、拟合函数模型
1.应用拟合函数模型解决问题的基本过程
一
二
2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?
提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;
第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;
第三步:解答数学问题,求得结果;
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.
而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
一
二
3.做一做:
“红豆生南国,春来发几枝.”图中给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )
A.指数函数y=2t
B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3
D.二次函数y=2t2
解析:根据所给的散点图,观察可知图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数模型拟合最好.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究一一次函数与二次函数模型的应用
例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30
000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2
000套
B.3
000套
C.4
000套
D.5
000套
(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
(1)解析:因利润z=12x-(6x+30
000),
所以z=6x-30
000,由z≥0解得x≥5
000,故至少日生产文具盒5
000套.
答案:D
(2)解:①根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9
600(50≤x≤55,x∈N).
③因为w=-3x2+360x-9
600=-3(x-60)2+1
200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1
125元.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.一次函数模型的应用
利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
2.二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练
1(1)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:
①买一个茶壶赠一个茶杯;
②按总价的92%付款.
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?
(2)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120
吨(0≤t≤24).
①从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?
②若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;
当4≤x<34时,y1当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
(2)①设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,
所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,
∴当x=6,即t=6时,ymin=40,
即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨.
②令400+10x2-120x<80,
即x2-12x+32<0,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究二分段函数模型的应用
例2某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-
t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
分析:利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量只能为500件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)当0当x>5时,产品只能售出500件.
所以,
所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,
f(x)max=10.781
25(万元).
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练2甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元
(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)=
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).
(2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)由题意得G(x)=2.8+x.
(2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减,
∴f(x)<8.2-5=3.2(万元).
当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,
当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元.
故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究三指数或对数函数模型的应用
例3
一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
分析:可建立指数函数模型求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p)x(其中N为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.
2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3
成正比,且当Q=900时,v=1.
(1)求出v关于Q的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5
m/s时耗氧量的单位数;
(3)一条鲑鱼要想把游速提高1
m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
故一条鲑鱼的游速是1.5
m/s时的耗氧量为2
700个单位.
(3)设鲑鱼耗氧量为Q1,Q2时,游速分别为v1,v2,
故鲑鱼要想把游速提高1
m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究四拟合函数模型的应用题
例4
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x
cm与当年灌溉面积y
hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
(1)描出灌溉面积y
hm2随积雪深度x
cm变化的数据点(x,y);
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25
cm,则可以灌溉的土地面积是多少?
分析:首先根据表中数据描出各点,然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)数据点分布如图甲所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y
hm2和最大积雪深度x
cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25
cm时,可以灌溉土地47.4
hm2.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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反思感悟
对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:
(1)能够根据原始数据、表格,描出数据点.
(2)通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
延伸探究根据本例所建立的函数模型,若明年可以灌溉的土地面积是56.4
hm2,则最大积雪深度为多少?
解:当y=56.4时,由56.4=2.4+1.8x,解得x=30,即最大积雪深度为30
cm.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错
典例
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.
错解设四边形EFGH的面积为S,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:错解中没有考虑所得二次函数的定义域,就直接利用二次函数的性质求解,从而导致出错.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
正解:设四边形EFGH的面积为S,则
当a>3b,x=b时,S有最大值ab-b2.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
防范措施对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x受实际问题的约束,看似一个细节失误,但会造成严重错误.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),则函数f(t)的解析式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
解析:由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
解析:当x=1时,否定选项B;当x=3时,否定选项A,D,检验C项较为接近.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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3.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车,则能获得的最大利润是( )
A.10.5万元
B.11万元
C.43万元
D.43.025万元
解析:设该公司在A地销售x辆时,获得的总利润为y万元,则
又0≤x≤16,且x∈N,所以当x=10或x=11时,y取最大值43,即能获得的最大利润为43万元.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
4.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a
L水,桶A中的水不断流入桶B,t
min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5
min时,桶A和桶B中的水量相等,再过
min,桶A中的水只有
L.?
解析:因为5
min时,桶A和桶B中的水量相等,
所以a·e-5n=a-a·e-5n,
答案:10
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
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5.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).
(1)当t=4时,求S的值;
(2)将S随t变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650
km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)由题图可知,直线OA的方程是v=3t(0≤t≤10),直线BC的方程是v=-2t+70(20≤t≤35).
当t=4时,v=12,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
综上可知,s随t变化的规律是
当t∈(10,20]时,Smax=30×20-150=450<650;
当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,
解得t=30或t=40(舍去),
即在台风发生30小时后将侵袭到N城.(共29张PPT)
第1课时 函数的单调性
一
二
一、增函数和减函数的定义
1.画出函数f(x)=x,f(x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降情况如何?
提示:根据列表法的三个步骤:列表→描点→连线得两函数的图象如下.
函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的.
一
二
2.如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?
提示:在(-∞,0]上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在(0,+∞)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.
3.如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次减小呢?
提示:在给定区间上任取x1,x2且x1f(x2).
一
二
4.填表:
增函数和减函数
一
二
5.做一做:
(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是 .(填“增函数”或“减函数”)?
(2)f(x)=x2-1在区间[0,+∞)上是 .(填“增函数”或“减函数”)?
答案:(1)减函数 (2)增函数
一
二
6.判断正误:
对于函数f(x),若在区间[a,b]上存在两个数x1,x2,且x1f(x2)成立,则可认为f(x)在区间[a,b]上是减函数.
( )
答案:×
一
二
二、函数的单调性与单调区间
1.填空:
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
一
二
2.做一做:
(1)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.不能确定
(2)函数y=
的单调递减区间是( )
A.[0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
(3)根据下图说出在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.
一
二
(1)解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.
答案:D
(2)解析:函数y=
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故其单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
答案:C
(3)解:函数在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数.
一
二
3.判断正误:
(1)若函数f(x)在区间I上是减函数,且非空数集D?I,则f(x)在D上也是减函数.( )
(2)若函数f(x)在定义域[a,b]上是增函数,且f(x1)答案:(1)√ (2)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一利用图象确定函数的单调区间
例1
求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:
分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.
解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.
(2)函数y=-
的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开.
2.一次、二次函数及反比例函数的单调性:
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=-
为分界线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究二证明函数的单调性
例2求证:函数f(x)=x+
在区间(0,1)内为减函数.
分析:在区间(0,1)内任取x1,x2,且x1f(x2)即可.
证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1∵0∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故函数f(x)=x+
在区间(0,1)内为减函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
证明或判断函数的单调性,主要是利用定义法,其基本步骤是:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
特别提醒
作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究判断并证明本例中的函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性.
证明如下:
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1∵1≤x10,x1x2>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=x+
在区间[1,+∞)上是增函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究三函数单调性的应用
例3
已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)
与f
的大小.
分析:要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练
已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错
典例
若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值集合是 .?
错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a≥4,即a≤-3.故实数a的取值集合为{a|a≤-3}.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.
正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为{-3}.
答案:{-3}
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
纠错心得
单调区间是一个局部概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则是指该区间为相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件的含义.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练若函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-∞,5]上单调递减,则实数a的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为( )
A.[-4,-2]
B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4]
D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C
2.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是( )
解析:当2k+1<0,即k<-
时,函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.若函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),且函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则有( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是 .?
解析:由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞).
答案:(-∞,1]和(1,+∞)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.若函数f(x)在区间[-2,2]上是减函数,则f(-1) f(2).(填“>”“<”或“=”)?
解析:∵f(x)在区间[-2,2]上是减函数,且-1<2,
∴f(-1)>f(2).
答案:>
证明:对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1第1课时 函数的表示法
函数的表示法
1.某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0.5元,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系.
(1)函数的定义域是什么?
提示:{1,2,3,4,5}
(2)y与x有何关系?
提示:y=0.5x
(3)试用表格表示y与x之间的关系.
提示:表格如下:
(4)试用图象表示y与x之间的关系.
提示:图象如下:
2.函数有哪几种常用的表示法?这和我们在初中学习的函数表示法一样吗?
提示:解析法、图象法、列表法.一样.
