(共35张PPT)
§2 角的概念的推广
一
二
三
一、角的概念
1.角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
一
二
三
【做一做1】
用任意角表示下列各角:
(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为 ;?
(2)将时钟拨慢2
h,分针转过的角为 .?
答案:(1)-360° (2)720°
一
二
三
二、象限角
在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
【做一做2】
318°角的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:318°角的终边所在的象限是第四象限.
答案:D
一
二
三
三、终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+360°·k
,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
名师归纳
象限角与轴线角的集合表示方法
第一象限角的集合为
{x|k×360°
第二象限角的集合为
{x|k×360°+90°第三象限角的集合为
{x|k×360°+180°第四象限角的集合为
{x|k×360°+270°一
二
三
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上的角的集合为
{x|x=k×180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合为
{x|x=k×180°+90°,k∈Z}.
一
二
三
【做一做3】
下列各角中,终边与330°角终边相同的是
( )
A.-630°
B.-1
830°
C.30°
D.990°
解析:终边与330°角终边相同的角为β=330°+k×360°(k∈Z).令k=-6,得β=-1
830°.故选B.
答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直角是第一象限角.
( )
(2)第四象限角一定比第三象限角大.
( )
(3)终边落在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z}.
( )
(4)若α是第四象限角,则
一定是钝角.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
角的概念
【例1】
下列各种说法正确的是( )
A.经过2小时,钟表的时针转过的角度为60°
B.第一象限角就是锐角
C.锐角是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
解析:根据锐角的定义和第一象限角的范围来进行判定.锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合是{α|k×360°<α<
k×360°+90°,k∈Z},故当k=0时,角的范围就与锐角的范围相一致,故锐角是第一象限角,C正确.对于A,经过2小时,时针转过的角度为-60°,故说法错误;对于B,390°角是第一象限角,但它不是锐角,故说法错误;对于D,-30°角是小于90°的角,但它不是锐角,故说法错误.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,只需举一个反例即可;二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)下列说法正确的是( )
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.终边与始边重合的角是零角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
(2)给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;
②第一象限角一定不是负角;
③第二象限角是钝角;
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为 .?
答案:(1)D (2)①
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
【例2】
写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1
080°范围内与75°角终边相同的角.
思路分析:根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,
k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1
080°范围内的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1
080°时,
即360°≤k·360°+75°<1
080°,
又k∈Z,
所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°~1
080°范围内的角为435°角和795°角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2与-2
018°终边相同的最小正角是 .?
解析:∵-2
018°=142°-6×360°,
∴与-2
018°终边相同的最小正角是142°.
答案:142°
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
象限角
【例3】
(1)分别判断角α=-130°和β=-940°是第几象限角.
(2)若角α是第二象限角,试判断180°-α及2α是第几象限角.
思路分析:(1)可通过终边相同的角将其转化为[0°,360°)内的角后进行判断;(2)先确定α的范围,再写出180°-α,2α的范围,根据范围判断所在象限.
解:(1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角与230°角终边相同,而230°是第三象限角,故α是第三象限角.
由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角与140°角终边相同,而140°是第二象限角,故β是第二象限角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(2)由α是第二象限角可得,90°+k×360°<α<180°+k×360°(k∈Z),所以180°-(180°+k×360°)<180°-α<180°-(90°+k×360°)(k∈Z),
即-k×360°<180°-α<90°-k×360°(k∈Z).
所以180°-α为第一象限角.
同理,180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°(k∈Z),
所以角2α可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,从而确定其象限.
2.已知角的终边所在的象限,求新角的终边所在的位置时,通常首先根据所给角的范围,得到新角的范围,然后判断新角终边所在的位置.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:
(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'.
解:(1)因为-120°=240°-360°,所以在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角.
(2)因为660°=300°+360°,所以在0°~360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限的角.
(3)因为-950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范围内,与-950°08'终边相同的角是129°52',它是第二象限的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
区域角
【例4】
如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
思路分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;
(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.
解:(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°<α<75°+k·360°,k∈Z}.
(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:
(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;
(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;
(3)分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4如图,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A.{α|k·360°+30°<αB.{α|k·180°+150°<αC.{α|k·360°+150°<αD.{α|k·360°+30°<α答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练5若把变式训练4的图改为如图所示的图,应该选择下列选项中的哪一个呢?( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤360°+315°,k∈Z}
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因考虑不全而致误
【典例】
如果α是第三象限角,那么
,2α是第几象限角?
错解因为α是第三象限角,
所以k·360°+180°<α所以k·180°+90°<
所以
是第二象限角.
由①得k·720°+360°<2α即(2k+1)·360°<2α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z.
所以2α是第一或第二象限角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
正解:因为α是第三象限角,
所以k·360°+180°<α由①得2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°,k∈Z,即(2k+1)·360°<2α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z.
所以2α是第一或第二象限角或是终边落在y轴非负半轴上的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.在讨论角的终边所在的象限时,一方面要注意象限角的表示方法必须是360°的整数倍加上一个角,另一方面注意不能忽略角的终边在坐标轴上的情况.
2.错解错在两个方面:一个是没有注意到90°和135°前面加的不是360°的整数倍,盲目下结论,导致错误;另一个是忽略了满足(2k+1)·360°<α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z的角α的终边落在y轴非负半轴上的情况,导致错误.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练已知α是第一象限角,则
所在的象限为 .?
解析:因为α是第一象限角,所以k·360°<α1
2
3
4
5
6
1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列判断正确的是( )
A.B=A∩C
B.B∪C=C
C.A∪C=B
D.A=B=C
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.下列各组角中,终边相同的角是( )
A.390°与690°
B.-330°与750°
C.480°与-420°
D.300°与-840°
解析:若α与β终边相同,则α-β=k·360°,k∈Z,-330°-750°=-3×360°.
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.若α是第四象限角,则270°-α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析:因为α是第四象限角,所以-α是第一象限角,因此270°-α是第四象限角.
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:由-180°∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°},故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
5.已知角α的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是 .?
解析:在0°~360°范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45°和150°,因此,所求α的范围是45°+k×360°<α<150°+k×360°(k∈Z).
答案:{α|45°+k×360°<α<150°+k×360°,k∈Z}
1
2
3
4
5
6
6.已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
解:∵30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,
∴当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,
∴集合A中角的终边在图中阴影(Ⅰ)区域内.
又集合B中角的终边在图中阴影(Ⅱ)区域内,
∴集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
∴A∩B={α|30°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.(共33张PPT)
第三章
三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
归纳总结1.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系.
2.对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下),同角三角函数的基本关系式都成立,与角的表示形式无关,如sin22α+cos22α=1,
=tan
4α等.
3.sin2α与sin
α2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sin
α的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的.
4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种:
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;
(5)(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α等.
答案:D
【做一做2】
若tan
α=3,则sin
αcos
α= .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)在△ABC中,若sin
A+cos
A=
,则△ABC为钝角三角形.
( )
(4)在△ABC中,若sin
A+cos
A=1,则△ABC为直角三角形.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
简单的三角函数求值问题
(2)首先利用cos
α>0,且cos
α≠1,得出α是第一或第四象限角,然后根据α所在的象限分别求出sin
α的值,最后求出tan
α的值.
(3)由tan
α=
=2和sin2α+cos2α=1联立解方程组,即可求得sin
α,cos
α的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟通过本题的解答可得出如下规律:
4.利用同角三角函数关系式求值时,要注意角所在象限的判断,必要时进行讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1(1)若α是第四象限角,且cos
α=
,则sin
α=( )
答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
关于sin
α和cos
α的齐次式的求值
【例2】
已知tan
α=3,求下列各式的值:
思路分析:将待求式(或已知式)中的弦化切,充分利用
=tan
α的代换.也可以联立方程组求解.
解法一已知tan
α=3,利用同角三角函数关系,
再代入所求关系式求值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二(1)把分子、分母同时除以cos
α,
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.若待求分式的分子、分母都是含有sin
α,cos
α的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cos
α的若干次方,将其转化为关于tan
α的表达式,比如:
2.若一个式子是关于sin2α与cos2α的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解.
比如:asin2α+bsin
αcos
α+ccos2α
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)sin2α+sin
αcos
α+2.
探究一
探究二
探究三
探究四
利用sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ间的关系求值
【例3】
已知sin
θ+cos
θ=
,θ∈(0,π),求:(1)tan
θ;(2)sin
θ-cos
θ.
思路分析:一种思路是由已知条件和平方关系联立,解方程组求得sin
θ与cos
θ的值,再求两个式子的值;另一种思路是利用sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ三者之间的关系整体求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sin
θ±cos
θ)2=1±2sin
θcos
θ,因此,sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值.
2.在求解sin
α±cos
α的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sin
α±cos
α的正负,判定的方法有:(1)根据sin
αcos
α的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:(1)B (2)B
探究一
探究二
探究三
探究四
三角函数的化简与证明
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
三角函数化简与证明的方法
1.三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下:
(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;
(2)尽量使分母不含三角函数式;
(3)根式内的三角函数式尽量开出来;
(4)能求得数值的应计算出来.
注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形.
探究一
探究二
探究三
探究四
2.证明三角恒等式,实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子,通过巧妙变形后消除差异,使其左右两端相等.为了达到这个目的,我们经常采用以下的策略和方法:
(1)从一边开始,证明它等于另一边;
(2)证明左右两边都等于同一个式子;
(3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
4
5
6
1.若α是第四象限角,则下列各式中,成立的是( )
解析:由同角三角函数的基本关系式得sin
α=-
(α是第四象限角)是成立的.
答案:C
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6(共33张PPT)
§4 平面向量的坐标
一
二
三
一、平面向量的坐标表示
1.把一个向量分解成两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.
2.在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y).
一
二
三
一
二
三
二、平面向量线性运算的坐标表示
1.加法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.
2.减法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.
3.数乘:若a=(x1,y1),设λ∈R,则λa=(λx1,λy1).即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积.
4.给定点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标.
一
二
三
【做一做2】
若向量a=(x+3,x2-3x-4)与
相等,已知A(1,2)和B(3,2),则x的值为( )
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4
答案:A
答案:(-1,2)
一
二
三
三、向量平行的坐标表示
1.定理1:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.
2.定理2:若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.
3.两个向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0.
【做一做4】
已知向量a=,b=(x,1),(2a+b)∥b,且x<0,则x的值为 .?
解析:∵2a+b=(16+x,x+1),b=(x,1),
∴x(x+1)-(16+x)=0.
解得x=-4或x=4(舍去).
答案:-4
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求平面向量的坐标
【例1】
(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量
思路分析:(1)先将a+b,a-b用i,j表示,再转换为坐标;
(2)直接套用向量的坐标公式即可.
解:(1)∵a=3i+4j,b=-i+j,
∴a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,
a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.
又i=(1,0),j=(0,1),∴a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).
(2)∵B(7,6),C(1,8),
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
2.向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)已知
=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为( )
A.(1,8)
B.(-1,8)
C.(3,2)
D.(-3,2)
答案:(1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
平面向量的坐标运算
思路分析:对于(1)可直接运用坐标运算法则进行计算;(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于( )
A.3a+b
B.3a-b
C.-a+3b
D.a+3b
(1)解析:设c=ma+nb,则(4,2)=m(1,1)+n(-1,1)=(m-n,m+n),
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
平面向量共线的条件及应用
【例3】
(1)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),
(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,它们是同向还是反向?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)思路分析:题目给出了a,b的坐标,欲求k的值使ka+b与a-3b平行,可先把向量ka+b与a-3b的坐标形式表示出来,再利用向量平行的坐标表示列出方程,或利用向量共线的定理列出方程求得k的值,再根据符号确定两向量的方向.
解:(方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
∵(ka+b)∥(a-3b),
∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
利用向量坐标判断向量共线或三点共线的方法
1.利用向量的坐标判断两向量是否共线时,可先求出需要判断的向量的坐标,再依据坐标关系来说明两个向量平行,即:
3.利用向量解决三点共线问题的思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线.因为两个向量过同一点,所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
所以(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得k=-2或k=11,
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因把向量的模当成向量而致误
【典例】
已知M(1,5),N(5,17),点P在直线MN上,且
错解设点P的坐标为(x,y),则
根据题意,有(x-1,y-5)=3(5-x,17-y),
解得x=4,y=14.所以点P的坐标为(4,14).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解得x=7,y=23.
所以点P的坐标为(7,23).
综上,可知点P的坐标为(4,14)或(7,23).
纠错心得1.已知两向量模的关系时,容易忽视向量的方向而引起坐标求解错误或者丢解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,则x= .?
解析:∵a与b共线,
1
2
3
4
5
6
1.已知
=(-2,4),则下面说法正确的是( )
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
答案:D
1
2
3
4
5
6
A.(-2,-4)
B.(2,4)
C.(6,10)
D.(-6,-10)
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( )
解析:由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,
所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0?14m=-28?m=-2.故选D.
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.已知向量a=(-3,4),则下列能使a=λe1+μe2(λ,μ∈R)成立的一组向量e1,e2是( )
A.e1=(0,0),e2=(-1,2)
B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)
C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)
1
2
3
4
5
6
解析:对于A:因为e2与a=(-3,4)不是平行向量,所以一定不成立;
对于B:由(-3,4)=λ(-1,3)+μ(2,-6)=(-λ+2μ,3λ-6μ),
对于C:由(-3,4)=λ(-1,2)+μ(3,-1)=(-λ+3μ,2λ-μ),
所以成立.验证可知D不成立,故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
5.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ= .?
解析:a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4=3×2,解得λ=
.
答案:
1
2
3
4
5
6
(1)点P在第一、第三象限角平分线上?
(2)点P在第三象限内?
解:设点P的坐标为(x,y),
1
2
3
4
5
6(共24张PPT)
2.2 向量的减法
一
二
一、相反向量
1.定义:如果两个向量的长度相等,方向相反,那么称这两个向量互为相反向量,a的相反向量为-a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.
2.性质:(1)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0;
(2)若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
A.a-b
B.b-a
C.a+b
D.-a-b
答案:D
一
二
二、向量的减法
1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量,相当于加上这个向量的相反向量.求两个向量差的运算,叫作向量的减法.
3.文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
一
二
名师点拨1.可以用向量减法的三角形法则作差向量,也可以用向量减法的定义a-b=a+(-b)(即平行四边形法则)作差向量,显然,此法作图较烦琐.
2.在使用三角形法则时,应注意两向量的起点相同,差向量是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
一
二
【做一做2】
如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则有:
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意不共线向量a与b,总有||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
( )
(2)若a与b共线且同向,则一定有|a-b|=|a|+|b|.
( )
(3)若a与b共线且反向,则一定有|a-b|=|a|+|b|.
( )
(4)若|a|=12,|b|=30,则|a-b|的取值范围为[8,30].
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量减法及其几何意义
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(1)答案:A
(2)解:以OB,OC为邻边作?OBDC,连接OD,AD,
反思感悟利用向量减法作图的方法
(1)运用三角形法则,作两个向量和的关键是作平移,首尾连.作两个向量差的关键是作平移,共起点,两尾连,指被减.
(2)多个向量相加减时要注意灵活运用运算律.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的减法运算
思路分析:本题主要考查向量减法的运算法则,可以将减法转化为加法求解,也可以直接利用减法求解,还可以将各向量统一用以O为起点的向量表示再来计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(方法三)设O为平面内任意一点,则
反思感悟1.进行向量的减法运算要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中运用三角形法则求差向量;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示.关键是将向量转化为起点相同的向量,必要时需引进任意点O,将各向量统一用以O为起点的向量表示,再进行运算.
2.对于本题,方法一是将向量的减法转化为加法进行化简;方法二
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论中错误的是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量加、减法运算及模的综合应用
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.对于任意向量a,b,总有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.其中,当a,b同向共线时|a-b|=||a|-|b||;当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|.
