(共26张PPT)
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题
目标定位
重点难点
1.了解命题的定义，能判定一个句子是不是命题
2.能够判断命题的真假
重点：了解命题的定义，判断命题的真假
难点：判定一个句子是不是命题
1．命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以______________________叫作命题．其中判断为真的语句叫作________，判断为假的语句叫作_________．
2．“若p，则q”是命题的一种表示形式，其中命题中的p叫作____________，q叫作____________．命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式．
判断真假的陈述句
真命题
假命题
命题的条件
命题的结论
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”
( )
A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．不能判断真假
【答案】B
【解析】不等式两边同加上同一个数不等式仍然成立．
2．下列语句中不是命题的是( )
A．台湾是中国的领土
B．两军相遇勇者胜
C．学海无涯苦作舟
D．连接A，B两点
【答案】D
【解析】根据命题的定义判断．
3．下列命题中是假命题的是( )
A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．5>3
【答案】B
【解析】|a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．
4．命题“常数列是等比数列”的条件p为________，结论q为________，这个命题是______(填“真”或“假”)命题．
【答案】某数列为常数列 该数列为等比数列 假
【例1】 下列语句：
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
②一个数的算术平方根一定是非负数；
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请完成第九题；
⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其中是命题的是________．
命题的判断
【解题探究】根据命题的定义逐个判断．
【答案】②③⑤
1．判断语句是否是命题的策略：(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．
2．命题真假的判定方法：(1)真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)关于假命题的判定，可以通过举一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
解：(1)(2)(4)是能够判断真假的陈述句，所以是命题．(1)(4)是真命题．因为－1<0，但(－1)2>0，所以(2)是假命题．(3)是感叹句，所以不是命题．(5)是祈使句，所以不是命题．(6)中由于x是未知数，x可能大于15，也可能小于15，不能判断其真假，所以不是命题．
【例2】 将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①6是12和18的公约数；
②当a＞－1时，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
③已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2；
④对顶角相等；
⑤负数的立方仍是负数．
【解题探究】找准命题的条件和结论，是解决这类问题的关键．
命题的结构形式
把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论有多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．改写后的命题仅是原命题的另一种叙述形式，并不改变原命题的真假性．
判断命题易出错
【示例】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)当m＞－4时，方程mx2－6x－9＝0有两个不等实根．
(2)垂直同一个平面的两个平面必平行吗？
(3)一个正整数不是合数就是质数．
(4)大角所对的边大于小角所对的边．
(5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数．
(6)求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
【错解】(1)是真命题．
(2)不是命题．
(3)(4)(5)是假命题．
(6)是祈使句，不是命题．
【错因分析】只要举出一个反例就能判断命题为假命题．
1．并不是所有的语句都是命题，只有那些能够判断真假的陈述语句才是命题．
2．一个命题只能是真、假两种情形中的一种，即要么是真，要么是假，不能即是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断真假．
3．数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题．
1．下列语句：①白马不是马．②圆太美了！③y＝cos
x是偶函数吗？④请给我拿支笔．⑤π∈Z.其中是命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①⑤
【答案】D
【解析】①是陈述句，为假命题，所以①是命题；②是感叹句，不是命题；③是疑问句，不是命题；④是祈使句，不是命题；⑤是陈述句，为假命题，所以⑤是命题．故选D．
2．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sin
α＝sin
β，则α＝β；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin
30°＝sin
150°但30°≠150°，所以②错误；对于③，显然对．故正确的是①③，共2个，选C．
3．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】[－3,0]
4．把命题“当m>0时，方程x2＋x－m＝0有实根”改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
【解析】改写成“若p，则q”的形式为“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”．方程x2＋x－m＝0的判别式为Δ＝1＋4m.当m>0时，Δ>0，方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题为真命题.(共33张PPT)
2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
目标定位
重点难点
1.掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程
2.能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程
3.掌握点的轨迹的求法
重点：椭圆的定义及标准方程
难点：椭圆标准方程的推导过程及应用；点的轨迹的求法
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____________的点的轨迹叫作椭圆，这_________叫作椭圆的焦点，_______________叫作椭圆的焦距．
常数(大于|F1F2|)
两个定点
两焦点间的距离
2．椭圆的标准方程
其中a，b，c之间的关系是____________．
椭圆
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
__________________
__________________
焦 点
______________
_______________
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用椭圆定义，若点P的轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出点P的轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，点P的轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．故选B．
【答案】D
【解析】转化为椭圆的定义，即△ABF1的周长为4a＝20.
【答案】D
应用椭圆的定义解题
【解题探究】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长．
椭圆的定义是解决椭圆问题的出发点，它是用椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，可对一些距离进行有效的转化，因此在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点距离时，先想到利用定义进行求解，会有事半功倍之效．
求椭圆的标准方程
运用待定系数法求椭圆的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型，再定量，若焦点位置不确定时，考虑是否有两解．有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，避免讨论，应掌握这种设法上的技巧．
【错因分析】忘记考虑在椭圆中存在关系a2>b2>0.
1．求椭圆方程的方法：
(1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用待定系数法或定义法求得．
(2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方程．
2．重视数学思想、方法的运用，优化解题思维，简化解题过程．
(1)数形结合思想：根据平面几何知识，通过观察发现各量之间的关系，将位置关系转化为代数数量关系进而转化为坐标关系，从而建立关系式．
(2)转化思想：根据题目条件转化为椭圆定义或坐标关系，简化解题步骤．
【答案】B
【解析】根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×3＝6.故选B．
【答案】A(共33张PPT)
1.4 全称量词与存在量词
目标定位
重点难点
1.理解全称量词、存在量词，会用符号语言表示全称命题、特称命题
2.能判断全称命题、特称命题的真假，掌握这两类命题的判定方法
3.能够对含有一个量词的命题进行正确的否定
重点：全称量词和存在量词
难点：对全称命题和特称命题真假的判定；对命题的否定
1．全称量词和全称命题
全称量词
______、____、___________、对一切
符号表示
____
全称命题
含有_________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，
可简记为“_____________”
所有的
任给
对任意一个
?
全称量词
?x∈M，p(x)
2．存在量词和特称命题
存在量词
________、__________、________、________
符号表示
____
特称命题
含有________的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，
可用符号记为“_______________”
存在一个
至少有一个
有一个
对某个
?
存在量词
?x0∈M，p(x0)
3．含有一个量词的命题的否定
4.重要结论
(1)全称命题的否定是________；
(2)特称命题的否定是________．
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈M，p(x)
全称命题的否定?p
?x0∈M，?p(x0)
特称命题p
?x0∈M，p(x0)
特称命题的否定?p
?x∈M，?p(x)
特称命题
全称命题
1．“a⊥平面α，则a垂直于平面α内任一条直线”是( )
A．否命题
B．假命题
C．全称命题
D．特称命题
【答案】C
【解析】考查全称命题的定义和判断．
【答案】C
3．下列命题的否定为真命题的是( )
A．有理数是实数
B．末位是0的整数，可以被2整除
C．?x0∈R,2x0＋3＝0
D．?x∈R，x2－2x>0
【答案】D
【解析】一个命题和它的否定真假性相反．
【例1】 判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)有一个实数α，tan
α无意义；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
(4)圆内接四边形，其对角互补；
(5)指数函数都是单调函数．
全称命题与特称命题的辨析
【解题探究】利用全称命题与特称命题的判断方法．
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，要根据命题涉及的意义去判断．
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；在限定集合M中，使p(x)成立的x不存在，则这一特称命题就是假命题．
1．判断下列命题是全称命题还是特称命题．
(1)所有的素数都是奇数；
(2)有一个实数x，使x2＋x＋1＝0；
(3)?x∈R，x2＋1≥1；
(4)有些三角形不是等腰三角形；
(5)正方形都是矩形．
【答案】(1)(3)(5)是全称命题；(2)(4)是特称命题．
【例2】 设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题“?x∈S，p(x)”．
【解题探究】同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法．
【解析】依题意可得以下几种不同的表述．
对所有的四边形x，x的内角和为360°；
对一切四边形x，x的内角和为360°；
每一个四边形x的内角和为360°；
任一个四边形x的内角和为360°；
凡是四边形x，它的内角和为360°.