3.几种常用的函数的表示方法是如何定义的?
提示:(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;(2)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系;(3)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
4.函数的三种表示方法各有什么优缺点?
提示:
5.做一做:
(1)下列图形可表示函数y=f(x)图象的只可能是
( )
(2)若f(x)=2x+1,则f(x+1)等于( )
A.2x+1
B.2x+3
C.2(x+1)
D.2x-1
答案:(1)D (2)B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一列表法表示函数
例1
已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
则f(g(1))= ;当g(f(x))=2时,x= .?
分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.
又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.
答案:1 1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))= ;当f(g(x))=2时,x= .?
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.
答案:2 3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究二求函数的解析式
例2
导学号03814012(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-
.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
求函数解析式的四种常用方法
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).
4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方程组法或消元法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
解:(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x≥1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究三函数的图象及应用
例3
作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
分析:看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图.
解:(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
解:(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[0,5].
由图可知,函数的值域为(0,1].
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
因忽略变量的实际意义而致错
典例如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.
错解由题意,得△CQB∽△BAP,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:以上解题过程中没有考虑x的实际意义,从而扩大了x的取值范围而导致出错.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
正解:由题意,得△CQB∽△BAP,
防范措施从实际问题中得到的函数,求其定义域时,不仅要使函数有意义,而且还要使实际问题有意义.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练已知一个面积为100
cm2的等腰梯形,上底长为x
cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x
B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x+1
所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
则g(f(g(-1)))的值为( )
A.1
B.0
C.-1
D.无法确定
解析:g(-1)=1,
则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
4.若一个长方体的高为80
cm,长比宽多10
cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数表达式是 .?
解析:由题意可知,长方体的长为(x+10)cm,从而长方体的体积y=80x(x+10),x>0.
答案:y=80x(x+10),x∈(0,+∞)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解:(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故f(x)的值域是[-1,3].(共26张PPT)
第1课时 集合的含义
一
二
三
四
一、元素与集合的相关概念
1.你所在学校高一新生全体同学构成2019级部.请阅读下列语句,并思考提出的问题:
①2019级部的所有同学;
②2019级部的所有男生;
③2019级部的所有女生;
④2019级部比较帅的同学.
(1)以上各语句要研究的对象分别是什么?
提示:以上各语句要研究的对象分别为2019级部的所有同学、2019级部的所有男生、2019级部的所有女生、2019级部比较帅的同学.
(2)哪个语句中的对象不确定?为什么?
提示:④中的对象不确定,因为“比较帅”没有明确的划分标准.
一
二
三
四
2.填空:
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
3.判断正误:
如果小明的身高是180厘米,那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素.
( )
答案:×
一
二
三
四
二、集合中元素的特征
1.构成英文单词success的所有字母能否组成一个集合,如果能组成一个集合,该集合中有几个元素?为什么?
提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性);有5个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性).
2.分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?集合中的元素有没有先后顺序?
提示:相等.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.也就是说集合中的元素是没有先后顺序的.
3.填空:
集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.
4.判断正误:
方程x2-2x+1=0的解集中含有2个元素.
( )
答案:×
一
二
三
四
三、元素与集合的关系
问题思考
1.由大于1的数构成的集合记作集合A.1和2与集合A是怎样的关系?
提示:因为2>1成立,所以2是集合A中的元素,即2属于集合A;
因为1>1不成立,所以1不是集合A中的元素,即1不属于集合A.
2.填空:
一
二
三
四
3.做一做:
用符号∈和?填空:
(1)若所有正奇数构成的集合为M,则4 M,-1 M,7 M;?
解析:(1)4和-1都不是正奇数,7是正奇数,因此4?M,-1?M,7∈M.
答案:(1)? ? ∈ (2)∈ ?
一
二
三
四
四、常用数集的字母表示
问题思考
1.非负整数集与正整数集有何区别?
提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
2.填写下表:
3.若a∈Q,则一定有a∈R吗?反过来呢?
提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,但不一定有a∈Q.
一
二
三
四
4.做一做:
用符号“∈”或“?”填空.
(1)1 N
;(2)-3 N;?
答案:(1)∈ (2)? (3)∈ (4)? (5)∈
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一集合的概念
例1
2018年9月,我们踏入了心仪的高中校园,找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由.
(1)你所在班级中全体同学;
(2)班级中比较高的同学;
(3)班级中身高超过178
cm的同学;
(4)班级中比较胖的同学;
(5)班级中体重超过75
kg的同学;
(6)学习成绩比较好的同学;
(7)总分前五名的同学.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:根据研究对象的特征是否具有可以衡量、可以判断的标准,即是否具有确定性进行逐个判断.
解:(1)班级中全体同学是确定的,所以可以构成一个集合.
(2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(3)因为“身高超过178
cm”是确定的,所以可以构成一个集合.
(4)“比较胖”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(5)“体重超过75
kg”是确定的,可以构成一个集合;
(6)“学习成绩比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(7)“总分前五名”是确定的,可以构成一个集合.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1中国男子篮球职业联赛(China
Basketball
Association),简称中职篮(CBA),是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛,中国最高等级的篮球联赛.
下列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由.
(1)2017~2018赛季,CBA的所有队伍;
(2)CBA中比较著名的队员;
(3)CBA中得分前五位的球员;
(4)CBA中比较高的球员.
当堂检测
解:(1)CBA的所有队伍是确定的,所以可以构成一个集合;
(2)“比较著名”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合;
(3)“得分前五位”是确定的,可以构成一个集合.
(4)“比较高”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二元素与集合的关系
例2
(1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;②
?Q;③0∈Z;④|-1|?N
.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是否是集合A中的元素?
②若-5∈A,求实数a的值;
③若1?A,求实数a的取值范围.
(3)若集合A是由所有形如3a+
b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2
是不是集合A中的元素?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.
(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式,解之即可.
(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
答案:C
(2)解:①将x=0代入方程,02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1?A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
判断元素与集合的关系的两种方法
(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.
(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.
(3)若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练
2用符号“∈”或“?”填空:
-1 N,
N
,3.7 ?Z,3.14 ?Q,π ?R.?
解析:因为-1是负整数,所以-1?N;因为
=2,所以
∈N
;因为3.7不是整数,所以3.7?Z;因为3.14是有理数,所以3.14∈Q;因为π是实数,所以π∈R.
答案:? ∈ ? ∈ ∈
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三集合中元素的特性及其应用
例3
已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
分析:由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
反思感悟集合中元素当含有字母时的处理方法
先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.
注意:在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究(1)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
(2)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
解:(1)若该集合中只有一个元素,
则有a-2=2a2+5a=12.
由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.
所以该集合中不可能只含有一个元素.
解a-2≠12,得a≠14;
解2a2+5a≠12,
即(2a-3)(a+4)≠0,得a≠
且a≠-4;
解2a2+5a≠a-2,即a2+2a+1≠0,得a≠-1.
所以实数a不能取四个值:14,
,-4,-1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视集合中元素的互异性而致错
典例
已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为 .?
错解因为1∈A,所以a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.故填1或-1.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:以上错解中没有注意到元素a与a2不相等,得到了错误答案1或-1.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
正解:因为1∈A,所以a=1或a2=1.当a=1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.当a2=1,即a=±1时,a=1舍去.若a=-1,集合A含有两个元素1和-1,符合集合中元素的互异性.综上,a=-1.
答案:-1
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
防范措施
1.分类讨论思想的运用
解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中由1∈A,可知a=1或a2=1.
2.集合中元素的互异性的作用
求解与集合有关的字母参数时,需要利用集合中元素的互异性来检验所求字母参数的值是否符合要求.如本例中需对所求出的1与-1分别进行检验.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练
方程x2-(a+1)x+a=0的解集有几个元素?
解:x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为1,a.
若a=1,则方程的解集只有一个元素1;
若a≠1,则方程的解集有两个元素1,a.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1.下列各选项中可以构成集合的是( )
A.相当大的数
B.本班长得特别漂亮的学生
C.光明中学2019级学生
D.著名的数学家
解析:“相当大”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故A不构成集合;同样B,D也不构成集合.故选C.