2.因为向量的加法和减法具有明显的几何意义,所以要注意构造平行四边形及三角形来解决有关问题.
3.当向量a,b不共线时,分别与向量a+b,a-b构成三角形,由“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”可以形象地解释向量的三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3(1)若向量a,b满足|a|=2,|b|=5,则|a-b|的最大值为 .?
(2)若向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2
,|a|=
,求|b|.
(1)解析:|a-b|≤|a|+|b|=2+5=7,故|a-b|的最大值是7.
答案:7
又因为|a+b|=|a-b|,
所以四边形ABCD为矩形,
即△ABD是直角三角形.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误用向量减法法则而致误
【典例】
如图所示,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则
= .?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得本题错解的产生是向量减法法则使用错误,要弄清楚
才是正确的.因此在学习过程中要注重细节,不要因小失大.
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
形ABCD的形状是( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案:B
1
2
3
4
5
6
解析:由题意知?ABCD是菱形.
又∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形.
答案:2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
6.如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设(共25张PPT)
§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
一
二
一、数乘向量
1.定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量.记作λa,这种运算叫作向量的数乘.
2.长度与方向的规定:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.
3.几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长或压缩到原来的|λ|倍.
4.运算律:设λ,μ为实数,则有
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
一
二
【做一做1】
将
[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为( )
A.2a-b
B.2b-a
C.a-b
D.b-a
答案:B
【做一做2】
如图,在?ABCD中,AC与BD相交于点O.则下列各式成立的是( )
答案:C
一
二
二、向量共线的判定定理和性质定理
1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
∴A,B,D三点共线.
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若向量λa=0,则a=0.
( )
(2)若向量λa=0,则λ=0.
( )
(3)若向量a与b不共线,且λa=μb(λ,μ∈R),则一定有λ=μ=0.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
数乘向量的定义及几何意义
【例1】
(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是( )
答案:(1)C (2)B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
对向量数乘运算的三点说明
(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的线性运算
【例2】
(1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
(2)设x,y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运算过程类似于“合并同类项”;(2)是解关于未知向量的方程或方程组,它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.
②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加,
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a= ,b= .?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量共线定理的应用
【例3】
判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).
解:(1)∵b=-2a,∴a与b共线.
(2)∵a=
b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟向量共线定理的应用
1.判断或证明两个向量a与b(b≠0)共线时,只需证明a=λb(λ∈R)即可.
2.已知两个向量a与b(b≠0)共线时,可根据向量共线的性质得a=λb(λ∈R),从而解决有关的参数问题.
3.利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3(1)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=( )
A.0
B.-0.5
C.-2
D.0.5
(1)解析:依题意知向量a+λb与2a-b共线,故设a+λb=k(2a-b),
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因对向量共线的条件理解不清而致误
【典例】
已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线?
错解若存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),
则3e1+2e2=3λe1-2λe2,即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2,
所以不存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),故两个向量不共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正解①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.
②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),
则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,
3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,
纠错心得1.对于向量共线问题一定要掌握好共线向量定理,并知道定理中对各个量的限制条件.
2.错解中对向量共线的条件理解不清,只有当a,b不共线,且λa=μb时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.
1
2
3
4
5
1.下列各式计算正确的个数是( )
①(-7)·6a=-42a;②a-2b+(2a+2b)=3a;③a+b-(a+b)=0.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①②正确,③的结果应为0,故③错误.
答案:C
1
2
3
4
5
2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于( )
A.2a
B.-2a
解析:由题意知3x-2x+2a=0,故x=-2a.
答案:B
1
2
3
4
5
答案:B
3.设P是△ABC所在平面内的一点,且
,则△PAB与△PBC的面积之比是( )
1
2
3
4
5
三点共线,则实数p的值为 .?
答案:-1
1
2
3
4
5
5.已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2.求证:a∥b.
证明:①若e1=e2=0,则a=b=0,∴a与b共线,即a∥b.②若e1,e2至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,∴a∥e1,b∥e1,而e1≠0,
∴a∥b.综上可证得a∥b.(共31张PPT)
§6 平面向量数量积的坐标表示
一
二
三
四
五
一、平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
这就是说,两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.
【做一做1】
若a=(5,y),b=(-6,-4),且a·b=-2,则y等于( )
A.-5
B.-7
C.5
D.7
解析:∵a·b=-2,
∴-30-4y=-2,即4y=-28,∴y=-7,故选B.
答案:B
一
二
三
四
五
二、向量的模
答案:10
一
二
三
四
五
三、向量的夹角
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,
【做一做3】
已知非零向量a,b的夹角为θ,若a+b=(3,-6),a-b=(3,-2),则cos
θ= .?
解析:∵a+b=(3,-6),a-b=(3,-2),
∴a=(3,-4),b=(0,-2).
一
二
三
四
五
四、两个向量垂直
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
则-4+2m-4=0,
即m=4.
答案:4
一
二
三
四
五
五、直线的方向向量
由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
【做一做5】
直线y=3x+1与直线x+3y-7=0的方向向量分别是 和 ,这两条直线的位置关系是 .?
解析:直线y=3x+1的方向向量是(1,3),
一
二
三
四
五
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2)对任意向量a,总有a2=|a|2.
( )
(3)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(A,B).
( )
(4)要使|a·b|≤|a||b|中等号成立,则需使a与b共线且同向.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
数量积的坐标运算
【例1】
(1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6
B.5
C.4
D.3
(2)在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点M在AD上,且AM=2MD,点N是CD的中点,求
思路分析:(1)可直接套用数量积的坐标运算公式求解;(2)有两种思路:一是建立坐标系用坐标运算求解;二是用基底表示
后再展开计算.
(1)解析:8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3).
由(8a-b)·c=30,得6×3+3x=30,∴x=4.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
(2)解:(方法一)以点B为原点,以BC,AB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的坐标系.
则B(0,0),M(4,2),N(6,1),
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练1(1)若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=4,则x的值为 .?
(2)已知向量a∥b,b=(1,2),|a·b|=10.
①求向量a的坐标;
②若a,b同向,c=(2,-1),求(b·c)·a,(a·b)·c.
(1)答案:-1
(2)解:①因为a∥b,
所以设a=λb(λ∈R),所以a=(λ,2λ),
所以|a·b|=|λ+4λ|=10,所以λ=±2,
所以a=(2,4)或a=(-2,-4).
②因为a,b同向,所以a=(2,4),
所以(b·c)·a=[1×2+2×(-1)]·a=0·a=0.
(a·b)·c=(2+2×4)·c=10·(2,-1)=(20,-10).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
用坐标运算求向量的模
【例2】
已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
解:(1)(方法1)因为a=(1,2),b=(3,-1),所以a-2b=(-5,4),
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( )
解析:因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),
所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
用坐标运算求向量的夹角
【例3】
若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )
思路分析:先求出2a+b与a-b的坐标,再用夹角公式求解.
解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为θ,
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos
θ=
.这样利用向量的坐标来求其夹角,可使向量的几何属性代数化,从而有利于解决问题.
2.求向量a与b的夹角θ的步骤是:(1)求出a·b,|a|,|b|;(2)代入夹角公式求cos
θ;(3)结合θ的范围确定θ.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
又0°≤θ≤180°,故夹角θ=120°.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
用坐标运算解决向量的垂直问题
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟利用向量数量积的坐标表示,可以使两个向量垂直的条件更加代数化,因而其判定方法也更加简洁,在以后解题中要注意应用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练4若a=(5,-7),b=(-1,2),且(a+λb)⊥b,则实数λ的值为 .?
解析:由(a+λb)⊥b,得(a+λb)·b=0,
即a·b+λ|b|2=0,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
直线的方向向量及其应用
【例5】
已知直线l1:3x+y-2=0与直线l2:mx-y+1=0的夹角为45°,求实数m的值.
解:∵直线l1,l2的方程分别为3x+y-2=0与mx-y+1=0,
∴向量a=(1,-3),b=(1,m)分别为l1,l2的方向向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟1.利用直线的方向向量主要解决两类问题:(1)利用直线的方向向量求直线的斜率,从而求直线的方程;(2)利用直线的方向向量确定两条直线的夹角.
2.当两条直线的夹角为45°时,两条直线方向向量的夹角应该是45°或135°两种可能,因此,在列方程时应注意到这一点,否则将会丢解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练5直线y=2与直线x+y-2=0的夹角是( )
解析:任取直线y=2的一个方向向量(1,0),直线x+y-2=0的一个方向向量为(1,-1),
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
因忽略向量夹角的范围而致误
【典例】
已知向量a=(2cos
φ,2sin
φ),φ∈
,b=(0,-1),则a与b的夹角为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
纠错心得1.首先要明确向量a与b夹角的范围为[0,π].所有的向量夹角不能超越这个范围;
的范围,因此必须再次使用诱导公式进行转化.
1
2
3
4
5
1.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|a+b|=( )
解析:∵a+b=(0,5),∴|a+b|=5.
答案:C
1
2
3
4
5
2.若向量a,b满足a+b=(2,-1),且a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
解析:由题意,得b=(1,-3).
设a与b的夹角为θ,
又0°≤θ≤180°,
故a与b的夹角为135°.
答案:D
1
2
3
4
5
3.已知a=(1,m)与b=(n,-4)共线,且c=(2,3)与b垂直,则m+n的值为( )
解析:a,b共线?mn=-4,c⊥b?2n-12=0,
答案:A
1
2
3
4
5
4.已知向量a是直线x+2y-3=0的方向向量,且|a|=2
,则a= .?
所以a=(4,-2)或(-4,2).
答案:(4,-2)或(-4,2)
1
2
3
4
5
5.已知a=(m+1,3),b=(1,m-1),且a与b的夹角为钝角.若(2a+b)与(a-3b)垂直,求a与b夹角的余弦值.
解:∵(2a+b)⊥(a-3b),
∴2a2-5a·b-3b2=0,
即2[(m+1)2+9]-5[m+1+3(m-1)]-3[1+(m-1)2]=0,
整理得m2+10m-24=0,
解得m=2或m=-12.
∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b=m+1+3(m-1)=4m-2<0,
∴m<
,∴m=-12.
设a与b夹角为θ,(共32张PPT)
习题课——平面向量数量积的综合应用
一
二
三
四
一、向量的射影
1.设向量a与向量b的夹角为θ,则向量b在a方向上的射影为|b|cos
2.设向量a与向量b的夹角为θ,则向量a在b方向上的射影为|a|cos
一
二
三
四
二、向量数量积的坐标表示
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么
1.a·b=x1x2+y1y2且a·b=0?a⊥b?x1x2+y1y2=0.(解决垂直问题常用公式)
一
二
三
四
三、向量数量积的运算律
1.交换律:a·b=b·a.
2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
注意①数量积不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c)≠a·b·c.
②a·b=0
a=0或b=0.
③a·b=a·c
b=c.
一
二
三
四
四、重要公式(结论)
1.(a+b)·(a-b)=a2-b2.
2.(a±b)2=a2±2a·b+b2.
一
二
三
四
【做一做1】
设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
解析:∵a=(1,2),b=(1,1),
∴c=(1+k,2+k).
∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0.
∴k=-
.故选A.
答案:A
一
二
三
四
【做一做2】
已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5
,则|b|等于( )
∴|b|=5.
答案:C
一
二
三
四
解析:由夹角公式直接代入求解即可.设a,b的夹角为θ,
一
二
三
四
【做一做4】
已知A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(2)若四边形ABCD是矩形,求C点坐标,并求两对角线所成锐角的余弦值.
(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
一
二
三
四
(2)解:∵四边形ABCD为矩形,且AB⊥AD,
设点C坐标为(x,y),则(-3,3)=(x-3,y-2),
∴x-3=-3,y-2=3,∴x=0,y=5,
∴点C坐标为(0,5),
探究一
探究二
思想方法
平面向量数量积的基本运算
【例1】
(1)已知等边三角形ABC的边长为2,
(2)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|= .?
(3)已知向量a∥b,b=(1,2),|a·b|=10,则a的坐标为 .?
探究一
探究二
思想方法
解析:(1)由已知得a·b+b·c+c·a=|a||b|cos
120°+|b||c|cos
120°+|c||a|cos
120°=-6.
(2)由|a+b|2=(a+b)2,可得a2+2a·b+b2=576,
所以169+2a·b+361=576,
所以2a·b=46.
所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=169-46+361=484,
所以|a-b|=22.
(3)因为a∥b,
所以设a=λb(λ∈R),所以a=(λ,2λ),
所以|a·b|=|λ+4λ|=10,所以λ=±2,
所以a=(2,4)或a=(-2,-4).
答案:(1)-6 (2)22 (3)(2,4)或(-2,-4)
探究一
探究二
思想方法
反思感悟解决此类问题要注意加深对数量积定义及相关概念的理解.若向量在坐标形式下求解,注意熟记数量积的坐标形式及相关的度量公式.
探究一
探究二
思想方法
变式训练1(1)若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为 ,b在a方向上的射影为 .?
(2)已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
①求a,b的夹角;
②求|a+b|.
探究一
探究二
思想方法
(2)解:①由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4a2-4a·b-3b2=61,
又因为|a|=4,|b|=3,所以a·b=-6.设a,b的夹角为θ,
②|a+b|2=a2+2a·b+b2=16-12+9=13.
探究一
探究二
思想方法
数量积的综合应用
A.20
B.15
C.9
D.6
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
探究一
探究二
思想方法
探究一
探究二
思想方法
∴点P的坐标为(3,0).故选C.
答案:(1)C (2)C
反思感悟1.数量积在向量的化简、求值及有关平面几何证明中,要先把待求向量用合适的基底表示出来,体现由已知解决未知的思想.
2.数量积在坐标下讨论最值问题,一般利用函数思想,体现了纯代数的思维方法.
探究一
探究二
思想方法
答案:9
探究一
探究二
思想方法
几何法与代数法在解决数量积最值问题中的对比
【典例】
已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则
的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
思路点拨:本题可借助数形结合的思想,也可以利用数量积的坐标形式加以解决.
探究一
探究二
思想方法
解析:一画出图形,利用向量加法的几何意义通过数形结合求解.
AC为Rt△ABC的斜边,则AC为圆x2+y2=1的一条直径,故AC必经过原点,
探究一
探究二
思想方法
解析二利用向量的线性运算及数量积求解.
探究一
探究二
思想方法
解析三设出点B的坐标,转化为坐标运算求解.
答案:B
探究一
探究二
思想方法
方法点睛该例题求解思路方法比较丰富,是一个很好的训练思维能力及思想方法的案例.
解析一强调了数形结合思想的应用,同时也有必要的向量的基本运算;解析二主要应用数量积的形式来表达距离,体现了数量积的最原始意义;解析三强调数量积的坐标运算,并化归为三角函数的最值问题.
1
2
3
4
5
6
1.已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=( )
解析:由题意知2a-b=(3,x),
∵2a-b与b垂直,
∴(2a-b)·b=(3,x)·(-1,x)=0,
∴x2=3.
故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.在△ABC中,有如下命题,其中正确的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④
角,△ABC是钝角三角形,④错误.
答案:C
1
2
3
4
5
6
3.如图,在?ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且
1
2
3
4
5
6
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cos
θ= .?
答案:1
1
2
3
4
5
6
5.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,
即x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),|a-b|=2.
1
2
3
4
5
6
6.已知在△ABC中,角C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,
设A(a,0),则B(0,a),E(x,y).
∵D是BC的中点,(共41张PPT)
§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
一
二
三
四
一、三角函数的图像变换
1.上、下伸缩变换
函数y=Asin
x的图像,可以看作是把函数y=sin
x图像上所有的点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0不变)而得到,即y=sin
x的图像
y=Asin
x的图像.
2.左、右平移变换
函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sin
x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到(可简记为左“+”右“-”),即y=sin
x
y=sin(x+φ).
