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第四章
圆
与
方
程
4.1 圆
的
方
程
4.1.1 圆的标准方程
圆的标准方程
圆心为C(x0,y0),半径为r的圆的标准方程为(x-x0)2+
(y-y0)2=r2,特别地,圆心在原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2.
【思考】
(1)如果圆的标准方程为(x+x0)2+(y+y0)2=a2(a≠0),那么圆的圆心、半径分别是什么?
提示:圆心为(-x0,-y0),半径为|a|.
(2)如果点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,那么
=r2,若
点P在圆内呢?圆外呢?
提示:若点P在圆内,则
若点P在圆外,则
>r2.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)圆的标准方程由圆心、半径确定.
( )
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.
( )
(3)原点在圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2上,则
=r2.( )
提示:(1)√.如果圆的圆心位置、半径确定,圆的标准
方程是确定的.
(2)×.当m=0时,表示点(a,b).
(3)√.原点在圆上,则(0-x0)2+(0-y0)2=r2,即
=r2.
2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程
为
( )
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53
D.(x-2)2+(y+3)2=13
【解析】选D.半径r=
则以C(2,-3)为圆心的圆的标准方程为(x-2)2+
(y+3)2=13.
3.下列各点在圆x2+(y-2)2=1上的是
( )
A.(1,0)
B.(1,1)
C.(1,2)
D.(1,3)
【解析】选C.由于12+(0-2)2=5≠1,故排除A;
由于12+(1-2)2=2≠1,故排除B;
由于12+(2-2)2=1,故选项C满足条件;
由于12+(3-2)2=2≠1,故排除D.
类型一 圆的标准方程求法
角度1 直接法
【典例】(2019·淮南高一检测)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,3)的圆的方程是
( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.x2+(y-3)2=1
D.x2+(y+3)2=1
【思维·引】根据圆心在y轴设出方程,求未知数.
【解析】选C.由题意,设圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,由于圆过点(1,3),可得1+(3-b)2=1,解得b=3,所以所求圆的方程为x2+(y-3)2=1.
角度2 待定系数法
【典例】若圆经过点(2,0),(0,4),(0,2),求圆的标准方程.
【思维·引】设出圆的标准方程,列方程组求系数.
【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆经过点(2,0),(0,4),(0,2),将已知点代入方程得:
解得
所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=10.
【素养·探】
在求圆的标准方程过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过列、解方程组求出圆心、半径后得到圆的标准方程.
将本例中的三个点改为(0,0),(1,1),(4,2),求圆的标准方程.
【解析】设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有
解得
所以圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
角度3 几何性质法
【典例】1.(2019·合肥高一检测)已知圆C:(x-6)2+
(y-8)2=4,O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程
为
( )
A.(x-3)2+(y+4)2=100
B.(x+3)2+(y-4)2=100
C.(x-3)2+(y-4)2=25
D.(x+3)2+(y-4)2=25
2.(2019·武邑高一检测)已知圆C的圆心在直线x-2y-3=0上,并且经过A(2,-3)和B(-2,-5),求圆C的标准方程.
【思维·引】1.求出圆心C的坐标,再分别求出要求圆的圆心,半径后写出圆的标准方程.
2.圆心在已知直线、弦AB的垂直平分线上,求出圆心后求半径.
【解析】1.选C.圆C的圆心坐标C(6,8),则OC的中点坐
标为E(3,4),半径|OE|=
=5,则以OC为直径的圆的
方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
2.由已知得线段AB的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0
的交点即为圆C的圆心.线段AB的斜率为:kAB=
所以线段AB的中垂线所在直线的斜率为-
=-2,又因
为线段AB的中点为(0,-4),所以线段AB的中垂线所在直
线方程为:y+4=-2x,即2x+y+4=0.
由
求得
所以圆C的圆心坐标为
(-1,-2),所以圆C的半径r满足:r2=(2+1)2+(-3+2)2=10,
所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
【类题·通】
1.直接法求圆的方程
圆的方程由圆心、半径决定,因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程.
2.待定系数法,圆心(a,b)、半径为r,
特殊位置
标准方程
圆心在x轴上
(x-a)2+y2=r2
圆心在y轴上
x2+(y-b)2=r2
与x轴相切
(x-a)2+(y-b)2=b2
与y轴相切
(x-a)2+(y-b)2=a2
3.利用圆的性质求方程
求圆的方程时,可以利用圆的性质求圆心、半径,如弦的垂直平分线过圆心,过切点垂直于切线的直线过圆心等.
【习练·破】
1.已知圆心在点P(-2,3),并且与y轴相切,则该圆的方程是
( )
A.(x-2)2+(y+3)2=4
B.(x+2)2+(y-3)2=4
C.(x-2)2+(y+3)2=9
D.(x+2)2+(y-3)2=9
【解析】选B.因为圆心点P(-2,3)到y轴的距离为|-2|
=2,且圆与y轴相切,所以圆的半径为2,则该圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.
2.(2019·张家界高一检测)圆C的圆心为点(8,3),且经过点A(5,1),则圆C的方程为________.?
【解析】因为圆C的圆心为点(8,3),且经过点A(5,1),
所以半径为
所以圆C的方程为
(x-8)2+(y-3)2=13.
答案:(x-8)2+(y-3)2=13
3.(2019·牡丹江高一检测)已知圆经过A(2,4),B(3,5)两点,且圆心C在直线2x-y-2=0上,求圆C的方程.
【解析】因为圆C经过A(2,4),B(3,5)两点,所以圆心C
在线段AB的垂直平分线y=-x+7上,又因为圆心C在直线
2x-y-2=0上,所以联立
解得C(3,4),圆C的
半径r=|AC|=
=1,所以圆C的方程是(x-
3)2+(y-4)2=1.
【加练·固】
1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是
( )
A.(x-2)2+(y+3)2=13
B.(x+2)2+(y-3)2=13
C.(x-2)2+(y+3)2=52
D.(x+2)2+(y-3)2=52
【解析】选A.设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),由
于圆心坐标为(2,-3),所以a=4,b=-6,所以圆的半径r=
从而所求圆的方程是(x-2)2+(y+
3)2=13.
2.(2019·潍坊高一检测)经过A(4,0),B(2,0)两点,且圆心在直线x-y+1=0上的圆的方程为
( )
A.(x-3)2+(y-4)2=17
B.(x-4)2+(y-5)2=25
C.(x-3)2+(y+4)2=17
D.(x+4)2+(y+5)2=25
【解析】选A.过A(4,0),B(2,0)两点的中垂线的方程为
x=3,联立
解得
所以圆心坐标为(3,4),
半径r=
所以所求圆的方程为(x-
3)2+(y-4)2=17.
类型二 点与圆的位置关系
【典例】1.(2019·赣州高一检测)已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足
( )
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
2.(2019·慈溪高一检测)点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2
+y2=1的内部,则a的取值范围是
( )
世纪金榜导学号
A.-1B.a<
C.-
D.-
【思维·引】
1.代入点的坐标,判断不等号的方向.
2.代入点的坐标,解不等式求范围.
【解析】1.选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P(3,2)
在圆内.
2.选D.由圆(x-1)2+y2=1,得到圆心坐标为(1,0),半径
r=1,点P在圆(x-1)2+y2=1的内部,所以(5a+1-1)2+
(12a)2<1?|a|<
,所以-
.
【内化·悟】
点P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,当点P在圆外、圆内时满足的关系式是什么?
提示:当点P在圆外时,(x0-a)2+(y0-b)2>r2;当点P在圆内时,(x0-a)2+(y0-b)2【类题·通】
点与圆位置关系的判断与应用
(1)位置关系的判断:
①几何法:判断点到圆心的距离与半径的大小;
②代数法:将点的坐标代入圆的方程左边,判断与r2的大小.
(2)位置关系的应用:
代入点的坐标,利用不等式求参数的范围.
【习练·破】
已知圆心为点C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系.
【解析】因为圆心是C(-3,-4),且经过原点,
所以圆的半径r=
=5,
所以圆的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.
因为
所以P1(-1,0)在圆内;
因为
=5,
所以P2(1,-1)在圆上;
因为
=6>5,
所以P3(3,-4)在圆外.
【加练·固】
(2019·东安高一检测)点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是
( )
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.
D.
【解析】选D.因为点(2a,a-1)在圆的内部,所以
解得-
4.2.3
直线与圆的方程的应用
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
【思考】利用坐标法解决直线与圆的问题时,建立坐标系需要遵循的原则是什么?
提示:一般借助图形中的对称轴、对称中心分别为坐标轴、原点建系,如果图形没有对称性,则利用图形中的边为坐标轴,尽可能多的把图形中的点、线放到坐标轴上.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建.
( )
(2)圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|-|OM|.
( )
(3)已知点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1=x2,y1≠y2,则PQ与x轴垂直.
( )
【提示】(1)×.建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响,应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系.
(2)√.数形结合可知,当P,O,M三点共线,且M在P,O之间时,距离最小.
(3)√.若x1=x2,y1≠y2,则直线PQ的斜率不存在,直线PQ与x轴垂直.
2.方程y=
对应的曲线是
( )
【解析】选A.由方程y=
,得x2+y2=4(y≤0),它
表示的图形是圆x2+y2=4在x轴以下的部分.
3.如图,圆弧形拱桥的跨度AB=12米,拱高CD=4米,则拱桥的直径为________.?
【解析】设圆心为O,半径为r,则由勾股定理得OB2=
OD2+BD2,即r2=(r-4)2+62,解得r=
,所以拱桥的直径
为13米.
答案:13米
类型一 直线与圆的实际应用问题
【典例】为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪
储备基地(如图所示),它的附近有一条公路.从基地中
心O处向东走1
km是储备基地的边界上的点A,接着向东
再走7
km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8
km
到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.
世纪金榜导学号
【思维·引】建立坐标系,写出直线BC的方程,点O到直线BC的距离减去半径,即为DE的最短距离.
【解析】以O为坐标原点,过OB,OC所在的直线分别为x
轴和y轴建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为
x2+y2=1.因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为
=1,即x+y=8.当点D为与直线BC平行的直线(距BC
较近的一条)与圆的切点时,|DE|为最短距离,此时DE的
长为
-1=(4
-1)
km.
【类题·通】
求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤
(1)认真审题,明确题意.
(2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程.
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.
(4)把代数结果还原为实际问题的解.
提醒:在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题时要注意范围.
【习练·破】
如图所示,l是东西走向的一条水管,在水管北侧有两个
半径都是10
m的圆形蓄水池A,B(A,B分别为蓄水池的圆
心),经测量,点A,B到水管l的距离分别为55
m和25
m,
AB=50
m.以l所在直线为x轴,过点A且与l垂直的直线为
y轴,建立如图所示的平面直角坐标系(O为坐标原点).
(1)求圆B的方程.
(2)计划在水管l上的点P处安装一接口,
并从接口出发铺设两条水管,将l中的水
引到A,B两个蓄水池中,问点P到点O的距离为多少时,铺设的两条水管总长度最小?并求出该最小长度.
【解析】(1)过点B作BC⊥OA于点C,如图所示,则在Rt△ABC中,AB=50,AC=55-25=30,所以BC=40.又B到x轴的距离为25,所以B(40,25),所以圆B的方程为(x-40)2
+(y-25)2=100.
(2)设圆A关于x轴对称的圆为圆D,则圆D:x2+(y+55)2
=100,D(0,-55).又B(40,25),所以kDB=
=2,
所以直线BD的方程为2x-y-55=0.
因为|AP|=|DP|,所以|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,所以当点
D,P,B三点共线时|DP|+|BP|最小,即|AP|+|BP|最小,最
小值为|BD|=
由
解得
即点P到点O的距离为
m时,铺设的两条水管总长度最小,最小为(40
-
20)m.
【加练·固】
如图,一座圆拱桥,当水面在m位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米.当水面下降1米后水面宽多少米?
【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得:
A(6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.将A的坐标代入圆的方程可得r=10,所以
圆的方程是:x2+(y+10)2=100,则当水面下降1米后可设
A′的坐标为(x0,-3)(x0>0)代入圆的方程可得x0=
,
所以当水面下降1米后,水面宽为2
米.
类型二 坐标法的应用
【典例】如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB的中
点,用坐标法证明:
(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+
|BE|2+|CF|2.
世纪金榜导学号
【思维·引】建立直角坐标系,设出点A,B,C,D的坐标,利用已知关系确定坐标关系即可.
【解析】以B为原点,BC为x轴建立平面直角坐标系如图所示:
设C(a,0),A(b,c),则
由左边公
式可得,左边=
(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=
(b2+c2+a2+a2
-2ab+b2+c2)=
(a2+b2+c2-ab),
同理可得,右边=|AD|2+|BE|2+|CF|2=
=
(a2+b2+c2-ab),所以
(|AB|2+|BC|2+
|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.
【内化·悟】
利用坐标法证明几何问题有什么优点?
提示:将图形关系证明转化为坐标计算,简化了烦琐的几何证明过程.
【类题·通】
坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴.
(2)充分利用图形的对称性.
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称.
(4)关键点的坐标易于求得.
【习练·破】
已知点P为正方形ABCD内一点,且满足∠PAB=∠PBA=
15°,用坐标法证明△PCD为等边三角形.
(tan
15°=2-
)
【证明】设正方形的边长为2,以P为坐标原点建立如图所示的坐标系,
则B(1,-tan15°),C(1,2-tan15°),D(-1,2-tan15°),
因为tan15°=2-
,所以C(1,
),D(-1,
),所以
|PC|=|PD|=|CD|=2,所以△PCD为等边三角形.
【加练·固】
在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,
求证:△ABC为等腰三角形.
【证明】如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2=|AD|2
+|BD|·|DC|,所以由两点间的距离公式,得b2+a2=
d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d),又d-b≠0,故-b-d=c-d,即-b=c,所以△ABC为等腰三角形.
类型三 与圆相关的最值问题
角度1 利用几何意义求最值
【典例】(2019·抚顺高一检测)已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是
( )
A.6
B.3+
C.14+6
D.14
【思维·引】利用x2+y2=
的几何意
义求最值.
【解析】选C.方程x2+y2+4x-2y-4=0变形为(x+2)2+(y-1)2=9,表示圆心为(-2,1),半径为3的圆,画出相应的图形,如图所示:
连接OB并延长,与圆B交于A点,此时x2+y2的最大值为
|AO|2,又|AO|=|AB|+|BO|=
则
|AO|2=(3+
)2=14+6
,即x2+y2的最大值为14+6
.
【素养·探】
在利用几何意义求最值时,常常用到核心素养中的直观想象,可以将式子变形,赋予其几何意义,再利用几何性质求最值.
本例的条件不变,试求|x+y+6|的最小值.
【解析】|x+y+6|=
表示圆上点到直线
x+y+6=0的距离的
倍,最小为圆心到直线的距离减
半径的
倍,即
角度2 与切线相关的最值
【典例】点P在直线4x+3y+20=0上,PA,PB与圆x2+y2=4相切于A,B两点,则四边形PAOB面积的最小值为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】利用切线的性质表示出面积,确定决定面积最值的量,从而求该量的最小值.