答案:C
2.设集合A只含有一个元素a,则有( )
A.0∈A
B.a?A
C.a∈A
D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,故a属于集合A,∴a∈A.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
3.用符号∈或?填空:
(1)若A表示由所有质数组成的集合,则1 A,2 A,
3 A;?
解析:(1)由2,3为质数,1不是质数,得1?A,2∈A,3∈A.
答案:(1)? ∈ ∈ (2)? ∈ ∈
4.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有 个元素.?
解析:方程x2-5x+6=0的解是2,3;方程x2-x-2=0的解是-1,2.由集合元素的互异性知,以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素.
答案:3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.
故实数x满足的条件为x≠0,且x≠-1.(共31张PPT)
第1课时 并集和交集
一
二
三
一、并集
1.观察下列各个集合:
①A={-1,0},B={1,2},C={-1,0,1,2};
②A={x|x是偶数},B={x|x是奇数},C={x|x是整数};
③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.
(1)你能说出集合C中的元素与集合A,B中元素的关系吗?
提示:集合C中的元素是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
(2)①、③中,不妨设集合A,B,C中元素个数分别为a,b,c,试分析a+b与c的关系.
提示:①中,a=2,b=2,c=4,所以a+b=c;
③中,a=2,b=3,c=4,所以a+b>c.
一
二
三
2.填表:
3.判断正误:
集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中所有元素的个数和.
( )
答案:×
一
二
三
4.做一做:
已知集合A={x|-1A.{x|-1B.{x|-1C.{x|0D.{x|2解析:因为A={x|-1答案:A
一
二
三
二、交集
1.观察下列集合,你能说出集合C中的元素与集合A,B中元素的关系吗?
(2)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};
(3)A={x|x≤1},B={x|x≥0},C={x|0≤x≤1}.
提示:集合C中的元素是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.
2.若A={-1,0,1},B={2,4,6,8},则A∩B存在吗?
提示:存在,A∩B=?.
一
二
三
3.填表:
4.判断正误:
当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集.
( )
答案:×
一
二
三
5.做一做:
若集合A={x|-5A.{x|-3B.{x|-5C.{x|-3D.{x|-5解析:在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示.
由交集的定义可得,A∩B为图中阴影部分,
即{x|-3答案:A
一
二
三
三、交集与并集的运算性质
1.你能用Venn图表示出两个非空集合的所有关系吗?
提示:两非空集合的所有关系如图所示:
一
二
三
2.你能从问题1中所画的Venn图中发现哪些重要的结论?
提示:(1)由Venn图,我们能够发现如下结论:(A∩B)?A,(A∩B)?B;A?(A∪B),B?(A∪B),(A∩B)?(A∪B).
(2)若集合A是集合B的子集,则A?B?A∩B=A?A∪B=B.若集合B是集合A的子集,则B?A?A∩B=B?A∪B=A.
(3)若集合A,B没有公共元素,则A∩B=?.
一
二
三
3.判断正误:
(1)若A∪B=?,则A=B=?.( )
(2)若A∩B=?,则A=B=?.( )
(3)若A∪B=A∪C,则B=C.( )
(4)(A∩B)?(A∪B).( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
一
二
三
4.做一做:
(1)若集合M,N,P满足M∩N=M,N∪P=P,则M与P之间的关系是( )
A.M?P
B.P?M
C.M?P
D.P?M
(2)设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a= .?
解析:(1)因为M∩N=M,所以M?N.
因为N∪P=P,所以N?P.所以M?P.
(2)由A∩B=B,知B?A.因为-1∈B,所以-1∈A.
又因为A={7,a},所以a=-1.
答案:(1)C (2)-1
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一集合的交集运算与并集运算
例1
求下列两个集合的并集和交集:
(1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};
(2)A={x|x+1>0},B={x|-2分析:(1)借助于Venn图,依据并集、交集的定义写出结果;(2)先化简集合A,再用数轴表示出集合A,B,根据数轴写出结果.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},
A∩B={1,2,3}.
(2)由题意知A={x|x>-1},用数轴表示集合A和B,如图所示,
则数轴上方所有“线”下面的实数组成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了A∩B,故A∩B={x|-1探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练1(1)若集合A={x|1≤x≤3,x∈N},B={x|x≤2,x∈N},则A∩B=( )
A.{3}
B.{x|x≥1}
C.{2,3}
D.{1,2}
(2)已知A={x|x>a},B={x|-2探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(1)解析:由题意,知A={1,2,3},B={0,1,2},结合Venn图,
可得A∩B={1,2}.
答案:D
(2)解:如图所示.
当a<-2时,A∪B={x|x>a},A∩B={x|-2当-2≤a<2时,A∪B={x|x>-2},A∩B={x|a当a≥2时,A∪B={x|-2a},A∩B=?.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究二已知集合的交集、并集求参数
例2已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若A∩B=?,求a的取值范围;
(2)若A∪B=R,求a的取值范围.
分析:借助于数轴,列出关于a的不等式(组)求解.
解:(1)由A∩B=?,知
①若A=?,则2a>a+3,∴a>3.
②若A≠?,如图,
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)由A∪B=R,如图所示,
反思感悟
出现交集为空集的情形,应首先考虑已知集合有没有可能为空集,其次在与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练2设集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中
p,q为常数,x∈R,当A∩B=
时,求p,q的值和A∪B.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三交集、并集性质的运用
例3
已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
分析:A∪B=A等价于B?A,讨论分B=?和B≠?两种情况.
借助于数轴,列出关于m的不等式组,解不等式组得到m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:∵A∪B=A,∴B?A.
∵A={x|0≤x≤4}≠?,∴B=?或B≠?.
当B=?时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠?时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
检验知m=-1,m=0符合题意.综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟当利用交集和并集的性质解题时,常借助于交集、并集的定义将其转化为集合间的关系去求解,如A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A等.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究将本例中“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:∵A∩B=A,∴A?B.如图,
解得m≤-3.检验知m=-3符合题意.故实数m的取值范围是m≤-3.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
数形结合思想在集合运算中的应用
对于和实数集有关的集合的交集、并集等运算问题,常借助于数轴将集合语言转化为图形语言,或借助Venn图,通过数形结合可直观、形象地看出其解集.
典例
已知集合A={x|1【审题视角】A∪B=B等价于A?B,注意要分a=0,a>0与a<0三种情况讨论.可借助数轴,建立关于实数的不等式组,解不等式组求得实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:∵A∪B=B,∴A?B.
(1)当a=0时,A=?,满足A?B.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
检验知a=-2符合题意.
综合(1)(2)(3)知,a的取值范围是a≤-2或a=0或a≥2.
方法点睛求解此类问题一定要看是否包括端点临界值.集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能地借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练已知集合A={-5},B={x|ax+2=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
解:∵A∩B=B,∴B?A.
∵A={-5}≠?,∴B=?或B≠?.
当B=?时,方程ax+2=0无解,此时a=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{-1,0,1,2,3}
解析:由(x+1)(x-2)<0,得-1∵x∈Z,∴B={0,1}.∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.
答案:C
2.若集合A={1,2},B={1,2,4},C={1,4,6},则(A∩B)∪C=( )
A.{1}
B.{1,4,6}
C.{2,4,6}
D.{1,2,4,6}
解析:由集合A={1,2},B={1,2,4},得集合A∩B={1,2}.
又由C={1,4,6},得(A∩B)∪C={1,2,4,6}.故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
4.已知集合A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.
解:∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},
∴A={y|y≥-4}.
∵B={y|y=-(x-1)2+14,x∈R},
∴B={y|y≤14}.
将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,
∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
5.已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|ax+1-a=0}.
(1)用列举法表示集合A;
(2)若A∩B=B,求实数a的值.
解:(1)解方程x2+4x=0,得x1=0,x2=-4.所以A={-4,0}.
(2)∵A∩B=B,∴B?A.