全称命题、特称命题的表述
全称命题与特称命题的常见表述方法如下：
命题
全称命题
特称命题
表述方法
①对所有的x∈M，p(x)成立
①存在x0∈M，使p(x0)成立
②对一切x∈M，p(x)成立
②至少有一个x0∈M，使p(x0)成立
③对每一个x∈M，p(x)成立
③有些x0∈M，使p(x0)成立
④任取一个x∈M，p(x)成立
④某个x0∈M，使p(x0)成立
⑤凡x∈M，都有p(x)成立
⑤有一个x0∈M，使p(x0)成立
2．设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“?x0∈R，q(x0)”．
【例3】 写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)所有末位数字是5的整数都能被5整除；
(2)每一个非负数的平方都是正数；
(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)有的四边形没有外接圆；
(5)某些梯形的对角线互相平分．
【解题探究】先转化为“标准的”特称或全称命题，再对关键词语进行否定．
全称命题、特称命题的否定
【解析】(1)存在一个末位数字是5的整数不能被5整除，假命题．(2)存在一个非负数，它的平方不是正数，真命题．(3)任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题．(4)所有四边形都有外接圆，假命题．(5)所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．
全称量词和特称量词的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，相应的存在量词变为全称量词，具有性质p变为具有性质?p.因此，写命题的否定时，一要注意确定量词的应用，二要明确量词的否定形式．写出否定形式后要注意辨别原命题与命题的否定是否真假相反，从而进一步验证命题正确与否．
【警示】若条件p是不等式时，应先将不等式转化为集合M的形式，再求?p，即集合M的补集．
1．判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
2．全(特)称命题真假的判断
(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可．
(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．
【答案】C
2．下列命题是全称命题并且是真命题的是( )
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个实数x0，使不等式x－3x0＋6<0成立
【答案】B
【解析】A是全称命题，但是假命题；B是全称命题且是真命题；C，D是特称命题．故选B.
3．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x＜3x；命题q：?x∈(0，π)，sin
x≤1，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∨(?q)
C．p∧(?q)
D．(?p)∧q
【答案】D
【解析】当x∈(－∞，0)时，2x＞3x恒成立，故命题p为假命题；当x∈(0，π)时，0＜sin
x≤1，故命题q为真命题．故命题p∧q，p∨(￢q)，p∧(￢q)均为假命题；(￢p)∧q为真命题．故选D．
4．已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“?x∈(0,1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．(共33张PPT)
章
末
归
纳
整
合
【知识构建】
专题一 定义的应用
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的标准方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．
【思想方法专题】
【方法点评】利用双曲线的定义寻找等量关系，从而求得双曲线方程，利用定义使问题简便易行．遇到椭圆或双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题，本题还要注意整体代换和余弦定理的运用．
变式训练1.过抛物线y2＝4x的焦点的一条直线交抛物线于A，B两点，正三角形ABC的顶点C在该抛物线的准线上，则△ABC的边长是( )
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，设AB的中点为M，过A，B，M分别作AA1，BB1，MN垂直准线x＝－1于A1，B1，N，如图．
专题二 圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线的最值与范围问题属一类问题，解法是统一的，主要有几何与代数法，其中包括数形结合法、函数法、变量代换法、不等式(组)法、三角换元法等，主要考查观察、分析、综合、构造、创新等方面的综合思维能力．
【方法点评】求已知两线段和或差的最值和范围可以通过三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解．
变式训练2.
如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【方法点评】运用设而不求法求直线斜率时一定要注意分x1≠x2和x1＝x2两种情况讨论，同时注意对结果检验，一般是用“Δ>0”．
【例4】设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．
【方法点评】对于求轨迹方程问题，要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型.求出轨迹方程时要注意检验，多余的点要扣除，遗漏的点要补上.
圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，注意在知识交汇处的命题．
【解读高考】
【答案】D
3．(2018年北京)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
【答案】(1,0) (共33张PPT)
2.1.2 求曲线的方程
目标定位
重点难点
1.初步掌握求曲线方程的一般步骤
2.认识坐标法是借助坐标系研究几何图形、数形结合的一种方法
重点：求曲线的方程
难点：寻求动点所满足的几何条件
1．借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫________．
用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作________．
2．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出表示___________；
(2)通过曲线的方程，研究曲线的________．
坐标法
解析几何
曲线的方程
性质
3．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝________；
(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明化简后的方程的解都是曲线上的点．
(x，y)
{M|p(M)}
坐标
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
【答案】B
2．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝0(－1≤x≤1)
B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1)
D．y＝0(|x|≥1)
【答案】C
【解析】由题意，可知|AB|＝2，则点M的轨迹方程为射线y＝0(x≤－1)．
3．△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
【答案】C
【解析】易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．又因△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.故选C.
4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________________．
【答案】4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
【例1】 如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a>0)，|CD|＝2b(b>0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．
直接法求曲线方程
直接法求曲线方程，关键是建立适当的直角坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式．
1.如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．
【例2】 已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．
【解题探究】建立适当的坐标系，利用曲线的定义写出动点轨迹方程．
用定义法求曲线的方程
如果所给几何条件正好符合圆及将要学到的曲线的定义，则可直接利用已知曲线的定义写出动点的轨迹方程．
2．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
【例3】 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
【解题探究】利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点坐标．
代入法(相关点法)求轨迹方程
代入法(相关点法)适用于求随着已知曲线上的点的运动而运动的点的轨迹问题，关键是求得主动点和从动点的坐标关系，用从动点的坐标表示主动点的坐标，再代入已知曲线方程，即可求出轨迹方程．
3．已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹方程是________________．
【错因分析】错解中没有注意到一个条件，三个数量积成公差小于零的等差数列，所以应加限制条件．
1．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．
2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．
3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹却遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
1．若点M到两坐标轴的距离的积为6，则点M的轨迹方程是( )
A．xy＝6 B．xy＝－6
C．xy＝±6
D．xy＝±6(x>0)
【答案】C
【解析】设M(x，y)，由题意，得|x|·|y|＝6，∴xy＝±6.故选C.
2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
【答案】A (共32张PPT)
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
目标定位
重点难点
1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题
2.能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假
重点：正确分析四种命题的相互关系
难点：正确写出原命题的否命题
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作___________；
互逆命题
如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作__________；如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫作______________．把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的___________、__________、__________.