【解析】根据题意,圆的方程为x2+y2=4,则圆心(0,0),
半径r=2,又由|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,则S四边形PAOB=2S△PAO
=2×
×|PA|·|AO|=2PA,在Rt△PAO中,有|PA|2=|PO|2-
r2
=|PO|2-4,则当PO最小时,PA最小,此时所求的面积也最
小,点P是直线4x+3y+20=0上的动点,则PO的最小值为d=
=4,PA的最小值为
故S四边形PAOB=2PA≥4
.
答案:4
【类题·通】
1.利用直线与圆的方程解决最值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有斜率、截距、距离等.
(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
2.涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数
形结合求解,一般地:
(1)形如u=
形式的最值问题,可转化为动直线斜
率的最值问题.
(2)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为点
(x,y)与点(a,b)的距离最值问题.
(3)形如|Ax+By+C|形式的最值问题,可以转化为点(x,y)
到直线Ax+By+C=0的距离的最值的
倍问题.
【习练·破】
1.(2019·长春高一检测)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为
( )
A.6
B.
C.8
D.
【解析】选B.求△ABP面积的最小值,即求P到直线AB的最小值,即为圆心到直线AB的距离减去半径.直线AB的方程为3x-4y-12=0,圆x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心到直线AB的距离为d=
所以P到直线AB的最小值为
因为
|AB|=5,所以△ABP面积的最小值为
2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为
( )
A.-9,1
B.-10,1
C.-9,2
D.-10,2
【解析】选A.根据题意,设z=y-2x,则y=2x+z,则z可看
作是直线y=2x+z在y轴上的截距,方程x2+y2-4x-1=0,即
(x-2)2+y2=5,表示以(2,0)为圆心,
为半径的圆,如
图所示,
当直线y=2x+z与圆相切时,纵截距z取得最大值或最小
值,此时有
解得z=-9或1,则y-2x的最
大值为1,最小值为-9.
【加练·固】
(2019·海淀高一检测)由直线y=x+3上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为________.?
【解析】根据题意,设圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心为C,
则C(3,-2),其半径为1,设P为直线y=x+3上任意一点,过
点P向圆C引切线,切点为T,则|PT|=
,则当|PC|最小时,|PT|最小,而|PC|的最小值为C到直线的
距离d,且d=
则切线长|PT|的最小值
为
答案:(共3张PPT)
阶段复习课
第四课 圆
与
方
程
数形结合思想
求圆的切线和弦长时,
知能分类与整合思想
忽视斜率不存在的情况
提升
圆系过直线与圆交点的圆
(x-a)2+(y-b)2=p2
过两圆交点的圆
圆的标准方程
点与圆的位置关系
忽视圆的一般方程的附加
总
条件D2+E2-4F>0
结
学习误区升
圆的方程圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0(O2+E2-4F>0)
华
直线与圆的相交dr
误用公共点个数判断两个
圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相切d=r
圆与方程知识位置关系
相离4>r
梳理
外离OO2>R+r
位置关系与数量关系的转换
学法
圆与圆的
外切|OO2l=R+r
转换指导
圆的两种方程之间的转换
位置关系
相交R-求圆心、半径
求圆的的标准方程
内切|O1O2|=R-r
求圆的方程
内含|OO2方程待定系数法
直线与圆的方程的应用(坐标法)
点与圆位置关系的判断
方
切线问题
定义法
直线与圆位置关系的判断
重法
直线与圆方程组法
空间直角空间直角坐标系空间点<一对应(xz)
弦长问题
要
题
的位置关
坐标系空间两点间的距离公式
求公共弦所
在直线方程圆与圆位置/型
系的判断数量关系法
PP2=x2x1)2+(2y1)2+(2z2)
关系的判断
直线过定点在圆内
公共直线条数问题
坐标法
求最大值、最小值问题
解决平第一步:建立适当的平面直角坐标系
面几何
问题第二步:通过代数运算,解决问题
第三步:把代数运算结果“还原”为几何结论
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3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
1.直线的点斜式方程
直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线的方程为y-y0=k(x-x0).
【思考】
(1)利用点斜式表示直线方程的前提是什么?
提示:直线的斜率存在.
(2)直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k=0,则直线的点斜式方程是什么?
提示:直线的点斜式方程为y-y0=0或y=y0.
(3)直线l经过点P0(x0,y0),且斜率不存在,则直线的方程是什么?
提示:x-x0=0或x=x0.
2.直线的斜截式方程
直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线的斜截式方程为y=kx+b,其中b叫做直线l在y轴上的截距.
【思考】
(1)直线的斜截式方程y=kx+b中,k和b的几何意义是什么?
提示:k是直线的斜率;b是直线在y轴上的截距.
(2)截距是距离吗?
提示:不是,直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,截距是实数而不是距离.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一条直线的方程都可以写成点斜式y-y0=
k(x-x0)
( )
(2)x轴所在的直线方程为x=0.
( )
(3)直线在y轴上的截距不能等于0.
( )
提示:(1)×.斜率不存在的直线不能用点斜式表示.
(2)×.x轴所在的直线方程为y=0.
(3)×.当直线过原点时,在y轴上的截距等于0.
2.已知直线的方程是y+2=-x-1,则
( )
A.直线经过点(2,-1),斜率为-1
B.直线经过点(1,-2),斜率为-1
C.直线经过点(-2,-1),斜率为1
D.直线经过点(-1,-2),斜率为-1
【解析】选D.直线的方程是y+2=-x-1,化为点斜式,即:y+2=-(x+1),故直线经过点(-1,-2),斜率为-1.
3.直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,
则
( )
A.k=3,b=6
B.k=-3,b=-6
C.k=-3,b=6
D.k=3,b=-6
【解析】选B.直线y=-3x-6的斜率为k,在y轴上的截距为b,可得斜率k=-3,在y轴上的截距为b=-6.
类型一 求直线的点斜式方程
【典例】1.过点(4,-2),倾斜角为150°的直线的点斜式方程为
( )
A.y-2=-
(x+4)
B.y-(-2)=-
(x-4)
C.y-(-2)=
(x-4)
D.y-2=
(x+4)
2.过点P(2
,3)且倾斜角为30°的直线方程
为
( )
A.y+4
=3x
B.y=x-
C.3y-3=
x
D.y-
=
x
3.经过点(-1,1),斜率是直线y=
x-2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是________.?
【思维·引】1.先求出斜率,再写点斜式方程.
2.先写出点斜式方程,再化简整理.
3.先求出所求直线的斜率,再写点斜式方程.
【解析】1.选B.因为直线过点(4,-2),倾斜角为150°,
所以直线的斜率k=tan
150°=-
,所以直线的点斜式
方程为y+2=-
(x-4).
2.选C.因为直线的倾斜角为30°,所以其斜率为
tan
30°=
,由直线过点(2
,3),所以直线方
程为y-3=
(x-2
),即3y-3=
x.
3.由题意得:所求直线的斜率是k=
,故所求直线方程
是:y-1=
(x+1).
答案:y-1=
(x+1)
【内化·悟】
写直线的点斜式方程需要明确哪两个要素?
提示:明确直线过的点,斜率.
【类题·通】
求直线的点斜式方程的步骤
【习练·破】
过点P(
,-2
)且倾斜角为135°的直线方程
为
( )
A.y+4
=3x
B.y=x-
C.x+y=
D.y+2
=(-1)×(x-
)
【解析】选D.因为直线的倾斜角为135°,所以斜率
k=tan
135°=-1,又直线过点P(
,-2
),所以直线
的点斜式为y+2
=(-1)×(x-
).
【加练·固】
一条直线经过点P(-2,3),且与过点(-4,4)和(-3,2)的直线平行,求这条直线的点斜式方程.
【解析】过点(-4,4)和(-3,2)的直线的斜率为
=-2,由题意得,所求直线的斜率为-2,又因为该直线过
点(-2,3),所以该直线的点斜式方程为y-3=-2(x+2).
类型二 求直线的斜截式方程
【典例】1.过点A(
,1)且倾斜角为120°的直线的斜截式方程为
( )
A.y=-
x-4
B.y=-
x+4
C.y=
x-2
D.y=
x+2
2.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是
( )
A.y=
x+4
B.y=2x+4
C.y=-2x+4
D.y=-
x+4
3.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成60°角的直线的斜截式方程是________.?
【思维·引】1.先写出直线的点斜式方程,再化为斜截式.
2.先求出斜率,利用在y轴截距直接写方程.
3.根据题意判断倾斜角进而求斜率再求方程.
【解析】1.选B.因为斜率k=tan
120°=-
,所以过
点A(
,1),且倾斜角为120°的直线方程为:y-1=
-
(x-
),即为y=-
x+4.
2.选D.直线y=2x+1的斜率k=2,则与直线y=2x+1垂直的
直线斜率k=-
,因为y轴上的截距为4,所以直线方程
为y=-
x+4.
3.与y轴相交成60°角的直线倾斜角为30°或150°,可
得斜率为tan
30°或tan
150°,即±
,可得方程
为:y=±
x-6.
答案:y=±
x-6
【内化·悟】
求直线的斜截式方程有哪些方法?
提示:(1)先求出点斜式方程,再化成斜截式;
(2)根据条件确定斜率,在y轴上的截距,直接写出斜截式方程.
【类题·通】
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要已知直线斜率,与y轴交点,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入截距b;同理,如果已知截距b,只需引入斜率k.
【习练·破】
1.若直线l的倾斜角为45°,且经过点(2,0),则直线l的斜截式方程是
( )
A.y=x+2
B.y=x-2
C.y=
x-
D.y=
x-2
【解析】选B.因为直线l的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,又由直线经过点(2,0)可得y-0=x-2即y=x-2.
2.求倾斜角是直线y=-
x+1的倾斜角的
,且在y轴上的截距是-5的直线的斜截式方程.
【解析】因为直线y=-
x+1的斜率k=-
,
所以其倾斜角α=120°,
由题意,得所求直线的倾斜角α1=
α=30°,所以所求
直线的斜率为tan
30°=
.
又直线在y轴上的截距为-5,
所以所求直线的斜截式方程为y=
x-5.
【加练·固】
已知直线y=2x+b过点(1,2),则b=______.?
【解析】将(1,2)代入y=2x+b,得2=2+b,解得:b=0.
答案:0
类型三 直线斜截式方程的应用
角度1 图象的判断
【典例】(2019·昌吉高一检测)如图,直线y=ax+
的图象可能是
( )世纪金榜导学号
【思维·引】分a>0,a<0两种情况辨析.
【解析】选B.由已知得a≠0.若a>0,则直线y=ax+
的
斜率与在y轴上的截距都大于0,则A,B,C,D都不符合.若
a<0,则直线y=ax+
的斜率与在y轴上的截距都小于0,
只有B符合.
【素养·探】
利用直线的斜截式方程进行图象辨析时,常常用到核心素养中的直观想象,根据直线斜率、截距的范围对直线位置的影响进行想象判断.
若本例中的直线方程变为y=ax-
,则其图象是下列中的
( )
【解析】选C.由已知得a≠0,当a>0时,斜率k=a>0,在y
轴上的截距-
<0,都不符合此条件;当a<0时,斜率
k=a<0,在y轴上的截距-
>0,只有C符合此条件.
角度2 直线平行、垂直的判断及应用
【典例】已知直线l1:y=x+
a,l2:y=(a2-3)x+1,当a为何值时,(1)l1∥l2.(2)l1⊥l2.
世纪金榜导学号
【思维·引】(1)利用平行的条件
求值.
(2)利用垂直的条件k1·k2=-1求值.
【解析】(1)若l1∥l2,所以a2-3=1,a2=4,所以a=±2,又
由于l1∥l2,两直线l1与l2不能重合,则
a≠1,即a≠2,
故a=-2.
(2)若l1⊥l2,则(a2-3)·1=-1,所以a2=2,解得a=±
.
【类题·通】
两条直线平行和垂直的判定
(1)平行的判定.
(2)垂直的判定.
【习练·破】
(1)已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a=________.?
(2)若直线l1:y=
与直线l2:y=3x-1互相平行,则a=________.?
【解析】(1)由题意可知a(a+2)=-1,解得a=-1.
(2)由题意可知
解得a=-
,符合题意.
答案:(1)-1 (2)-
【加练·固】
已知直线l1:y=-x+3a与直线l2:y=(a2-5)x+6.
(1)当a为何值时,l1∥l2.(2)当a为何值时,l1⊥l2.
【解析】设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,
则k1=-1,k2=a2-5,
(1)当l1∥l2时,有
解得a=-2.
(2)当l1⊥l2时,k1k2=-1,即a2-5=1,
所以a2=6,所以a=±
.(共66张PPT)
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
1.投影
定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.
有关
概念
投影线:光线
投影面:留下物体影子的屏幕
2.中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心
投影
光由一点向
外散射形成
的投影
投影线交于
一点
平行
投影
在一束平行
光线照射下
形成的投影
投影线互相
平行
正投影和斜
投影
【思考】
依据投影的特征,想一想两种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小相同吗?
提示:平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;中心投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形相似,大小不相同.
3.三视图
【思考】
上图是一个长方体的正视图、侧视图和俯视图,它们分别是什么图形?分别表示长方体的长度、宽度和高度中的哪些量?
提示:正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;它的侧视图同样还是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.
4.三视图的画法规则
(1)侧视图与正视图高度一样;
(2)俯视图与正视图长度一样;
(3)侧视图与俯视图宽度一样;
(4)能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓和棱用虚线表示.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)中心投影得到的图形大小与原图形距离光源的远近有关.当原图形距离光源越近,则其投影图形越大,反之越小.
( )
(2)在平行投影下,与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.
( )
(3)球的三视图形状都相同,大小均相等.
( )
(4)圆锥的正视图一定是等腰三角形.
( )
提示:(1)√.由中心投影的定义可知,此说法正确;
(2)√.
由平行投影的定义可知,此说法正确;
(3)
√.
根据球的结构特征可知,此说法正确;
(4)×.
与圆锥的位置有关,当底面水平放置时,正视图才是等腰三角形.
2.
一条直线在平面上的正投影是
( )
A.直线 B.点 C.线段 D.直线或点
【解析】选D.当直线与平面垂直时,其正投影为点,其他位置关系时的正投影均为直线.
3.如图,该几何体的俯视图是________.(填序号)?
【解析】由题意知,该几何体的俯视图是矩形,且中间有一条实线,即图②.
答案:②
类型一 中心投影与平行投影
【典例】1.下列光线所形成的投影不是中心投影的是
( )
A.太阳光线
B.台灯的光线
C.手电筒的光线
D.路灯的光线
2.(2019·哈尔滨高一检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,则图中阴影部分BC1M在平面BCC1B1上的正投影是
( )
【思维·引】
1.判断是否是在一束平行光线照射下形成的投影.
2.只需要找到点M,B,C1在平面BCC1B1上的正投影.
【解析】1.选A.A.太阳距离地球很远,我们认为是平行光线,因此不是中心投影;B.台灯的光线是由台灯光源发出的光线,是中心投影;C.手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线,是中心投影;D.路灯的光线是由路灯光源发出的光线,是中心投影.综上可知:只有A不是中心投影.
2.选D.由题意,点M在平面BCC1B1上的投影是CC1的中点,B,C1在平面BCC1B1上的投影是它本身,所以△BC1M在平面BCC1B1上的正投影是选项D中阴影部分.