①当a=0时,B=?,符合题意;(共23张PPT)
第2课时 集合的表示
一
二
一、列举法
1.我们在初中学习过正整数、负整数、有理数、实数等,请思考以下问题:
(1)小于6的正整数有哪些?
提示:1,2,3,4,5.
(2)小于6的正整数是否可以组成一个集合?
提示:显然这些数是确定的,根据集合的定义,这些数可以组成一个集合.
(3)若能,用自然语言表示这个集合;如何用集合语言表示出这个集合?若不能,请说明理由.
提示:该集合可以用自然语言表示为:由1,2,3,4,5组成的集合;
用集合语言可以表示为{1,2,3,4,5}.
2.填空:
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
3.判断正误:
(1)用列举法表示集合{x|x2-6x+9=0}为{3,3}.
( )
(2){?}与?表示相同的集合.
( )
答案:(1)× (2)×
一
二
4.做一做:
由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解为元素组成的集合为( )
A.{2,3,1}
B.{2,3,-1}
C.{2,3,-2,1}
D.{-2,-3,1}
解析:解方程x2-5x+6=0,得x=2,或x=3,
解方程x2-x-2=0,得x=-1或x=2,
故以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解为元素的集合为{2,3,-1}.
答案:B
一
二
一
二
二、描述法
1.易知1,2,3,4,5这五个数字组成的集合可以用列举法表示.
(1)这五个数字的共同特征是什么?
提示:小于6,且为正整数.
(2)是否可以用描述法表示该集合?若能,请写出该集合;若不能,请说明理由.
提示:可以,{x|0(3)小于6的实数,是否能组成一个集合?若能,能否用列举法表示出该集合?
提示:能组成一个集合,但不能用列举法表示;因为小于6的实数有无数个,且无法利用列举法表述出这些数的共性.
一
二
2.填空:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
3.判断正误:
(1){x|x>2
019}与{z|z>2
019}表示相同的集合.
( )
(2){(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指平面直角坐标系内第一象限内的点集.
( )
答案:(1)√ (2)√
4.做一做:
已知集合A={0,1,2,3,4},用描述法表示该集合为 .(答案不唯一,写一个即可)?
答案:{x∈N|x≤4}
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一用列举法表示集合
例1
用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
分析:先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素之间无顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)15的正约数组成的集合;
(2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究二用描述法表示集合
例2
用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析:找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
解:(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;
(2)函数y=x2-4上的点组成的集合;
解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三集合的表示
例3用适当的方法表示下列集合:
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)函数y=x2函数值y的所有取值组成的集合.
分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.
(4)用描述法表示为{y|y≥0}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.
2.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
3.对于集合{三角形}实际上是{x|x是三角形}的简写,千万别理解成是由三个汉字组成的集合,三角形构成的集合不要写成{所有三角形},因为{ }本身就是“所有”的含义.
4.本题(4)中的集合表示点集,要注意区分{(x,y)|y=x2}与{x|y=x2}、{y|y=x2}都不是同样的集合.{x|y=x2}中代表元素是x,表示数集R;{y|y=x2}中的代表元素是y,即{y|y≥0}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合;
(2)一次函数y=3x与y=2x+7的图象的交点组成的集合.
解:(1)该集合用描述法表示为{x∈R|x(x2-1)=0},用列举法表示为{-1,0,1}.
用列举法表示为{(7,21)}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
分类讨论思想在集合表示中的应用
典例
若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
【审题视角】明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.
此时集合A={2}.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
方法点睛1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究1【典例】中若集合A中含有2个元素呢?
解得k<1,且k≠0.
延伸探究2【典例】中,若集合A中至多有一个元素呢?
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由【典例】知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
1.集合{x∈N
|2x-1<9}的另一种表示方法是( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
答案:B
2.下列各组集合中,表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={3,2},N={(3,2)}
解析:由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}={2,3}.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
3.若A={0,3,6},B={x|x=n-m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为 .?
解析:当n=0,m=3时,n-m=-3;
当n=0,m=6时,n-m=-6;
当n=3,m=0时,n-m=3;
当n=3,m=6时,n-m=-3;
当n=6,m=0时,n-m=6;
当n=6,m=3时,n-m=3.
所以集合B中的元素共有4个:-3,3,-6,6.
答案:4
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .?
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
5.分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;
(2)大于1,且小于5的所有整数组成的集合.
解:(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.
(2)集合用描述法表示为{x|x是大于1,且小于5的整数};用列举法表示为{2,3,4}.(共23张PPT)
3.2.1 几类不同增长的函数模型
三类函数增长速度的比较
1.函数y=2x,y=log2x及y=x2的图象如图所示:
(1)当x∈(2,4)时,函数y=x2与y=2x哪一个增长得更快一些?
提示:y=x2.
(2)当x∈(4,+∞)时,函数y=x2与y=2x哪一个增长得更快一些?
提示:y=2x.
(3)是否存在一个x0,使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立?
提示:存在.
2.填表:三种函数模型的性质
3.填空:
三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同.
(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax4.做一做:
已知三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )
A.y1,y2,y3
B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1
D.y1,y3,y2
解析:通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;幂函数型函数的增长速度越来越快,y1随x的变化符合此规律,故选C.
答案:C
5.判断正误:
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( )
(2)当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,称为指数型函数模型,也常称为“爆炸型”函数模型.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
探究一比较函数增长的差异
例1
函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2
019),g(2
019)的大小.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1所以x1<6019>x2,从图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2
019)>g(2
019).
因为g(2
019)>g(6),
所以f(2
019)>g(2
019)>g(6)>f(6).
反思感悟由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
延伸探究1在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢?
解:由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
延伸探究2本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2
019),g(2
019)的大小.
解:因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1019>x2,从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2
019)>g(2
019).因为g(2
019)>g(8),所以f(2
019)>g(2
019)>g(8)>f(8).
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
探究二体会指数函数的增长速度
例2
甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:
甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司捐款最多?
分析:分别计算三个公司在10天内的捐款总数.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
解:三个公司在10天内捐款情况如下表所示.
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
反思感悟解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
函数模型的应用
典例
某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c如图所示.
(1)求函数y1,y2的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
【规范展示】解:(1)P1:y1=axn过点(1,1.25),(4,2.5),
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
(2)设用x万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润为y万元.
所以用6.25万元投资甲商品,3.75万元投资乙商品,才能获得最大利润.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
【答题模板】
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
失误警示
造成失分的原因如下:
(1)观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错;
(2)计算不过关,将函数解析式求错;
(3)二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
变式训练某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
1.当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案:B
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2
D.y2>y3>y1
解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
答案:B
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
3.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.
探究一
探究二
规范解答
当堂检测
解:若用函数y=ax+b(a≠0),取(1,50),(2,52),
∴y=2x+48.
当x=3时,y=54.
若用函数y=ax+b,取(1,50),(2,52),
∴y=2x+48.
当x=3时,y=56.
由题知3月份的产量为53.9千件,
由上可知用函数y=2x+48的估计误差较小,故用函数y=ax+b模拟比较好.(共32张PPT)
2.1.1 指数与指数幂的运算
一
二
三
四
一、n次方根
1.我们在初中学方根、立方根,有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢?
(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?
提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为±2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零.
(2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根?
提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N
.
一
二
三
四
2.填空:
一
二
三
四
3.做一做:
用根式表示下列各式.
(1)已知x5=2
019,则x= ;?
(2)已知x6=2
019,则x= .?
4.判断正误:
答案:×
一
二
三
四
二、根式
1.类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?
一
二
三
四
3.填空:
一
二
三
四
4.做一做:
答案:(1)奇 (2)n-m
一
二
三
四
三、分数指数幂
1.整数指数幂的运算性质有哪些?
提示:(1)am·an=am+n;(2)(am)n=am·n;
2.零和负整数指数幂是如何规定的?
一
二
三
四
3.根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律?
提示:当根式的被开方数(被开方数大于0)的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
一
二
三
四
4.填表:
正数的分数指数幂的意义
一
二
三
四
5.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用?