互否命题
互为逆否命题
逆命题
否命题
逆否命题
2．四种命题结构
3．四种命题之间的关系
若q，则p
若?p，则?q
若?q，则?p
4．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____________．
相同的
没有关系
1．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是( )
A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数
B．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数
C．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数
D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数
【答案】C
【解析】否命题是把原命题的条件和结论都否定，注意“都是”的否定为“不都是”．
2．与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题是( )
A．若m∈M，则n?M
B．若n?M，则m∈M
C．若m?M，则n∈M
D．若n∈M，则m?M
【答案】D
【解析】写出等价命题就是写出原命题的逆否命题．
3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中( )
A．真命题的个数一定是奇数
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D．上述判断都不正确
【答案】B
【解析】因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.
4．若a≠0，则ab≠0的逆命题是__________________．
【答案】若ab≠0，则a≠0
四种命题间的转换及真假性的判断
【解题探究】确定命题的条件与结论，利用相关知识判断．
【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线同垂直于平面α.假命题．
否命题：如果两条直线不同垂直于平面α，那么这两条直线不平行．假命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不同垂直于平面α.真命题．
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
2．四种命题真假的判断关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a≤1，则方程x2－2x＋a＝0有实根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧；
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(4)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0.
【解析】(1)逆命题：若方程x2－2x＋a＝0有实根，则a≤1.真命题．
否命题：若a>1，则方程x2－2x＋a＝0无实根．真命题．
逆否命题：若方程x2－2x＋a＝0无实根，则a>1.真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．
逆否命题：若一条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
(4)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0.真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0.真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0.假命题．
【例2】 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，求证：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【解题探究】证明原命题等价于证明逆否命题．
【证明】(方法一)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)a＋b<0，即a<－b，b<－a.
等价命题的应用
∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)∴原命题为真命题．
(方法二)假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.
原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题来达到证明原命题的目的．此证法与反证法不同，反证法是通过否定结论的反面而达到目的，而逆否命题证法是证明原命题的等价命题成立．
2．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
关键词的否定易出错
【示例】x，y∈R，写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
【错解】逆命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题为：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．逆否命题为：若x，y全不为零，则x2＋y2≠0，是真命题．
【错因分析】错因是对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．
【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，是真命题．
【警示】在对命题的条件和结论进行否定时，不能一概在关键词前加“不”，应结合命题研究的对象进行分析．一些常见的词语与它的否定词对照表如下：
原词
语
等于
大于
小于
是
都是
至多n个
至少n个
能
否定
词语
不等
于
不大
于
不小
于
不是
不都
是
至少
n＋1个
至多
n－1个
不能
1．写出一个命题的其他三种形式，关键是正确地将原命题改写成“若p，则q”的形式及正确地对原命题的条件和结论进行否定．对存在大前提的命题注意在写其他三种命题时不要改变，另外在一个命题及其他三种形式中原命题是人为指定的，要注意它们之间的关系．
2．在判断命题的真假时，要注意互为逆否的两个命题的等价性．
1．命题“若a
＞
b，则a＋c
＞
b＋c”的否命题是( )
A．若a
≤
b，则a＋c
≤
b＋c
B．若a＋c
≤
b＋c，则a
≤
b
C．若a＋c
＞
b＋c，则a
＞
b
D．若a
＞
b，则a＋c
≤
b＋c
【答案】A
【解析】命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a
≤
b，则a
＋
c
≤
b
＋
c”．故选A．
2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
【答案】B
【解析】即写命题“若一个整数能被6整除，则这个整数一定能被3整除”的逆否命题．
3．(2019年广西玉林期末)若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
【答案】A
【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若?A，则?B”，r为“若?B，则?A”．故q与r为互逆命题．
4．给出命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
【答案】3
【解析】原命题及逆命题都为真命题，故否命题、逆否命题也为真命题．(共36张PPT)
3.1.3 空间向量的数量积运算
目标定位
重点难点
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法
2.掌握两个向量的数量积概念、性质、计算方法及运算规律
重点：两个向量的数量积运算
难点：两个向量的数量积及简单应用
1．空间向量的夹角
互相垂直
2．空间向量的数量积
λ(a·b)
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|·|b|
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【答案】B
【解析】对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．
4．已知空间四边形OABC，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为________．
【例1】 已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝b·c＝c·a＝0，求|a＋b＋c|的值．
【解题探究】利用完全平方公式运算．
求向量的模
由于|a|2＝a2，求向量的模时通常将其平方后利用数量积运算来求．
【答案】A
【解析】设(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝x，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝242，两式相加，得2(a2＋b2)＝x＋242，∴x＝484.故|a－b|＝22.
【例2】 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
【解题探究】利用向量数量积公式的逆用进行计算．
求两直线所成的角
2．如图，已知点O是正三角形ABC所在平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E，F分别是AB，OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．
【例3】 如图，已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC.
求证：OA⊥BC.
利用空间向量的数量积解决垂直问题
证明两直线垂直，可转化为证明两直线的方向向量垂直．由a⊥b?
a·b＝0，转化为向量的数量积的运算．
3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连接AO.
求证：AO⊥CD1.
找向量的夹角易出错
【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝a，求AC长．
1．利用向量的模求线段的长度，可避免画图，很方便．
2．利用向量的数量积求夹角是常见问题，要注意不同角的取值范围．
3．重视数学思想方法的运用，可优化解题思维，简化解题过程．
(1)方程思想：在解题过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，使得在已知向量及未知向量之间构成函数方程关系，整体处理，简化解题运算量．
(2)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关系，将位置关系用向量表达．
(3)化归转化思想：注意空间向平面的转化．
【答案】B
【解析】若l⊥平面α，则c
⊥
a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c
⊥
a，c
⊥
b，并不能保证l⊥平面α.(共5张PPT)
本章的主要内容有两部分，一是空间向量的线性运算、数量积运算及其坐标表示，二是利用空间向量判断空间中的位置关系，求空间角和空间距离等．
1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广．
2．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
章导学
第三量空问量与立体几何
内容概述
学法指导(共41张PPT)
2.2.3 椭圆习题课
目标定位
重点难点
1.提升对椭圆定义、标准方程的理解，进一步巩固椭圆的简单几何性质
2.掌握如何解决直线与椭圆位置关系的相关问题
重点：椭圆的几何性质
难点：直线与椭圆的关系
【答案】D
【答案】C
【解题探究】利用根与系数的关系法或点差法求解．
直线与椭圆的位置关系
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
与椭圆有关的综合问题
【解题探究】(1)设出点的坐标，联立方程组求解；(2)配方法求最值．
解决与椭圆有关的最值问题，一般有三种思路：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围．
【错因分析】此解忽视了直线与椭圆有两个不同交点的条件：Δ>0，而m＝2时，Δ＝0，不符合题意．
【警示】研究直线与椭圆的位置关系，通常联立直线与椭圆的方程消元，在求解过程中容易忽略对根的判别式的判断．
研究直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般转化为一元二次方程问题，利用判别式Δ和根与系数的关系来处理，我们习惯上称为“设而不求”，对于中点弦，通常采用“点差法”求解．
【答案】B (共5张PPT)
本章主要内容有命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．
在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题：
1．这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件．
2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，要求通过数学实例加以了解，正确表述相关的数学内容．
3.对于量词，重在理解它们的含义，不追求它们的形式化定义．
4.在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释.
章导学
第一壹常用遇罪用语
内容概述
学法指导(共26张PPT)
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
目标定位
重点难点
1.了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系
2.掌握曲线的方程和方程的曲线的概念
重点：曲线和方程的概念
难点：曲线与方程的关系
1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作___________，这条曲线叫作____________．
2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上?____________；②点P不在曲线C上?____________.