【内化·悟】
平行投影和中心投影有什么区别和联系?
提示:平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法,但二者又有区别:
①中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.
②画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法.
【类题·通】
判断几何体投影形状及画投影的方法
(1)判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影.
【习练·破】
下列说法正确的是
( )
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的平行投影可能平行
D.若一条线段的平行投影是一条线段,则中点的平行投影仍为这条投影线段的中点
【解析】选D.对于选项A,矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形,主要与矩形的放置及投影面的位置有关;同理,对于选项B,梯形的平行投影可以是梯形或线段;对于选项C,平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线;选项D正确.
【加练·固】
如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的平行射影可能是________.(把可能的序号都填上)?
【解析】四边形BFD1E在面BCC1B1或面ADD1A1上的射影应是E与F重合,D1与C1重合,A与B重合,所以③正确;在下底面射影是B与B重合,D1与D重合,E,F的射影分别为AD与BC的中点,所以②正确.在上底面、前后两面的射影也是②.
答案:②③
类型二 画空间几何体的三视图
【典例】画出图中两个几何体的三视图.
【思维·引】先弄清正视方向,然后根据三视图的画法规则画出三视图.
【解析】(1)如图
(2)如图
【素养·探】
在画空间几何体的三视图时,经常利用核心素养中的直观想象,通过识图、作图研究空间几何体的结构特征.将本例几何体改为“四棱柱”如图所示,试画其三视图.
【解析】
【类题·通】
画三视图应遵循的原则和注意事项:
(1)务必做到“长对正,高平齐,宽相等”.
(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.
(3)在三视图中,要注意实、虚线的画法.
(4)画完三视图草图后,要再对照实物图来验证其正确性.
【习练·破】
1.
(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
( )
【解析】选A.由直观图可知选A.
2.画出如图所示纺锤的三视图.
【解析】纺锤的三视图如图.
【加练·固】
画出如图所示几何体的三视图.
【解析】此几何体的三视图如图所示:
类型三 由三视图联想实物图
【典例】1.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物图是
( )
2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.
世纪金榜导学号
(1)试在棱长为4的正方体中画出此几何体.
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体?
【思维·引】
1.在三视图中三个矩形的对角线都是实线,结合这三条实线的方向逐项判断.
2.在正方体中确定该几何体顶点的位置,画出此几何体.
【解析】1.选A.A项,该几何体的三视图满足题中所给
出的三视图的要求,故A项正确;B项,该几何体的正视图
中的矩形的对角线为虚线,侧视图正确,俯视图中矩形
的对角线位置与题中所给出的三视图均不相符,故B项
错误;C项,该几何体的正视图对角线的位置、侧视图中
矩形的对角线为虚线和俯视图中对角线的位置均与题中的三视图不符,故C项错误;D项,正视图中矩形对角线是虚线及位置和侧视图中矩形对角线是虚线,均与题中的三视图不符,故D项错误.
2.该几何体是四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高等于4,如图所示的四棱锥A-A1B1C1D1,
观察图形可知,三个相同的四棱锥A-A1B1C1D1,
A-BB1C1C,A-DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体.
【类题·通】
1.由三视图还原空间几何体的策略
(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形,则原几何体为柱体;若正视图和侧视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若正视图和侧视图为等腰梯形,则原几何体为台体.
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.
2.由三视图还原空间几何体的步骤
【习练·破】
已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为
( )
A.4 B.2
C.
D.2
【解析】选B.由三视图可知几何体为四棱锥S-ABCD,由
侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形,顶点S在
底面ABCD上的射影M为CD的中点,由正视图可知SM=
,
所以AM=
,SA=
=2
,
由对称性可知SB=SA=2
,
所以几何体最长的棱为2
.
【加练·固】
如图所示是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体
( )
【解析】选D.由俯视图可知该几何体为旋转体,由正视图、侧视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成的组合体.(共82张PPT)
1.2.3 空间几何体的直观图
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图步骤
【思考】
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,哪些关系不变?哪些关系有可能发生变化?
提示:(1)不变的关系:
①一般情况下,直线的平行关系不变;
②点的共线性不变,线的共点性不变.
(2)有可能发生变化的关系:
①长度相等的线段,在直观图中长度不一定相等;
②角的大小关系有变化,特别是垂直关系有变化.
2.空间几何体直观图的画法
(1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面:平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.
(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
【思考】
画空间几何体直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么?
提示:被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次,体现立体感.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同.
( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.
( )
(3)水平放置的三角形的直观图一定是三角形.
( )
(4)水平放置的菱形的直观图一定是菱形.
( )
提示:(1)√.实物图中的直观图与取坐标系的方法有关.
(2)√.根据斜二测画法的规则可知此说法正确.
(3)√.水平放置的n边形的直观图仍是n边形.
(4)×.利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,故不一定是菱形.
2.利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图,正确的是
( )
【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
3.已知△ABC的直观图如图所示,则原△ABC的面积为________.?
【解析】由题意,易知在△ABC中,AC⊥AB,且AC=6,AB=3,
所以
×6×3=9.
答案:9
类型一
画水平放置的平面图形的直观图
【典例】按如图所示的建系方法,用斜二测画法画出水平放置的△OAB的直观图.
【思维·引】分别画出过点A和B与y轴平行的线段,确定点A和B在直观图中的位置.
【解析】画法:
(1)作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,如图(1)
所示.
(2)建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′,使
∠x′O′y′=45°.在坐标系x′O′y′中,
沿x′轴正方向取O′M′=OM,O′N′=ON.
(3)在坐标系x′O′y′中,沿y′轴正方向画N
′B′平
行于y′轴,且N
′B′=
NB;沿y′轴正方向画
M
′A′平行于y′轴,且M
′A′=
MA.
(4)连接O′A′,O′B′,A′B′,去掉辅助线,得到△O′A′B′,即为△OAB的直观图.如图(3)所示.
【内化·悟】
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,建立平面直角坐标系的原则是什么?
提示:一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点.
【类题·通】
画平面图形的直观图的关键点及对策
(1)关键点:画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.
(2)对策:首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
【习练·破】
如图所示,平行四边形ABCD中,∠A=45°,试画出它的直观图.
【解析】(1)画轴.如图①,建立平面直角坐标系xOy,再
建立坐标系x′O′y′,其中∠x′O′y′=45°.
(2)描点.如图②,在x′轴上截取O′A′=OA,O′B′=OB,
在y′轴上截取O′D′=
OD,过点D′作D′C′∥x′轴,
且D′C′=DC.
(3)连线.连接B′C′,A′D′.
(4)成图.如图③,四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图.
【加练·固】
按如图所示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
【解析】画法:
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.
(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上
取O′E′=
OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并
在相应的平行线上取G′A′=
GA,H′D′=
HD.
(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,点O′,G′,H′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3)).
类型二 空间几何体的直观图的画法
角度1
根据数据画空间几何体的直观图
【典例】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2
cm,3
cm,高为
2
cm.
【思维·引】先作四棱台的下底面,再依据四棱台的高确定上底面的位置,并画出其直观图,最后连线成图.
【解析】画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z轴上取一点O′,使OO′=2cm,以O′为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO′b内以O′为中心画水平放置的边长为2cm的正方形的直观图A′B′C′D′.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
【素养·探】
在画空间几何体的直观图时,经常利用核心素养中的直观想象,通过画空间几何体的直观图,深入认识空间几何体的结构特征,为空间几何体中有关量的计算和位置关系的证明奠定基础.
将本例的条件改为:正六棱锥(底面为正六边形,顶点在底面上的正投影是底面正六边形的中心),底面边长为
3
cm,高为3
cm,试画出该正六棱锥的直观图.
【解析】(1)先画出边长为3
cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①所示.
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,在z′轴上截取O′V′=3
cm,如图②所示.
(3)连接V′A′,V′B′,
V′C′,V′D′,
V′E′,
V′F′,如图③所示.
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.
角度2 根据三视图画空间几何体的直观图
【典例】已知某几何体的三视图如图,请画出它的直观图(单位:cm).
【思维·引】先根据三视图判断此几何体是四棱柱,然后选择恰当的坐标系利用斜二测画法的规则画图.
【解析】画法:(1)如图1,画x轴、y轴、z轴,
三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)以O为起点,在x轴上取线段OB=8
cm,在y轴上取线段OA′=2
cm,以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)在z轴上取线段OC=4
cm,过C分别作x轴、y轴的平行线,并在平行线上分别截取CD=4
cm,CC′=2
cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图.连接A′C′、BD、B′D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到几何体的直观图(如图2).
【类题·通】
1.简单几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
2.由三视图还原直观图确定几何体形状的方法:
(1)由俯视图区分多面体与旋转体.
(2)由正视图与侧视图区分柱体与锥体.
(3)特别注意观察者与几何体的方位,重点把握图中的垂线位置.
(4)注意横放的多面体与旋转体.
(5)熟记特殊几何体的视图特征.
【习练·破】
1.空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为
( )
【解析】选A.由已知中三视图的上部分是锥体,是三棱锥,满足条件的直观图的选项是选项A,由三视图可知,该几何体下部分是一个四棱柱.选项都符合.
2.画出底面是正方形,底边、侧棱均为2
cm的四棱锥的直观图.
【解析】画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,
∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出底面正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP=
cm.
(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图.
【加练·固】
一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3
cm,高为4
cm,圆锥的高为3
cm,画出此几何体的直观图.
【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等
于3
cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两
点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=
4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法
作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3
cm.
(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.
类型三 直观图的还原和计算问题
【典例】1.(2019·葫芦岛高一检测)如图,
△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=A′C′,那么△ABC是
( )
A.等腰三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
2.(2019?孝感高一检测)一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示,其中O′C′⊥x′轴,
A′B′⊥x′轴,B′C′∥y′轴,则四边形OABC的面积为
( )
A.
B.3
C.3
D.
3.(2019·南阳高一检测)正方形O′A′B′C′的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积是________.世纪金榜导学号?
【思维·引】1.根据A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,
推出△ABC中∠A=90°,由A′B′=A′C′推出△ABC中
AB≠AC.
2.根据平面图形与它的直观图面积比为1∶
计算.
3.根据直观图画出原图形并判断其形状,求出关键量,
计算面积.
【解析】1.选D.因为水平放置的△ABC的直观图中,
∠x′O′y′=45°,A′B′=A′C′,且A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,
所以AB⊥AC,AB≠AC,所以△ABC是直角三角形.
2.选B.平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角
梯形,其面积为
×(1+2)×1=
;
根据平面图形与它的直观图面积比为1∶
,
计算四边形OABC的面积为
=3
.
3.由斜二测画法的规则可知,平行于x′轴(或在x′轴
上)的线段长度不变,且平行于x轴(或在x轴上),正方形
的对角线在y′轴上,可求得其长度为
,故在原图形
中其在y轴上,且其长度为原来的2倍,长度为2
,综上
知,原图形是平行四边形,如图所示,
其面积是1×2
=2
(cm2).
答案:2
cm2
【内化·悟】
直观图的计算问题主要有哪两种解题思路?
提示:(1)画出直观图,求出关键量直接求值;(2)根据直观图与原图面积之间的关系直接计算.
【类题·通】
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平
行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不
变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线
段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
2.直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,
则有S′=
S或S=2
S′.利用这一公式可由原图形
面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
【习练·破】
1.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )
【解析】选C.按斜二测画法规则,平行于x轴或在x轴上
的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上
的线段在新坐标系中变为原来的
,并注意到∠xOy
=90°,∠x′O′y′=45°,将图形还原成原图形知选C.
2.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是
( )
A.AB B.AD C.BC D.AC
【解题指南】由A′B′与y′轴重合,B′C′与x′轴重合,则有AB⊥BC,AB=2A′B′,BC=B′C′,因为AC为直角△ABC的斜边,故斜边AC最长.
【解析】选D.因为A′B′与y′轴重合,B′C′与x′轴重合,所以AB⊥BC,AB=2A′B′,BC=B′C′,所以在直角△ABC中,AC为斜边,故AB【加练·固】
已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三
角形,那么原△ABC的面积为
( )
A.
a2 B.
a3 C.
a2 D.
a2
【解析】选C.如图(1)为直观图,(2)为实际图形,取
B′C′所在直线为x′轴,过B′C′中点O′与x′轴成
45°的直线为y′轴,过A′点作A′N′∥O′x′,交y′
轴于N′点,过A′点作A′M′∥O′y′,交x′轴于M′
点.则在直角三角形A′O′M′中,因为O′A′=
a,
∠A′M′O′=45°,所以M′O′=A′N′=
a,故
A′M′=
a.
在直角坐标系中,在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为
a,到y轴距离为
a的点A,则△ABC为所求.显然
S△ABC=
a·
a=
a2.(共3张PPT)
阶段复习课
第三课 直线与方程
点斜式
概念
直线的倾斜
斜截式
角与斜率
计算
直线的
应用斜率
两点式(方程
直线的交点坐标
截距式
般式
直线与方程
两点间的距离
距离
点到直线的距离
利用点斜式设方程
时斜率是否存在
两平行直线间的距离
学习
误区
核心直观想象
截距是坐标
素养
数学运算
不是距离
逻辑推理
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2.2.3 直线与平面平行的性质
直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言
a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b
图形语言
【思考】
已知直线a∥平面α,过平面α内的点P如何作与直线a平行的直线?
提示:经过直线a和点P作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线在平面α内,就是要作的直线.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)直线l∥平面α,直线b?平面α,则l∥b.
( )
(2)若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交.
( )
(3)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α.
( )
(4)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.
( )
提示:(1)×.直线l∥平面α,直线b?平面α,则l∥b或l与b异面.
(2)√.若直线l∥平面α,则l与平面α无公共点,所以l与平面α内的任意一条直线都不相交.
(3)×.直线b有可能在平面α内.
(4)×.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a与b平行、相交和异面都有可能.
2.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则
( )
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
【解析】选B.EF∥平面ABC,又EF?平面SBC,
平面ABC∩平面SBC=BC,故EF∥BC.
3.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为
( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
类型一 与线面平行的性质有关的证明问题
【典例】如图所示,已知四边形ABCD是
平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,
M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和
AP作平面交平面BDM于GH,求证:PA∥GH.
世纪金榜导学号
【思维·引】
要证PA∥GH,观察到过PA的平面PAHG与平面BDM相交于GH,需要先证PA∥平面BDM.
【证明】连接AC,设AC∩BD=O,连接MO.
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以O是AC的中点,
又M是PC的中点,所以MO∥PA.
又MO?平面BDM,PA?平面BDM,
所以PA∥平面BDM.
又因为平面BDM∩平面PAHG=GH,PA?平面PAHG,
所以PA∥GH.
【素养·探】
在与线面平行的性质有关的证明问题中,
经常利用核心素养中的逻辑推理,根据
“直线与平面平行”,寻找过此直线的
平面与已知平面的交线,推出直线与直线平行.直线与
平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.
将本例条件“M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH”改为“点E在线段PA上,PC∥平面BDE”,求证:AE=PE.
【证明】连接AC交BD于点F,连接EF,
因为底面ABCD是平行四边形,所以F是
AC的中点,因为PC∥平面BDE,
又因为平面BDE∩平面PAC=EF,PC?平面PAC,
所以PC∥EF,所以EF是△PAC的中位线,
所以AE=PE.