一
二
三
四
3.左、右伸缩变换
函数y=sin
ωx的图像,可以看作是把y=sin
x图像上所有的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的
倍(纵坐标不变)而得到,即y=sin
x
y=sin
ωx.
4.上、下平移变换
函数y=sin(ωx+φ)+b的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有的点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位长度而得到(可简记为上“+”下“-”),即y=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)+b.
一
二
三
四
(3)把函数y=sin
3x图像上所有点的 坐标变为原来的 倍,即可得到函数y=sin
x的图像.?
(4)将函数y=4sin
x-1的图像向下平移2个单位,得到函数 的图像.?
一
二
三
四
二、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响
1.在函数y=Asin
x(A>0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅.
2.在函数y=sin(x+φ)中,φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相,x+φ为相位.
A.4π,-2
B.4π,2
C.π,2
D.π,-2
答案:B
一
二
三
四
三、函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图像
1.用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图像.
列表如下:
一
二
三
四
其中P1,P3,P5均为零点(图像与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点,分别称为第一、二、三、四、五个关键点.
(3)描点,作出函数在一个周期内的图像,再向左、右无限扩展,得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像.
一
二
三
四
2.由函数y=sin
x的图像得到函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图像.
方法一(先平移后伸缩):
(1)作出y=sin
x的图像;
(2)把正弦曲线向左(或向右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像;
(3)将曲线上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像;
(4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像;
(5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像.
一
二
三
四
方法二(先伸缩后平移):
(1)作出y=sin
x的图像;
(2)把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=sin
ωx的图像;
(3)将曲线上各点向左(或向右)平移
个单位长度,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像;
(4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像;
(5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像.
一
二
三
四
答案:C
一
二
三
四
四、函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.定义域:R.
2.值域:[-|A|,|A|].
一
二
三
四
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)对于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),x∈R来说一定有ymax=A+B,ymin=-A+B.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像
思路分析:按“五点法”的作图步骤进行.
解:列表.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
描点、连线成图(如图).利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到y=2sin
,x∈R的图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先作变量代换,令X=ωx+φ,再由X取
来确定相应的x值,最后根据x,y的值描点、连线并作出函数的图像.
2.作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图像时,若x∈[m,n],应先求出(ωx+φ)的相应范围,在求出的范围内确定其关键点,再确定x,y的值,描点、连线并作出函数图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1用“五点法”作函数y=2sin
+3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.
解:①列表.
②描点、连线作出一周期的函数图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
三角函数的图像变换
【例2】
由函数y=sin
x的图像经过怎样的变换,可以得到函数
y=
+1的图像.
思路分析:本题考查三角函数的图像变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(方法一)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟三角函数图像的变换方法
1.对函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,φ≠0,b≠0),其图像的基本变换有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A>1时伸长;当A<1时缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.当ω>1时缩短;当ω<1时伸长.(3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的.当φ>0时左移;当φ<0时右移.(4)上下平移(纵向平移变换):是由b的变化引起的.当b>0时上移;当b<0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
2.若相应的变换函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化相同,再利用相应的变换得到结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2(1)把函数y=2sin
的图像经过变换,得到y=-2sin
2x的图像,这个变换是( )
(2)已知函数y=f(x)的图像上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图像沿x轴向左平移
个单位,这样得到的图像和y=2sin
x的图像相同,则函数y=f(x)的解析式为 .?
答案:(1)A (2)f(x)=-
cos
2x
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
根据函数的图像求函数的解析式
【例3】
如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)在一个周期内的图像,试确定A,ω,φ的值.
思路分析:方法一可以用五点作图法原理先确定A,再确定ω,最后确定φ;方法二也可以用关键点代入的方法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解法一(起点法)由图像可知振幅A=3,
根据五点法作图原理(以上两点可作为五点法作图中的第三点和第五点),
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟
根据三角函数图像求三角函数解析式的方法
1.如果从图像可确定振幅和周期,那么可直接确定函数解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
2.通过若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.依据五点列表法原理,点的序号与所列式子的关系如下:“第一点”为ωx+φ=0;“第二点”为ωx+φ=
;“第三点”为ωx+φ=π;“第四点”为ωx+φ=
;“第五点”为ωx+φ=2π.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3已知函数y=Asin(ωx+φ)
在一个周期内的部分函数图像如图所示.求此函数的解析式.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质
【例4】
已知函数y=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0<φ<π)在x=
时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调区间.
思路分析:(1)可直接套公式求解;(2)应先求出f(x)的解析式,再用整体换元法求单调区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,主要通过整体换元的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin
x的性质,诸如定义域、值域、周期、单调区间等.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4已知函数f(x)=2
sin
(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求ω;
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因图像变换方向把握不准而出错
【典例】
将函数y=sin
x的图像上所有的点向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( )
错解A或B或D
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.关于正弦型函数图像的平移变换与周期变换问题一定要搞清楚始点与终点目标,否则易弄错方向,还要注意函数类型是否统一.
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<
,则( )
答案:C
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共23张PPT)
§9 三角函数的简单应用
解答三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题.
1.审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件.
2.建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了纯数学问题.
3.解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.
4.回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验.
【做一做1】如图是一简谐振动的图像,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7
s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D.该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零
解析:由题中图像可知,振幅为5
cm.
答案:B
【做一做2】
电流I(单位:A)随时间(单位:s)变化的函数关系I=Asin(ωt+φ)的图像如图所示,则当t=
s时的电流为
A.?
答案:0
探究一
探究二
探究三
已知三角函数解析式解决实际问题
【例1】
心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80
mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin
160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
思路分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2),可用五点作图法解决(3),由函数解析式或图像得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数.
探究一
探究二
探究三
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为140
mmHg,舒张压为90
mmHg.
探究一
探究二
探究三
反思感悟在日常生活中,呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.
探究一
探究二
探究三
变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
?
?
?
?
(1)根据图中数据求函数解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?
探究一
探究二
探究三
解:(1)由图像可知ymax=900,ymin=700,
且A+b=ymax,-A+b=ymin,
探究一
探究二
探究三
已知函数模型确定函数解析式
【例2】
如图,大风车叶轮的最高顶点离地面14.5
m,叶轮旋转所成圆的直径为14
m,风叶轮以每分旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15
s后到达最高点,假设叶轮顶点离地面高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,试求出其中四个参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.
探究一
探究二
探究三
思路分析:y=asin(ωt+φ)与圆周运动等物理现象有着密切的关系,体现了数学与物理在内容上的互相渗透.根据风叶轮每分旋转2周,
点求出振幅a及b的值,最后确定c的值.
∵叶轮旋转所成圆的直径为14
m,∴叶轮应该在离圆心上下、左右7
m范围内变化,即函数振幅a=7.
根据叶轮顶点从离地面最低,经15
s后到达最高位置,
探究一
探究二
探究三
反思感悟求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,
点来求,当已知A,b求出后,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值.
探究一
探究二
探究三
变式训练2右图为某地一天从6时到14时的温度变化曲线,其图像近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的一个函数解析式;
(3)请预测16时的温度.
探究一
探究二
探究三
解:(1)由题图知,这段时间的最大温差是30-10=20(℃).
(2)题图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的半个周期的图像.
(3)根据(2)中得出的解析式知,当x=16时,y=20+5
≈27,即16时的温度约为27
℃.
探究一
探究二
探究三
建立三角函数模型解决实际问题
【例3】如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为4.8
m,圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h.
(1)求h与θ之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t
s到达OB,求h与t之间的函数解析式.
思路分析:(1)正确地作出辅线,将距离h灵活地拆分成两部分,最后归结为关于θ的函数式.
(2)注意在该模型中角速度是函数式中的ω.
探究一
探究二
探究三
解:(1)由题意作图,如图所示,过点O作与地面平行的线段ON交☉O于点N,过点B作ON的垂线BM,交ON于点M,
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.解决实际问题时,主要是把实际问题数学化,把有关的数据合理地进行转化,注意最后一定回归到实际问题.
2.对于本题中的关键是结合观览车的图形特点将h用含θ的代数式表达出来.
1
2
3
4
答案:B
1
2
3
4
2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin
,则单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2π
s
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
答案:D
1
2
3
4
3.如图所示,某海湾相对于平均海平面的水面高度h(单位:米)在某天24时内的变化情况,则水面高度h关于从夜间零时开始的时间t的函数关系式为 .?
1
2
3
4
4.在波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)=
+12,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推.
(1)问哪一天白昼最长?哪一天最短?
(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时?(共31张PPT)
§6 余弦函数的图像与性质
一
二
一、余弦函数y=cos
x,x∈R的图像
一
二
【做一做1】
用五点法作函数y=cos
x+1的图像时,需要描出的五个关键点的坐标分别是? .?
【做一做2】
函数y=-cos
x的图像可由y=sin
x的图像向 平移 个单位得到.?
一
二
二、余弦函数y=cos
x,x∈R的性质
一
二
【做一做3】
函数y=-3cos
x的一条对称轴方程是
( )
答案:D
【做一做4】
对于函数y=sin
,x∈R,下列说法正确的是( )
A.值域是[-1,0]
B.是奇函数
C.最小正周期是2π
D.在[0,π]上是减少的
解析:因为y=sin
=-cos
x,所以函数的值域是[-1,1],是偶函数;最小正周期是2π;在[0,π]上是增加的.
答案:C
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为y=cos
x,x∈R是偶函数,所以y=cos
x+5与y=cos(x+5)均是偶函数.
( )
(2)函数y1=|sin
x|与y2=|cos
x|,x∈R的周期均为
.
( )
(3)余弦函数在第一象限内是减少的.
( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
用五点法作余弦函数的图像
【例1】
画函数y=2cos
x+3,x∈[0,2π]的简图.
思路分析:用五点法作图的步骤:列表—描点—连线.
解:(1)列表:
(2)描点:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思感悟用五点法画函数y=Acos
x+b(A≠0),x∈[0,2π]的简图的步骤:
(1)列表:
(2)描点:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
变式训练1作出函数y=-cos
x+1,x∈[0,2π]的简图.
解:(1)列表:
(2)描点:
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来(如图所示).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
余弦函数的值域与最值问题
【例2】
求下列函数的值域:
(1)y=-2cos
x-1;
(3)y=cos2x-3cos
x+2.
思路分析:(1)利用余弦函数cos
x的有界性,即-1≤cos
x≤1来解决;
(2)利用反解法解决;
(3)利用换元及配方法解决.
解:(1)∵-1≤cos
x≤1,∴-2≤-2cos
x≤2,
∴-3≤-2cos
x-1≤1.
∴函数y=-2cos
x-1的值域为[-3,1].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
∴t∈[-1,1]为二次函数的单调递减区间.
∴当t=-1时,ymax=6;当t=1时,ymin=0.
∴函数y=cos2x-3cos
x+2的值域为[0,6].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思感悟
与余弦函数有关的值域的求法
(1)直接法:①利用y=cos
x的有界性;②已知x的范围,求y=cos
x的值域.
(2)反解法.也是利用有界性,但是要把函数反解成cos
x=g(y)的形式,再用-1≤g(y)≤1,解得y的取值范围.
(3)换元法.令t=cos
x,整体换元,换元后的函数必定是我们所熟悉的函数,比如一次函数、二次函数、对数函数等.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
变式训练2求使函数y=
取得最大值、最小值的自
变量x的集合,并分别写出最大值、最小值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
与余弦函数有关的奇偶性问题
【例3】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos
x;
思路分析:先判断定义域是否关于原点对称,再研究f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
解:(1)定义域为R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos
x=-f(x),因此,f(x)是奇函数.
因此,f(x)是奇函数.
(3)函数应满足1-sin
x≠0,
反思感悟1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数必为非奇非偶函数.
2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,要注意两个方面,一是函数的定义域是否关于原点对称;二是注意三角函数诱导公式的合理利用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
答案:(1)B (2)A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
余弦函数的单调性及应用
(2)求函数y=lg
cos
x的单调递增区间.
思路分析:(1)先通过诱导公式将两个角转化到y=cos
x的同一个单调区间上,再比较大小;(2)令u=cos
x,则在定义域上,y=lg
cos
x的单调性与u=cos
x的单调性相同.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
令u=cos
x(0cos
x=lg
u,
因为y=lg
u在其定义域上是增加的,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思感悟1.利用余弦函数的单调性比较大小,注意函数名称要相同,并且比较的角都在同一单调区间内.
2.求函数的单调区间.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,求函数的单调区间之前要注意其定义域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
余弦函数图像的简单应用
【例5】
(1)求不等式cos
x<-
的角x的集合;
(2)判断方程|x|=cos
x的根的个数.
思路分析:(1)作出y=cos
x函数的图像,结合图像得出解集;
(2)作出y=|x|与y=cos
x两个函数的图像,看交点个数.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
解:(1)作出函数y=cos
x在[0,2π]上的图像(如图所示).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)求解方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos
x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cos
x的图像如图所示.显然只有两交点,即原方程有且仅有两个根.
反思感悟利用余弦函数的图像,可以求满足某一条件的角的取值范围,还可以研究有关方程的根的个数问题.
(1)用余弦函数的图像求角的范围时,首先可以作出y=cos
x在一个周期内的图像,然后找出适合条件的角的范围,最后依据周期性,写出所有满足条件的角的范围.
(2)根据余弦函数的图像研究方程根的个数问题时,要正确作出相应函数的图像,注意角的取值范围,分析观察图像的交点情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(1)解析:由sin(cos
x)≥0,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=cos
x与y=
在[0,2π]上的图像(如图),它们有3个交点,故方程有3个实数根.
答案:(1)A (2)3
1
2
3
4
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
答案:A
1
2
3
4
2.函数y=cos
x-2在x∈[-π,π]上的图像是( )
解析:把y=cos
x,x∈[-π,π]的图像向下平移2个单位长度即可.
答案:A
1
2
3
4
3.从函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图像来看,满足cos
x=-
的x的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
1
2
3
4
4.函数y=x2-cos
x的零点个数为 .?
解析:在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos
x的图像,如图所示.则两个函数图像有2个交点,∴函数y=x2-cos
x的零点有2个.
答案:2(共24张PPT)
3.2 平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
【做一做1】
若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则( )
A.a=0,b=0
B.λ=μ=0
C.λ=0,b=0
D.a=0,μ=0
解析:∵a与b不共线且λa+μb=0,
∴只能有λ=μ=0.
答案:B
【做一做2】
设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是 .?
①e1,e2;
②e1,2e1;
③e1,2e2;
④e2,2e2.
解析:由于e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以①③中的向量组都可以作为基底;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以②④中的向量组都不能作为基底.故填②④.
答案:②④
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)基底要求两个向量不共线且模为1.
( )
(2)若e1,e2为不共线向量,则e1+e2与e1-e2可构成基底.
( )
(3)若a与b为不共线向量,且有x1a+y1b=x2a+y2b成立,则一定有x1=x2,且y1=y2.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对平面向量基本定理的理解
【例1】
给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
其中不正确命题的序号是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中的向量则不一定.
②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.
答案:①②③
反思感悟平面向量基本定理就是指平面内任一向量均可用平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设e1,e2是平面向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.2e1+e2和e2-e1
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析:B中,3e1-2e2=-
(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为基底.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用基底表示向量
思路分析:根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行逐步分解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
用一组基底表示向量的注意事项
平面内任一向量都可用一组基底来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底;
(2)注意平面向量基本定理的应用;
(3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的;
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图所示,已知在?ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的
解:∵四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理与线性运算的综合应用
【例3】
在△ABC中,
思路分析:(1)可用平面向量基本定理进行证明;(2)可用线性运算以及重心的定义求证.
所以等式成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)如图,设E是AB边的中点.
即点M在中线CE上,且是靠近AB边中点的一个三等分点,因此,M是△ABC的重心.
反思感悟在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
A.2
B.3
C.4
D.5
∴m=3.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对两向量夹角的定义理解不清致误
错解90° 60°
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案90° 120°
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在一个平面图形中求两个向量的夹角时,切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角,必须根据向量的方向,通过平移得出向量的夹角.