曲线的方程
方程的曲线
f(x0，y0)＝0
f(x0，y0)≠0
1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )
A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C
D．以上说法都正确
【答案】C
【解析】因为曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点
B．四个点
C．两条直线
D．四条直线
【答案】B
【答案】C
【解析】对A，x2＋y2＝1表示一个圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg
x＋lg
y＝0，知x>0，y>0.
4．曲线x2－4x－2y＋1＝0通过点A(a,3)，则实数a的值为______．
【答案】－1或5
【解析】将A(a,3)代入x2－4x－2y＋1＝0，得a2－4a－6＋1＝0，∴a＝－1或5.
【例1】 分析下列曲线上的点与方程的关系．
(1)求第一、三象限两轴夹角角平分线上点的坐标满足的关系；
(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系．
【解题探究】利用点的坐标与方程的关系求解．
曲线与方程的概念
【解析】(1)第一、三象限两轴夹角角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.可以看到：
①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；
②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．
(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y＝x2.
(3)如图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是l的方程．
判断方程是不是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．
【例2】 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求实数k的取值范围．
【解题探究】含参数方程问题转化成求最值．
曲线和方程关系的应用
当方程中的参数容易分离时，应首先分离参数，从而将问题转化成函数的最值问题解决．
【警示】曲线与方程的定义中的第(1)条“曲线上的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个方程而毫无例外(纯粹性)；定义中的第(2)条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．
1．曲线和方程的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝4，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
【答案】A
【解析】把M(2,1)的坐标分别代入直线l和曲线C的方程，得2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2≠4，∴点M(2,1)在直线l上，但不在曲线C上．故选A.
【答案】D
【解析】四个选项中只有D中的x和y的取值范围相同．故选D．
3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于x－y＝0对称
【答案】C
【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
4．方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为______．
【答案】2(共31张PPT)
3.1.2 空间向量的数乘运算
目标定位
重点难点
1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律
2.理解直线的方向向量，会用向量表示空间直线与平面
3.理解共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线与四点共面问题
重点：向量的数乘运算、共线及共面向量定理
难点：空间直线、平面的向量表示式及其应用
1．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向________
λa的模是a的模的____倍
λ＝0
λa＝____，其方向是任意的
λ<0
方向________
λa
向量
相同
0
相反
|λ|
2．共线向量与共面向量
平行或重合
共线向量
同一个平面
方向向量
2．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
【答案】C
【解析】A，若b为零向量，则a与c不一定共线；B，只需向量a，b，c所在的直线能够平移到同一平面，则a，b，c共面；D，还可能b为零向量．A，B，D均不正确．故选C.
共线问题
【解题探究】利用共线向量定理说明与的关系做判断．
【答案】A
判断两个向量a，b共线，就是寻求一个常数t，使a＝tb.在解题时要充分运用空间向量的运算法则，可结合图形求解．
共面问题
忽略零向量致误
【示例】对空间任意两个向量a，b，a∥b是a＝λb
(λ∈R)的________条件．
【错解】充要
【错因分析】忽视了b≠0这一条件．若a∥b且b＝0，a≠0，则推不出a＝λb；若a＝λb，则a∥b.所以a∥b是a＝λb的必要不充分条件．
【正解】必要不充分
【警示】零向量与任意非零向量均共线，因此在求解共线问题时，不能忽略对零向量的考察．
1．应用向量的加减法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，应熟练掌握．
2．利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练地进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．
【答案】B
【答案】B
【解析】根据共面向量及共线向量定理，知①③正确．当a，b共线或M，A，B共线时，②④错误．故选B.(共25张PPT)
章
末
归
纳
整
合
【知识构建】
专题一 命题及其关系
原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：同真同假．
一般来说，命题p?q的四种形式之间有如下关系：
(1)互为逆否的两个命题是等价的(同真同假)．
因此，证明原命题也可以证明它的逆否命题．
(2)互逆或互否的两个命题是不等价的．
【思想方法专题】
【例1】判断下列命题的真假．
(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；
(2)“若0(3)“a，b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0”的逆命题和否命题．
解：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”是假命题，故其逆否命题为假．逆命题为“若x∈B，则x∈A∪B”，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
变式训练1.已知命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若x＞y，则ax＞by.写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别证明它们的真假．
【解析】逆命题：当a＞b＞0，x＞0，y＞0时，若ax＞by，则x＞y，此命题为假．取a＝3，b＝1，x＝2，y＝4，则满足a＞b＞0，x＞0，y＞0，ax＞by，但x＜y.
专题二 充分条件与必要条件
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，因此是高考的热点，与函数、不等式等重要知识的联系密切，是历年命题者考虑的重要题型．
判断充分条件和必要条件的方法有：
①定义法；②等价法；③集合法；④传递性法．
【例2】(1)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B．p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
【解析】B选项中，当b＝1，a>1时，q推不出p成立，因而p为q的充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，不能够推出p成立，因而p为q的充分不必要条件．D选项中，p，q可以互推，因而p为q的充要条件．故选A.
【答案】A
(2)不等式(2x＋5)2≥49成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≤－6
B．x≤－6或x≥1
C．－6≤x≤1
D．x<0或x>0
变式训练2.关于x的方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0
B．a>0
C．a<－1
D．a>1
【答案】C
专题三 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题真假的判定及含一个量词的命题的否定是高考的另一个重点，多以客观题为主．
全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只须举出一个反例即可．
特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可．否则，这一特称命题为假．
从近几年高考信息统计可以看出，命题是高考的考查热点之一，考查时题型以选择题、填空题为主，重点考查充分条件与必要条件、全称命题与特称命题．
【解读高考】
1．(2016年浙江)命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N
，使得nB．?x∈R，?n∈N
，使得nC．?x∈R，?n∈N
，使得nD．?x∈R，?n∈N
，使得n【答案】D
【解析】“?”的否定是“?”，“?”的否定是“?”，“n≥x2”的否定是“n，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N
，使得n【答案】A
3．(2018年北京)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B．
4．(2017年山东)已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧(￢q)
C．(￢p)∧q
D．(￢p)∧(￢q)
【答案】B
【解析】对于命题p，当x＝0时，x2－x＋1≥0成立，故p为真命题．对于命题q，当a＝1，b＝－2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故q为假命题．故命题p∧q，(￢p)∧q，(￢p)∧(￢q)均为假命题；命题p∧(￢q)为真命题，故选B．(共32张PPT)
1.2 充分条件与必要条件
目标定位
重点难点
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义
2.会判断所给条件是否是充分条件、必要条件和充要条件
重点：理解充分条件、必要条件的意义
难点：充分条件、必要条件与充要条件的判定
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p____q
p____q
条件关系
p是q的______条件
q是p的______条件
p不是q的______条件
q不是p的______条件
?
充分
必要
充分
必要
2．充要条件的概念
(1)推出关系：p?q且q?p，记作________；
(2)简称：p是q的充分必要条件，简称________；
(3)意义：p?q，则p是q的________条件或q是p的________条件，即p与q____________.