提示:由于整数指数幂、分数指数幂都有意义,因此有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
6.判断正误:
答案:(1)× (2)×
一
二
三
四
7.做一做:
(1)若a>0,且m,n为整数,则下列各式正确的是( )
(2)将下列根式化为分数指数幂:
(3)将下列分数指数幂化为根式:
一
二
三
四
四、无理数指数幂
2.无理数指数幂aα(a>0,α是一个无理数)有何意义?有怎样的运算性质?
提示:无理数指数幂的意义,是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说,无理数指数幂aα(a>0,α是一个无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一分数指数幂的简单计算问题
例1计算:
分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究二根式的化简(求值)
例2
求下列各式的值:
分析:(1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
解:(1)原式=a-b+b-a=0.
∵-3当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?
(2)该例中的(2),若x>3呢?
解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.
(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,
故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4;
(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,
故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
分析:(1)直接运用分数指数幂的运算性质进行计算;(2)先将根式化为分数指数幂,再运用分数指数幂的运算性质进行化简.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究四条件求值
(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.
分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件
的联系,进而整体代入求值.
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,
即a2+a-2=7.
(3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
分析:看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数k,然后以k为媒介化简,这样使问题容易解决.
2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
A.5
B.-1
C.2π-5
D.5-2π
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
2.下列各式正确的是( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为
( )
A.15
B.17
C.35
D.37
答案:B
解析:由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4.
答案:[2,4)∪(4,+∞)(共35张PPT)
3.1.1 方程的根与函数的零点
一
二
三
一、函数的零点
1.已知函数f(x)=2x+6.
(1)求方程f(x)=0的解;
提示:由2x+6=0,解得x=-3.
(2)求函数f(x)的图象与x轴的交点坐标.
提示:交点坐标A(-3,0).
(3)方程的解与函数图象与x轴的交点的横坐标之间是怎样的关系?
提示:相等.
一
二
三
2.填空:
函数的零点
(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.
3.函数y=f(x)的零点是点吗?为什么?
提示:不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.
4.你能说出函数①y=lg
x;②y=lg(x+1);③y=2x;④y=2x-2的零点吗?
提示:①y=lg
x的零点是x=1;②y=lg
(x+1)的零点是x=0;③y=2x没有零点;④y=2x-2的零点是x=1.
一
二
三
5.做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是( )
A.(±1,0)
B.(1,0)
C.0
D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
一
二
三
二、方程、函数、图象之间的关系
1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:
①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;
②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;
③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3.
(1)你能够画出关于上述方程的根,函数图象与x轴的交点及函数的零点的表格吗?
一
二
三
提示:
一
二
三
(2)从你所列的表格中,你能得出什么结论?
提示:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
一
二
三
三、函数零点存在性定理
1.观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象,发现这个二次函数在区间[-2,1]上有零点x=-1,而f(-2)>0,f(1)<0,即f(-2)·f(1)<0.二次函数在区间[2,4]上有零点x=3,而f(2)<0,f(4)>0,即f(2)·f(4)<0.由以上两步探索,你可以得出什么样的结论?
提示:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
2.填空:
函数零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
一
二
三
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是间断的,上述定理成立吗?
提示:不一定成立,由下图可知.
4.反过来,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点,f(a)·f(b)<0是否一定成立?
提示:不一定成立,由二次函数f(x)=x2-2x+1的图象可知.
一
二
三
5.判断正误:
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
( )
答案:×
6.做一做:
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)f(0)<0.
所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一求函数的零点
例1
判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16;
分析:可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.
所以函数的零点为2.
(4)当x≤0时,由f(x)=0,即x2+3x-4=0,也就是(x-1)(x+4)=0,解得x=1或x=-4.因为x≤0,所以x=-4.
当x>0时,由f(x)=0,即-1+ln
x=0,解得x=e,满足x>0.
所以函数的零点为-4和e.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的实根.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究二判断函数零点的个数
例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg
3-2=2+lg
3>0,∴f(x)在区间(0,2)内必定存在实根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
判断函数零点个数的常用方法
1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.
3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练
2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln
x的零点个数.
(1)解析:∵b2=ac,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.
∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)解:(方法一)令f(x)=x-3+ln
x=0,则ln
x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln
x与y=-x+3的图象,如图所示.
由图可知函数y=ln
x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln
x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln
3>0,f(2)=-1+ln
2=ln
<0,所以f(3)f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln
x在区间(2,3)内有零点.又f(x)=x-3+ln
x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三判断函数的零点所在的大致区间
例3
(1)方程log3x+x=3的解所在的区间为
( )
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为 .?
分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-2<0,f(2)=log32+2-3=log3
<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+4-3=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).
(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
答案:(1)C (2)1
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.依据函数零点存在性定理判断函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点,关键看两点:一是曲线是否连续不断;二是f(a)与f(b)是否异号,就是说这种方法只能判断变号零点(即在零点左右两侧附近函数值的符号发生改变的零点).
2.判断函数零点所在区间的三个步骤:
(1)代.将区间端点代入函数求出函数的值.
(2)判.把所得函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点,若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:(1)B (2)A
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
函数与方程思想在一元二次方程根的分布问题中的应用
典例
关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:
(1)方程有一个正根和一个负根;
(2)方程的两个根都大于1.
【审题视角】
题意→画草图→转换为数量关系→求解
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
(1)当方程有一个正根和一个负根时,f(x)对应的草图可能如图①,②所示.
解得0所以当0探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)当方程的两个根都大于1时,f(x)对应的草图可能如图③,④所示.
解得a∈?.
所以不存在实数a,使方程的两个根都大于1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
方法点睛
解决有关根的分布问题应注意以下几点:
(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
(2)结合草图考虑四个方面:①开口方向;②Δ与0的大小关系;③对称轴与所给端点值的关系;④端点的函数值与零的关系.
(3)写出由题意得到的不等式(组).
(4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意.
这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练本例已知条件不变,求a为何值时:
(1)方程有唯一实数根;
(2)方程的一个根大于1,一个根小于1.
解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)因为方程的一个根大于1,一个根小于1.
f(x)的草图可能如图⑤,⑥所示.
所以当a>0时,方程的一个根大于1,一个根小于1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.
答案:C
2.若x0是方程ln
x+x=4的解,则x0所在的区间是
( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
解析:设f(x)=ln
x+x-4,则f(1)=-3<0,
f(2)=ln
2-2<0,f(3)=ln
3-1>0,
f(4)=ln
4>0,则x0∈(2,3).
答案:C
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
3.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .?
解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.
当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.
∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,
∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数根.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
4.函数y=2|x|+x-2的零点的个数为 .?
解析:令2|x|+x-2=0,得2|x|=2-x.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=2|x|与函数y=2-x的图象,如图,图象有2个交点,即方程2|x|+x-2=0有2个实数根,也就是函数有2个零点.
答案:2
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点:
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];(2)f(x)=x2+2x+1-
,x∈(0,+∞).
解:(1)令x2-3x-18=0,
解得x=-3或x=6.
又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],
∴f(x)=x2-3x-18在[-4,7]上有两个零点.
所以函数f(x)在(0,+∞)上存在零点,且仅有一个零点.(共16张PPT)
习题课——单调性与奇偶性的综合应用
1.填空:
(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判断函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.
(3)如果f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们定义域中的公共区间上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.
(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a(5)若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).
2.做一做:
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)( )
A.在[1,7]上是增函数
B.在[-7,2]上是增函数
C.在[-5,-3]上是增函数
D.在[-3,3]上是增函数
(2)若奇函数f(x)满足f(3)A.f(-1)B.f(0)>f(1)
C.f(-2)D.f(-3)(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .?
解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1,即f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的图象(图略)知选C.
(2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(-1).
(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f(3)再由偶函数的性质得f(3)答案:(1)C (2)A (3)f(3)探究一
探究二
当堂检测
探究一应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
例1
已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,∴f(2)f(π),
∴f(-2)答案:A
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
探究一
探究二
当堂检测
延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)探究一
探究二
当堂检测
探究二应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
例2已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上为减函数.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
探究一
探究二
当堂检测
延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上是减函数,所以函数在[0,2]上是增函数,
不等式可化为f(|1-m|)探究一
探究二
当堂检测
1.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)B.f(4)>f(3)
C.f(2)>f(0)
D.f(-1)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),f(4)>f(-1).