1
2
3
4
5
1.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.0
D.2
答案:A
6
1
2
3
4
5
答案:B
6
1
2
3
4
5
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案:B
6
1
2
3
4
5
答案:A
6
1
2
3
4
5
6
答案:3
1
2
3
4
5
解:设D,E,F分别是边BC,AC,AB边上的中点,
6(共17张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数求值问题的三种常见形式
三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角.
给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.
专题一
专题二
专题三
1.给角求值
分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先切化弦通分,再根据角之间的关系求解.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
2.给值求值
分析:本题主要考查三角函数的给值求值,解题的关键是用整体代换的思想,
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
3.给值求角
分析:围绕着cos(α+2β)的展开式进行铺垫,关键要利用给定角的锐角条件及给定数据确定出α+2β的尽可能小的范围.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题二 三角函数化简与证明中的常用技巧
用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法
(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.
(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.
专题一
专题二
专题三
(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差异,借助于以下几种途径进行变换:
①常值代换,如“1”的代换1=sin2θ+cos2θ=tan
45°.
专题一
专题二
专题三
专题三 三角恒等变换在研究三角函数中的应用
分析:先用诱导公式、倍角公式、辅助角公式将原函数化为正弦型函数再进行函数性质或图像的研究.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
(1)求函数f(x)的对称轴;
专题一
专题二
专题三(共35张PPT)
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
一
二
三
四
五
一、单位圆
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.
一
二
三
四
五
二、任意角的正弦函数、余弦函数
1.利用单位圆定义任意角的正、余弦函数
如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数,记作v=sin
α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u=cos
α.?
一
二
三
四
五
对于给定的角α,点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标为函数值的函数.
2.利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示,在角α终边上任取一点P1(u1,v1),设|OP1|=r,由相似形原
一
二
三
四
五
3.正弦函数和余弦函数的定义域与值域
(1)通常用x,y分别表示自变量与函数值,因此正弦函数表示为y=sin
x(x∈R),正弦函数值也称为正弦值.余弦函数表示为y=cos
x(x∈R),余弦函数值也称为余弦值.
(2)由定义可知:正弦函数y=sin
x和余弦函数y=cos
x的定义域都是实数集R,值域都是[-1,1].
【做一做1】
若角α的终边过点(-1,2),则sin
α等于
( )
答案:D
一
二
三
四
五
又∵角β是锐角,∴m=2符合题意.
答案:2
一
二
三
四
五
三、正弦值、余弦值的符号
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的.正弦的符号决定于纵坐标y的符号;余弦的符号决定于横坐标x的符号.正弦、余弦函数值在每个象限的符号如图所示.
也可用下表表示:
一
二
三
四
五
【做一做4】
判断下列各三角函数值的符号:
解:(1)因为700°=360°+340°,
所以700°是第四象限角,故sin
700°<0;
(2)因为-30°是第四象限角,所以cos(-30°)>0;
一
二
三
四
五
四、周期函数
1.一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的周期.若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就称为f(x)的最小正周期.今后提到的三角函数的周期,如未特别说明,一般都是指它的最小正周期.
2.正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的周期都是2kπ(k∈Z,且k≠0),它们的最小正周期均为2π.
一
二
三
四
五
【做一做5】
(1)若函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是 .?
解析:(1)由周期函数定义知f(x)的周期是4;
(2)因为正弦函数是周期函数,4π是它的一个周期,所以sin(4π+α)=sin
α=
.
一
二
三
四
五
五、2kπ+α(k∈Z)的正弦、余弦公式
1.在单位圆中,由任意角的正弦、余弦函数的定义可得:
sin(2kπ+α)=sin
α(k∈Z),
cos(2kπ+α)=cos
α(k∈Z).
2.部分特殊角的三角函数值.
一
二
三
四
五
一
二
三
四
五
【做一做6】
sin
420°cos
750°+sin(-690°)·cos(-660°)=
.
解析:原式=sin(360°+60°)·cos(720°+30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin
60°cos
30°+sin
30°·cos
答案:1
一
二
三
四
五
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若角α的终边与以原点为圆心,以2为半径的圆交于点(,1),则可以认为sin
α=1.
( )
(2)若x∈R,则cos(sin
x)>0.
( )
(3)存在这样的k∈Z,使得sin(kπ+α)≠sin
α成立.
( )
(4)若某一函数f(x),对任意x∈R均有f(x+t)=f(x-t)成立(其中t≠0),则2t是函数f(x)的周期.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
根据正、余弦的定义求值
思路分析:(1)可先由α=
确定出其终边与单位圆交点的坐标,再根据定义写出正、余弦值;(2)可直接根据定义求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin
α=y,cos
α=x;
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,则首先求
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1(1)若α=-π,则sin
α= ,cos
α= ..
解析:(1)由于α=-π,因此角α终边与单位圆交点是(-1,0).
故sin
α=0,cos
α=-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
正、余弦函数值的符号判断及应用
【例2】
(1)如果点P(sin
θ+cos
θ,sin
θcos
θ)位于第二象限,那么角θ所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)判断下列各式的符号:
①sin(-670°)cos
1
230°;②sin
8·cos
8.
思路分析:(1)由已知条件确定出sin
θ及cos
θ值的符号,从而确定θ的象限;(2)先判定积式中每一个因式中角的象限,再确定相应函数值的符号,最后确定积的符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(1)解析:因为点P位于第二象限,所以
所以角θ在第三象限,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(2)解:①因为-670°=-2×360°+50°,所以-670°角是第一象限角,则sin(-670°)>0.
又1
230°=3×360°+150°,
所以1
230°角是第二象限角,则cos
1
230°<0.
所以sin(-670°)cos
1
230°<0.
②因为2π+
<8<2π+π,
所以8
rad是第二象限角,
所以sin
8>0,cos
8<0,
故sin
8·cos
8<0.
反思感悟一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,三全负,二正弦,四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值,第三象限角的正、余弦值全为负值,第二象限角的正弦值为正,第四象限角的余弦值为正).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练3若sin
α>0,cos
α<0,则角α的终边所在象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵sin
α>0,∴角α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
∵cos
α<0,∴角α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上,综上可知,角α的终边在第二象限.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
2kπ+α(k∈Z)的正、余弦公式的应用
【例3】
求下列各式的值.
思路分析:将一般角的三角函数转化为特殊角的三角函数求值.
反思感悟要熟记公式sin(2kπ+α)=sin
α,cos(2kπ+α)=cos
α,该公式可以将任意角的正、余弦值转化为0~2π或0°~360°内的角的正、余弦值,再通过特殊角的函数值求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练4求下列三角函数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
周期函数及其简单应用
【例4】
已知函数f(x)是周期为4的奇函数,且当0≤x≤2时,f(x)=x2,求f(-2
019)的值.
思路分析:通过周期和奇偶性将f(-2
019)转化为自变量在[0,2]内的函数值代入求解.
解:(方法一)f(-2
019)=f(-505×4+1)=f(1)=12=1.
(方法二)f(-2
019)=-f(2
019)=-f(504×4+3)=-f(3)=-f(-1)=f(1)=12=1.
反思感悟周期函数求函数值的方法
1.根据函数的周期求函数值,通常是利用周期将待求函数值的自变量的值进行转化,直至其成为已知条件中的自变量的值或范围,再代入求解.
2.求解这类问题的关键是利用周期对自变量的值进行转化.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
A.1
B.-1
C.±1
D.无法确定
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
分类讨论思想在三角函数值中的应用
【典例】
已知角α的终边经过点(-4m,3m)(m≠0),求sin
α+cos
α的值.
思路点拨:首先应用分类讨论思想确定角的终边所在的象限,然后求出sin
α,cos
α的值即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
方法点睛给定某角终边上一点,若该点含有参数,则需先对参数进行讨论,再结合题中角的象限进行取舍.
1
2
3
4
5
解析:已知交点在单位圆上,根据三角函数的定义可知sin
α=-
.
答案:B
1
2
3
4
5
2.已知角α的终边过点(3,-4),则cos
θ=( )
解析:∵x=3,y=-4,∴r=5.∴cos
θ=
.
答案:C
1
2
3
4
5
3.下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A.sin
156°>0
B.cos
<0
C.sin
2<0
D.cos
2<0
解析:2
rad≈114.6°是第二象限角,应有sin
2>0.
答案:C
1
2
3
4
5
4.若f(x)的定义域为R,且满足f(x+3)=f(x),f(x)是奇函数,f(1)=-4,则f(11)= .?
解析:f(11)=f(3×3+2)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)=-(-4)=4.
答案:4
1
2
3
4
5
解:(1)∵120°是第二象限角,∴tan
120°<0.
∵269°是第三象限角,∴sin
269°<0.
∴tan
120°·sin
269°>0.(共32张PPT)
习题课——三角恒等变换公式的综合应用
一
二
三
四
一、两角的和与差的正弦、余弦、正切公式
1.C(α±β)
cos(α±β)=cos
αcos
β?sin
αsin
β
.?
2.S(α±β)
sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β
.?
3.T(α±β)
一
二
三
四
二、二倍角公式
1.S2α:sin
2α=2sin
αcos
α
.?
2.C2α:cos
2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
一
二
三
四
三、半角公式
一
二
三
四
四、有关公式的逆用及变形
1.tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β).
3.辅助角公式
特别提醒1.在半角公式中,公式中的“正负号”由半角所在象限来确定,当不能确定时,要保留“正负号”.
2.在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范围,正切无意义的角是不能套用公式的.
3.上述辅助角公式中的φ满足tan
φ=
,且φ所在象限由a,b来确定,且满足条件的φ有无数个.
一
二
三
四
答案:C
一
二
三
四
【做一做2】
下列函数中,最小正周期为π的奇函数是
( )
答案:B
一
二
三
四
答案:A
一
二
三
四
(1)求f(x)的表达式;
一
二
三
四
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的求值
【例1】
(1)已知tan
α=2,则sin
2α的值是( )
答案:(1)B (2)3
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟
三角函数求值主要有三种类型
1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
3.“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的化简
∴sin
αα<0.
∴原式=cos
α-sin
α+sin
α+cos
α=2cos
α.
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟
三角函数化简的原则、目标及技巧
1.三角函数式化简的基本原则
(1)切化弦.
(2)异名化同名.
(3)异角化同角.
(4)高次降幂.
(5)分式通分.
(6)无理化有理.
(7)常数的处理(特别注意“1”的代换).
探究一
探究二
探究三
答题模板
2.三角函数式化简的目标
(1)次数尽可能低.
(2)角尽可能少.
(3)三角函数名称尽可能统一.
(4)项数尽可能少.
3.三角函数式化简的基本技巧
(1)sin
α,cos
α→凑倍角公式.
(2)1±cos
α→升幂公式.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的证明
思路分析:等式两边的角都是θ,但切弦同时出现,将切化弦化简求证.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟关于三角恒等式的证明,常用的方法有:从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;左右归一法,即证明左、右两边都等于同一个式子;化异为同法,针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异;比较法,设法证明“左边-右边=0”或“
=1”.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角恒等变换在解决三角函数性质中的应用
(3)将函数y=f(x)的图像向右平移
个单位后,再将得到的图像上各点的纵坐标向下平移5个单位,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)的表达式并判断奇偶性.
思路点拨:(1)利用降幂公式、辅助角公式将原函数化为正弦型函数再研究性质;
(2)要将已知与所求具体化,再利用角变换技巧与和差公式解决;
(3)利用图像变换理论先得到g(x),再利用奇偶性定义加以判断.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
名师点评与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种情形:
1.以三角恒等变形为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图像和性质.
2.以向量运算为载体,考查三角恒等变形.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
答案:π
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.求sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°的值.
1
2
3
4
5
5.已知向量a=(sin
x,1),b=
,
(1)当a⊥b时,求|a+b|的值.
(2)求函数f(x)=a·(2b-a)+cos2x的单调区间.
1
2
3
4
5(共22张PPT)
§5 正弦函数的图像与性质
5.1 正弦函数的图像
一
二
一、正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称MP为角α的正弦线,P叫作正弦线的终点.
【做一做1】
若角α的正弦线长为1,则sin
α= .?
答案:±1
一
二
二、正弦函数的图像
1.正弦函数图像的作法
(1)几何法:利用单位圆中的正弦线作出.
2.正弦函数的图像
正弦函数y=sin
x(x∈R)的图像叫作正弦曲线,如图所示.
一
二
【做一做2】
用五点法画y=sin
x,x∈[0,2π]的图像时,下列不是五个关键点中的点的是( )
解析:五个关键点是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)第一象限内的角越大,其正弦线越长.
( )
(2)正弦函数的图像向左、右两边无限延伸.
( )
(3)正弦函数是定义域上的增函数.
( )
(4)正弦曲线的对称轴为x=2kπ+
,k∈Z,对称中心点为(2kπ,0)(k∈Z).
( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
用五点法作函数y=Asin
x+b(A≠0,x∈[0,2π])的简图
【例1】
利用“五点法”画出函数y=-2+sin
x,x∈[0,2π]的简图.
解:按五个关键点列表如下.
描点并连线,得函数y=-2+sin
x,x∈[0,2π]的图像如图所示.
探究一
探究二
探究三
反思感悟通过解决本题可归纳出用五点法画函数y=Asin
x+b(A≠0),x∈[0,2π]的简图的步骤:
(1)列表:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
探究一
探究二
探究三
变式训练1作出函数y=-2sin
x(0≤x≤2π)的简图.
解:列表如下.
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
探究一
探究二
探究三
根据正弦函数的图像求角的范围
思路分析:先作出正弦函数y=sin
x在[0,2π]上的简图,确定出在一个周期[0,2π]内x的取值范围,再结合正弦函数周期性得到全部x的取值范围.
解:作出y=sin
x在[0,2π]上的图像(如图所示).
探究一
探究二
探究三
反思感悟
利用正弦曲线求解sin
x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在一个周期内的图像;(2)作直线y=a与函数图像相交;(3)在一个周期内确定x的取值范围;(4)根据正弦函数周期性确定最终范围.
探究一
探究二
探究三
变式训练2求满足下列条件的角的范围.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
利用正弦函数图像判断方程根的个数
【例3】
判断方程sin
x=lg
x根的个数.
思路分析:在同一平面直角坐标系中分别画出y=sin
x与y=lg
x的图像,分析它们交点的个数.
解:画出函数y=sin
x和y=lg
x的图像(如图所示).由图像可知两图像有3个交点,因此,原方程有3个实数根.
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.关于方程根的个数问题,往往是运用数形结合法构造函数,转化为函数图像的交点的个数问题.
2.正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标是-1,在作图时要注意这种有界性.
3.利用图像研究方程根的个数,作图时要尽量精确,特别是曲线上所经过的某些关键点,一定要画准.
探究一
探究二
探究三
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=sin
x与函数y=
的图像,如图所示.
从而当x>0时,两函数有3个交点.由图像的对称性知当x<0时,也有3个交点,加上当x=0时的一个交点,一共有7个交点.
答案:A
1
2
3
4
5
1.关于正弦函数y=sin
x的图像,下列说法错误的是( )
A.关于原点对称
B.有最大值1
C.与y轴有一个交点
D.关于y轴对称
解析:正弦函数y=sin
x的图像如图所示.根据y=sin
x,x∈R的图像可知A,B,C均正确,D错误.
答案:D
1
2
3
4
5
2.函数y=1-sin
x,x∈[0,2π]的大致图像是( )
解析:利用五点法画图,函数y=1-sin
x,x∈[0,2π]的图像一定过点
答案:B
1
2
3
4
5
3.在[0,2π]上,满足sin
x≥
的x的取值范围是( )
解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出y=sin
x,x∈[0,2π]的图像
答案:B
1
2
3
4
5
答案:2
1
2
3
4
5
5.用“五点法”作出函数y=1+2sin
x,x∈[0,2π]的图像.