3．充要条件的证明
证明充要条件应从两个方面证明，一是________，一是________．
p?q
充要条件
充要
充要
互为充要条件
充分性
必要性
1．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】|a＋b|＝|a－b|?|a＋b|2＝|a－b|2?a·b＝0.而由|a|＝|b|推不出a·b＝0，且由a·b＝0也推不出|a|＝|b|.故选D．
2．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设x＞0，y∈R，当x＝1，y＝－2时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由“x＞y”推不出“x＞|y|”．而“x＞|y|”?“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．故选C．
【答案】B
【解析】证明甲不是乙的充分条件，只须举反例即可，如x＝1，y＝2，满足甲但推不出乙.
4．条件p：1－x<0，条件q：x>a.若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，1)
【解析】p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但q?/
p，即p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
【例1】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【解题探究】条件关系的判断，利用定义法、集合法、等价命题法．
充分、必要条件的判断方法．
(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．
(2)从集合的角度判断：若A?B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件．
(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠6，q：x≠2或y≠4；
(3)在△ABC中，p：sin
A>sin
B，q：tan
A>tan
B；
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
【例2】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解题探究】利用条件关系的性质解决问题．
充分、必要条件的应用
充分条件与必要条件的应用技巧．
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例3】 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
【解题探究】充要条件的证明要从充分性和必要性两方面入手．
【证明】(充分性)因为A＝90°，所以a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，即x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
充要条件的证明
要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行证明．要证充分性，即证“若p，则q”为真；要证必要性，即证“若q，则p”为真．在证明的过程中，若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
3．求证：“a>1”是“不等式ax2＋2x＋1>0恒成立”的充要条件．
寻找充要条件出错
【示例】已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0的两根均大于1，求实数m的取值范围．
【警示】熟练掌握相关的数学知识和逻辑推理方法是正确求解充分条件、必要条件的基础和关键．
1．四种方法判定充分、必要条件，在不易判断p是q的充分条件(即p?q)时，可以转向判断?q??p；证明p是q的必要条件(即q?p)，可以证明?p??q.
2．求问题的充要条件(等价转化)．
3．证明p是q的充要条件，要证明充分性、必要性两个方面．
1．(2017年天津)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由2－x≥0，可得x≤2.由|x－1|≤1可得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2.因为{x|0≤x≤2}?{x|x≤2}，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．故选B．
2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin
A≤sin
B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在△ABC中，由正弦定理可知a≤b?sin
A≤sin
B．故选C．
【答案】C
【答案】(－1,1] (共52张PPT)
章
末
归
纳
整
合
【知识构建】
专题一 向量法
用向量法来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体几何教材中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使问题变得简单化，这是用向量法解立体几何题的独到之处．
【思想方法专题】
用向量法解决的问题有：
(1)利用两个向量共线的条件和共面向量定理，可以证明有关平行、共面的问题；
(2)利用两个向量垂直的充要条件可以证明和计算与垂直有关的问题；
(3)利用两个非零向量的夹角公式可以求解有关空间角的问题；
(4)利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关空间距离的问题．
专题二 参数法
在解决立体几何问题时，判断线面、面面的位置关系，求线面角、二面角及空间距离时经常需要求平面的法向量，当平面的法向量不明显时，需要设出平面的法向量n＝(x，y，z)，然后利用向量n与平面的垂直关系列出方程组求出向量n.
【方法点评】本题若用纯立体几何的方法求解，则会遇到繁琐的几何证明以及作图，故创造建系的环境转化成空间向量，以坐标计算来代替几何证明和作图．要用向量法求点A到平面VBC的距离，须要先用设参数的方法求出平面VBC的一个法向量，同样，要求二面角AVBC余弦值的大小，也须先用参数法求出平面VAB的一个法向量．注意一个平面的法向量有无数个，我们只要取其中的一个即可．
变式训练2如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.
(1)求证：EF∥B1C；
(2)求二面角EA1DB1的余弦值．
(1)【证明】∵A1B1∥CD且A1B1＝CD，
∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴B1C∥A1D.
又B1C?平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD.
∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，∴EF∥B1C.
专题三 求二面角的大小
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
【例3】 如图，在三棱锥PABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求二面角BAPC的正弦值．
(1)证明：∵AC＝BC，AP＝BP，CP＝CP，
∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.
∵AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC.
∵AB?平面ABC，∴PC⊥AB.
【方法点评】求二面角的大小，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角，但应注意，两向量的始点应在二面角的棱上．
专题四 用空间向量证明平行与垂直问题
(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法：
①利用线∥线?线∥面．
②向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题．
③设n为平面α的法向量，a为直线l的方向向量，若l?α，要证明l∥α，只须证明a·n＝0.
(2)证明线面垂直的常用方法有：
①设a为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，则a＝λn(λ为非零实数)?a与n共线?l⊥α.
②l是直线a，b所在平面α外的直线，a，b相交，l，a，b分别为直线l，a，b的方向向量，则有l·a＝0且l·b＝0?l⊥a且l⊥b?l⊥α.
【例4】 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，△ADC和△ABC均为等腰直角三角形，PA＝AD＝DC＝a，点E为侧棱PB上一点且BE＝2EP.
求证：(1)平面PCD⊥平面PAD；
(2)直线PD∥平面EAC.
【方法点评】在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上.
空间向量与立体几何是高考考查的重要知识点之一，每年都有一道解答题．可以借助空间向量判断空间中的位置关系、求空间角和空间距离等．
【解读高考】
【答案】C
2．(2018年新课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)求证：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
3．(2018年北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角BCDC1的余弦值；
(3)求证：直线FG与平面BCD相交．
(1)证明：∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CC1⊥AC．
在平行四边形A1ACC1中，E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1.∴AC⊥EF.
在△ABC中，AB＝BC，E是AC的中点，∴AC⊥BE.
又∵AC⊥EF，BE，EF?平面BEF，BE∩EF＝E，∴AC⊥平面BEF.(共32张PPT)
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
目标定位
重点难点
1.了解空间向量的概念，掌握其表示方法
2.掌握向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义
重点：空间向量的加减运算及运算律
难点：空间向量的加减运算的应用
1．空间向量的概念
名称
定 义
空间向量
在空间中，具有________和________的量叫作空间向量，其大小叫作向量的________或____
单位向量
长度或模为____的向量
零向量
________的向量
相等向量
方向________且模________的向量
相反向量
________相反且________相等的向量
大小
方向
长度
模
1
长度为0
相同
相等
方向
模
a＋b
a－b
b＋a
a＋(b＋c)
2．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( )
A．a0＝b0
B．a0＝b0或a0＝－b0
C．a0＝1
D．|a0|＝|b0|
【答案】D
【解析】单位向量的模都为1.