【类题·通】
利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤
【习练·破】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1上不同于B,B1的任一点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG.
【证明】连接A1C1,因为AC∥A1C1,A1C1?平面A1EC1,
AC?平面A1EC1,
所以AC∥平面A1EC1.又因为平面A1EC1∩平面AB1C=FG,
AC?平面AB1C,所以AC∥FG.
【加练·固】
如图,在四棱锥P-ABCD中,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,BC∥平面GEFH.
证明:GH∥EF.
【证明】因为BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,
且平面PBC∩平面GEFH=GH,
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
类型二 与线面平行的性质有关的计算问题
【典例】1.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.?
2.如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试求PM∶MA的值.
世纪金榜导学号
【思维·引】1.根据直线与平面平行的性质定理,由a∥α可推出BD∥EG.
2.由PC∥平面MEF可推出PC∥OM,利用平行线分线段成比例定理可将PM∶MA的值转化为在菱形ABCD中求OC∶AC的值.
【解析】1.因为a∥α,EG=α∩平面ABD,
所以a∥EG,即BD∥EG.
所以
即
所以EG=
.
答案:
2.如图,连接BD交AC于点O1,连接OM,
因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面
MEF=OM,PC?平面PAC,所以PC∥OM,所以
,
在菱形ABCD中,因为E,F分别是边BC,CD的中点,
所以
.又AO1=CO1,所以
故PM∶MA=1∶3.
【内化·悟】
遇到线面平行时,常需如何作辅助线,把空间几何问题转化为平面几何问题?
提示:常过已知直线作与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质找或作出经过直线的平面与已知平面相交的交线,得到直线与直线平行,把空间几何问题转化为平面几何问题.
【类题·通】
用线面平行性质定理解计算问题的三个要点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
(3)利用所得关系计算所求值.
【习练·破】
(2019·聊城高一检测)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,
PM=tPC,PA∥平面MQB,则实数t的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】连接BD,连接AC交BQ于点N,交BD于点O,说明PA∥平面MQB,利用PA∥MN,根据三角形相似,即可得到结论.
【解析】选C.连接BD,连接AC交BQ于点N,交BD于点O,连接MN,如图
则O为BD的中点,又因为BQ为△ABD边AD上的中线,
所以N为正三角形ABD的中心,
令菱形ABCD的边长为a,则AN=
a.AC=
a,因为PA∥
平面MQB,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,
所以PA∥MN.所以PM∶PC=AN∶AC,
即PM=
PC,则t=
.
【加练·固】
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA=3.
F在棱PA上,且AF=1,E在棱PD上.若CE∥平面BDF,求PE∶ED的值.
【解析】过点E作EG∥FD交AP于点G,连接CG,
连接AC交BD于点O,连接FO.
因为EG∥FD,EG?平面BDF,FD?平面BDF,
所以EG∥平面BDF,又EG∩CE=E,
CE∥平面BDF,EG?平面CGE,CE?平面CGE,
所以平面CGE∥平面BDF,
又CG?平面CGE,所以CG∥平面BDF,
又平面BDF∩平面PAC=FO,CG?平面PAC,
所以FO∥CG.又O为AC中点,
所以F为AG中点,所以FG=GP=1,
所以E为PD中点,PE∶ED=1∶1.(共77张PPT)
第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.空间几何体的定义
如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2.多面体、旋转体及其相关概念
多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边
形围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体
图形
多面体
旋转体
相关
概念
面:围成多面体的各个多边形;
棱:相邻两个面的公共边;
顶点:棱与棱的公共点.
轴:形成旋转体所绕的定直线
【思考】
多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱?
提示:多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.
3.棱柱的结构特征
定义
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体
图示及
相关
概念
底面:两个互相平行的面
侧面:底面以外的其余各面
侧棱:相邻侧面的公共边
顶点:侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱……
【思考】
有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?
提示:不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图所示.
4.棱锥的结构特征
定义
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体
图示及
相关
概念
底面:多边形面
侧面:有公共顶点的各个三角形面
侧棱:相邻侧面的公共边
顶点:各侧面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……
【思考】
有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?
提示:未必是棱锥.如图所示的几何体,满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.
5.棱台的结构特征
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分
图示及
相关
概念
上底面:截面
下底面:原棱锥的底面
侧面:除上下底面以外的面
侧棱:相邻侧面的公共边
顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
按由几棱锥截得分:三棱台、四棱台…
【思考】
棱台的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边形?两个底面是什么关系?
提示:棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯形,两个底面是相似的多边形.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)棱柱可以看作由平面图形平移得到.
( )
(2)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形.
( )
(3)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台.
( )
(4)有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台.
( )
提示:(1)√.棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体.
(2)×.棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形.
(3)×.只有用一平行于底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,才能一个是棱锥,一个是棱台.
(4)
×.未必是棱台,因为它们的侧棱延长后不一定交于一点,如图,用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体,截面与底面之间的几何体虽有两个面平行,其余各面是梯形,但它不是棱台.
2.下列几何体中,不属于多面体的是
( )
A.三棱柱 B.四棱锥 C.长方体 D.球
【解析】选D.利用多面体的定义:由平面多边形围成的几何体,很容易能判定出来.
3.一个几何体的各个面均是三角形,则该几何体可能是
( )
A.棱台 B.棱柱 C.棱锥 D.圆锥
【解析】选C.棱台的侧面是梯形,棱柱的侧面是平行四边形,圆锥的侧面是曲面,只有棱锥的侧面是三角形,且底面也可以是三角形.
类型一 棱柱的结构特征
【典例】1.(2019·惠州高一检测)下列叙述中,错误的一项为
( )
A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B.棱柱的各个侧面都是平行四边形
C.棱柱的两底面是全等的多边形
D.棱柱的面中,至少有两个面相互平行
2.判断下列四个多面体是否为棱柱?若是棱柱,如何用符号表示?
【思维·引】1.根据棱柱及其底面和侧面的定义、棱柱的结构特征逐项判断.
2.利用棱柱定义逐个判断,若是棱柱根据底面多边形的边数用恰当的符号表示.
【解析】1.选A.在A中,棱柱中两个互相平行的平面不
一定是棱柱的底面,例如,底面为正六边形的棱柱的相
对侧面互相平行,故A错误;在B中由棱柱的定义知棱柱
的各个侧面都是平行四边形,故B正确;在C中,由棱柱的
定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形,故C
正确;在D中,棱柱的定义是,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,相邻的公共边互相平行,有这些面围成的几何体是棱柱,由此得到D正确.
2.(1)是棱柱,可记为五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.
(2)不是棱柱,不满足棱柱的定义.
(3)是棱柱,可记为三棱柱ABC-A1B1C1.
(4)是棱柱,可记为四棱柱ABCD-A1B1C1D1.
【内化·悟】
棱柱定义中的三个要点是什么?
提示:(1)有两个平面(底面)互相平行.(2)其余各面都是平行四边形.(3)每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.
【类题·通】
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义:判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.
【习练·破】
下列关于棱柱的说法中,错误的是
( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形
【解析】选C.显然A正确;底面边数最少的棱柱是三棱柱,它有五个面,故B正确;底面是正方形的四棱柱,有一对侧面与底面垂直,另一对侧面不垂直于底面,此时侧面并不全等,所以C错误;D正确.
【加练·固】
下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形.
(2)每一个面都不会是三角形.
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行.
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.?
【解析】(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形.
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形.
(3)正确,由棱柱的定义易知.
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是(3)(4).
答案:(3)(4)
类型二 棱锥、棱台的结构特征
【典例】1.下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为
( )
2.下列几何体是棱台的是____
(写出所有满足题意的序号).
?
【思维·引】1.看是否同时满足以下两点:(1)有一个面是多边形.(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
2.看是否同时满足以下两点:(1)是由棱锥截得的,(2)截面平行于底面.
【解析】1.选A.选项A中的几何体不满足有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以不是棱锥;选项B,C,D中的几何体是棱锥.
2.①、③都不是由棱锥截得的,不符合棱台的定义,故①③不满足题意;②中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故②不满足题意;④符合棱台的定义.
答案:④
【内化·悟】
判断棱锥、棱台的结构特征主要从哪些方面考虑?
提示:认识、判断棱锥、棱台的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等方面考虑.
【类题·通】
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于
一点
【习练·破】
1.棱台不具有的性质是
( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后交于一点
【解析】选C.棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的,棱锥的侧棱长不一定相等,所以棱台的侧棱长也不一定相等.A,B,D选项都正确.
2.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,沿A′BC截去三棱锥A′-ABC,则剩余的部分是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
【解析】选B.如图所示,三棱台A′B′C′-ABC中,沿A′BC截去三棱锥A′-ABC,剩余部分是四棱锥A′-BCC′B′.
【加练·固】
下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形.
(3)棱锥的侧面只能是三角形.
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥,其中正确说法的序号是________.?
【解析】(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.
(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形.
(3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.
(4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
(5)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案:(2)(3)(4)
类型三 多面体的展开图问题
角度1 由展开图复原多面体
【典例】如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:
世纪金榜导学号
①点H与点C重合;
②点D与点M、点R重合;
③点B与点Q重合;④点A与点S重合.
其中正确命题的序号是________.?
(注:把你认为正确命题的序号都填上)
【思维·引】固定一个正方形(如FGPN)的位置,将其他正方形折起.先确定各正方形的位置,然后定顶点用什么字母表示.
【解析】将其还原成正方体,如图.
答案:②④
【素养·探】
在与由展开图复原几何体有关的问题中,经常利用核心素养中的直观想象,通过研究空间几何体与展开图之间的关系,培养学生空间想象思考问题的习惯,提高学生借助空间图形分析、推理、论证的能力.
将本例的条件改为“若将此正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,并沿该正方体的一条棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形”,试确定标“△”的面的方位.
【解析】将三个空白正方形分别标为1,2,3,如图所示,
易知1处标下,2处标西,△和3处应标南北,进一步根据“上北下南左西右东”可知,△处标北.
角度2 求最大值、最小值问题
【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,
BC=2,BB1=1,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线的长度.
世纪金榜导学号
【思维·引】爬行路线可以分三种情况,爬行所经过的平面展开放到同一平面内,根据两点之间线段最短求值,比较三种情况得到最短路线的长度.
【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1的表面可有三种方法展开,表面展开后A与C1两点间的距离分别为
=3
,如图1所示;
=
,如图2所示;
=
,如图3所示.三者比较得
为由A到
C1在长方体表面上的最短距离.
【类题·通】
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图:在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体:首先想象出复原后的几何体,再将展开图中的面、点标注到该几何体上.
(3)多面体表面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形,再用平面几何知识求有关线段的长度.
【习练·破】
(1)如图甲所示为某几何体的展开图,沿图中虚线将展开图折起来,是哪一种几何体?试用文字描述并画出示意图.
(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为
6
cm的正方体?请在(图乙)棱长为6
cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.
【解析】(1)该几何体为有一条侧棱垂直于底面,且底面为正方形的四棱锥,其中垂直于底面的棱长为6
cm,底面正方形的边长为6
cm,如图甲所示.
(2)需要3个(1)中的几何体,如图乙所示,分别为四棱锥A1-CDD1C1,A1-ABCD,A1-BCC1B1(答案不惟一).
【加练·固】
1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)
( )
【解析】选A.其展开图是沿盒子的棱剪开,无论从哪条棱剪开,剪开的相邻面在展开图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻.
2.如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?
【解析】图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等
的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有
共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,
有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的
三角形,符合棱台的特点.把侧面展开图还原为原几何
体,如图所示:
所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.(共58张PPT)
3.2.3
直线的一般式方程
直线的一般式方程
关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0
(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
【思考】
(1)方程y-y0=0是二元一次方程吗?
提示:是,是A为0的二元一次方程.
(2)直线与二元一次方程的关系是什么?
提示:直线的方程都可以化为二元一次方程;二元一次方程都表示直线.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一条直线的二元一次方程都能化为其他四种形式.
( )
(2)直线的二元一次方程Ax+By+C=0中,若A=0,则B一定不等于0.
( )
(3)直线的一般式方程可以写成Ay+Bx+C=0的形式.
( )
提示:(1)×.如与x轴平行的直线没有截距式.
(2)√.因为A,B不同时为零.
(3)×.直线的一般式方程必须写成Ax+By+C=0的形式.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件
是
( )
A.A≠0 B.B≠0 C.A·B≠0 D.A2+B2≠0
【解析】选D.A,B满足不同时等于0.
3.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为________.?
【解析】y-1=4(x+2)化为4x-y+9=0.
答案:4x-y+9=0
类型一 直线的一般式方程
【典例】1.已知直线Ax+By+C=0(AB>0,BC>0),则直线不经过
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.(2019·宿州高一检测)已知直线l经过点P(2,3)且斜
率为-
,试求下列直线的一般式方程:
(1)直线l.
(2)与直线l平行,且过点(-3,1)的直线.
(3)与直线l垂直,且过点(0,-1)的直线.
【思维·引】1.化为斜截式,利用斜率、y轴上截距的符号判断.
2.根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式.
【解析】1.选A.直线Ax+By+C=0化为:y=-
x-
,又
AB>0,BC>0,所以-
<0,-
<0,则直线不经过第一象
限.
2.(1)直线l的方程是y-3=-
(x-2),所以2y-6=3(2-x),
所以3x+2y-12=0.所以直线l的一般式方程是3x+2y-
12=0.
(2)与l平行且过点(-3,1)的直线为y-1=-
(x+3),所以
2-2y=3x+9,所以3x+2y+7=0.
(3)与l垂直的直线的斜率为k′=
所以y+1=
(x-0),所以2x-3y-3=0.
【内化·悟】
直线方程化为一般式时有哪些注意事项?
提示:(1)按照x项、y项、常数项的顺序排列.
(2)x项的系数一般为正.
(3)系数A,B,C一般化为整数.
【类题·通】
关于直线的一般式方程与其他形式的方程
一般情况下,直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化,但是最常用的是一般式方程化斜截式方程,可以得出斜率、y轴截距,用于作图或转化解题.
【习练·破】
1.若a,b,c都大于0,则直线ax+by+c=0的图象大致是图中的
( )
【解析】选D.直线ax+by+c=0化为:y=
因为
a,b,c都大于0,所以-
<0,-
<0,所以直线ax+by
+c=0的图象大致是图中的D.
2.在△ABC中,点A(-1,2),B(2,1),点C与点A关于y轴对称,则AB边上的高所在的直线方程为( )
A.x+3y-7=0
B.x+y-2=0
C.3x-y-1=0
D.3x-y+1=0
【解析】选C.因为在△ABC中,点A(-1,2),B(2,1),点C
与点A关于y轴对称,所以C(1,2),所以kAB=
所以AB边上的高所在的直线方程为y-2=3(x-1),即3x-
y-1=0.
【加练·固】
根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是-
,经过点A(8,-2).
(2)经过点B(4,2),平行于x轴.
(3)在x轴和y轴上的截距分别是
,-3.
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=-
(x-8),
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得
=1,即2x-y-3=0.
(4)由两点式得
即x+y-1=0.
类型二 含参数的一般式方程
【典例】1.已知直线
x+3y+n=0在x轴上的截距为-3,则实数n的值为
( )
A.-3
B.3
C.-
D.