解:列表:(共33张PPT)
§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
一
二
三
四
一、正切函数
2.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系
一
二
三
四
3.三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.
4.正切值在各象限中的符号
由正切函数的定义知:当角
α的终边在第一和第三象限时,正切值为正;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为负.
【做一做2】
若角α的终边上有一点P(2,x),且tan
α=-3,则x的值等于( )
答案:D
一
二
三
四
二、正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT
为角α的正切线.
一
二
三
四
一
二
三
四
【做一做3】
已知角α的正切线是单位长度的有向线段,则角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
解析:由题意可知tan
α=±1,所以角α的终边在直线y=x或y=-x上.故选D.
答案:D
一
二
三
四
三、正切函数的图像
一
二
三
四
【做一做4】
画出函数y=|tan
x|的图像.
解:由y=|tan
x|得,
其图像如图:
一
二
三
四
四、正切函数的性质
一
二
三
四
答案:D
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)正切函数在定义域上是增函数.
( )
(2)正切曲线的对称中心是
(k∈Z).
( )
(3)函数y=tan(π-x)是奇函数.
( )
(4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正切函数的定义及其应用
【例1】
求下列函数的定义域和值域:
思路分析:根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图像求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟求正切函数定义域的方法及注意点:
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan
x有意义,即x≠
+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图像求解.
解形如tan
x>a的不等式的步骤:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正切函数的图像及其应用
【例2】
解不等式tan
x≥-1.
思路分析:作出正切函数一个周期的图像→由图像得一个周期的x的取值范围→扩展到整个定义域得解集
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:作出y=tan
x一个周期的图像,如图所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟解决此类问题,一般根据函数的图像利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的性质
思路分析:由y=tan
x的性质,利用整体代换的方法求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
正切型函数的性质的求解方法
函数y=Atan(ωx+φ)的性质可通过以下方法求解:
(1)定义域:将(ωx+φ)视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+
(k∈Z),解得x.
(2)值域:R.
(5)单调性:将(ωx+φ)视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A>0(A<0)时,函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的单调性与y=tan
x,x∈R,x≠
+kπ(k∈Z)的单调性相同(反),解不等式可得出单调区间.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.下列命题中正确的是( )
A.y=tan
x在整个定义域上是增函数
B.y=tan
2x的周期为π
C.当x>0时,tan
x>0
答案:D
1
2
3
4
5
6
3.若tan
θ·cos
θ>0,则θ在( )
A.第一或第二象限
B.第一或第三象限
C.第一或第四象限
D.第二或第四象限
解析:当tan
θ>0,cos
θ>0时,θ在第一象限;当tan
θ<0,cos
θ<0时,θ在第二象限,故θ在第一或第二象限.
答案:A
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
A.[-1,1]
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
6.求函数y=2tan
3x的定义域及单调区间.(共33张PPT)
第二章
平面向量
§1 从位移、速度、力到向量
一
二
三
四
一、位移、速度和力
1.位移、速度和力这些物理量都是既有大小,又有方向的量,在物理中称为矢量.
2.只有大小没有方向的量,是数量.如长度、面积、质量等.
一
二
三
四
二、向量的概念
1.在数学中,把既有大小,又有方向的量统称为向量.其中,大小和方向称为向量的二要素.
2.应该注意数学中的向量与物理中的矢量是有区别的.数学中研究的是仅由大小和方向确定,而与起点位置无关的向量(称为自由向量).
一
二
三
四
【做一做1】
下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:日常生活中,常用到两类量,一类量只有大小而没有方向,如质量、路程、密度、温度、功等,这类量叫作数量,它是一个代数量,可以进行代数运算;另一类量既有大小又有方向,如速度、位移、力、加速度等,这类量叫作向量.故选D.
答案:D
一
二
三
四
三、向量的表示
1.有向线段
2.向量的几何表示法
向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向(起点指向终点).
3.向量的字母表示法
一
二
三
四
解析:有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错;向量之间不能比较大小,但其模可以比较大小,故②错;向量
的方向不同,不是同一个向量,故③错;④对.
答案:④
一
二
三
四
四、向量的相关概念
2.零向量:长度为零的向量称为零向量,记作0或
,规定零向量的方向是任意的.
3.单位向量:长度为单位1的向量叫作单位向量.
4.相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量,向量a与b相等,记作a=b.
5.平行(共线)向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共线,记作a∥b.
一
二
三
四
【做一做3】
下列说法正确的是( )
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个单位向量方向相同
解析:零向量的长度为0,方向是任意的,故A,B错误,C正确.任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D错误.
答案:C
一
二
三
四
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
解析:△ABC的外心,即△ABC的外接圆的圆心,它到A,B,C三点的距离相等,即有
.
答案:C
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)零向量没有方向.
( )
(2)若a∥b,b∥c,则一定能得到a∥c.
( )
(3)若a与b是相等向量,则a与b一定是共线向量,反之亦然.
( )
(4)模相等的向量一定是平行向量.
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的有关概念
【例1】
给出以下说法:
①若|a|=0,则a为零向量;
②单位向量都相等;
③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;
④向量的模一定是正数;
⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
⑥向量
是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.其中正确的序号是 .?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:①正确,模等于0的向量就是零向量;
②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;
③错误,由于零向量与任一向量共线,但其方向任意,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;
④错误,向量的模是非负实数,可能是零;
⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;
⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.
答案:①⑤
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
向量及其相关概念的注意事项
对向量及其相关概念的理解要准确、全面,特别要注意以下几点:
(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素:起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素是大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
解析:向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的表示
【例2】
一辆汽车从点A出发向西行驶了100
km到达点B,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200
km到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100
km到达点D.
思路分析:作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量,进而求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)所作向量如图所示.
∴在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.
2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.
3.必要时,需要根据直角三角形知识求出向量的方向或长度.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
相等向量与共线(平行)向量
【例3】
(1)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,则与
模相等且共线的向量的个数是
个.?
(2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:(1)7
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因对向量的有关概念理解不准确而致误
【典例】
下列说法正确的是( )
B.长度相等的向量叫作相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
错解A,B或D
正解:由定义知零向量的长度等于0,故选项C正确.
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得1.首先要明确:
两条直线平行指同一平面内的两条直线没有公共点,而当两条直线重合时,不能称之为平行.
向量共线时,表示向量的有向线段不一定共线.
或重合两种情况,故选项A错误;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故选项B错误;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故选项D错误.
1
2
3
4
5
6
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等向量
解析:它们的模相等,都等于圆的半径.
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.给出命题:
①零向量的长度为0,方向是任意的;
③若a=b,b=c,则a=c.
以上命题中,正确命题的序号是( )
A.①②
B.②
C.②③
D.①③
解析:由零向量的定义知①正确;由相等向量的定义知③正确;向量
答案:D
1
2
3
4
5
6
答案:D
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
5.如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形.
1
2
3
4
5
6(共23张PPT)
2.3 两角和与差的正切函数
两角和与差的正切公式
知识拓展
两角和与差的正切公式的常见变形
(1)tan
α+tan
β=tan(α+β)(1-tan
αtan
β);
(2)tan
α+tan
β+tan
αtan
βtan(α+β)=tan(α+β);
答案:A
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
两角和与差的正切公式的直接应用
【例1】
(1)在△ABC中,已知tan
A,tan
B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan
C等于( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
答案:(1)A (2)B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是熟记公式,特别是Tα±β中的符号规律是“分子同、分母反”.
2.对于不能直接套用公式的情况,要根据已知与未知进行变形使之联系起来,有时还要借助角的变换技巧.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)已知tan
1°=a,则tan
44°等于( )
探究一
探究二
探究三
易错辨析
两角和与差的正切公式的逆用与变形用
(2)求值:tan
70°-tan
10°-
tan
70°tan
10°;
(3)在非直角三角形ABC中,求证:tan
A+tan
B+tan
C=tan
Atan
Btan
C.
思路分析:(1)将
视为tan
60°后再逆用两角差的正切公式;
(2)注意到70°-10°=60°,且tan
60°=
,因此,可用两角差的正切公式的变形;
(3)将等式左边任意两项结合利用两角和的正切公式变形,结合A+B+C=π,利用诱导公式证明.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
tan
A+tan
B=tan(A+B)(1-tan
Atan
B),
又A+B+C=π,所以A+B=π-C,从而tan(A+B)=-tan
C,
于是tan
A+tan
B+tan
C=-tan
C(1-tan
Atan
B)+tan
C
=-tan
C+tan
Atan
Btan
C+tan
C=tan
Atan
Btan
C,
故原式成立.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.由两角和与差的正切公式可知,tan
αtan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,因此,要特别注意公式的正用、逆用和变形使用.
2.在逆用公式的过程中要注意特殊值的代换,例如,1=tan
45°,
的形式,从而逆用公式.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2(1)若tan
28°·tan
32°=m,则tan
28°+tan
32°=( )
(2)已知α+β=
,则(1+tan
α)(1+tan
β)的值是( )
A.-1
B.1
C.2
D.4
∴tan
α+tan
β=1-tan
αtan
β,
∴(1+tan
α)(1+tan
β)=1+tan
α+tan
β+tan
αtan
β=1+1-tan
αtan
β+tan
αtan
β=2.
答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
给值求角问题
思路分析:先由α=(α-β)+β求出tan
α的值,再由2α-β=(α-β)+α求出2α-β的正切值,讨论2α-β的范围后即可确定2α-β的值.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟给值求角时,若所给三角函数值以正切值为主,则应考虑到先求该角的正切值,再根据角的范围确定角的大小.必要时还应根据已知的三角函数值缩小角的范围,从而确定角的大小.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:D
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因忽视题目中的隐含条件而致误
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得1.涉及根据三角函数值求角的问题,很容易忽视角范围的讨论,防止出错的关键就是结合原始数据及过程数据进行检验并得到进一步明确.
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.在△ABC中,C>90°,则tan
A·tan
B与1的关系适合
( )
A.tan
A·tan
B>1
B.tan
A·tan
B<1
C.tan
A·tan
B=1
D.不能确定
解析:因为C>90°,所以A+B<90°.
所以tan(A+B)>0,tan
A+tan
B>0.
所以1-tan
Atan
B>0,
所以tan
Atan
B<1.
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.化简tan
10°tan
20°+tan
20°·tan
60°+tan
60°tan
10°的值等于( )
A.1
B.2
C.tan
10°
D.
tan
20°
解析:tan
60°(tan
10°+tan
20°)
=
[tan(10°+20°)(1-tan
10°tan
20°)]
=1-tan
10°tan
20°,将它代入原式即可.
答案:A
1
2
3
4
5
6
解析:观察可知18°+42°=60°,可运用两角和的正切公式求值.
∵tan
18°+tan
42°+tan
120°
=tan
60°(1-tan
18°tan
42°)+tan
120°
=-tan
60°tan
18°tan
42°,
∴原式=-1.
答案:-1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6(共31张PPT)
§3 弧度制
一
二
三
四
一、弧度
在单位圆(半径为1的圆)中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad,读作弧度.
【做一做1】
下列各说法中,正确的是( )
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
答案:D
一
二
三
四
二、角度与弧度的互化
因为周角在角度制下是360°,在弧度制下是2π
rad,所以360°=2π
rad,180°=π
rad,1°=
rad≈0.017
45
rad,
应熟记以下一些特殊角的度数与弧度数的对应值:
一
二
三
四
【做一做2】
-225°化为弧度为( )
答案:C
A.75°
B.105°
C.135°
D.175°
答案:A
一
二
三
四
三、弧度制
1.一般地,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制.
2.在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
一
二
三
四
四、弧度制下的三个公式
1.弧度数公式:|α|=
,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对弧长与所在圆的半径的比值.
2.弧长公式:l=|α|r,即弧长等于所对圆心角弧度数的绝对值与半径的积.采用角度制时的相应公式为l=
.
【做一做4】
已知扇形的半径r=30,圆心角α=
,则该扇形的弧长等于 ,面积等于 ,周长等于 .?
扇形的周长为30+30+5π=60+5π.
答案:5π 75π 60+5π
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)1弧度就是在圆中圆心角为1°时对应的弧长.
( )
(2)相同的角在角度制与弧度制下的数值一定不相等.
( )
(3)扇形的面积公式S=
|α|R2中α可以是角度数,也可以是弧度数.
( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
探究四
弧度制的概念
【例1】
下列说法错误的是( )
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值.
2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.
3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.
4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如-45°=-
rad,不必写成-45°≈-0.785
rad.
探究一
探究二
探究三
探究四
角度与弧度的互化
【例2】
(1)把112°30'化为弧度;
(3)将-1
485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.
度数;(3)先把任意角表示为终边与其终边相同的角,再用弧度制表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法:
(1)关键:抓住互化公式π
rad=180°是关键;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;
(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行近似计算,也不必将π化为小数;
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1(1)下列各角中,与240°角终边相同的角为( )
(2)已知角α=-1
480°.
①将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;
②在区间[-4π,0)上找出与α终边相同的角.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
用弧度制表示角及其范围
【例3】
如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分内的角的集合.
思路分析:先确定区域的边界角,化为弧度制,再用集合表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法
1.用弧度制表示象限角如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
2.用弧度制表示轴线角如下:
终边落在x轴上的角为α=kπ(k∈Z);
终边落在y轴上的角为α=kπ+
(k∈Z).
3.用弧度制表示终边相同的角的集合为
{β|β=2kπ+α,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2下面表述不正确的是( )
A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:对于A,终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z},故A正确;
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
【例4】
(1)已知扇形的周长为8
cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10
cm,面积等于4
cm2,求其圆心角的弧度数.
思路分析:(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.
解:设扇形的弧长为l
cm,半径为r
cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,
1
2
3
4
5
6
1.-220°角化为弧度是( )
答案:D
1
2
3
4
5
6
2.
弧度化为角度是( )
A.278°
B.280°
C.288°
D.318°
故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
3.若扇形的半径变为原来的2倍,弧长也变为原来的2倍,则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的2倍
D.扇形的圆心角变为原来的2倍
解析:根据弧度的定义可知,圆心角的大小是一个比值,与弧长、半径有关.
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
5.已知半径为10
cm的圆上有一条长为40
cm的弧,则该弧所对的圆心角的弧度数是 .?
答案:4
1
2
3
4
5
6
6.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.
解:设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4.(共29张PPT)
§3 二倍角的三角函数
一
二
一、正弦、余弦、正切的倍角公式
1.S2α:sin
2α=2sin
αcos
α.?
2.C2α:cos
2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1.
一
二
【做一做1】
下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin
8α=2sin
4αcos
4α
B.1-cos
2α=2sin2α
C.(sin
α+cos
α)2=1+sin
2α
答案:D
【做一做2】
化简或求值:
一
二
二、半角公式
一
二
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)若函数f(x)=A1sin(ωx+φ1),g(x)=A2sin(ωx+φ2)(其中A1>0,A2>0,ω>0),则m(x)=f(x)+g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
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运用倍角公式求值
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟
运用倍角公式时的注意事项
在运用倍角公式时,要注意以下两点:
(1)明确式子结构,观察角与角之间的关系,当单角是非特殊角,而其倍角是特殊角时,常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值;当式子中涉及的角较多,要先变角,化异角为同角;对根式形式的化简,以去根号为目的,化简时注意角的范围.
(2)注意公式的正用、逆用及变形用,要注意从“角”和“函数名称”两个角度去分析,合理选择公式.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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运用半角公式求值
(2)已知等腰三角形顶角的余弦值为
,那么这个三角形一底角的余弦值为 .?
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用半角公式进行求值和化简时,要正确选用降幂公式和升幂公式.