空间向量的概念
其中不正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题探究】结合空间向量的相关概念进行判断．
【答案】C
【解析】当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①错；
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
【解析】(1)(2)是真命题；(3)空间向量可以用有向线段来表示，但不能说空间向量就是有向线段，如力F是向量，但不能说力F是有向线段，故(3)是假命题；(4)不相等的两个空间向量可能模相等但方向不同，故(4)是假命题．
空间向量的线性运算
【解题探究】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则进行运算．
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
【错因分析】对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，差向量的方向没有确定准确．
【警示】在进行向量的加减运算时，要牢记向量的运算法则，同起点的两个向量相减，所得结果是由减向量的终点．指向被减向量终点的向量．也可以利用相反向量，把向量减法转化为向量加法．
1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形．
2．向量等式的证明，可以由一端证到另一端，也可以两端同时证明至一“中间”向量表达式，从而达到证明等式的目的．
1．下列命题是真命题的是( )
A．方向相反的两个空间向量是相反向量
B．若空间向量a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b
C．不相等的两个空间向量的模必不相等
D．对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
【答案】D
【解析】对于选项A，长度相等且方向相反的两个空间向量是相反向量，故选项A错；对于选项B，空间向量是不能比较大小的，故选项B错；对于选项C，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故选项C错；选项D正确．
【答案】A (共33张PPT)
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
目标定位
重点难点
1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程
2.能根据条件确定抛物线的标准方程
重点：抛物线的方程
难点：抛物线的方程
1．抛物线的定义
平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)__________的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的_______．
距离相等
焦点
准线
2．抛物线标准方程的几种形式
1．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
【答案】D
【解析】圆心与A点的距离等于圆心到直线l的距离．
【答案】D
3．焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为( )
A．x2＝16y或y2＝12x
B．x2＝12y或y2＝16x
C．x2＝－12y或y2＝16x
D．x2＝16y或y2＝－12x
【答案】C
【解析】直线3x－4y－12＝0与坐标轴交于点(4,0)，(0，－3)，若焦点为(4,0)，则抛物线的方程为y2＝16x；若焦点为(0，－3)，则抛物线的方程为x2＝－12y.故选C.
4．抛物线y2＝2x的焦点坐标是______，准线方程是__________．
【例1】 动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．抛物线
【解题探究】根据抛物线的定义来解答．
抛物线的定义
【答案】D
【解析】已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线．故选D.
抛物线定义的考查有两个层次：一是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．二是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，涉及距离、最值、弦长等．利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决过抛物线焦点的弦的有关问题的有效途径．
【答案】A
【例2】 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和实数m的值；
(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程．
求抛物线的标准方程、焦点、准线方程
【解题探究】点M的横坐标小于0且焦点在x轴上，故可设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，再利用M与焦点距离关系列方程组并求解．
焦点位置不同，抛物线标准方程的形式不同，对应的开口方向、焦点坐标、准线方程也不同．
2．已知抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．
【例3】 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求取最小值时P点坐标．
抛物线的应用
与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，本题运用抛物线的定义“化折(线)为直”，充分体现了数学中的转化思想．
【警示】应用分类讨论的思想解题时，应注意验证分类的结果是否都符合题意．
1．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只须求出p的值即可，常用待定系数法．用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)．
2．求最值问题：数形结合，利用抛物线的定义转化为几何知识求解．
【答案】C
2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－4，则p的值为(
)
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】D
3．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上且恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－2)
【答案】B
【解析】直线x＋2＝0为抛物线的准线，∴动圆过抛物线的焦点(2,0)．故选B.(共34张PPT)
1.3 简单的逻辑联结词
目标定位
重点难点
1.了解逻辑联结词“且”“或”
“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假
2.通过实例体会逻辑联结词“且”“或”“非”在数学中的意义
3.能够进行文字语言与符号语言的相互转化
重点：了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假
难点：“或”的含意的理解，对命题的否定
1．用逻辑联结词构成新命题
(1)用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作“________”．
(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“____”，读作“____”或“________”．
p∧q
p且q
p或q
?p
非p
p的否定
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
?p
真
真
____
____
____
真
假
____
____
____
假
真
____
____
____
假
假
____
____
____
真
真
假
真
假
假
真
假
真
假
假
真
1．以下判断中正确的是( )
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
【答案】B
【解析】当p，q中一个为假时，p∧q为假．
2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】C
【解析】若x>y，则－x<－y成立，即命题p正确；若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q不正确，则?p是假命题，?q是真命题，故p∨q与p∧(?q)是真命题．故选C．
3．设命题p：若y＝
f(x)的定义域为R且函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，则函数y＝
f(x)是奇函数，命题q：等腰三角形都是锐角三角形，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．(?p)∨q
C．p∧(?q)
D．(?p)∧(?q)
【答案】C
【解析】若y＝f(x)的定义域为R且函数y＝f(x－2)图象关于点(2,0)对称?函数y＝f(x)图象关于点(0,0)对称，则函数y＝f(x)是奇函数，故命题p为真命题；等腰三角形也可能是直角三角形、钝角三角形，故命题q是假命题．所以p∧(￢q)为真命题，故选C．
【答案】②④
【解析】p为真，q为假，故“p或q”“?q”为真命题．
【例1】 指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；
(3)矩形不是平行四边形．
【解题探究】利用含逻辑联结词的词语确定命题的形式．
用逻辑联结词联结新命题
【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．
(3)这个命题是“?p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．
用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义．通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词，如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．
1．用逻辑联结词“或”“且”“非”改写下列命题．
(1)96既是48的倍数，又是16的倍数；
(2)方程x2－3＝0没有有理根；
(3)2≥3.
【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，即96是48的倍数且是16的倍数．
(2)这个命题是“?p”的形式，即方程x2－3＝0没有有理根．
(3)这个命题是“p∨q”的形式，即2＞3或2＝3.
【例2】 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”
“p∨q”“?p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos
x是周期函数，
q：函数y＝cos
x是奇函数．
【解题探究】利用含逻辑联结词命题用真值表进行判断．
判断含逻辑联结词的命题的真假
【解析】(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，?p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，?p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，?p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，?p为假命题．
1．命题结构的两种类型及判断方法：(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
2．判断命题真假的三个步骤：(1)确定命题的构成形式．(2)判断命题p，q的真假．(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“?p”形式命题的真假．
2．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“?p”形式，并判断真假．
(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数，q：2n－1(n∈Z)是偶数；
(2)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．
【解析】(1)“p∨q”：2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)
“p∧q”：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)
“?p”：2n－1(n∈Z)不是奇数．(假)
(2)“p∨q”：集合中的元素是确定的或无序的；(真)
“p∧q”：集合中的元素是确定的且无序的；(真)
“?p”：集合中的元素是不确定的．(假)
【例3】 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
【解题探究】利用命题的真假解决含参数问题．
利用命题的真假求参数范围
利用命题的真假求参数范围，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用?p与p，?q与q不能同真同假的特点，先求?p，?q中参数的范围．
3．已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
【警示】在对命题的结论进行否定时，不能一概在表示判断的词语前面加“不”，应结合命题的特点，观察是否存在省略或隐含的关键词，若存在，将命题改写成容易判断的形式，再对命题进行否定．
1．判断一个复合命题真假的步骤：
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断“p∧q”“p∨q”“?p”命题的真假．
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断：
当p，q都为真，p∧q才为真；
当p，q有一个为真，p∨q即为真；
?p与p的真假性相反且一定有一个为真．
1．“ab≠0”是指( )
A．a≠0且b≠0
B．a≠0或b≠0
C．a，b中至少有一个为0
D．a，b不都为0
【答案】A
【解析】∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.故选A.
2．若命题p：0是偶数，q：2是3的约数，则下列命题为真的是( )
A．p∧q
B．p∨q
C．?p
D．(?p)∧(?q)
【答案】B
【解析】∵p真，q假，∴p∨q为真．故选B.
3．若命题“p∨q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真且q真
B．p假且q假
C．p真且q假
D．p假且q真
【答案】B
【解析】∵命题“p∨q”的否定是真命题，
∴(?p)∧(?q)为真命题，即?p为真，?q为真．∴p假，q假．故选B.