2.(2019·安顺高一检测)设直线l的方程为ax+y+2-a=0(a∈R).
世纪金榜导学号
(1)若直线l与直线l1:2x+y-2=0垂直时,求a的值.
(2)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程.
【思维·引】
1.方法一:化为截距式,由x轴上的截距为-3,求n的值.
方法二:令y=0,求得x值,即为直线在x轴上的截距.解方程求得.
2.(1)根据两直线垂直时斜率之积为-1求解;
(2)将直线与坐标轴的截距用a表示进而求解.
【解析】1.选B.根据题意,方法一:直线方程变为
方法二:点(-3,0)在直线
x+3y+n=0上,即(-3)×
+n=0,解得n=3
.
2.(1)直线l与直线l1:2x+y-2=0垂直,斜率k1=-2,直线l斜
率为k=-a,由k1k=-1,解得a=-
.
(2)l在两坐标轴上的截距相等,显然a≠0,当x=0时,y=a-2,当y=0时,x=
,则a-2=
,解得a=1或a=2,故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0.
【内化·悟】
直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题?
提示:必须考察B是否为0,当B不等于0时才能化成斜截式方程,不确定时需要对B分情况讨论.
【类题·通】
已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤
【习练·破】
若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.
(1)求实数m的范围.
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
【解析】(1)由
解得m=2,若方程表示直线,则m2-3m+2与m-2不能同时为0,故m≠2.
(2)由-
解得m=0.
【加练·固】
设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值.
(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.
【解析】(1)由直线l在x轴上的截距为-3,则直线l过点
(-3,0),即(m2-2m-3)×(-3)-(2m2+m-1)×0+6-2m=0.即
3m2-4m-15=0.得m=-
或m=3(舍去).
所以m=-
.
(2)由题意知,2m2+m-1≠0,由直线l化为斜截式方程得
y=
得m=-2或m=-1(舍去).
所以m=-2.
类型三 直线方程的综合应用
角度1 在镜面反射中的应用
【典例】一条光线从点A(2,4)射出,倾斜角为60°,遇x轴后反射,则反射光线的直线方程为
( )
A.
x-y+4-2
=0
B.x-
y-2-4
=0
C.
x+y+4-2
=0
D.x+
y-2-4
=0
【思维·引】求出反射光线的斜率、反射光线的一点后写直线的方程.
【解析】选C.因为tan
60°=
,所以k=tan(180°-
60°)=-
,因为点A(2,4)关于x轴的对称点A′(2,-4)
在反射光线上,设反射光线所在的直线方程为y=
-
x+b,所以-4=-
×2+b,解得b=2
-4,故反射光
线所在的直线方程为y=-
x+2
-4,即
x+y+4-
2
=0.
【素养·探】
在直线方程的应用过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过求对称点,设直线方程,用待定系数法求解.
把本例中的条件变为“一条光线从点A(2,4)射出,遇x轴后反射,反射光线经过点B(5,2)”,试求反射光线的直线方程.
【解析】点A(2,4)关于x轴的对称点A′(2,-4),由镜面
反射原理,点A′在反射光线的反向延长线上,又因为
kA′B=
=2,所以反射光线的方程为y-2=2(x-5),即
2x-y-8=0.
角度2 在直线平行、垂直中的应用
【典例】直线l1:mx+4y+3=0,l2:2x+(m+2)y+3=0,若l1∥l2,则m的值为________,若l1⊥l2,则m的值为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】利用直线平行、垂直时一般式的系数关系求值.
【解析】若l1∥l2,由
解得m=-4或m=2,又
所以m≠2,所以m=-4;
若l1⊥l2,由2m+4(m+2)=0,解得m=-
.
答案:-4 -
【类题·通】
一般式在直线平行、垂直中的应用
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,
(1)平行:①A2,B2,C2均不为0,l1∥l2?
②A2,B2中有一个为0,则根据A1,B1是否为0判断位置关系;
③若C2为0,则根据①只需判断A1,B1与A2,B2的关系.
(2)垂直:l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
【习练·破】
1.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行,则a的值为
( )
A.a=1 B.a=2 C.a=-2 D.a=-1
【解析】选D.因为直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-
1)y+(a2-1)=0平行,所以
解得a=-1,所
以a的值为-1.
2.(2019·温州高一检测)若直线x+ay-2=0与直线ax+2y+1=0垂直,则a=
( )
A.-2
B.0
C.-2或0
D.2
【解析】选B.因为直线x+ay-2=0与直线ax+2y+1=0垂直,所以1×a+a×2=0,解得a=0.
【加练·固】
(2019·洛阳高一检测)已知直线l1:3x+(m+1)y-6=0,
l2:mx+2y-(m+2)=0,分别求满足下列条件的m的值.
(1)l1⊥l2;(2)l1∥l2.
【解析】(1)若l1⊥l2,则有3×m+(m+1)×2=0,
解得m=-
.
(2)若l1∥l2,则有3×2-m(m+1)=0,
解得m=-3或m=2,
当m=-3时,直线l1与直线l2平行.
当m=2时,直线l1与直线l2重合,不符合题意,舍去.
所以m=-3.(共51张PPT)
4.3.2
空间两点间的距离公式
空间中两点间的距离公式
(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则
|P1P2|=____________________________.
(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:
|OP|=__________.
【思考】
在空间两点间的距离公式中,两个点坐标的前后顺序
能不能改变?
提示:能.空间中两点间的距离公式也可以写成|P1P2|
=
.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
用空间两点间的距离公式不能求平面内两点的距离.
( )
提示:×.平面内两点间的距离是空间两点间距离的特例,可以用空间两点间的距离公式求平面内两点的距离.
2.空间直角坐标系中,设A(1,3,0),B(-3,6,12),则
|AB|=
( )
A.
B.13 C.5 D.25
【解析】选B.|AB|=
=13.
3.已知空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)之间的距离为
,
则z=
( )
A.2
B.0或2
C.0
D.2或1
【解析】选B.由于空间两点A(1,2,z),B(2,-1,1)之间
的距离为
,即
则(z-1)2
=1,解得z=0或2.
4.已知点P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面xOy内的投影
分别是P′,Q′,则|P′Q′|=________.?
【解析】因为点P(1,2,3),Q(-3,5,2),它们在面xOy内
的投影分别是P′,Q′,所以P′(1,2,0),Q′(-3,5,
0),|P′Q′|=
=5.
答案:5
类型一 求空间两点间的距离
【典例】1.设A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为
( )
2.在空间直角坐标系中,点M(2,-1,3),若点A与点M关于xOy平面对称,点B与点M关于x轴对称,则|AB|=
( )
A.2
B.4
C.2
D.3
【思维·引】1.先求出中点坐标,再利用距离公式求距离.
2.先求出相应的对称点,再利用距离公式求距离.
【解析】1.选D.因为A(1,1,-2),B(3,2,8),C(0,1,0),
所以线段AB的中点P
,所以点P到点C的距离为
|PC|=
2.选A.因为点M(2,-1,3)关于平面xOy的对称点为A,它
的横坐标与纵坐标不变,竖坐标相反,所以A(2,-1,-3);
点M(2,-1,3)关于x轴的对称点为B,它的横坐标不变,纵
坐标相反,竖坐标相反,所以B(2,1,-3),所以|AB|=
=2.
【内化·悟】
应用空间中两点间的距离公式时需要注意什么问题?
提示:注意前后的坐标作差要准确.
【类题·通】
关于空间两点间的距离公式
求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,若点的坐标中含有未知数,则代入距离公式后列出方程求根.
【习练·破】
1.空间中两点A(1,-1,2),B(-1,1,2
+2)之间的距离
是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.因为A(1,-1,2),B(-1,1,2
+2),所以
A,B两点之间的距离
d=
=4.
2.一束光线自点P(1,1,1)出发,被xOy平面反射到达点
Q(3,3,6)被吸收,那么光所走的距离是
( )
【解析】选D.由题意,P(1,1,1)关于平面xOy的对称点
为M(1,1,-1),
则|QM|=
【加练·固】
在空间直角坐标系中,A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),则△ABC为
( )
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
【解析】选B.因为在空间直角坐标系中,
A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),
所以|AB|=
|AC|=
|BC|=
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,所以△ABC为等腰直角三角形.
类型二 空间几何体中的距离
【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=
|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C的中点,求线段MN的长度.
【思维·引】先建立空间直角坐标系,确定点M,N的坐标,利用距离公式求距离.
【解析】如图所示,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD1|=|CC1|=
|AA1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2),因为N为CD1的中点,
所以N
.因为M是A1C1的三等分点且靠近A1点,所以
M(1,1,2).由两点间距离公式,得|MN|=
【内化·悟】
如果建立的坐标系不一样,点的坐标一样吗?求出的距离一样吗?
提示:坐标不一样,距离一样.
【类题·通】
关于图形中的距离问题
若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.一般按如下的步骤:
【习练·破】
已知正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E是PD中点.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则|CE|=________.?
【解析】因为正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,且
|PA|=2,E是PD中点.所以C(2,2,0),E(0,1,1),所以
|CE|=
答案:
【加练·固】
如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD
-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
【解析】选B.由题意得F
,A1(a,0,a),C(0,a,0),
所以E
,
所以|EF|=
类型三 空间中两点间距离公式的应用
角度1 求点的坐标
【典例】(2019·随州高一检测)空间直角坐标系Oxyz中,在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】根据z轴上点的坐标特点,设出C点的坐标,
利用距离公式求值.
【解析】设所求点C(0,0,z),因为点C与点A(-4,1,7)和
点B(3,5,-2)等距离,所以
解得z=
.
答案:
【素养·探】
在利用距离公式求点的坐标时,常常用到核心素养中的数学运算,解决与距离相关的问题.
本例的条件不变,试求y轴上的点D,使|AD|=|BD|.
【解析】设点D(0,y,0),因为|AD|=|BD|,所以
解得y=-
,
所以D
.
角度2 与距离有关的最值
【典例】已知
A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),则|AB|的最小值为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】利用距离公式表示出|AB|,通过配方求最值.
【解析】因为A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),所以|AB|=
所以当a=-1时,|AB|取最小值
答案:3
【类题·通】
1.求未知点的坐标
设出点的坐标,利用距离公式列出方程,解方程求出点的坐标即可.
2.关于空间中距离的最值问题
利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.
【延伸·练】
已知A(3,0,1),B(1,1,2),则到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件为
( )
A.2x+y-z=0
B.x+y-2z=0
C.x+y-z+3=0
D.2x-y-z-2=0
【解析】选D.因为点P(x,y,z)到A(3,0,1),B(1,1,2)两点的距离相等,所以(x-3)2+(y-0)2+(z-1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2,整理得2x-y-z-2=0.
【习练·破】
已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4)且|AB|=2
,
则实数x的值是
( )
A.6或-2
B.-6或2
C.3或-4
D.-3或4
【解析】选A.由题意
化简得(x-2)2=16,解得x=6或x=-2.
【加练·固】
在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.
【解析】(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,
设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得
显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是
说,y轴上所有的点都满足|MA|=|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|=
|AB|=
于是
解得y=±
,
故在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,点M的坐标
为(0,
,0)或(0,-
,0).(共85张PPT)
2.3.4 平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β
图形语言
【思考】
性质定理若去掉“一个平面内(a?α)”,定理是否成立?
提示:不一定成立,如图a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂直.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.
( )
(2)若α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线.
( )
(3)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ.
( )
(4)若两个平面互相垂直,一条直线与一个平面垂直,那么这条直线在另一个平面内.
( )
【提示】(1)×.不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.
(2)
√.
若设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.
(3)√.设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在m,n上,过P作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.因为γ⊥α,a⊥m,则a⊥α.所以a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,l?γ,所以l⊥γ.故正确.
(4)×.若α⊥β,l⊥α,在β内作a与α,β的交线垂直,则a⊥α,所以a∥l.
所以l∥β或l?β,即直线l与平面β平行或在平面β内.
2.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1
( )
A.平行
B.相交
C.异面且垂直
D.异面且不垂直
【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,
因为AB=BC,AD=CD.
所以BD⊥AC.
因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,
平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,
所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.
3.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.?
【解析】取CD的中点G,连接MG,NG.
因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,
所以MG⊥CD,MG=2,NG=
.因为平面ABCD⊥平面DCEF,
平面ABCD∩平面DCEF=CD,所以MG⊥平面DCEF,由于
GN?平面CDEF,可得MG⊥NG,所以MN=
答案:
类型一 用面面垂直的性质定理解证明问题
【典例】1.(2019·枣庄高一检测)已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,给出下列四个命题,正确命题的个数是
( )
①若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b;
②若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b;
③若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α;
④若α∥β,a∥α,则a∥β.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2018·北京高考改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD.
世纪金榜导学号
(1)求证:DC⊥平面PAD.
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
【思维·引】1.
根据线面平行的性质判断①;根据面面垂直的性质定理判断②③;根据面面平行的性质判断④.
2.(1)依据平面PAD⊥平面ABCD和AD⊥DC证明;
(2)转化为证明PA⊥平面PCD.
【解析】1.选C.依题意,当a∥α,a∥β,α∩β=b时,根据线面平行的性质可得a∥b,故①正确;当α⊥β,
a⊥α时,a∥β或a?β,又b⊥β,所以a⊥b,故②正确;当α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则交线a⊥α;故③正确;当α∥β,a∥α时,a∥β或a?β,故④错误.正确的有3个.
2.(1)因为底面ABCD是矩形,所以AD⊥DC,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且DC?平面ABCD,所以DC⊥平面PAD.
(2)由(1)得DC⊥平面PAD.又因为PA?平面PAD,所以DC⊥PA,又因为PA⊥PD,DC∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.
【类题·通】
1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点
(1)一个意识
若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直.
(2)三个注意点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.
2.证明线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).
【习练·破】
(2019·芜湖高一检测)如图,在三棱锥
P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角
形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,
∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.
求证:平面PAB⊥平面PBC.
【证明】因为平面PAC⊥平面ABC,且PA⊥AC,
所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,
又BC⊥BA,所以BC⊥平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PBC.
【加练·固】
如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAB.
(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,
∠ABC=90°.
求证:平面PEF⊥平面PBC.
【证明】(1)因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF∥AB.又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB.
(2)因为PA=PC,E为AC的中点,所以PE⊥AC.
又因为平面PAC⊥平面ABC,
所以PE⊥平面ABC,所以PE⊥BC.
又因为F为BC的中点,所以EF∥AB.
因为∠ABC=90°,所以BC⊥EF.
因为EF∩PE=E,所以BC⊥平面PEF.
又因为BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PEF.
类型二 用面面垂直的性质定理解计算问题
角度1
求空间角
【典例】(2018·天津高考改编)如图,在四面体ABCD
中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱
AB的中点,AB=2,AD=2
,∠BAD=90°.
世纪金榜导学号
(1)求证:AD⊥BC.
(2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
【思维·引】(1)由平面ABC⊥平面ABD想到在其中一个平面内找两个平面交线的垂线,推出线面垂直进而推出线线垂直.
(2)由平面ABC⊥平面ABD推出CM⊥平面ABD,得到直线CD与平面ABD所成角.