答案:D
2.若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )
A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
答案:C
探究一
探究二
当堂检测
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则( )
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),
答案:D
探究一
探究二
当堂检测
4.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,若f(1-m)解析:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)是减函数,
∴不等式f(1-m)|m|,
探究一
探究二
当堂检测
5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a),
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4),
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,
∴3a-10>2a-4,∴a>6.
故a的取值范围为(6,+∞).(共33张PPT)
2.3 幂函数
一
二
一、幂函数的定义
1.函数y=2x与y=x2有什么不同?
提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.
提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析式等号右边只有1项.
3.填空:
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
一
二
4.做一做:
在函数y=
,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 .?
解析:函数y=
=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.
答案:1
一
二
二、幂函数的图象及性质
一
二
(1)它们的图象都过同一定点吗?
提示:是的,都过定点(1,1).
(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?
提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y=
.在(0,+∞)内是减函数的有:y=x-1.
(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢?
提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.
一
二
2.填表:
幂函数的性质
一
二
3.判断正误:
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:(1)× (2)×
一
二
4.做一做:
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减
一
二
答案:(1)C (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一幂函数的概念
例1
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,
得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究二幂函数的图象
例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为
( )
A.cB.aC.bD.c分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0答案:A
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=
,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n答案:A
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究三利用幂函数的单调性比较大小
例3比较下列各组中两个数的大小:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
A.bB.aC.bD.c∴a>b,a答案:A
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究四幂函数图象的应用
例4已知点
在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)分析:先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练
4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.
解:根据幂函数y=x1.3的图象,知
当0∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,
由(0.71.3)m<(1.30.7)m,知
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
数形结合与分类讨论思想在幂函数中的应用
典例
已知函数
(m∈Z)为偶函数,且f(3)(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在[2,3]上为增函数,求实数a的取值范围.
分析:(1)根据单调性明确-2m2+m+3的符号,从而得出m的取值范围.由m∈Z可得m的具体值,再根据奇偶性进行取舍.(2)分01进行讨论,研究内、外层函数的单调性,注意当x∈[2,3]时,真数应恒为正.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
归纳总结幂函数综合应用中应注意
1.充分利用幂函数的性质,如单调性、奇偶性等.
注意分类讨论、数形结合思想的应用.
2.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,它将抽象的数量关系与直观的图形结合起来,使问题变得简单易懂.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练
已知幂函数
满足f(2)(1)求f(x)的解析式.
(2)若函数g(x)=f2(x)+mf(x),x∈[1,9],是否存在实数m使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
解:(1)∵f(x)是幂函数,∴p2-3p+3=1,
解得p=1或p=2.
(2)令t=f(x),x∈[1,9],
则t∈[1,3],记φ(t)=t2+mt,t∈[1,3].
综上所述,存在m=-1使得g(x)的最小值为0.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为( )
解析:幂函数y=kxα过点(4,2),
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
2.幂函数
在第一象限内的图象依次是下图中的曲线( )
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
解析:幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4,
在第一象限内的图象为C2,
在第一象限内的图象为C3.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,则3m-5<0,即m<
.
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
5.比较下列各组中两个值的大小:
(4)0.18-0.3与0.15-0.3.(共29张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
一
二
一、函数的最大值
1.函数f(x)=-x2+1,x∈R的图象如图所示,观察其图象回答下列问题:
(1)函数图象有最高点吗?
提示:有.
(2)其最高点的坐标是多少?
提示:(0,1).
(3)对任意的自变量x∈R,f(x)与f(0)什么关系?
提示:f(x)≤f(0)=1.
一
二
2.填空:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
一
二
3.判断正误:
(1)二次函数均有最大值.
( )
(2)若对x∈R,均有f(x)( )
答案:(1)× (2)×
4.做一做:
函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则实数a的取值范围是( )
解析:函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则函数y=f(x)在[-2,3]上为减函数,则3a-2<0,解得a<
.
答案:D
一
二
二、函数的最小值
1.观察函数f(x)=x2-1的图象,你能指出该函数的最小值吗?并说明理由.
提示:该函数的最小值为-1.因为对任意的x,都有f(x)≥f(0)=-1.
2.不等式x2>-1一定成立吗?-1是不是函数f(x)=x2的最小值?
提示:不等式x2>-1一定成立.-1不是函数f(x)=x2的最小值,
因为不存在实数x使x2=-1.
一
二
3.填空:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最小值.其几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标.
4.判断正误:
若函数有最小值,则该函数的图象一定开口向上.( )
答案:×
一
二
5.做一做:
(1)已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,
则该函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2),0
B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
(2)函数f(x)=
在区间[2,4]上的最大值为 ,最小值为 .?
解析:(1)由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究一利用函数的图象求函数的最值
例1
已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
分析:去绝对值→分段函数→作图→识图→结论.
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究二利用函数的单调性求最值
例2
已知函数f(x)=x+
.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x1∵x10,1∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+
=4;f(x)的最大值为f(1).
∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.利用单调性求函数最值的一般步骤:
(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系:
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
当1≤x1f(x2),f(x)在区间[1,2]上为减函数;
当20,40,∴f(x1)探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三与最值有关的应用问题
例3
某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3
000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3
600元时,能租出多少辆?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
分析:读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)当每辆车的月租金为3
600元时,
所以当x=4
050,即每辆车的租金为4
050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307
050元.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
反思感悟
1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般程序是:
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
解:(1)设月产量为x台,则总成本为20
000+100x,
∴当x=300时,f(x)max=25
000,
当x>400时,f(x)=60
000-100x是减函数,
f(x)<60
000-100×400<25
000.∴当x=300时,f(x)max=25
000.
即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25
000元.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
典例
求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的
相对位置关系→结合单调性与图象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,[0,2]是函数的递增区间,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
当1函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,[0,2]是函数的递减区间,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
方法点睛
1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:
图①
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
如图②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上为减函数,
在(1,t+1]上为增函数,
∴g(t)=f(1)=1.
当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,
∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
答案:A
2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0
B.-1
C.2
D.3
解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3]
B.[-1,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,3]
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.
答案:D
解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
答案:11
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
5.数学老师给出一个函数f(x),甲、乙、丙、丁四名同学各说出了这个函数的一条性质.
甲:在(-∞,0]上函数单调递减;
乙:在[0,+∞)上函数单调递增;
丙:在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称;
丁:f(0)不是函数的最小值.
老师说:你们四名同学中恰好有三个人说的正确.那么,你认为 说的是错误的.?
解析:如果甲、乙两名同学回答正确,因为在[0,+∞)上函数单调递增,所以丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误,此时f(0)是函数的最小值,所以丁的回答也是错误的,与“四名同学中恰好有三个人说的正确”矛盾,所以只有乙说的错误,故答案为乙.
答案:乙
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
6.把长为12
cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.(共32张PPT)
1.2.1 函数的概念
一
二
一、函数的概念
1.初中学习的函数的概念是如何定义的?
提示:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则称x是自变量,y是x的函数.
2.初中学过哪些函数?
提示:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.
一
二
3.阅读教材中的三个实例,并指出三个实例存在哪些变量?变量之间的对应关系是采用什么形式表达的?三个实例中变量的关系有什么共同点?
提示:每个实例中都存在着两个变量;实例(1)中的两个变量关系是通过关系式表达的,实例(2)中的变量间的关系是通过图象表达的,实例(3)中的变量间的关系是通过列表的形式表达的;三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有唯一确定的y和它对应,记作:f:A→B.
一
二
4.填表:
5.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么?
提示:定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A},共三个要素.起决定作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一定相同.
一
二
6.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系?
提示:值域是集合B的子集.
7.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同?
提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发.
8.判断正误:
(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )
(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.
( )
答案:(1)× (2)×
一
二
9.做一做:
下列对应是实数集R到R上的一个函数的是 .(只填序号)?