4．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m<0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交．若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．
【答案】(－∞，－2)∪(－2,1)
【解析】当p是真命题时，有1－2＋m<0，即m<1；当q是真命题时，有2＋m≠0，即m≠－2.又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题，所以m<1且m≠－2，所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．(共6张PPT)
本章的主要内容是椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系．
1．求曲线方程是解析几何的常见题型，其方法也较多，如直接法、定义法、代入法、待定系数法等，不论哪种方法，虽然出发角度不同，但解决的问题是统一的，最终得到的答案是一致的.
2．椭圆、双曲线、抛物线是满足某些条件的点的轨迹，由条件可求标准方程，通过标准方程可研究几何性质．
3．求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程主要是求a，b，c或p，基本方法是定义法和待定系数法．
4．掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，相应的图形，相应的几何性质及处理圆锥曲线问题的通性通法，坚持数形结合的思想的应用．
5．直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线方程的公共解的问题，体现了方程的思想．对于直线与抛物线、双曲线要注意，它们有唯一公共点并不能说明直线与抛物线、双曲线相切，数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法．
6．学习时应重视：(1)定义在解题中的作用；(2)平面几何知识在解题中的简化功能；(3)根与系数关系在解题中“设而不求”的意义；(4)曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.
章导学
第二量圆锥曲线与方醒
内容概述
学法指导(共35张PPT)
3.2 立体几何中的向量方法(一)
目标定位
重点难点
1.理解直线的方向向量、平面的法向量，会求平面的法向量
2.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决平行问题
3.能利用直线的方向向量和平面的法向量解决垂直问题
重点：用向量方法解决平行与垂直问题
难点：用向量方法解决立体几何问题
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线___________向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的__________a，则a叫作平面α的法向量．
平行的非零
方向向量
3．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?_______?
______________________________.
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，若l?α，则l∥α?a⊥u?
_________
?
____________________.
a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R
a·u＝0
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?________?
______________________________.
4．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?________?________?
____________________.
u＝kv
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?u∥v?________.
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?______?________?
___________________.
u＝kv
u⊥v
u·v＝0
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
1．若点A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A．(2,2,6)
B．(－1,1,3)
C．(3,1,1)
D．(－3,0,1)
【答案】A .
2．设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)，(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是( )
A．(－1，－2,5)
B．(－1,1，－1)
C．(1,1,1)
D．(1，－1，－1)
【答案】B
【解析】∵(－1,1，－1)·(1,2,1)＝－1＋2－1＝0，(－1，1，－1)·(－1,1,2)＝1＋1－2＝0，∴向量(－1,1，－1)是平面α的法向量．故选B.
3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．无法判断
【答案】A
【解析】∵a＝(1,0，－2)＝－(－1,0,2)＝－b，∴a∥b.∴α∥β.
【答案】B
【解析】∵α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，
∴(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.
【例1】 如下图，在长方体OAEB
O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上且AP＝2PA1，点S在棱BB1上且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS.
利用空间向量解决平行问题
【解题探究】建立适当的直角坐标系，证明线线平行转化为证明方向向量共线．
证明两直线平行，即证两直线的方向向量共线且不共点，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标.
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心，求证：平面EFG∥平面HMN.
利用空间向量解决垂直问题
【解题探究】(1)证明两直线垂直，即证两直线方向向量垂直；(2)利用向量数量积求夹角．
【解析】以D为原点，线段DA，DC，DD′
所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
证明两直线垂直，即证两直线的方向向量垂直，即证两个向量的数量积为0，解题的关键是建立适当的坐标系，求出相应点的坐标．
2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB.
【证明】以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
设E(a,0,0)，其中a>0,
则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0，0,1)，
1．直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空间问题的向量解法的媒介．
2．用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理．
3．用向量方法证明平行、垂直问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题．
1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，则(
)
A．α，β相交但不垂直
B．α⊥β
C．α∥β
D．以上均不正确
【答案】B
【解析】∵u＝(1,2，－1)，v＝(－2,2,2)，∴u·v＝1×(－2)＋2×2＋(－1)×2＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.故选B．
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
【答案】B
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z的值为( )
A．3
B．6
C．－9
D．9
【答案】C
【解析】∵l⊥平面α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0.解得z＝－9.
【答案】1 0 (共33张PPT)
2.4.2 抛物线的简单几何性质
目标定位
重点难点
1.掌握抛物线的几何性质
2.能运用抛物线的几何性质解决与抛物线有关的问题
重点：抛物线的几何性质
难点：抛物线的几何性质的应用
抛物线的几何性质
类型
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
焦点
________
________
________
________
准线
________
________
________
________
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
__________
__________
对称轴
________
________
顶点
________
离心率
________
开口方向
向右
向左
向上
向下
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
x轴
y轴
原点(0,0)
e＝1
3．若抛物线y2＝2px上一点的横坐标为6，这点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是( )
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
4．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为抛物线上一点，则以线段PF为直径的圆与y轴的位置关系为( )
A．相交
B．相离
C．相切
D．不确定
【答案】C
【例1】 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径．求顶点在原点且通径长为8的抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．
【解题探究】焦点位置不确定，须分四种情况讨论．
抛物线的简单几何性质的应用
在四种标准方程下，抛物线的通径长都为2p，这是标准方程中系数2p的一种几何意义．对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用要做到准确熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等．
【例2】 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【解题探究】分类讨论斜率存在情况，画草图找解题思路．
直线与抛物线的位置关系
若直线与抛物线相切，则直线与抛物线只有一个公共点；若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切，也可能是平行于对称轴.
2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)作一直线与抛物线交于P1，P2两点且使线段P1P2恰好被点P平分，求P1，P2所在的直线方程及|P1P2|.
解决圆锥曲线的几何性质问题要注重数形结合思想方法的应用．数形结合思想其实是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维与形象思维结合．通过对图形的认识，数形的转化，使问题化难为易，化抽象为具体．
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10
B．8
C．6
D．4
【答案】B
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B.
【答案】A
4．抛物线y2＝4x与直线ax＋y－2a－2＝0有且只有一个交点，则实数a的值为______．
【答案】0
【解析】直线ax＋y－2a－2＝0过定点(2,2)，而点(2,2)在抛物线内，∴当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有且只有一个交点．∴a＝0.(共51张PPT)
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.5
空间向量运算的坐标表示
目标定位
重点难点
1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解
2.理解空间向量的坐标表示，掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量的模、夹角公式与两点间距离公式的坐标表示，会判断向量的共线与垂直
重点：空间向量的坐标运算
难点：空间向量的平行和垂直条件，两个向量的夹角与向量模的坐标计算公式
1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________，其中__________叫作空间的一个基底，________都叫作基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点O且__________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
不共面
xa＋yb＋zc
{a，b，c}
a，b，c
两两垂直
公共起点O
e1，e2，e3
平移
起点
xe1＋ye2＋ze3
x，y，z
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
终点
起点
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
空间向量基本定理的理解
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
【答案】②③④
用坐标表示已知向量
空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线，建立的空间直角坐标系不同，得到的坐标也不同，故本题的答案不唯一．
【答案】(－2，－1，－4) (－4,2，－4)
【例3】 已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.
【解题探究】利用空间向量的坐标运算法则计算即可．
解：p＝a－b＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)．
q＝a＋2b－c＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)．
p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝－1.