当待化简式中含有根式时,应选用升幂公式去根号;当待化简式中含有高次式时,应选用降幂公式减少运算量,同时注意隐含条件中角的范围.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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运用倍角、半角公式进行化简、证明
【例3】
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
思路分析:(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos
2θ与1+cos
2θ运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.对于三角函数式的化简,注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
探究一
探究二
探究三
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2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)求证:cos4α-sin4α=cos
2α.
(2)证明:左边=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos2α-sin2α=cos
2α=右边,所以等式成立.
探究一
探究二
探究三
答题模板
倍角公式在研究三角函数性质中的应用
思路点拨:先化简三角函数式,再利用正弦型三角函数的性质求最小正周期和最值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
名师点评要研究三角函数的周期性、单调区间、值域等性质,就必须要把函数解析式化为Asin(ωx+φ)的形式,因此,化简函数解析式是研究性质的前提.而化简解析式时,需要用到各种三角函数公式,例如,同角的三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式及倍角公式,特别是当解析式的次数不是1时,经常用倍角公式及其变形进行降幂,然后再用其他相关公式化简.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
答题模板
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
答案:D
1
2
3
4
5
3.已知向量a=(3,-2),b=(cos
α,sin
α),若a∥b,则tan
2α的值为( )
答案:B
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共27张PPT)
5.2 正弦函数的性质
正弦函数y=sin
x的性质
【做一做1】
函数f(x)=
sin
2x的奇偶性为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
答案:A
【做一做2】
函数y=sin
2x的一个增区间是( )
答案:B
【做一做3】
函数y=2-sin
x的最大值及取最大值时的x的值为( )
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)y=|sin
x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.
( )
(2)对于函数y=msin
x+n(m≠0),当且仅当sin
x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin
x=-1时,取最小值ymin=-m+n.
( )
(3)在锐角范围内,角越大,其正弦值越大.
( )
(4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的周期.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
求与正弦函数有关的定义域问题
【例1】
求下列函数的定义域:
由9-x2≥0,得-3≤x≤3.②
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.求函数的定义域问题一般将其转化为解三角不等式(组),借助正弦函数的图像进行求解.
2.解答本例时,(1)要注意sin
x的符号;
(2)要使sin
2x>0和9-x2≥0同时成立,取公共部分时,要注意统一成弧度单位,再借助于数轴求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1求下列函数的定义域:
探究一
探究二
探究三
探究四
求与正弦函数有关的值域与最值问题
【例2】
求下列函数的值域.
(2)y=-2sin2x+5sin
x-2.
思路分析:(1)利用换元法,将问题转化为正弦函数在限制条件下的值域问题;
(2)利用配方法,并注意sin
x的有界性.
探究一
探究二
探究三
探究四
∵-1≤sin
x≤1,∴ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1.
故函数y=-2sin2x+5sin
x-2的值域是[-9,1].
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合三角函数本身的性质.
2.形如y=a+bsin
x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin
x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
3.形如y=Asin2x+Bsin
x+C的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2(1)函数y=sin2x-3sin
x+2的最小值为( )
解析:(1)利用换元法转化为求二次函数的最小值.
因此,当t=1,即sin
x=1时,函数y=sin2x-3sin
x+2取最小值0.
探究一
探究二
探究三
探究四
与正弦函数周期性、奇偶性有关的问题
【例3】
(1)函数y=cos
是( )
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
A.-1
B.±5
C.-5或-1
D.5或1
答案:(1)A (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟求三角函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求三角函数周期的方法
①定义法:即利用周期函数的定义求解.
②图像法:即通过观察函数图像求其周期.
(2)判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3若函数y=2sin
x+a-1是R上的奇函数,则a的值为( )
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析:依题意f(0)=0,即a-1=0,故a=1.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数的单调性及其应用
(2)比较下列各组数的大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.求函数y=sin(ωx+φ)单调区间的方法
(1)ω>0时,将ωx+φ代入到y=sin
x的单调区间中求出x的范围,即为所求.
(2)ω<0,将函数化为y=-sin(-ωx-φ),将-ωx-φ代入y=sin
x的单调减(增)区间,可求出原函数的单调增(减)区间.
2.比较同名三角函数值的大小时,应先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数,再运用三角函数单调性比较.
3.比较不同名三角函数值的大小时,先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数,再运用三角函数的单调性比较,也可以用数形结合思想或三角函数线比较.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练4(1)下列关系式正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
(2)求函数y=-3sin的单调区间.
(1)答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
4
5
A.R
B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.[-1,0)∪(0,1]
D.{x|x≠0}
解析:要使函数有意义,应有sin
x≠0,因此,x≠kπ(k∈Z).故定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
答案:B
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
3.函数f(x)=x3+sin
x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 .?
解析:∵f(a)=a3+sin
a+1=2,∴a3+sin
a=1.
∴f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin
a)+1=-1+1=0.
答案:0
1
2
3
4
5
解析:∵-2sin
x≥0,
∴sin
x≤0,
∴2kπ-π≤x≤2kπ,k∈Z,
∴函数的定义域是[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
1
2
3
4
5
5.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(2)sin
500°与sin
530°.
(2)sin
500°=sin
140°,sin
530°=sin
170°.
∵90°<140°<170°<180°,y=sin
x在(90°,180°)上是减少的,∴sin
140°>sin
170°,即sin
500°>sin
530°.(共19张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 平面向量的线性运算
1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算.
2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础.
专题一
专题二
专题三
【例1】如图,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,已知
专题一
专题二
专题三
解:如图,连接DN,CN.
专题一
专题二
专题三
所以点D的坐标为(-2,3)或(2,1).
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题二 平面向量的数量积及其应用
1.求两个向量的数量积主要有三种方法:(1)定义法,a·b=|a||b|cos
θ;(2)向量分解法,即将欲求数量积的两个向量都用已知向量(模已知,夹角已知)为基底进行分解,然后根据数量积运算的性质及运算律计算;(3)坐标运算法,即将向量建立到平面直角坐标系中,求出向量的坐标,然后进行计算.
2.向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两个向量垂直、平行、求两个向量的夹角、计算向量的长度等.
专题一
专题二
专题三
A.13
B.7
C.5
D.3
(2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=
.
①求向量a与b的夹角;
②求|3a+b|的值.
专题一
专题二
专题三
(方法二)以O为原点,OB所在直线为x轴,建立坐标系(如图).
则O(0,0),M(-2,0),N(2,0).
圆O的方程为x2+y2=9.
答案:C
专题一
专题二
专题三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
解析:由平面几何知识可求得CD=1.
专题一
专题二
专题三
专题三 数形结合思想方法的应用
数形结合思想是研究平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导的基本思想方法.向量的坐标表示的引入,使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合在一起.处理两直线平行、垂直的问题是几何问题,但可通过向量的坐标运算这种代数手段使问题解决,还可以利用向量的数量积处理线段的长度、两直线夹角问题.
专题一
专题二
专题三
【例3】
(1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.|a|=|b|
D.a+b=a-b
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )
专题一
专题二
专题三
解析:(1)(解法一)代数法.将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,
∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,
∴a·b=0,∴a⊥b.故选B.
(解法二)几何法.如图所示,
∵|a+b|=|a-b|,
∴?ABCD的两条对角线长度相等,
即?ABCD为矩形.
∴a⊥b.故选B.
专题一
专题二
专题三
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意知a⊥b,且a与b是单位向量,
∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1,
∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆,
答案:(1)B (2)C
专题一
专题二
专题三
变式训练3(1)已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论正确的是( )
A.向量a+b与a-b垂直
B.向量a-b与a垂直
C.向量a+b与a垂直
D.向量a+b与a-b共线
(2)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=
.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|= .?
专题一
专题二
专题三
解析:(1)如图所示,作
b,以OA和OC为邻边作?OABC,由于|a|=|b|≠0,则?OABC
是菱形,则必有AC⊥OB.
即(a+b)⊥(a-b).故选A.
(2)因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2=
知e1与e2的夹角为60°,所以b与e1,e2所成的角均为30°,(共35张PPT)
§5 正弦函数的图像与性质
§5 从力做的功到向量的数量积
一
二
三
一、向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,作
,
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.
2.范围:[0°,180°].当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
3.规定:零向量可与任一向量垂直.
四
一
二
三
答案:60° 120°
四
一
二
三
二、向量b在向量a方向上的射影
1.设向量a与向量b的夹角为θ,则|b|cos
θ叫作向量b在向量a方向上的射影(也叫投影).?
2.如图所示,当θ为锐角时,|b|cos
θ>0;
当θ=90°时,|b|cos
θ=0;当θ为钝角时,|b|cos
θ<0;当θ=0°时,|b|cos
θ=|b|;当θ=180°时,|b|cos
θ=-|b|.
四
一
二
三
【做一做2】
已知向量a,b的夹角是60°,|a|=5,|b|=8,则a在b方向上的射影等于 ,b在a方向上的射影等于 .?
b在a方向上的射影为|b|cos
θ=8×cos
60°=4.
四
一
二
三
三、向量的数量积(或内积)
1.定义:已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos
θ
.?
2.几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos
θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos
θ的乘积.?
3.物理意义:力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.
四
【做一做3】
若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于( )
答案:C
一
二
三
四
四、向量的数量积的性质
1.若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos
θ.
2.若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b,通常记作a⊥b?a·b=0.
5.对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
知识拓展1.性质(2)可用于证明垂直问题:a⊥b?a·b=0.
2.性质(3)表明:当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的长度.
3.性质(4)可用于求两个向量的夹角.
4.性质(5)可以解决有关“不等式”的问题.
5.由性质(5)可知a∥b?a·b=±|a||b|.
一
二
三
四
【做一做4】
若a·c=b·c(c≠0),则( )
A.a=b
B.a≠b
C.|a|=|b|
D.a在c方向上的射影与b在c方向上的射影必相等
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos
θ1=|b|·|c|cos
θ2.
∵c≠0,∴|a|cos
θ1=|b|cos
θ2.
答案:D
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)向量a在向量b上的射影一定为正数.
( )
(2)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c).
( )
(3)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c.
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求平面向量的数量积
【例1】
已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b);(4)|a+b|.
思路分析:依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可
解:(1)a·b=|a||b|cos
120°=2×3×
=-3.
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos
120°-3|b|2
=8-15-27=-34.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用数量积的性质求向量的模
解:(1)因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟根据数量积的定义a·a=|a||a|cos
0°=|a|2,得|a|=
,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|= .?
解析:由(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4·cos
60°-6×16=-72,得|a|=6(|a|=-4舍去).
答案:6
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用数量积求向量的夹角
【例4】
(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
思路分析:(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;
(2)可采用数形结合的方法构成平面图形求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(1)解析:因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.
设a,b的夹角为θ,
则2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
又|a|=|b|,
所以2|b|2cos
θ+|b|2=0,
因此cos
θ=-
,从而θ=120°.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
∴∠AOC=60°,即a与a+b的夹角为60°.
∵∠AOC=60°,∴∠AOB=120°.
即a与a-b的夹角为30°.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟求向量夹角的方法
1.求向量的夹角,主要是利用公式cos
θ=
求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
2.求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3已知a,b均为单位向量,(2a+b)·(a-2b)=
,则向量a,b的夹角为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用向量的数量积解决有关的垂直问题
【例5】
已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直.
思路分析:充分利用a·b=0?a⊥b这一条件.把问题转化为解方程.
解:由已知得a·b=3×2×cos
60°=3.若c⊥d,则c·d=0,∴c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟向量垂直问题的解决方法
1.直接法.证明或求解两个向量的夹角θ=90°即可.
2.数量积运算法.对非零向量a,b,a⊥b?a·b=0,这是非常重要的方法,也是向量数量积的重要性质.
3.当然有很多情况要借助数量积的运算律先加以转化,再利用垂直的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4(1)已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则
等于( )
(2)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.
(1)解析:由a+2b与a-2b互相垂直,得(a+2b)·(a-2b)=0,所以|a|2-4|b|2=0,即|a|2=4|b|2,
答案:D
(2)证明:(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos
120°-|b|·|c|cos
120°
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因对向量的夹角理解不正确而致误
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.要明确两向量夹角的定义及范围.
2.在三角形中往往容易把角的大小与向量夹角的大小混为一体.
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则实数λ的值为( )
答案:B
1
2
3
4
5
6
4.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .?
解析:|2a-b|2=4|a|2-4a·b+|b|2=4-0+4=8,
故|2a-b|=2
.
答案:2
1
2
3
4
5
6
答案:22
1
2
3
4
5
6
6.已知|a|=6,|b|=5.当:①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为45°时,分别求a与b的数量积.
解:①当a∥b时,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,所以a·b=|a||b|cos
θ=6×5×cos
0°=30;若a与b反向,则a与b的夹角θ=180°,所以a·b=|a||b|·cos
180°=6×5×(-1)=-30.
②当a⊥b时,向量a与b的夹角为90°,
所以a·b=|a|·|b|·cos
90°=6×5×0=0.(共32张PPT)
§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
一
二
三
一、向量的加法的定义
求两个向量和的运算,叫作向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.
一
二
三
二、向量的求和法则
1.三角形法则:如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点A,作
这个法则叫作向量求和的三角形法则.
一
二
三
一
二
三
【做一做1】
如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则
一
二
三
三、向量加法运算律
1.交换律:a+b=b+a.
2.结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
注意由于向量的加法满足交换律与结合律,因此,多个向量的加法运算就可按照任意的次序与组合来进行.例如,(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c)=(a+d)+(b+c).
【做一做2】
化简下列各组向量:
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意不共线向量a,b总有|a+b|<|a|+|b|成立.
( )
(2)当a与b共线且反向时|a+b|=|a|+|b|.
( )
(3)若a与b共线且同向时|a+b|=|a|+|b|.
( )
(4)若|a|=100,|b|=90,则|a+b|的范围为[10,190].
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用向量的加法法则作和向量
【例1】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b+c.
思路分析:可用三角形法则或平行四边形法则求出a+b,再与c求和.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.用三角形法则求和时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
2.用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”.
3.在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
向量的加法运算
【例2】如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量:
思路分析:此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则,观察是否具备应用法则的条件.若不具备,应改变条件,以便使用法则求解.
解:(1)因为ABCDEF是正六边形,O是中心,所以四边形OABC是平行四边形,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟进行向量的加法运算时要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中,运用平行四边形法则或三角形法则求和;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示,特别要注意运用
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2(1)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
解析:(1)在平行四边形ABCD中,
答案:(1)C (2)1
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
向量的加法运算律及应用
【例3】
化简下列各式:
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.意义.
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
2.应用原则.
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
向量加法的实际应用
【例4】
一艘船从点A出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为2
km/h,求船实际航行的速度的大小与方向.
思路分析:该问题属于实际应用题,其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确——垂直,因此解答本题可借助向量知识及直角三角形的边角关系求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:如图,
所以船实际航行的速度的大小为4
km/h,方向是与水流的方向成60°角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.向量的加法在物理学中应用较为广泛,如力的合成、速度的合成等,解决这类问题的关键是结合图形,利用平行四边形法则或三角形法则解决.
2.实际问题的向量解法的步骤:
把实际问题转化为向量问题→解决向量问题→把向量问题转化为实际问题
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求范围时因忽略了两向量共线的情况而致误
根据向量加法的三角形法则可得:
A,B,C三点构成三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.在解决向量的长度问题时,注意各向量的共线情况.当两向量长度一定,共线同向时,向量和的长度最大,共线反向时,两向量和的长度最小.
2.错解中忽略了A,B,C三点共线的情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练已知向量m与n不共线,且|m|=1,|n|=4,则|m+n|的取值范围是 .?
解析:因为m与n不共线,
所以有||m|-|n||<|m+n|<|m|+|n|,
即3<|m+n|<5.
答案:(3,5)
1
2
3
4
5
1.若向量a表示向东走1
km,向量b表示向南走1
km,则向量a+b表示( )
解析:由向量加法的平行四边形法则可知,a+b表示向东南走
km.