答案:①④
一
二
二、区间的概念及表示
1.阅读教材17页上半部分,关于区间的概念,请填写下表:
设a,b∈R,且a一
二
2.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x提示:
3.判断正误:
(1)所有的数集都能用区间表示.( )
(2)所有的区间都能用数集表示.( )
答案:(1)× (2)√
一
二
4.做一做:
用区间表示下列集合:
(1){x|2(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为 ;?
(3){x|x<-3或x≥10}用区间表示为 .?
解析:(1){x|2(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,-3)∪[10,+∞)
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
探究一函数的定义
例1下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是( )
解析:根据函数定义,对于非空数集A中每一个确定的x值,都有唯一确定的y值与之对应,观察并分析图象知只有选项D符合函数的定义.
答案:D
反思感悟
y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
变式训练
1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
探究二同一函数
例2
试判断以下各组函数是否表示同一函数:
(2)y=x0与y=1(x≠0);
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们相等,否则它们不相等.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
所以它们不表示同一函数.
(2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
反思感悟判断两个函数是否表示同一函数的两个步骤
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
变式训练2下列各组函数:
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号).?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;
③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;
④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.
答案:⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
探究三区间
例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为 .?
解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3或-3即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
反思感悟
(1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
变式训练
3(1)集合{x|0(2)若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为 .?
解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1∴a<3,
∴实数a的取值范围是(-∞,3).
答案:(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
探究四求函数的定义域
例4求下列函数的定义域:
分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;
(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;
(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
探究五求函数值(域)
(1)求f(2),g(3),g(a+1)的值;
(2)求f(g(2))的值;
(3)求f(x)的值域.
分析:(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2,3,计算得f(2)与g(3);(2)先求g(2)的值m,再求f(m)的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
故函数f(x)的值域为(0,1].
反思感悟
1.已知f(x)的表达式时,只需用数a替换表达式中的所有x即得f(a)的值.
2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.
3.用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
(5)求g(x)的值域.
故函数g(x)的值域为[0,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
用逆向思维解决函数定义域(或值域)问题
分析:把求函数定义域问题转化为方程ax2+4ax+3=0无实根问题.
解:依题意,要使函数有意义,必须ax2+4ax+3≠0.
即要使函数的定义域为R,必须方程ax2+4ax+3=0无实根.
当a=0时,方程ax2+4ax+3=0无实根;
当a≠0时,若方程ax2+4ax+3=0无实根,
则有判别式Δ<0,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
归纳总结定义域(或值域)的逆向问题常化为方程或不等式问题.
一般地,(1)ax2+bx+c>0对x∈R恒成立,有a=b=0,c>0或a>0时,Δ=b2-4ac<0.
(2)ax2+bx+c<0对x∈R恒成立,有a=b=0,c<0或a<0时,Δ=b2-4ac<0.
(3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c≠0或a≠0时,Δ<0.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
解析:原问题化为ax2-x+a≠0对x∈R恒成立问题.
(1)当a=0时,显然不合题意.
(2)当a≠0时,只需Δ<0即可,即(-1)2-4a2<0,解得
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
1.下列图形中不是函数图象的是( )
解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,其余B、C、D均符合函数定义.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
2.下列四组中的f(x)与g(x)为同一函数的是( )
D.f(x)=x,g(x)=|x|
解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同,故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
解析:要使函数有意义,则
解得f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
答案:D
4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 .(用区间表示)?
(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .(用区间表示)?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.
解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,
故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).(共25张PPT)
习题课——指数函数、对数函数及其性质的应用
1.指数式与对数式的取值范围
提示:(0,+∞)
(2)形如log2x,ln
x,
的对数式,自变量取值和代数式的取值范围分别是什么?
提示:①自变量的取值范围,即为对应函数的定义域(0,+∞);
②代数式的取值范围,即为对应函数的值域R.
2.已知a>0,a≠1,则a2>a3与loga2>loga3是否一定成立?
提示:不一定.当01时,a23.填空:指数函数与对数函数的单调性
指数函数f(x)=ax,对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1).
①当0②当a>1时,函数f(x)单调递增.
4.做一做:
(1)(2019天津,文5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,
则a,b,c的大小关系为( )
A.cB.aC.bD.c(3)方程22x+1-2x-3=0的解为 .?
解析:(1)a=log27>log24=2.
b=log381.
又c=0.30.2<1,故c(2)设t=x+1,因为0所以所求函数的值域为(-2,0).
(3)令2x=t>0,则方程22x+1-2x-3=0转化为2t2-t-3=0,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究一利用指数函数、对数函数性质解不等式
例1
解下列关于x的不等式:
(4)已知log0.72x分析:(1)先将
化为2-x-5,16化为24,再利用指数函数的单调性求解;(2)讨论a的取值范围,利用指数函数的单调性求解;(3)根据参数a的取值范围,利用对数函数的单调性求解;(4)根据对数函数的单调性以及定义域列出不等关系求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
∴-x-5≤4,∴x≥-9.
故原不等式的解集为{x|x≥-9}.
(2)当0∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.
当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,
∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,
当0当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(4)因为函数y=log0.7x在区间(0,+∞)上为减函数,
解得x>1.故x的取值范围是(1,+∞).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.解指数不等式问题时需注意的三点
(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的形式利用函数图象求解.
2.解简单的对数不等式,需要注意两点
(1)首先注意对数函数的定义域,即真数的取值范围的限制;
(2)要根据底数与1的大小关系,分析函数的单调性,进而将对数值大小关系转化为真数的大小关系;若底数中含有参数,需要对参数进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:原不等式可化为a2x+1>a-(x-5),即a2x+1>a5-x.
①当0探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究二指数函数性质的综合应用
(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;
(2)求函数f(x)的值域.
解:(1)f(x)在定义域上是增函数.
证明如下:任取x1,x2∈R,且x1∴f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.本题第(2)小题是指数型函数求值域.解答时一定要关注指数3x的取值范围是(0,+∞).
2.证明指数型函数的单调性与奇偶性时,一般是利用定义来解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)证明f(x)>0.
(1)解:因为要使函数有意义,需2x-1≠0,即x≠0,
所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以f(-x)=f(x),
又由(1)知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于y轴对称,故f(x)是偶函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
(3)证明:当x>0时,2x>1,所以2x-1>0.
又因为x3>0,所以f(x)>0.
当x<0时,0<2x<1,所以-1<2x-1<0.
又因为x3<0,所以f(x)>0.
所以当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,f(x)>0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
探究三对数函数性质的综合应用
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
分析:此函数是由y=logau,u=
复合而成的,求函数的性质应先求出定义域,再利用有关定义,去讨论其他性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解得x>1或x<-1.所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
反思感悟1.对于类似于f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性比较简便.
2.对数型复合函数的单调性应按照复合函数单调性“同增异减”的原则来判断:设y=logaf(x)(a>0,且a≠1),首先求满足f(x)>0的x的取值范围,即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单调递减,则
(1)当a>1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相同,即y=logaf(x)在I1上单调递增,在I2上单调递减;
(2)当0探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究本例已知条件不变,求f(x)>0时x的取值范围.
解得x<-1,即x的取值范围是(-∞,-1).
综上,当a>1时,x的取值范围是(1,+∞),
当0探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
因忽略对底数的讨论而致错
典例
已知函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差是1,求a的值.
错解因为函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值是loga4,最小值是loga2,
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:错解中误以为函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
正解:(1)当a>1时,函数y=logax在区间[2,4]上是增函数,
防范措施在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般分a>1与0探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为( )
解析:当a>1时,函数y=ax和y=logax在区间[1,2]上都是增函数,所以f(x)=ax+logax在区间[1,2]上是增函数;当0答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.(3,5]
B.[-3,5]
C.[-5,3)
D.[-5,-3]
解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,
即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3
D.y3>y1>y2
解析:y1=40.9=(22)0.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,
由于函数y=2x在R上是增函数,
又1.44<1.5<1.8,
则21.44<21.5<21.8,即y1>y3>y2.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
∵f(x)=2x在R上是增函数,∴2-x≥2,即x≤0.