空间向量的坐标运算
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
【解题探究】建立适当的直角坐标系，利用空间向量的坐标计算．
利用向量的坐标运算证明平行、垂直
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路：(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
【例5】 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的解题步骤：
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系．
(2)利用题设条件写出有关的坐标，进而获得相关的坐标．
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
5．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b，|a－2b|及a与b的夹角的余弦值．
【解题探究】利用向量数量积公式进行计算．
【错因分析】将∠BAD误认为是90°，以至于建系错误，则后面的错误就不可避免了．
【警示】空间直角坐标系的建立必须保证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线创造三条两两垂直的直线．
1．利用向量求解或证明时可以选择基底来处理，也可以建立直角坐标系化为坐标运算，通常坐标运算较为简单．
2．坐标运算，选择坐标系是关键，为了使点的坐标易于计算和证明，一定要分析几何体的特征，选取合适的坐标系，同时还要灵活应用平面几何的相关知识进行求解．
【答案】A
3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，若a＝4e1－8e2＋3e3，则a的坐标为________．
【答案】(4，－8,3)
【解析】由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)．
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则实数x＝________.
【答案】－4
【解析】a＋b＝(－2,1,3＋x)，∵(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0.∴－2＋(－x)＋2(3＋x)＝0.∴x＝－4.(共33张PPT)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
目标定位
重点难点
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
2.掌握标准方程中的a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e的关系
重点：椭圆的几何性质
难点：椭圆的几何性质的应用
椭圆的简单几何性质
2b
2a
x轴、y轴
原点
【例1】 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
【解题探究】先将椭圆方程化成标准形式，再求值．
椭圆的简单几何性质
确定椭圆的几何性质，应先将椭圆方程化成标准形式，确定焦点的位置，再根据a，b的值，求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．
利用椭圆的几何性质求标准方程
由椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤是：①确定焦点所在的坐标轴；②构造方程，求a，b的值；③写出标准方程.
【错因分析】仅根据椭圆的离心率不能确定焦点位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，没有对焦点的位置进行讨论．
【警示】椭圆的几何性质分为两类：第一类是与坐标系无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；第二类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标．仅根据第一类的性质不能确定焦点的位置，必须分类讨论．
1．深刻理解椭圆的标准方程中几何量a，b，c，e等之间的关系和几个量的本质含义．
2．讨论椭圆的几何性质时，要分清焦点所在的坐标轴．
【答案】－2或1
【解析】由于椭圆的焦点为(0,1)，∴3－m－m2＝1，解得
m＝－2或1.
【答案】1
【解析】设|PF1|＝r，则|PF2|＝4－r,1≤r≤3.|PF1|·|PF2|＝r(4－r)＝－r2＋4r，当r＝1或3时，(|PF1|·|PF2|)min＝3；当r＝2时，(|PF1|·|PF2|)max＝4.∴|PF1|·|PF2|的最大值和最小值之差为1.(共41张PPT)
2.3.2 双曲线的简单几何性质
目标定位
重点难点
1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质
2.掌握直线与双曲线的位置关系，能用坐标法解决一些与双曲线有关的几何问题
重点：双曲线的几何性质
难点：直线与双曲线的位置关系
双曲线的几何性质
2a
2b
【答案】A
【答案】C
用几何性质求双曲线的标准方程
【解题探究】根据双曲线的几何性质求标准方程．
【例2】 求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率．
【解题探究】根据渐近线方程和焦点坐标求a，b，c.
双曲线的几何性质的应用
与双曲线几何性质有关问题的解题策略：
(1)求双曲线的离心率(或范围)，依据题设条件，将问题转化为关于a，c的方程(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程，依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
【例3】 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
【解题探究】联立直线与双曲线的方程，转化为根与系数的关系来解决．
与弦长、中点有关的问题
与弦长、中点有关的问题，常联立直线与曲线的方程，利用根与系数的关系求解．在解题时，要注意灵活转化．
1．求双曲线的方程的方法
(1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用待定系数法或定义法求．
(2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方程．
2．求有关弦的问题，先联立方程组得一元二次方程，再利用方程根与系数关系进行整体处理，简化解题运算量．
3．重视数学思想方法的运用，优化解题思维，简化解题过程．
(1)方程思想：解析几何题目大部分以方程形式给出直线和圆锥曲线，把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用方程根与系数关系进行整体处理，简化解题运算过程．
(2)函数思想：对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度构成函数关系．
(3)对称思想：双曲线有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少变量和未知量，简化计算．
(4)数形结合思想：根据平面几何知识易于发现各量之间的关系，将位置关系转化为代数的数量关系进而转化为坐标关系，从而建立关系式．
1．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
【答案】A
4．(2019年甘肃兰州期末)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过点F的直线l与E相交于A，B两点，且线段AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．(共48张PPT)
3.3 立体几何中的向量方法(二)
目标定位
重点难点
1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
2.能用向量方法解决长度、距离问题
3.体会向量方法在研究几何问题中的作用
重点：用向量方法求空间中的角、距离
难点：用向量方法求空间中的角、距离
1．利用向量求空间角
|cos〈a，b〉|
|cos〈a，n〉|
|cos〈n1，n2〉|
2．利用向量求空间距离
【答案】D
2．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】C
【解题探究】建立适当的直角坐标系，求线面的夹角转化为求线与线的夹角．
利用空间向量求空间角
利用向量知识求直线与平面所成角的关键是求出平面的一个法向量，然后利用夹角公式求解，注意向量夹角与线面角之间余弦值与正弦值的转化．
【例2】 如图，四棱锥PABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上且PE＝2EA.求二面角ABED的余弦值．
【解题探究】建立适当的直角坐标系，求二面角的余弦值转化为求两平面法向量夹角的余弦值．
用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是不是二面角的大小(相等或互补)，要根据图形观察得到结论.
1．如图，四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝2，CD＝4，E是PB的中点，以DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系．
(1)求异面直线AE与CP所成角的余弦值；
(2)若点F∈平面ABCD且FE⊥平面PBC，求F点的坐标；
(3)求直线AB与平面PBC所成的角的正弦值．
【例3】 如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D两点间的距离．
利用空间向量求空间距离
【解题探究】两点间的距离转化为向量模的运算．
【例4】 已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
【解题探究】建立适当的坐标系，点到面的距离转化为两点间距离．
用向量法求点到平面的距离，垂线常常不必作出来，只须设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量．
二面角与向量夹角的转化易出错
【示例】如图，正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别为AC和BC边上的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB，则二面角BACD的余弦值为________．
【错因分析】分清二面角的两个半平面的法向量的夹角是等于二面角，还是它的补角．
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(夹角、距离等问题)．
3．根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
【答案】B
4．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点且点M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别为2,3,6，则点M到顶点P的距离是( )
A．2
B．3
C．6
D．7
【答案】D(共33张PPT)
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
目标定位
重点难点
1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程
2.能根据条件确定双曲线的标准方程
重点：双曲线的定义及标准方程
难点：求双曲线的标准方程
1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于________)的点的轨迹叫作双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________．
|F1F2|
以F1，F2为端点的两条射线
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1，F2叫作______________，两焦点间的距离叫作______________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_______________，焦点F1(________)，F2(________)．
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是___________________，焦点F1(________)，F2(________)．
不存在
双曲线的焦点
双曲线的焦距
－c,0
c,0
0，－c
0，c
c2＝a2＋b2
<
x
y
【答案】A
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
【答案】B
双曲线定义的应用
求双曲线的标准方程
【错因分析】只考虑焦点在x轴上，忽视了焦点在y轴上的情况．
1．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断．
2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或进行分类讨论．
【答案】D
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
【答案】D
【答案】C