【解析】(1)因为平面ABC⊥平面ABD,
平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,
AD?平面ABD,
所以AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
(2)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为AB的中点,
故CM⊥AB,CM=
.
又因为平面ABC⊥平面ABD,
而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD.
所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD=
=4.
在Rt△CMD中,sin∠CDM=
所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
.
【素养·探】
在求空间角有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过用面面垂直的性质定理将“面面垂直”转化为“线面垂直”,进而得到所求线面角或面面角,并进行计算.
在本例的条件下,计算二面角A-BC-D的余弦值.
【解析】取BC的中点N,连接AN,DN,
因为AB=AC,所以BC⊥AN,
由原例题解析可知BC⊥AD,又AN∩AD=A,
所以BC⊥平面ADN,
所以∠AND是二面角A-BC-D的平面角,
在Rt△AND中,AN=
,AD=2
,∠DAN=90°,
所以DN=
所以cos∠AND=
角度2 求体积
【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,在
平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM
=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使
点M到达点D的位置,且AB⊥DA.世纪金榜导学号
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=
DA,
求三棱锥Q-ABP的体积.
【思维·引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.
(2)过Q作AC的垂线,得三棱锥Q-ABP底面ABP上的高.
【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,则BA⊥AC.
又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3
.
又BP=DQ=
DA,所以BP=2
.
作QE⊥AC,垂足为E,则QE=
DC=1.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,
所以QE⊥平面ABC,
因此,三棱锥Q-ABP的体积为
=
×QE×
=
×1×
×3×2
sin
45°=1.
【类题·通】
计算问题的解决方法
(1)上述计算问题一般在三角形中求解.所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直,然后转化为线线垂直.往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题.
(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法,求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法.
提醒:证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于它们的交线.
【习练·破】
1.(2019·九江高一检测)如图,α⊥β,AB?α,AC?β,
∠BAD=∠CAD=45°,则∠BAC=
( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】选B.在AB上任意找一点F,过点F作AD的垂线EF,垂足为E,再过点E作EG⊥AD,EG交AC于点G.如图所示.
因为∠BAD=∠CAD=45°,
EF⊥AE,EG⊥AD,所以EF=AE=EG,所以根据三角形的勾股定理可知,AF2=AE2+FE2,
FG2=FE2+EG2,AG2=AE2+EG2,
所以AF=AG=FG,
所以△AFG是等边三角形,则∠BAC=60°.
2.(2019·汕头高一检测)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,
CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.O为AB的中点.
(1)证明:AB⊥平面A1OC.
(2)若AB=CB=2,平面ABC⊥平面A1ABB1,
求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
【解析】
(1)连接A1B.,因为CA=CB,OA=OB,
所以OC⊥AB,因为AB=AA1,∠BAA1=60°,
所以三角形AA1B为等边三角形,
所以AA1=A1B,又OA=OB,所以OA1⊥AB,
又OC∩OA1=O,所以AB⊥平面A1OC.
(2)由题可知,△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形,
得OA1=
,因为平面ABC⊥平面A1ABB1,平面ABC∩
平面A1ABB1=AB,由(1)OA1⊥AB,OA1?平面A1ABB1,
所以OA1⊥面ABC,所以OA1⊥三棱柱ABC-A1B1C1的高,
所以
=S△ABC×OA1=3.
【加练·固】
如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=
90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD.
(2)求二面角B-AD-F的平面角
的余弦值.
【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示,
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCFE,所以BF⊥AC,
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,
则BF⊥CK,又因为CK∩AC=C,所以BF⊥平面ACFD.
(2)过点F作FQ⊥AK,连接BQ.
因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,
则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角Β-ΑD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=
在Rt△ΒQF中,FQ=
,BF=
,
得cos∠BQF=
.
所以二面角Β-ΑD-F的平面角的余弦值为
.
类型三 折叠问题
【典例】如图,在多边形PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,
PA=AB=AD=2BC,∠PAD=60°,M是线段PD上的一点,且DM=2MP,若将△PAD沿AD折起,得到几何体P-ABCD.
(1)证明:PB∥平面AMC.
(2)若BC=1,且平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-ACM的体积.
【思维·引】(1)用线面平行的判定定理证明.
(2)一方面要注意由平面PAD⊥平面ABCD推出BA⊥平面PAD;另一方面要注意VP-ACM=VC-PAM.
【解析】(1)连接BD,交AC于点O,连接MO.
因为AD∥BC,所以△BCO∽
△DAO,
因为AD=2BC
,所以DO=2BO,因为DM=2MP
,
所以PB∥MO,因为PB?
平面AMC,MO?平面AMC,
所以PB∥
平面AMC.
(2)因为
平面
PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩
平面
ABCD=AD
,
AB?
平面ABCD,
AB⊥AD
,
所以BA⊥平面PAD.因为BC∥AD
,
BC?
平面PAD,
AD?
平面PAD,
所以BC∥平面PAD,则三棱锥
C-PAM
的高等于点B到平
面PAD的距离,即BA=2
,
因为S△PAM=
S△PAD=
×
×AP×AD×sin60°=
,
所以VP-ACM=VC-PAM=
S△PAM·BA=
.
【内化·悟】
折叠后,若两个平面互相垂直,则应注意什么问题?
提示:折叠问题,即由平面图形经过折叠成为立体图形,在立体图形中解决有关问题.折叠后,若两个平面互相垂直,一方面要注意抓住折叠前后的变量与不变量,另一方面要注意面面垂直性质定理和面面垂直定义的应用.
【类题·通】
解决折叠问题的策略
(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.
(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
【习练·破】
1.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.在线段BC上是否存在一点E,使得ND⊥FC,若存在,求出EC的长并证明;若不存在,请说明理由.
【解析】EC=3时符合.
证明如下:连接ED,交FC于点O,如图所示.
因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,
平面MNEF∩平面ECDF=EF,NE?平面MNEF,
所以NE⊥平面ECDF.
因为FC?平面ECDF,所以FC⊥NE.
因为EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,
则FC⊥ED.
又因为ED∩NE=E,ED,NE?平面NED,
所以FC⊥平面NED.因为ND?平面NED,
所以ND⊥FC.
2.如图,E是矩形ABCD中AD边上的点,F为CD边的中点,
AB=AE=
AD=4,现将△ABE沿BE边折至△PBE的位置,
且平面PBE⊥平面BCDE.
(1)求证:平面PBE⊥平面PEF.
(2)求四棱锥P-BEFC的体积.
【解析】(1)因为AB=AE=
AD=4,
所以DE=
AD=
AB=2,因为F为CD边的中点,
所以DE=DF,又DE⊥DF,
所以∠DEF=45°,同理∠AEB=45°,
所以∠BEF=90°,即EF⊥BE,
又平面PBE⊥平面BCDE,
平面PBE∩平面BCDE=BE,
所以EF⊥平面PBE,EF?平面PEF,
所以平面PBE⊥平面PEF.
(2)取BE的中点O,连接OP,
因为PB=PE,所以PO⊥BE,
又平面PBE⊥平面BCDE,
平面PBE∩平面BCDE=BE,所以PO⊥平面BCDE,
即PO为棱锥P-BEFC的高,PO=2
,
S四边形BEFC=S四边形ABCD-S△ABE-S△DEF=
6×4-
×4×4-
×2×2=14,
则V=
·S四边形BEFC·h=
×14×2
=
.
【加练·固】
如图,在矩形ABCD中,AB=3
,BC=3,沿对角线BD把△BCD折起,使C移到C′,且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上.
(1)求证:AC′⊥BC′.
(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值.
(3)求二面角C′-BD-A的正切值.
【解析】(1)由题意,知C′O⊥平面ABD,因为C′O?
平面ABC′,所以平面ABC′⊥平面ABD.
又因为AD⊥AB,平面ABC′∩平面ABD=AB,所以AD⊥
平面ABC′.所以AD⊥BC′.
因为BC′⊥C′D,AD∩C′D=D,所以BC′⊥平面AC′D.
所以BC′⊥AC′.
(2)因为BC′⊥平面AC′D,BC′?平面BC′D,所以平面AC′D⊥平面BC′D.
作AH⊥C′D于H,则AH⊥平面BC′D,连接BH,则BH为AB在平面BC′D上的射影,
所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角.
又在Rt△AC′D中,C′D=3
,AD=3,
所以AC′=3
.所以AH=
.
所以sin∠ABH=
,即AB与平面BC′D所成角的
正弦值为
.
(3)过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′-BD-A的平面角.
在Rt△AC′B中,C′O=
在Rt△BC′D中,C′G=
所以OG=
所以tan∠C′GO=
即二面角C′-BD-A的正切值为2
.(共77张PPT)
1.3.2 球的体积和表面积
球的体积和表面积公式
(1)体积公式:V=
πR3.
(2)表面积公式:S=4πR2.
【思考】
从公式看,球的表面积和体积分别是关于哪个量的函数?
提示:从公式看,球的表面积(或体积)只与球的半径有关,给定球的半径R有唯一确定的S(或体积V)与之对应,故表面积和体积是关于球的半径R的函数.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)球的表面可以展开成平面.
( )
(2)两个球的半径之比为1∶2,则其表面积之比为1∶4.
( )
(3)
两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.
( )
提示:(1)×.
球的表面不能展开成平面图形,故错误.
(2)√.根据球的表面积公式可知此说法正确.
(3)×.
两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶8.
2.
直径为6的球的表面积和体积分别是
( )
A.144π,144π
B.144π,36π
C.36π,144π
D.36π,36π
【解析】选D.R=3,S=4πR2=36π,V=
πR3=36π.
3.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半
径为
( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选C.设大球半径为r,则
πr3=2×
,所以
r=
.
类型一 球的表面积和体积
【典例】1.
(2019·株洲高一检测)两个球的体积之比
为8∶27,那么这两个球的表面积之比为
( )
A.2∶3 B.4∶9
C.
∶
D.
∶
2.(1)若球的表面积为64π,则它的体积为______
____.?
(2)若球的体积为
π,则它的表面积为__________.?
3.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球的表面积之比.
【思维·引】
1.以球的表面积和体积公式为依据,先由体积之比推出半径之比,然后推出表面积之比
2.(1)借助球的表面积公式先列方程求半径,进而计算球的体积.
(2)借助球的体积公式先列方程求半径,进而计算球的表面积.
3.根据题目条件列出方程,用圆锥的高表示底面半径和母线,然后代入公式求比值.
【解析】1.选B.设这两个球的半径分别为r,R,则
,所以
,则这两个球的表面积之比为
=(
)2=
.
2.(1)设球的半径为R,则4πR2=64π,解得R=4,所以球
的体积V=
πR3=
π·43=
π.
(2)设球的半径为R,则
πR3=
π,解得R=5,所以球
的表面积S=4πR2=4π×52=100π.
答案:(1)
π (2)100
π
3.设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,球的半径
为R,则由题意得
π(2R)2·h=
πR3,
所以R=h,r=2h,
所以l=
h,所以S圆锥侧=πrl=π×2h×
h=
2
πh2,S球=4πR2=4πh2,所以
.
【内化·悟】
利用球的表面积和体积主要可以解答哪两类问题?
提示:(1)已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积;
(2)已知体积或表面积也可以求其半径.
【类题·通】
求球的表面积与体积的一个关键和两个结论
(1)关键:把握住球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公
式V球=
πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与
球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积
计算的相关题目也就迎刃而解了.
(2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
【习练·破】
1.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析
】选C.因为
πr2h=
πR3,所以R=
.
2.(1)火星的直径约为地球直径的一半,地球的体积约是火星体积的多少倍?
(2)木星的表面积约为地球表面积的120倍,木星的体积约是地球体积的多少倍?
【解析】(1)设火星的半径为R,则地球的半径为2R,
因此
=8.
故地球的体积约是火星体积的8倍.
(2)设木星和地球的半径分别为r,R.
依题意,有4πr2=120×4πR2,解得r=2
R,所以
.
故木星的体积约是地球体积的240
倍.
【加练·固】圆柱形容器内部盛有高度为8
cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________
cm.?
【解析】设球的半径为r,放入3个球后,圆柱液面高度
变为6r.则有πr2·6r=8πr2+3·
πr3,即2r=8,
所以r=4
cm.
答案:4
类型二 与球有关的组合体问题
【典例】1.(2019·资阳高一检测)已知一个几何体的三视图如图所示,图中四边形是边长为1的正方形,虚线所示为半圆,那么该几何体的体积为
( )
世纪金榜导学号
A.1-
B.1-
C.1-
D.1-
2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为
r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为
16+20π,则
r=
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
3.如图所示,图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】
1.根据三视图及其数据得出几何体的直观图为棱长为1的正方体中挖空了一个半球,利用组合体的体积公式求解即可.
2.先判断该组合体的结构特征,然后根据表面积列方程,求出半径r.
3.先判断该组合体的结构特征,然后求出有关几何量求其体积.
【解析】1.选B.因为题干图为某几何体的三视图,图中
四边形为边长为1的正方形,虚线所示为半圆,几何体是
正方体挖去一个半球,球的半径为
,几何体的体积
为:1-
×
×
=1-
.
2.选B.如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,
则表面积S=
×4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.
又S=16+20π,所以(5π+4)r2=16+20π,所以r2=4,r=2.
3.由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个
半球,其中圆台的体积为
V=
×(π×22+
+π×52)×4=
,半球的体积
V=
×
×π×
23=
,则所求体积为
.
答案:
【内化·悟】
由三视图计算与球有关的组合体的表面积和体积,应注意什么?
提示:关键是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,在此基础上可以设计算法计算表面积和体积.
【类题·通】
解决与球有关的组合体问题的解题技巧
(1)与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形,明确切点位置,明确有关元素间的数量关系,并且作出合适的截面图.
(2)球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题.
(3)球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.
【习练·破】
(2019·包头高一检测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
( )
A.(3+2
)π
B.(4+4
)π
C.(3+4
)π
D.(4+2
)π
【解析】选A.由题意可知几何体是上部为半球,下部是
两个圆锥的组合体,球的半径为1,圆锥的底面半径为1,
高为1,所以几何体的表面积为:2π×12+2×
×2π
×
+π×12=(3+2
)π.
【加练·固】
1.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由已知的三视图可知原几何体的上方是
三棱锥,下方是半球,所以V=
×
×1+
×
=
+
.
2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为________与________.?
【解析】由三视图可知,其对应的几何体是一个组合体,
上半部分是一个直径为2的球,下半部分是一个棱柱,棱
柱的底面是边长为2的正方形,高为4,则该几何体的表
面积S=4π×12+2×22+4×2×4=40+4π,几何体的体
积:V=
π×13+22×4=16+
π.
答案:40+4π 16+
类型三 有关球的切、接问题
【典例】1.一块硬质木料的三视图如图所示,正视图是边长为3
cm的正方形,俯视图是3
cm
×4
cm的矩形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近
( )
A.1
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.4
cm
2.(2019·亳州高一检测)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为________.?
3.已知四面体的各面都是边长为a的正三角形,求它外接球的体积及内切球的半径.
世纪金榜导学号
【思维·引】1.先判断最大球的半径是多少,然后计算.
2.解答本题的依据是:若正方体内接于球,则2R=
a(a为正方体的棱长).
3.方法一:找到球心的位置,建立方程求外接球半径,然后求外接球的体积及内切球的半径.