答案:A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.在长江南岸某渡口处,江水以12.5
km/h的速度向东流,渡船的速度为25
km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?
∴∠CAD=30°.
∴渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.(共25张PPT)
第一章
三角函数
§1 周期现象
一
二
一、周期现象
1.我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
2.自然界中海水的潮汐现象,日出日落,月缺月圆,寒来暑往,物理中的单摆运动等都是周期现象.
3.周期现象应具有的两个重要特征:
(1)经过相同的间隔;
(2)出现的现象重复.
【做一做1】
如果今天是星期六,那么16天后的那一天是( )
A.星期一
B.星期三
C.星期四
D.星期五
解析:因为16=7×2+2,而今天是星期六,所以16天后的那一天是星期一.
答案:A
一
二
【做一做2】
月球围绕地球转,月球到地球的距离随着时间的变化而变化,这种现象是周期现象,则周期是 .?
解析:月球围绕地球一个月转一圈.
答案:一个月
一
二
二、周期现象的判断
判断某种现象是不是周期现象,主要根据周期现象的两个重要特征,可结合以下几种形式加以判断:
1.根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断;
2.将问题涉及的变量的值列在表格中分析判断;
3.将问题涉及的数据以散点图表示出来观察判断.
一
二
【做一做3】
下列变化是周期现象的是( )
A.地球自转引起的昼夜交替变化
B.某同学每天做作业的时间
C.某交通路口每次绿灯亮时通过的车辆数
D.某同学每天打电话的时间
解析:由生活常识知某同学每天做作业的时间是可以变化的,不是周期现象;由生活常识知某交通路口每次绿灯亮时通过的车辆数是随机变化的,不是周期现象;由生活常识知某同学每天打电话的时间也不具有规律性,不是周期现象.故选A.
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)地球上南极点处极昼极夜的变化可以看作是周期现象.
( )
(2)小明上学经常迟到是周期现象.
( )
(3)周期现象的判断可以借助生活常识、表格或散点图来进行.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
周期现象的概念
【例1】
连续抛掷一枚骰子,点数可能为1,2,3,4,5,6.这六个点数是否会周期性地重复出现?
思路分析:从该现象是否重复出现,是否有相同的间隔两方面进行考虑.
解:连续抛掷一枚骰子,出现的点数是随机的,相同点数重复出现没有相同的间隔,因此不会周期性地重复出现.
反思感悟1.周期现象是指某种现象总是以相同的间隔重复出现.这里的间隔,可以是时间间隔,也可以是长度、距离间隔等,重复出现必须是无差别的重复出现.
2.一些现象是不是周期现象,其判断的依据是周期现象的特征,即每次都以相同的间隔出现,而且现象是无差别的重复出现.
探究一
探究二
探究三
变式训练1有以下现象:①候鸟的迁徙;②每年6月7号、8号高考;③某人每天看电视的时间;④化学元素的性质.其中是周期现象的有 (填序号).?
解析:③显然不是周期现象,其余均是周期现象.
答案:①②④
探究一
探究二
探究三
根据散点图判断周期现象
【例2】
一个地区不同日子里白昼的时长是不同的,下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间精确到0.1
h):
探究一
探究二
探究三
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在如图给定的平面直角坐标系中画出这些数据的散点图,并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9
h.
(2)白昼时间的变化是不是周期现象?请你估计一下,该地区来年6月21日的白昼时间是多少?
探究一
探究二
探究三
思路分析:首先根据表中提供的数据作出散点图,然后结合作出的散点图以及周期现象的特征分析和计算.
解:(1)散点图如下图所示,因为从4月27日至8月13日的白昼时间都超过15.9
h,所以该地区一年中白昼时间超过15.9
h的大约有4+31+30+31+13=109(天).
探究一
探究二
探究三
(2)由散点图可知白昼时间的变化是周期现象.估计该地区来年6月21日的白昼时间是19.4
h.
反思感悟1.根据散点图判断周期现象的基本步骤如下:收集数据—画出散点图—根据散点图分析.
2.根据散点图判断周期现象的关键是看随着一个变量的等值变化,另一个变量的值是否重复出现.
探究一
探究二
探究三
变式训练2我们的心跳都是有节奏、有规律的,心脏跳动时,血压在增大或减小.下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系,通过表中数据来研究血压变化的规律.
(1)根据上表数据在平面坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图;
(2)说明血压变化的规律.
探究一
探究二
探究三
解:(1)散点图如图所示.
(2)从散点图可以看出,每经过相同的时间间隔T,血压就重复出现相同的数值,因此,血压是周期性变化的.
探究一
探究二
探究三
周期现象的应用
【例3】
某班有48名学生,每天安排4名同学值日,一周上五天课,一学期按二十周计算,该班每位同学一学期要值日几次?
思路分析:先算出值日生轮完一遍需要几个上课日,再看一下二十周(实际只有100个上课日)能轮完几遍,便可得到每位同学值日次数.
解:共有48名学生,每天安排4名,则12个上课日就轮完一遍.而一学期有5×20=100个上课日,12×8=96个上课日,所以该班每位同学一学期至少值日8次,有一部分同学要值日9次.
反思感悟根据周期现象解决相关问题时,应抓住周期现象中的“经过相同的间隔(时间间隔等)”这一核心,因为这一相同的间隔,就是相应的周期.
探究一
探究二
探究三
变式训练3已知函数y=f(x)(x∈N+),若f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f(4)=0,
f(5)=1,f(6)=0,…,则可猜想f(2
019)= .?
解析:由已知可发现当x为奇数时,有f(x)=1,当x为偶数时,有f(x)=0.故f(2
019)=1.
答案:1
1
2
3
4
5
6
1.下列现象是周期现象的是( )
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.③④
解析:显然日出日落和潮汐是周期现象.故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
2.钟表分针的运行是一个周期现象,其周期为60
min,现在分针恰好指在2:00处,100
min后分针指在( )
A.8:00处
B.10:00处
C.11:00处
D.12:00处
解析:100=60+40,分针转过一个周期为12个大格,则40
min转过12×
=8个大格,2+8=10,故100
min后指针指在10:00处.
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.给出函数f(x)的一些函数值如下表:
则可以猜想f(2
018)= .?
解析:由于2
018=4×504+2,
而f(x)的函数值以4为周期重复出现,
故f(2
018)=f(2)=0.
答案:0
1
2
3
4
5
6
4.单摆运动是周期运动,如果一个单摆的周期为0.6
s,那么摆动4
s,小球经过了 个周期.?
1
2
3
4
5
6
5.如图所示,第45个图形是 色的 ;第126个图形是 色的 .?
解析:由图可以看出图形都是每隔6个重复出现一次,且序号是偶数的图形都是白色的,序号是奇数的图形都是黑色的.
因为45是奇数,且45=6×7+3,
所以第45个图形是黑色的正方形.
同理可得126=6×21,
所以第126个图形是白色的五角星.
答案:黑 正方形 白 五角星
1
2
3
4
5
6
6.太空中某星的亮度随着时间的变化而变化,下表是某研究人员在2月(按28天计算)观察该星所得到的数据:
试判断该星的亮度变化是不是周期现象,并推断下个月第14日该星的亮度等级是多少.
1
2
3
4
5
6
解:画出散点图,如图所示,从图中可以看出该星的亮度等级每隔7天又重复出现,是周期现象.事实上,无论从哪日算起,每隔7天,该星都会出现相同的亮度等级,所以下个月第14日该星的亮度等级是4.2.(共21张PPT)
7.3 正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式
(1)tan(2π+α)=tan
α;(2)tan(-α)=-tan
α;?
(3)tan(2π-α)=-tan
α;?
(4)tan(π-α)=-tan
α;(5)tan(π+α)=tan
α;?
名师点拨1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
【做一做】
求值:(1)tan
120°= ;?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为3<4<5,所以tan
345.
( )
(2)tan
=tan
α当且仅当k=2π时成立.
( )
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan
A>tan
B>tan
C.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
利用正切函数诱导公式求值
【例1】
计算:
(1)sin
1
590°·cos(-1
830°)+tan
1
395°·tan(-1
200°);
思路分析:利用诱导公式将负角、较大角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
解:(1)原式=sin(4×360°+90°+60°)·cos(5×360°+30°)-tan(4×360°-45°)·tan(3×360°+180°-60°)=cos
60°·cos
30°
探究一
探究二
探究三
思路分析:(1)可由已知条件求出φ的值,再代入求出tan
φ;
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.正切函数的诱导公式通常结合已知角求三角函数值,即知角求值,关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角,通常是特殊角的三角函数值.
2.给值求值时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值.
探究一
探究二
探究三
A.5
B.-5
C.25
D.与α的值有关
答案:A
探究一
探究二
探究三
(2)解:∵tan
225°=tan(180°+45°)=tan
45°=1,
探究一
探究二
探究三
利用正切函数的诱导公式化简或证明
思路分析:观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.
探究一
探究二
探究三
反思感悟与正弦函数、余弦函数一样,正切函数的诱导公式的记忆口诀也是“奇变偶不变,符号看象限”.
诱导公式结合特殊角的正切值,可求三角函数值.
求值流程图:
任意角的正切值→0~2π的角的正切值→锐角的正切值
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
探究一
探究二
探究三
变式训练2化简:
(2)tan
10°+tan
170°+sin
1
866°-sin(-606°).
(2)原式=tan
10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin(-720°+114°)
=tan
10°-tan
10°+sin
66°-sin
114°
=sin
66°-sin(180°-66°)
=sin
66°-sin
66°=0.
探究一
探究二
探究三
利用诱导公式和正切函数性质比较大小
【例4】
比较大小:tan
2,tan
3,tan
4.
思路分析:先利用诱导公式将tan
2,tan
3,tan
4转化为同一单调区间上的正切值,再利用单调性比较大小.
解:tan
2=tan(2-π),tan
3=tan(3-π),tan
4=tan(4-π).
∴tan(2-π)即tan
234.
探究一
探究二
探究三
反思感悟
比较正切函数值大小的方法
比较大小时,能求出具体函数值的,利用具体的函数值比较大小;不能求出具体的函数值的,一定先把它们化成同名的三角函数,再利用诱导公式把角转化为同一个单调区间上的角,利用函数的单调性进行比较大小.
探究一
探究二
探究三
变式训练3比较大小:
(2)tan
1
519°与tan
1
493°.
(2)tan
1
519°=tan(360°×4+79°)=tan
79°,tan
1
493°=tan(360°×4+53°)=tan
53°,
因为79°>53°,所以tan
1
519°>tan
1
493°.
1
2
3
4
5
1.tan
660°的值为( )
解析:tan
660°=tan(180°×3+120°)=tan
120°=-tan
60°=-
.
答案:C
1
2
3
4
5
2.下列各式成立的是( )
A.tan(π+α)=-tan
α
B.tan(π-α)=tan
α
C.tan(-α)=-tan
α
D.tan(2π-α)=tan
α
解析:tan(π+α)=tan
α;tan(π-α)=-tan
α;tan(-α)=-tan
α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tan
α.故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
3.若tan(π+α)=-
,则tan(3π-α)的值为( )
答案:A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan
β=0.
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan
β=tan(π-β)+tan
β=-tan
β+tan
β=0.(共27张PPT)
§7 向量应用举例
一
二
三
四
一、直线的法向量
1.一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量,一条直线的法向量有无数个.
2.直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量是(B,-A),它的一个法向量是(A,B).
【做一做1】
若直线l方程为3x-4y+1=0,则其单位法向量是 .?
一
二
三
四
二、点到直线的距离公式推导过程
【做一做2】
点A(2,4)到直线y=2x-1的距离为 .?
一
二
三
四
三、向量在平面几何中的应用
一
二
三
四
【做一做3】
点P是△ABC所在平面内一点,若
,其中λ∈R,则点P一定在( )
A.△ABC内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
∴P,A,C三点共线,
∴点P一定在AC边所在的直线上.
答案:B
一
二
三
四
四、向量方法在物理中的应用
1.力、速度、加速度、位移都是向量.
2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算,运动的叠加也用到了向量的合成.
3.功即是力F与所产生位移s的数量积.
一
二
三
四
【做一做4】
下图是用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力大小是 .?
解析:因为绳子等长,所以每根绳子的拉力和合力所成的角都相等,都等于60°,故每根绳子的拉力都是10
N.
答案:10N
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线l:Ax+By+C=0的方向向量为(A,B),法向量为(B,-A).
( )
答案:(1)× (2)√
探究一
探究二
探究三
点到直线距离公式的应用
【例1】
点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为
,则点P坐标为( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)
D.(2,1)或(-1,2)
解析:设P(a,5-3a),
∴|2a-3|=1.
∴a=2或a=1.
∴点P坐标为(2,-1)或(1,2).
答案:C
探究一
探究二
探究三
反思感悟求点到直线的距离一般先把直线化成一般
式:Ax+By+C=0,利用公式d=
求出点M(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,两平行线间的距离常转化为点到直线的距离去求.
探究一
探究二
探究三
变式训练1已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=( )
A.10
B.-16
C.10或-16
D.13
解得m=10或m=-16.
答案:C
探究一
探究二
探究三
向量在平面几何中的应用
【例2】
在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.求证:AF⊥DE.
证明:(方法一)建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为2,
探究一
探究二
探究三
(方法二)设正方形边长为1,
探究一
探究二
探究三
反思感悟
用向量证明平面几何问题的方法
用向量证明平面几何问题的方法,常见思路有两种.
(1)向量的线性运算法:
选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化
(2)向量的坐标运算法:
建立适当的平面直角坐标系→把相关向量坐标化→向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化
探究一
探究二
探究三
变式训练2已知点O是△ABC所在平面内一点,且满足
∴a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2.
∴c·b=a·c=b·a,
探究一
探究二
探究三
向量在物理中的应用
【例3】
如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
求:(1)|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况;
(2)当|F1|≤2|G|时,角θ的范围.
探究一
探究二
探究三
思路分析:力的合成就是向量的加法,先要画出物体的受力分析图.
解:画出物体的受力分析图如图.
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,得
∵0°≤θ<90°,
∴0°≤θ≤60°,
∴角θ的范围是0°≤θ≤60°.
反思感悟用向量知识解决的实际问题,一般难度较大.解题时既要把问题转化为向量,又要注意到向量与实际问题的不同.得到的向量结论与实际结论也可能有所区别.
探究一
探究二
探究三
变式训练3如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8
m,其中|F1|=2
N,方向为北偏东30°;|F2|=4
N,方向为北偏东60°;|F3|=6
N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
探究一
探究二
探究三
1
2
3
4
5
6
1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为( )
答案:B
1
2
3
4
5
6
A.不共线
B.平行
C.相交
D.以上均不对
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.已知作用在A点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为( )
A.(9,1)
B.(1,9)
C.(9,0)
D.(0,9)
解析:F=F1+F2+F3=(8,0).∵起点坐标为A(1,1),
∴终点坐标为(9,1).故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
4.过点A(2,-3),且与向量m=(4,-3)垂直的直线方程为
.?
解析:由题设直线方程为4x-3y+c=0,点A(2,-3)在直线上,∴c=-17.
答案:4x-3y-17=0
1
2
3
4
5
6
5.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60
m,若纤绳与行进方向的夹角为
,人的拉力为50
N,则纤夫对船所做的功为 .?
1
2
3
4
5
6
6.如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EF∥BC.
连接BF,∵F是AC的中点,
1
2
3
4
5
6(共21张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数的求值与化简
三角函数的求值与化简主要是指根据三角函数的定义及诱导公式求三角函数式的值或对三角函数式化简.要掌握三角函数的定义、特殊角的三角函数值,熟记诱导公式.
专题一
专题二
专题三
【例1】
(1)已知角α终边上一点P(-4,3),
①求cos
θ的值;
②求tan(θ-3π)的值.