答案:(-∞,0]
答案:2(共30张PPT)
1.1.2 集合间的基本关系
一
二
三
一、子集与真子集
1.观察下面几个例子,你能发现集合A,B间有什么关系吗?
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②A为新华中学高一(1)班全体女生组成的集合,B为该班全体学生组成的集合;
③A=N,B=R;
④A={x|x为中国人},B={x|x为亚洲人}.
一
二
三
(1)集合A中的元素都是集合B中的元素吗?
提示:是.
(2)集合B中的元素都是集合A中的元素吗?
提示:不全是.
(3)集合A,B的关系能不能用图直观形象地表示出来?
提示:能,如图.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
一
二
三
2.填表:子集与真子集
一
二
三
3.做一做:
(1)已知集合A={x|-1A.A>B
B.AC.B?A
D.A?B
(2)已知集合A={1,2,3},下列集合是集合A的真子集的是( )
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{-1,2,3}
D.{1,2,3,4}
答案:(1)C (2)B
4.判断正误:
任何集合都有子集和真子集.
( )
答案:×
一
二
三
二、集合相等
1.如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.
2.判断正误:
集合{(-1,1)}和集合{(1,-1)}是同一点集.( )
答案:×
3.做一做:
设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( )
A.0
B.1
C.2
D.-1
所以2x+y=2.
答案:C
一
二
三
三、空集
1.集合A={x|x2-x+8=0}中有多少个元素?
提示:0个.
2.空集是怎么定义的?空集用什么符号表示?空集有怎样的性质?
提示:一般地,我们把不含有任何元素的集合称为空集,记作:?.并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
一
二
三
3.判断正误:
(1)任何集合至少有两个子集.
( )
(2)若??A,则A≠?.
( )
答案:(1)× (2)√
4.做一做:
已知集合{x|x2-x+a=0}=?,则实数a的取值范围是 .?
解析:∵{x|x2-x+a=0}=?,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一写出给定集合的子集
例1
(1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为?;
含有一个元素的子集为{0},{1},{2};
含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};
含有三个元素的子集为{0,1,2}.
故集合{0,1,2}的所有子集为?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
(2)
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟
1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
答案:B
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究二韦恩图及其应用
例2下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系的维恩图是( )
解析:∵N={x|x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},
∴N?M,故选B.
答案:B
反思感悟
维恩图是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练
2设A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形},则下列关系正确的是( )
A.E?D?C?A
B.D?E?C?A
C.D?B?A
D.E?D?C?B?A
解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究三集合相等关系的应用
例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
解:∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
延伸探究若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.
又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,
∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.
此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},
∴x2=|x|,解得x=±1.
当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,
∴x=-1,即x=y=-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
探究四由集合间的关系求参数的范围
例4
已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B?A.
(2)由已知A?B.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
反思感悟
1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
2.涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
延伸探究(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3解:(1)因为A={x|-5(2)①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,
解得a≥
或a≤-3.
又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
因忽视空集是任何集合的子集而致错
典例
已知集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N?M,则m的取值集合为 .?
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述解法出错的原因是:丢掉了N=?这种情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
纠错心得错解中由于忽视了空集是任何集合的子集,从而导致漏解:即N=?.分类讨论时,要注意做到分类标准清晰,既不重复又不遗漏.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
变式训练若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B?A,求实数a的取值范围.
解:A={-3,2}.对于x2+x+a=0,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
1.集合{0,1}的子集有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:集合{0,1}的子集有?,{0},{1},{0,1},共4个.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
2.已知集合A={-1,0,1},B={0,1},设集合C={z|z=x+y,x∈A,y∈B},则集合C的真子集的个数为( )
A.7
B.8
C.15
D.16
解析:
集合C={-1,0,1,2},C中有4个元素.
集合C的真子集的个数为24-1=15.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
3.已知集合M?{-1,0,2},且M中含有两个元素,则符合条件的集合M有 个.?
解析:由于集合M?{-1,0,2},且M中含有两个元素,所以符合条件的M可以是{-1,0},{-1,2},{0,2}.
答案:3
4.已知集合A={x,2},集合B={3,y},若A=B,则x= ,y= .?
解析:∵A=B,∴A,B中元素相同,∴x=3,y=2.
答案:3 2
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
5.已知集合P={x|-2解:Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},P?Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是a≤-2.(共34张PPT)
2.2.2 对数函数及其性质
一
二
三
一、对数函数的定义
1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x>0)是否表示y是x的函数?为什么?
提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x>0)?x=2y,结合指数的运算可知,在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故y=log2x(x>0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+∞).
2.填空:
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
一
二
三
3.判断一个函数是不是对数函数的依据是什么?
提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足①函数解析式右边的系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③真数仅有自变量x这三个条件,才是对数函数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是对数函数.
4.做一做:
下列函数是对数函数的是( )
A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)
B.y=log2
(x>0)
C.y=logx3(x>0,且x≠1)
D.y=log6x(x>0)
答案:D
一
二
三
二、对数函数的图象和性质
1.在同一坐标系中,函数y=log2x与y=
的图象如图所示.你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗?
提示:
一
二
三
提示:关于x轴对称.
提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0一
二
三
4.填表:
对数函数的图象和性质
一
二
三
5.判断正误:
函数
与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
( )
答案:×
一
二
三
6.做一做:
(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是
( )
A.0.5
B.2
C.e
D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内
不是增函数的是( )
A.y=5x
B.y=lg
x+2
C.y=x2+1
D.y=
(3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点 .?
解析:(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,
∴0(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).
答案:(1)A (2)D (3)(3,-6)
一
二
三
三、反函数
1.函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间有什么关系?其图象之间是什么关系?
提示:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间是互换的,两者的图象关于直线y=x对称.
2.填空:
对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.
一
二
三
3.判断正误:
若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a).
( )
答案:√
4.(1)函数f(x)=
的反函数是 .?
(2)函数g(x)=log8x的反函数是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一对数函数的概念
例1
(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m= .
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数;然后利用指对互化解方程.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
答案:2
(2)解:①由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
解得a=16,故f(x)=log16x.
②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟
1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .?
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究二对数函数的图象
例2函数y=log2x,y=log5x,y=lg
x的图象如图所示.
(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出
(3)从(2)的图中你发现了什么?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)①对应函数y=lg
x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.
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探究一
探究二
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思想方法
反思感悟
对数函数图象的变化规律:
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.
当堂检测
探究一
探究二
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探究四
思想方法
变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg
x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
图①
图②
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
图③
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究三利用对数函数的性质比较大小
例3
比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;
(2)分别比较两个对数与0的大小;
(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟
求复合函数的单调区间的步骤
1.求出函数的定义域;
2.将复合函数分解为基本初等函数;
3.分别确定各个基本初等函数的单调性;
4.根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练3比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln
0.3,ln
2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln
x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln
0.32.
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1当0loga5.2.
故当a>1时,loga3.1当0loga5.2.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(3)(方法一)因为0>log0.23>log0.24,
(方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
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探究四求复合函数的单调区间
例4求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间.
分析:利用复合函数法确定其单调区间.
解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+1≥1>0.
当x≥1时,u=x2-2x+2是增函数,
又y=log0.2u是减函数,
所以y=log0.2(x2-2x+2)在[1,+∞)上是减函数.
同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-∞,1]上是增函数.
故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).
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变式训练
4求函数y=loga(a-ax)的单调区间.
解:(1)当a>1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数.
(2)当00,即ax所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函数.
综上所述,当a>1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数;当0探究一
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与对数函数有关的图象变换问题
答案:(-∞,-2)
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答案:③
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A.[-1,3)
B.(-1,3)
C.(-1,3]
D.[-1,3]
答案:C
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
答案:A
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A.yB.xC.1D.1答案:D
4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .?
解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,
∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
答案:(2,2)
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5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 .?
解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.
同理log26>log22=1,所以b>a>c.
答案:b>a>c
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6.已知函数f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增.
当0故所求a的取值范围为(0,2).