方法二:补形为正方体.
【解析】1.选A.由题意得最大球的半径为直角三角形
(直角边长为3和4)内切圆的半径,所以r=
=1.
2.设此球的半径为R,由题意得
正方体的棱长为2,所以2R=
,
所以R=
,所以该球面的表面积为4πR2=12π.
答案:12π
3.方法一:如图,设SO1是四面体S-ABC的高,则外接球的球心O在SO1上.
设外接球半径为R.因为四面体的棱长为a,O1为正△ABC
的中心,所以AO1=
×
a=
a,
SO1=
a.
在Rt△OO1A中,R2=A
=A
+(SO1-R)2,
即R2=
,解得R=
a,
所以所求外接球体积V球=
πR3=
πa3.
所以OO1即为内切球的半径,OO1=
a,
所以内切球的半径为
a.
方法二:以四面体的各棱为正方体的面对角线,将其补
形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球,所
以该四面体的外接球就是正方体的外接球.设正方体的
棱长为x,外接球的半径为R,则2R=
x且a=
x,所以
R=
a,所求外接球体积V球=
πR3=
πa3,设该四
面体的内切球的半径为r,利用体积分割法可知此多面
体的体积为4×
×
×a2×r=
a2r.
利用补形法可知此多面体的体积可由正方体的体积减
去四个三棱锥得到,即
,
所以
a2r=
a3,解得r=
a.
【素养·探】
在解球的外接几何体问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究球与其外接几何体的结构特征,找到相关几何量之间的关系,然后进行计算.
将本例2条件改为“三个相邻面的面积分别为2,3,6的长方体”,求该长方体外接球的表面积.
【解析】设长方体的棱长分别为
a,b,c
,
则
所以
(abc)2=36
,于是
设球的半径为R
,则
4R2=a2+b2+c2=14
,所以这个球面
的表面积为4πR2=14π
.
【类题·通】
常见的与球有关的切接问题
(1)正方体的内切球.
球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,
此时球的半径为r1=
,过在一个平面上的四个切点作
截面如图①.
(2)球与正方体的各条棱相切.
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方
体的对角面有r2=
,如图②.
(3)长方体的外接球.
长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,
根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若
长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,则过球心作长
方体的对角面有球的半径为
r3=
,如图③.
(4)正方体的外接球.
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R=
a.
【习练·破】
1.(2019·济南高一检测)
设正方体的表面积为24
cm2,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是
( )
A.
πcm3
B.
πcm3
C.
πcm3
D.
πcm3
【解析】选A.因为正方体的全面积为24
cm2,
所以正
方体的棱长为2
cm,又因为球内切于该正方体,所以这
个球的直径为2
cm,则这个球的半径为1
cm,所以球的
体积V=
π
cm3.
2.底面为正方形,顶点在底面上的投影为底面中心的棱
锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边
长为4,侧棱长为2
,则这个球的表面积为_______.
?
【解析】正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R,或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π.
答案:36π
【加练·固】
1.(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________.?
【解析】球的直径是长方体的体对角线,
所以2R=
,S=4πR2=14π.
答案:14π
2.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是
( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】选C.设正方体的棱长为a,球的半径为R,则
3a2=4R2,所以a2=
R2,
球的表面积S1=4πR2,正方体的表面积S2=6a2=6×
R2
=8R2,所以S1︰S2=
.(共65张PPT)
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定
1.直线与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行
【思考】
(1)直线与平面平行的判定定理中“平面外”可以去掉吗?试画图举例说明.
提示:如图所示,a∥b,b?α,但是a与α不平行,实际上a?α.
(2)直线与平面平行的判定定理的本质是将直线与平面平行转化为什么?
提示:直线与平面平行转化为直线与直线平行.
2.平面与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
【思考】
如果把定理中的“相交”去掉,这两个平面是否一定平行,为什么?
提示:不一定平行.如果不是两条相交直线,即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,也不能判定这两个平面平行,这是因为在两个相交平面的一个平面内,可以画出无数条直线与交线平行,显然这无数条直线都与另一个平面平行,但这两个平面不平行.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.
( )
(2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行.
( )
(3)平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β.
( )
提示:(1)×.若直线a与平面α内无数条直线平行,则这条直线可能在这个平面内,也可能与这个平面平行,所以该命题错误.
(2)
√.
三角板的两条边所在直线是相交的,根据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确.
(3)×.
若平行四边形的两边是对边,则互相平行不相交,无法推出α∥β.
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列正确的是( )
A.平面ABCD∥平面ABB′A′
B.平面ABCD∥平面ADD′A′
C.平面ABCD∥平面CDD′C′
D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′
【解析】选D.由长方体可以知道,平面ABCD∩平面ABB′A′=AB,所以A不正确;
平面ABCD∩平面ADD′A′=AD,所以B不正确;
平面ABCD∩平面CDD′C′=CD,所以C不正确;
平面ABCD与平面A′B′C′D′是相对平面,正确.
所以D选项是正确的.
3.如图,空间四边形ABCD中,若M,N,P分别是AB,BC,CD的中点,则与MN平行的平面是________,与NP平行的平面是________.?
【解析】因为M,N分别是AB,BC的中点,
所以MN∥AC,又MN?平面ACD,AC?平面ACD,
所以MN∥平面ACD,同理可证NP∥平面ABD.
答案:平面ACD 平面ABD
类型一 直线与平面平行的判定
【典例】1.
平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于D,E,
且
,如图所示,则BC与平面α的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.BC?α
2.(2019·济南高一检测)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1.
(2)求证:EF∥平面BB1D1D.
【思维·引】
1.由
可以推出ED∥BC.
2.(1)充分借助于P,Q为中点这一条件,用三角形中位线的性质证明直线与直线平行.
(2)要证明EF∥平面BB1D1D,需要在平面BB1D1D内找到与EF平行的直线,此直线与EF构成平行四边形.
【解析】1.选A.因为
,所以ED∥BC,
又DE?α,BC?α,所以BC∥α.
2.(1)连接AC,D1C,
因为四边形ABCD是正方形,所以Q是AC的中点,
又P是AD1的中点,所以PQ∥D1C,
因为PQ?平面DCC1D1,
D1C?平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)连接D1Q,QE,
因为Q,E分别是BD,BC的中点,
所以QE∥DC,
QE=
DC,
因为F是C1D1的中点,四边形DCC1D1是正方形,
所以D1F∥DC,
D1F=
DC,所以QE∥D1F,
QE=D1F,
所以四边形QEFD1是平行四边形,所以EF
∥QD1,
因为EF?平面BB1D1D,QD1?平面BB1D1D,
所以EF∥平面BB1D1D.
【内化·悟】
直观图中直线与直线的平行关系有变化吗?据此通常如何作辅助线寻找平面内与已知直线平行的直线?
提示:不变.通常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理作辅助线,证明直线与直线平行.
【类题·通】
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
①空间直线平行关系的传递性法;
②三角形中位线法;
③平行四边形法;
④成比例线段法.
提醒:线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
【习练·破】
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:EF∥平面ABC.
【证明】在平面ABD中,AB⊥AD,EF⊥AD
,
所以AB∥EF,又AB?平面ABC,且EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.
【加练·固】
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S,E,G分别是B1D1,BC,SC的中点.求证:直线EG∥平面BDD1B1.
【解析】如图所示,连接SB.
因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.
又因为SB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1,
所以直线EG∥平面BDD1B1.
类型二
平面与平面平行的判定
【典例】1.下列四个正方体图形中,A,B,C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是
( )
世纪金榜导学号
2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,E,F,H分别为AB,CD,PD的中点.求证:平面AFH∥平面PCE.
【思维·引】
1.看哪几个选项中的两个平面是相交的,不容易看出相交的选项中有哪些直线与直线平行.
2.为证平面AFH∥平面PCE,在矩形ABCD中,AF∥CE,在△PCD中,FH∥PC.
【解析】1.选B.A中,易作出过点D与BC平行的直线,此
直线与平面DEF相交,故BC与平面DEF相交,排除A;B中,
可证AB∥DE,BC∥DF,故可以证明AB∥平面DEF,BC∥平
面DEF.又AB∩BC=B,所以平面ABC∥平面DEF.C中,易证
BC与平面DEF相交,所以平面ABC与平面DEF不平行;D中,
易证AB与平面DEF相交,所以平面ABC与平面DEF不平行.
2.因为F为CD的中点,H为PD的中点,所以FH∥PC,且FH?平面PCE,所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE=CF,所以四边形AECF为平行四边形,所以AF∥CE,且AF?平面PCE，所以AF∥平面PCE.由FH?平面AFH,AF?平面AFH,
FH∩AF=F,所以平面AFH∥平面PCE.
【素养·探】
在与平面与平面平行的判定有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究平面与平面平行的判定,形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力.
将本例2的条件“E,F,H分别为AB,CD,PD的中点”改为“点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=
PQ∶QD”,其他条件不变,求证:平面MNQ∥平面PBC.
【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,所以MQ∥AD,
NQ∥BP.因为BP?平面PBC,NQ?平面PBC,所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形,所以BC∥AD,所以MQ∥BC.因为BC?平面PBC,MQ?平面PBC,所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ=Q,所以根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.
【类题·通】
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平面平行的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
【习练·破】
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是CE和CF的中点.
求证:平面BDGH∥平面AEF.
【证明】在△CEF中,
因为G,H分别是CE,CF的中点,所以GH∥EF,
又因为GH?平面AEF,EF?平面AEF,
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中,
因为OA=OC,CH=HF,
所以OH∥AF,又因为OH?平面AEF,AF?平面AEF,
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H,OH,GH?平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
【加练·固】
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.因为A1G?
EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
类型三 与平行有关的存在性问题
【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,在CC1
上是否存在点Q使得平面D1BQ∥平面PAO?
若存在,说明点Q的位置;若不存在,说明理由.
世纪金榜导学号
【思维·引】点Q在CC1上运动时,平面D1BQ中,D1B与平面PAO平行,点Q
是CC1的中点时,QB∥平面PAO.
【解析】存在.当Q为CC1的中点时,
平面D1BQ∥平面PAO.
理由如下:
因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,
所以易知QB∥PA.而QB?平面PAO,PA?平面PAO,所以QB∥平面PAO.
连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,
所以PO为△DBD1的中位线,所以D1B∥PO.
而D1B?平面PAO,PO?平面PAO,
所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB=B,
所以平面D1BQ∥平面PAO.
【内化·悟】
解决与平行有关的存在性问题的切入点是什么?
提示:结合平行直线以及线段的特殊点如几等分点进行分析.
【类题·通】
解决与平行有关的存在性问题的基本策略
(1)假定题中的数学对象存在(或结论成立).
(2)在这个前提下进行逻辑推理.
①若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;
②若导出与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.
【习练·破】
如图,在底面是平行四边形的四棱锥
P-ABCD中,
BD交AC于点E,F是PC中点,
在线段AC上是否存在G,使FG∥平面PBD,
若存在,说明点G的位置,并说明理由;
若不存在,说明理由.
【解析】存在.当点G是线段CE中点时,
FG∥平面PBD.
理由如下:连接PE,在△PCE中,
F是PC的中点,G是EC的中点,所以FG∥PE,
又FG?平面PBD,PE?平面PBD,
所以FG∥平面PBD.
【加练·固】
如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M
分别是棱B1C1,
BB1,C1D1的中点,是否存
在过点E,M且与平面A1FC平行的平面?
若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理由.
【解析】如图,设N是棱C1C上的一点,且C1N=
C1C时,
平面EMN过点E,M且与平面A1FC平行.
证明如下:设H为棱C1C的中点,连接B1H,D1H.
因为C1N=
C1C,
所以C1N=
C1H.
又E为B1C1的中点,
所以EN∥B1H.
又CF∥B1H,
所以EN∥CF.
又EN?平面A1FC,CF?平面A1FC,
所以EN∥平面A1FC.
同理MN∥D1H,D1H∥A1F,
所以MN∥A1F.
又MN?平面A1FC,A1F?平面A1FC,
所以MN∥平面A1FC.
又EN∩MN=N,
所以平面EMN∥平面A1FC.(共3张PPT)
阶段复习课
第二课
点、直线、平面之间的位置关系
相交
共面
平行公理4
直线与直线的位置关系
公理1
异面异面直线所成的角
平面空间直线、平面
公理2
的位置关系
直线与平面的位置关系直线在平面内
公理3
人相交直线与平面所成的角/C
平行
与平面的位置关系平行
0、A
相交
面角
BB
空间平行、垂直关系之间的转化
教材P60
教材P55
教材P57
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
教材P59
定义
教材P65
教材P69
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
定义
教材P71
两个平面互相垂直的定义
两个平面互相垂直的定义
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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
位置关系
直线在
平面内
直线在平面外
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
无数个
1个
0个
符号表示
a?α
a∩α=A
a∥α
图形表示
【思考】
“直线在平面外”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
提示:不相同.前者包括直线与平面平行及直线与平面相交这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
2.平面与平面的位置关系
位置关系
平行
相交
图示
表示法
α∥β
α∩β=a
公共点个数
0个
无数个
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.
( )
(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
(
)
(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点,则α∥β.
( )
(4)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.
( )
提示:(1)×.
若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或直线l与平面α相交.
(2)×.
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条与这个平面平行或在这个平面内.
(3)
√.由平面与平面平行的定义可知,此说法正确.
(4)
×.
若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行或相交.
2.
三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是
( )
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
【解析】选A.延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知,三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
3.在以下三个命题中,正确的命题是
( )
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;
②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;
③在平面α,β内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行或相交.
A.①②
B.②③
C.③
D.①③
【解析】选C.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对
于①,平面AA1D1D中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1
的中点E,F,连接EF,则EF∥平面A1B1C1D1,但平面AA1D1D
与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题①错;对于
②,平面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,
但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线
A1D1,故命题②错.命题③是正确的.
类型一 直线与平面的位置关系
【典例】1.(2019·丽水高一检测)下列命题错误的
是
( )
A.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l平行
B.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面
C.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l垂直
D.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l相交
2.下列说法中,正确的个数是
( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.
A.0
B.1
C.2
D.3
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,试判断
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系?
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系?
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系?
【思维·引】1.由直线l平行于平面α知直线l与平面α无公共点,据此逐项判断.
2.依据直线与平面的三种位置关系的定义逐项判断.
3.依据直线与平面的三种位置关系的定义和正方体的结构特征逐项判断.
【解析】1.选D.若直线l平行于平面α,则平面α内的直线与l平行或异面,故A,B正确;
在C中,若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面垂直,故C正确;
在D中,若直线l平行于平面α,则平面α内的直线与l平行或异面,故D错误.
2.选C.易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.
3.(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.
【类题·通】
直线与平面位置关系的判断
(1)以正方体为模型,将线面化归成正方体中的线面进行判断.
(2)以身边的物体作为模型判断,如笔,墙角作为直线,桌面,墙面,地面作为平面.
提醒:在判断直线与平面的位置关系时,三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.
【习练·破】
在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选B.如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
【加练·固】
指出正方体ABCD-A1B1C1D1中的各个面与棱AA1所在直线的位置关系.