分析:(1)先根据三角函数的定义求出sin
α,cos
α,tan
α的值,再将待求值式子化简,最后代入求值.(2)根据三角函数的定义,先求出sin(π+θ)与cos(π+θ)以及tan(π+θ)的值,再化简求值.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练1(1)角α的终边上有一点P(m,5),且cos
α=
(m≠0),则sin
α+cos
α= .?
专题一
专题二
专题三
专题二 三角函数的图像与变换
三角函数的图像一般用五点法作图,作图的关键是正确找出五个关键点;根据三角函数的图像求解析式可以利用代入法,也可以用五点作图中的关键点法;图像的变换问题要注意变换的顺序以及函数名的统一.
专题一
专题二
专题三
【例2】
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是 .?
专题一
专题二
专题三
解析:(1)由于T=π,则ω=2,
则只要将函数y=f(x)的图像上所有点向左平移
个单位长度就得到函数g(x)=cos
ωx的图像.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练2(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图像如图所示,则φ= .?
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题三 三角函数的性质
1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k及y=Atan(ωx+φ)+k的形式,再用公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期.
2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当
3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.
专题一
专题二
专题三
4.求三角函数的最值有三种方法:(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值域求得;(2)利用换元法,把sin
x,cos
x看成一个变量,转化为求二次函数的最值;(3)利用数形结合.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
答案:B
专题一
专题二
专题三
答案:C
专题一
专题二
专题三
(3)思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解:令t=sin
x.
专题一
专题二
专题三
(2)函数y=Asin(ωx+φ)
在x∈(0,7π)内只取到一次最大值和一次最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.
①求此函数的解析式;
②求此函数的单调递增区间.
专题一
专题二
专题三
答案:C
专题一
专题二
专题三
所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).(共40张PPT)
习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
一
二
三
一、用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图像简图、步骤
3.描点画图,再利用函数的周期性,可把所得简图向左、右分别扩展,从而得到y=Asin(ωx+φ)的简图.(但一般这步只作叙述,图像上不体现出来也可)
一
二
三
二、确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的常用方法
1.代入法:把图像上的一个已知点代入(此时,A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
2.五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;
“第五点”为ωx+φ=2π.
一
二
三
三、图像变换的两种主要途径
1.先平移后伸缩:
y=sin
x的图像
一
二
三
2.先伸缩后平移:
一
二
三
特别提醒1.当φ=kπ(k∈Z)时,y=sin(x+φ)是奇函数,当φ=kπ+
(k∈Z)时,y=sin(x+φ)是偶函数.
2.当φ=kπ(k∈Z)时,y=cos(x+φ)是偶函数,当φ=kπ+
(k∈Z)时,y=cos(x+φ)是奇函数.
3.若函数f(x)的图像对称轴为x=a,则有f(2a-x)=f(x)成立,反之也成立.
4.函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求解一定要明确ω的正负,若ω为负,则先利用诱导公式将x的系数变为正,再求单调区间.
5.求函数y=Asin(ωx+φ)的最值时,一定要弄清函数定义域,不要凭想当然认为sin(ωx+φ)总是满足-1≤sin(ωx+φ)≤1.
一
二
三
【做一做1】
为了得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需把函数y=sin
2x的图像上所有的点( )
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
答案:A
一
二
三
【做一做2】
如图是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的一部分,则它的一个解析式为( )
一
二
三
答案:D
一
二
三
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
答案:A
一
二
三
【做一做4】
函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π]的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为 .?
解析:由已知得f(x)=sin
x+2|sin
x|=
作出函数f(x)与直线y=k的图像(图略),由图像可得出k的取值范围为(1,3).
答案:(1,3)
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的图像及简单应用
【例1】
(1)利用“五点法”作余弦函数的图像时,第三个关键点的坐标为( )
(2)用“五点法”作函数y=2sin
+3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.
(1)答案:C
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)解:①列表.
②描点、连线作出一周期的函数图像.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图像时,应先令ωx+φ分别为
,2π,再解出自变量x的对应值,作出一周期内的图像.
2.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的变量x的范围.
探究一
探究二
探究三
答题模板
变式训练1(1)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
(2)用“五点法”作出函数y=cos
在长度为一个周期的闭区间上的简图.
探究一
探究二
探究三
答题模板
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
答案:C
(2)解:列表.
探究一
探究二
探究三
答题模板
描点作图.
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的图像变换
【例2】(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)
的图像如图所示,为了得到y=sin
ωx的图像,只需把y=f(x)的图像上所有点( )
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)函数h(x)=2sin
的图像与函数f(x)的图像关于点(0,1)对称,则函数f(x)可由h(x)经过( )的变换得到.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)设点P(x',y')是函数f(x)图像上任意一点,则点P关于点(0,1)的对称点Q(x,y)一定在函数h(x)的图像上,利用中点坐标公式可以求得x=-x',y=2-y',所以有2-y'=2sin
,
答案:(1)A (2)A
反思感悟1.三角函数的图像变换一定要明确“初始点”与“目标点”.这样不致于产生方向上的错误.
2.当函数名称不统一时,切记要将函数名先统一再变换.
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)要得到函数y=-2sin
x的图像,只需将函数y=2cos
x的图像( )
探究一
探究二
探究三
答题模板
答案:(1)C (2)C
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的综合性质
思路分析:(1)根据周期公式
求解;(2)先根据x的取值范围求出2x-φ的范围,再结合正弦函数的单调性确定sin(2x-φ)的取值范围,从而得到f(x)的值域即可得到函数的最值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟三角函数性质的应用
1.周期性:函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为
2.三角函数的最值求法
(1)利用sin
x,cos
x的有界性;
(2)从y=Asin(ωx+φ)+k(ω>0)的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:把sin
x或cos
x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
3.若函数图像关于x=a对称,则一定有f(x)=f(2a-x)与f(a+x)=f(a-x)成立,反之若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x),则可证明函数图像关于x=a对称.
探究一
探究二
探究三
答题模板
f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ= .?
①求函数的解析式;
②写出该函数的单调区间.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
正弦型函数在高考中的考查
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到
y=g(x)的图像,若y=g(x)图像的一个对称中心为
,求θ的最小值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
可求出ω,φ,由表格中的最值可确定A.
(2)写出y=g(x)的函数解析式,类比y=sin
x图像的对称中心为(kπ,0),k∈Z,利用整体思想建立关于θ的方程,根据k∈Z及θ>0,求出θ的最小值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
数据补全如下表:
探究一
探究二
探究三
答题模板
名师点评1.本题在知识层面上考查了五点法作图、图像变换及三角函数的性质.
2.在能力层面上,(1)ω,φ的求解考查了方程的思想;(2)θ的求解考查了整体思想和函数思想.
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
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4
5
1
2
3
4
5
答案:A
1
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3
4
5
3.已知函数f(x)=2
sin(2x+θ),x∈R为偶函数,则θ= .?
解析:因为f(x)为偶函数,则根据诱导公式,f(x)一定能够转化为
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共36张PPT)
§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
一
二
一、两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β,简记为Cα-β.?
名师点拨1.公式的结构特征:公式右端是两角α,β的余弦值之积与正弦值之积的和,即“同名相乘,加号连接”.
2.公式的适用范围:公式适用于任意角α,β,可以是单独一个角,也可以是几个角的组合.
3.注意公式的逆用、变形应用是灵活使用公式的前提,如cos
αcos
β+sin
αsin
β=cos(α-β),(cos
α+cos
β)2+(sin
α+sin
β)2=2+2cos(α-β)等.
一
二
【做一做1】
cos(-15°)的值为( )
解析:cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos
30°·cos
45°+sin
30°·sin
45°
答案:B
【做一做2】
求值:cos
79°cos
19°+sin
79°sin
19°= .?
一
二
二、两角和与差的正弦、余弦公式
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β,简记为Cα+β;?
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β,简记为Sα+β;?
sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β,简记为Sα-β.?
名师点拨1.公式的记忆技巧
2.上述公式不仅要能够正用,还要善于逆用、变形用.
一
二
一
二
答案:A
【做一做4】
sin
69°·cos
99°-cos
69°·sin
99°= .?
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
( )
(2)不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
( )
(3)对于任意的α和β,有cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.
( )
(4)不存在这样的α和β的值,使得sin(α-β)≠sin
αcos
β-cos
αsin
β.
( )
(5)存在这样的α和β的值,使sin(α+β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
探究一
探究二
探究三
探究四
给角化简求值问题
【例1】
化简或求值:
(1)sin
43°cos
13°-sin
13°sin
47°;
(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α);
思路分析:(1)式子中出现了三个角,但注意到43°与47°可以用诱导公式转换,从而可以选择公式求值.(2)式子中出现的角是“整体”的形式,要把“α-35°”看作角“α”,把“25°+α”看作角“β”,再逆用两角差的余弦公式.(3)直接利用两角和与差的余弦公式展开即可化简.(4)将sin
47°改写为sin(17°+30°),再用公式展开化简.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)方法一:sin
43°cos
13°-sin
13°sin
47°
=sin
43°cos
13°-sin
13°cos
43°
=sin(43°-13°)=sin
30°=
.
方法二:sin
43°cos
13°-sin
13°sin
47°
=cos
47°cos
13°-sin
13°sin
47°
=cos(47°+13°)
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给角化简求值问题,是指给出一个三角函数式,其中的角度已知,通过公式的运用,对三角函数式进行化简求值.
2.对于给角求值问题,一般所给的角都不是特殊角,无法直接运算,这时通常是观察非特殊角与特殊角间的关系,通过合理地运用两角和与差的三角函数公式,将非特殊角转化为特殊角,或使含有非特殊角的式子出现“正负抵消”或“分子分母约分”的情况,从而消除非特殊角,进而求得式子的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1化简下列各式:
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:(1)B (2)-1
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求值问题
(2)若将cos(α+β)展开,利用平方关系求cos
β,则运算量大,而利用角的变换β=(α+β)-α,两边取余弦即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给值求值型问题,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的终边所在的象限确定符号.
2.对于例2(2)的解法显然要比将cos(α+β)展开再结合平方关系解方程组的方法简单得多,所以在给值求值问题中,认真分析已知角与未知角的关系,将未知角用已知角巧妙地表示是至关重要的.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求角问题
思路分析:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),而余弦函数在(0,π)上是减少的,因此先求α+β的余弦值,进而求出α+β的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
给值求角问题的步骤
给值求角问题,步骤是:(1)先求该角的某一三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一三角函
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
辅助角公式的应用
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
思路分析:利用辅助角公式将f(x)转化为正弦型函数,再研究函数的周期和最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
辅助角公式的应用
2.研究三角函数的性质时,通常要将函数解析式化为Asin(ωx+φ)的形式,如果不具备这种形式,通常就需要运用辅助角公式,将其转化为这一形式,再研究相应的性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:(1)B (2)B
1
2
3
4
5
6
1.cos
45°cos
15°+sin
15°sin
45°的值为( )
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.在△ABC中,若sin
A·sin
BA·cos
B,则△ABC一定为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析:由已知得cos
A·cos
B-sin
A·sin
B>0,
即cos(A+B)>0,∴A+B为锐角,则C为钝角.
答案:D
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
5.计算或化简下列各式:
(1)cos
15°cos
105°-cos
15°sin
15°;
(2)sin(α-30°)+sin(α+30°);
(3)sin(2α+β)-2cos(α+β)sin
α.
解:(1)原式=-cos
15°cos
75°-sin
75°sin
15°
=-(cos
75°cos
15°+sin
75°sin
15°)
(2)原式=sin
αcos
30°-cos
αsin
30°+sin
αcos
30°+cos
αsin
30°=2sin
αcos
30°=
sin
α.
(3)原式=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin
α
=sin(α+β)cos
α+cos(α+β)sin
α-2cos(α+β)sin
α
=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=sin[(α+β)-α]=sin
β.
1
2
3
4
5
6
解:∵2α=(α-β)+(α+β),
∴cos
2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β).(共32张PPT)
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
一
二
三
一、正弦函数、余弦函数的基本性质
根据正弦函数y=sin
x和余弦函数y=cos
x的定义,我们不难从单位圆看出函数y=sin
x,y=cos
x有以下性质:
1.定义域是R;
2.最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
3.它们是周期函数,其周期都是2kπ(k∈Z),最小正周期为2π;
y=cos
x在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在每一个区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
一
二
三
【做一做1】
(1)函数y=-2sin
x的定义域是 ,值域是 ,最小正周期是 ,在区间 上是增加的,在区间 上是减少的.?
(2)函数y=cos
x-2的定义域是 ,最大值为 ,最小值为 ,在区间 上是增加的,在区间 上是减少的.?
(2)R -1 -3 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
一
二
三
二、特殊角的终边的对称关系
1.角-α的终边与角α的终边关于x轴对称;
2.角α±π的终边与角α的终边关于原点对称;
3.角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
一
二
三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin
α,cos(2kπ+α)=cos
α.
(1.8)
sin(-α)=-sin
α,cos(-α)=cos
α.
(1.9)
sin(2π-α)=-sin
α,cos(2π-α)=cos
α.
(1.10)
sin(π-α)=sin
α,cos(π-α)=-cos
α.
(1.11)
sin(π+α)=-sin
α,cos(π+α)=-cos
α.
(1.12)
公式1.8~1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
一
二
三
2.诱导公式的记忆方法
一
二
三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程
任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数
上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了化未知为已知的数学思想.
一
二
三
【做一做3】
cos
330°等于( )
答案:C
【做一做4】
sin
95°+cos
175°的值为( )
A.sin
5°
B.cos
5°
C.0
D.2sin
5°
解析:sin
95°+cos
175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos
5°-cos
5°=0.
答案:C
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若α+β=π,则α与β的终边关于y轴对称.( )
(3)存在角α,使sin(π+α)=sin
α,cos(π-α)=cos
α.
( )
(4)在△ABC中,若A+B=
,则均有sin
A=cos
B,cos
A=sin
B成立.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
【例1】
已知函数y=-3sin
x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
思路分析:可模仿函数y=sin
x的有关性质来研究函数y=-3sin
x+1的相关性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)由y=sin
x的性质可得y=-3sin
x+1的性质如下:
定义域:R.
值域:[-2,4].
周期性:周期为2π.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟对于形如y=asin
x+b的函数性质的研究可借助y=sin
x的性质.要清楚a,b对函数y=asin
x+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1求函数y=2cos
x-4的定义域、值域、最值、周期以及单调区间.
解:由y=cos
x的基本性质可知函数y=2cos
x-4的性质如下:
定义域:R.
值域:[-6,-2].
最值:当x=2kπ(k∈Z)时,取最大值为-2;
当x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值为-6.
周期:周期为2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π.
单调区间:由y=cos
x的单调性可知,y=2cos
x-4在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
探究一
探究二
探究三
探究四
利用诱导公式化简与求值
【例2】
计算:
(1)sin2120°+cos
180°+tan
45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:
解:(1)cos
945°=cos(2×360°+225°)
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求值问题
思路分析:首先对所求三角函数中的角与已知三角函数中的角作
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给值求值问题,观察已知角和待求角的关系,运用诱导公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相同的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
诱导公式在三角形中的应用
思路分析:充分利用三角形内角和定理以及诱导公式,寻求两内角之间的关系,从而确定三角形形状.
解:∵A+B+C=π,∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.
∴cos
C=cos
B.
又B,C为△ABC的内角,
∴C=B,∴△ABC为等腰三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.在△ABC中,有A+B+C=π,
,因此在解决三角形中的三角函数问题时,要注意充分利用诱导公式.
2.在三角形中,当cos
C=cos
B时,一定有C=B;若sin
C=sin
B,也一样能得到C=B.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)证明:①因为A+B+C=π,所以sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin
A,原式成立.
②因为A+B+C=π,
1
2
3
4
5
答案:D
1
2
3
4
5
答案:A
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3
4
5
答案:C
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