【解析】如图,因为A∈平面AB1,A1∈平面AB1,所以AA1?平面AB1,同理AA1?平面AD1.因为A∈平面AC,A1?平面AC,所以AA1?平面AC,
所以AA1∩平面AC=A.同理,AA1∩平面A1C1=A1,所以AA1?平面A1C1.因为AA1?平面AB1,所以AA1的所有的点都在平面AB1内.因为平面AB1∩平面BC1=BB1,AA1∥BB1,所以直线AA1与BB1没有公共点.这就是说,直线AA1与平面BC1没有公共点,即AA1∥平面BC1,同理AA1∥平面DC1.
类型二 平面与平面的位置关系
【典例】1.(2019·上海高一检测)已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,则下面结论不可能成立的是
( )
A.b?β,且b∥α
B.b?α
C.b∥α,且b∥β
D.b与α,β都相交
2.α,β是两个不重合的平面,下面说法中正确的
是
( )
A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β
3.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b平行或异面;
其中正确说法的序号是________.世纪金榜导学号?
【思维·引】1.借助正方体模型举反例说明有关结论不成立,用排除法选出正确答案.
2.画图举反例说明A,B,C错误,
对于D可以根据平面与平面平行的定义进行判断.
3.根据平面与平面平行的定义得到四种说法中直线a与b无公共点,从而得出答案.
【解析】1.选D.由a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,知:对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1?平面ABCD,C1D1∥AB,此时有C1D1?平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD成立,故排除A.
对于选项B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面
ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以
b?α有可能成立,故排除B;对于选项C
,在正方体ABCD-
A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,
且C1D1∥平面ABB1A1,所以b∥α,且b∥β有可能成立,
故排除C;对于选项D,b与α,β都相交不可能成立,故选D.
2.选D.A,B都不能保证α,β无公共点,如图①所示;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②所示;只有D说明α,β一定无公共点.
3.①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a?α,b?β,所以a与b无公共点.④对.由已知及③知:a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.
答案:③④
【内化·悟】
判断平面与平面的位置关系,要注意哪些问题?
提示:(1)牢牢抓住平面与平面的位置关系的定义;
(2)要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.
【类题·通】
1.平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以公理3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
2.常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行.
(2)长方体的六个面中,三组相对面平行.
【习练·破】
下列说法中正确的个数是
( )
(1)平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有2条或3条交线.
(2)如果平面α外有两点A,B到平面α的距离相等,则直线AB∥α.
(3)如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面.
(4)直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线.
(5)如果α∥β,a∥α,那么a∥β.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.(1)错误.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有可能有2条或3条交线,还有可能只有一条交线.
(2)错误.如果两点A,B在平面α的同一侧,则直线AB
∥α;如果两点A,B在平面α的两侧,则直线AB与平面α相交.
(3)错误.如果a,b是两条直线,a∥b,那么直线a有可能在经过b的平面内.
(4)错误.直线a不平行于平面α,则a有可能在平面α内,此时可以与平面α内无数条直线平行.
(5)错误.如果α∥β,a∥α,那么a∥β或a?β.
【加练·固】
已知在两个平面内分别有一条直线,并且这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
【解析】选C.如图,可能会出现以下两种情况:(共54张PPT)
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
(1)定义:
如图,OABC-D′A′B′C′为单位正方体,
以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向
为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条
数轴:x轴、y轴、z轴,即建立了空间直角坐标系Oxyz.
(2)构成要素:
坐标原点:O;坐标轴:x轴、y轴、z轴;
坐标平面:xOy平面,yOz平面,xOz平面.
(3)右手直角坐标系:右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,中指指向z轴的正方向.
【思考】
(1)空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴上的单位长度什么关系?
提示:相等.
(2)在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般∠xOy,
∠yOz分别是多少度?
提示:∠xOy=135°,∠yOz=90°.
2.空间直角坐标系中点的坐标
其中x→横坐标,y→纵坐标,z→竖坐标.
【思考】
空间中点的坐标x,y,z的顺序能互换吗?
提示:不能,点的坐标为有序实数组,顺序不能互换.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)每两条坐标轴确定的平面相互垂直.
( )
(2)x轴上的点的坐标一定为(0,y,z).
( )
(3)坐标平面xOy上的点的坐标一定是(x,0,z).
( )
提示:(1)√.因为坐标轴两两垂直,故由坐标轴确定的平面两两垂直.
(2)×.x轴上的点的坐标一定为(x,0,0).
(3)×.坐标平面xOy上的点的坐标一定是(x,y,0).
2.z轴上点的坐标的特点是
( )
A.z坐标为0
B.x坐标,y坐标都是0
C.x坐标为0,y坐标不为0
D.x,y,z坐标不可能都是0
【解析】选B.z轴上点的x坐标,y坐标都是0.
3.如图所示,已知长方体中OA=AB=2,AA1=3,则点C1的坐标为________.?
【解析】因为长方体中OA=AB=2,AA1=3,所以点C1的坐标为(0,2,3).
答案:(0,2,3)
类型一 确定空间中点的坐标
【典例】1.如图,在棱长为2的正方体
OABC
-D′A′B′C′中,点M在B′C′
上,且M为B′C′的中点,若以O为坐标
原点,建立空间直角坐标系,则点M的坐标为________.?
2.在棱长为2的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,
老师让同学们自主建立空间直角坐标系
写出八个顶点的坐标.小明同学建立了
如图所示的空间直角坐标系,但写坐标时感觉有困难,请你帮小明写出八个顶点的坐标.
【思维·引】1.先向xOy面作垂线,再过垂足分别向x轴,y轴作垂线,利用垂足、高度分别确定x,y,z.
2.先根据位置确定A,B,C,D的坐标,再根据高度确定A1,B1,C1,D1的坐标.
【解析】1.由图形可知,M点在正方体的上底面上,所以M点的纵坐标同B′的纵坐标,M在面BCC′B′上,得到点的竖坐标为2,因为C′M=MB′,所以M点的横坐标是1,所以M点的坐标是(1,2,2),
答案:(1,2,2)
2.因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,所以
OB=
.所以点B(
,0,0),C(0,
,0),D(-
,0,0),
A(0,-
,0),B1(
,0,2),C1(0,
,2),D1(-
,
0,2),A1(0,-
,2).
【内化·悟】
在已知空间直角坐标系中确定点的坐标时,主要关注哪几方面?
提示:过点向平面xOy作垂线,利用垂足的位置确定x,y值,利用垂线段的高度确定z的值.
【类题·通】
确定空间中点M的坐标的方法
(1)作垂直平面:过点M分别作x轴、y轴、z轴的垂面,依次交于点P,Q,R,根据三个点的坐标确定点M的坐标.
(2)作垂线:过点M作xOy的垂线,垂足为P,过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为Q,N,根据点Q,N的坐标确定x,y,根据PM的高度确定z.
【习练·破】
如图,在正方体ABCD
-A′B′C′D′中,棱长为1,|BP|=
|BD′|,则P点的坐标为
( )
设点P(x,y,z),且点B(1,1,0),B′(1,1,1),D′(0,0,1);
因为点P在正方体ABCD
-A′B′C′D′的对角线BD′上,
所以x=y,又|PB|=
|BD′|,所以
解得:
z=
,
解得:x=
,故
【解析】选D.
【加练·固】
在空间直角坐标系中,已知点P(1,
),过P作平面
yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为
( )
A.(0,
,0)
B.(0,
)
C.(1,0,
)
D.(1,
,0)
【解析】选B.由于垂足Q在yOz平面内,可设Q(0,y,z),
因为直线PQ⊥yOz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标
都相等,因为P的坐标为(1,
),所以
可得Q(0,
).
类型二 空间两点的中点问题
【典例】1.棱长为2个单位的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z坐标轴,则B1C与BC1的交点E的坐标为________.?
2.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,
7,-5),则点D的坐标为________.?
【思维·引】1.点E为线段BC1的中点,先求出点B,C1的坐标,再利用中点坐标公式求点E的坐标.
2.平行四边形的对角线互相平分,可利用对角线的交点求点D的坐标.
【解析】1.棱长为2个单位的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,B1C与BC1的交点E是BC1的中点,因为B(2,2,0),
C1(0,2,2),所以E(1,2,1).
答案:(1,2,1)
2.因为ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),C(3,7,-5),所
以线段AC的中点坐标为
设点D的坐标为(x,y,z),
则对角线BD的中点坐标也为
所以
解得
所以点D的坐标为(5,13,-3).
答案:(5,13,-3)
【内化·悟】
怎样利用公式求中点的坐标?
提示:先求出线段两端点的坐标,再利用中点坐标公式计算中点坐标.
【类题·通】
空间两点的中点坐标
点
中点P的坐标为
已知端点坐标可以求中点坐标,也可已知一个
端点及中点坐标求另一个端点的坐标.
【习练·破】
点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标是( )
A.(-3,4,-10)
B.(-3,2,-4)
C.
D.(6,-5,11)
【解析】选A.设点A关于点(0,1,-3)的对称点为A′(x,
y,z),则(0,1,-3)为线段AA′的中点,即
解得x=-3,y=4,z=-10,所以A′(-3,4,-10).
【加练·固】
已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为________.?
【解析】设中点坐标为(x0,y0,z0),则x0=
=4,y0=
=0,z0=
=-1,所以中点坐标为(4,0,-1).
答案:(4,0,-1)
类型三 空间中点的对称问题
角度1 关于坐标平面的对称点问题
【典例】在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(2,
4,6),则其关于yOz平面的对称点的坐标是( )
世纪金榜导学号
A.(-2,4,6)
B.(-2,-4,6)
C.(2,-4,-6)
D.(-2,-4,-6)
【思维·引】点M与关于yOz平面的对称点坐标的横坐标互为相反数,纵坐标、竖坐标相等.
【解析】选A.在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(2,4,6),可得点M(2,4,6)关于yOz平面的对称点的坐标是(-2,4,6).
【素养·探】
在求关于坐标平面的对称点坐标时,常常用到核心素养中的直观想象,通过对称点间坐标的关系解题.
本例中,试求点M关于xOz平面的对称点的坐标.
【解析】在空间直角坐标系Oxyz中,点M的坐标是(2,
4,6),可得点M(2,4,6)关于xOz平面的对称点的坐标是(2,-4,6).
角度2 关于坐标轴的对称点问题
【典例】(2019·台州高一检测)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,2,3)关于x轴对称的点N的坐标是( )
A.(-1,2,3)
B.(1,-2,3)
C.(1,2,-3)
D.(1,-2,-3)
【思维·引】点M与关于x轴的对称点的横坐标不变,纵坐标、竖坐标互为相反数.
【解析】选D.一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变,纵坐标和竖坐标改变,因为点M(1,2,3),所以点M(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3).
【类题·通】
在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下:
关于xOy
平面对称
关于yOz
平面对称
关于xOz
平面对称
关于原
点对称
(x,y,-z)
(-x,y,z)
(x,-y,z)
(-x,-y,-z)
关于x轴对称
关于y轴对称
关于z轴对称
(x,-y,-z)
(-x,y,-z)
(-x,-y,z)
其中的记忆方法为“关于谁谁不变,其余的相反”.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.
【习练·破】
1.在空间直角坐标系中,点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于______对称
( )?
A.x轴 B.y轴 C.z轴 D.原点
【解析】选B.因为在空间直角坐标系中,点(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为:(-x,y,-z),所以点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于y轴对称.
2.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是
( )
A.(1,1,-1) B.(-1,-1,-1)
C.(-1,-1,1)
D.(1,-1,1)
【解析】选B.因为点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1,所以P1(1,1,-1),所以点P1关于z轴的对称点P2的坐标是(-1,-1,-1).
【加练·固】
在空间直角坐标系O
-xyz中,点P(-2,4,-3)关于yOz平面的对称点的坐标为
( )
A.(2,4,-3)
B.(-2,-4,3)
C.(2,-4,-3)
D.(-2,4,3)
【解析】选A.设所求对称点为P′(x,y,z),因为关于坐标平面yOz对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数,点P(-2,4,-3),所以x=-2,y=4,
z=-3,即点P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P′(2,4,-3).(共57张PPT)
4.2.2
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆有以下位置关系:
位置关系
公共点
个数
圆心距与半径
的关系
图示
两圆外离
0个
d>r1+r2
两圆内含
d<|r1-r2|
位置关系
公共点
个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆相交
2个
|r1-r2|两圆内切
1个
d=|r1-r2|
两圆外切
d=r1+r2
【思考】
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,公切线的条数分别是多少?
提示:公切线的条数分别是4,3,2,1,0.
(2)当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质?
提示:当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两圆有唯一的公共点,则两圆外切.
( )
(2)若两圆没有公切线,则两圆内含.
( )
(3)若两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,当d<|r1-r2|时,两圆相交.
( )
提示:(1)×.两圆也可能内切.
(2)√.只有两圆内含时,两圆才没有公切线.
(3)×.当d<|r1-r2|时,两圆内含.
2.圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=49的位置关系为
( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选A.因为圆心距为
=5,大圆
半径减小圆半径为7-2=5,故两圆内切.
3.已知☉O1与☉O2的方程分别为(x-1)2+y2=1,(x+1)2+
y2=r2(r>1),若两圆相交,则r的取值范围是________.?
【解析】因为圆心距d=|O1O2|=2,且两圆相交,
所以r-1答案:1类型一 两圆位置关系的判定
【典例】1.(2019·重庆高一检测)已知圆C1:x2+y2+
4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2的位置关系是
( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
2.(2019·青岛高一检测)圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为
( )
A.0
B.3
C.2
D.1
【思维·引】1.将两圆方程变为标准形式,利用圆心距与半径的关系判断.
2.判断两圆的位置关系后得出交点个数.
【解析】1.选B.圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,即(x+2)2+(y+
1)2=6,圆心为C1(-2,-1),半径为
.圆C2:x2+y2+2x+
8y-8=0即(x+1)2+(y+4)2=25,圆心为C2(-1,-4),半径为
5.所以两圆的圆心距d=
因为
故两个圆相交.
2.选D.因为圆B:(x-2)2+y2=1,其圆心为B(2,0),半径为1,圆A的圆心为A(0,0),半径为1,所以圆心距为|AB|=2,半径之和为1+1=2,所以两圆外切,只有一个公共点.
【内化·悟】
判断两圆位置关系需要计算哪些量?
提示:准确得出两圆的圆心、半径,计算出圆心距.
【类题·通】
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程.
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1,r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系,从而判断两圆的位置关系.
【习练·破】
圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9有几条公切线
( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4的圆心C1(-1,-2),半径r1=2,圆C2:(x-1)2+(y+1)2=9的圆心C2(1,-1),半径r2=3,
|C1C2|=
所以|r1-r2|<|C1C2|r2,所以圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+1)2=
9相交,所以圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x-1)2+(y+
1)2=9有2条公切线.
【加练·固】
圆O1:(x-2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+(y-1)2=9的公切线有
( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
【解析】选B.两圆O1:(x-2)2+(y+3)2=4与圆O2:(x+1)2+
(y-1)2=9的圆心距为
=5,两个圆的半
径和为5,所以两个圆外切,公切线有3条.
类型二 两圆相切问题
【典例】1.(2019·烟台高一检测)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4ay+4a2-1=0恰有三条公切线,则a2=
________.?
2.已知圆O1:x2+y2-8
x-8
y+48=0,圆O2过点A(0,
-4),若圆O2与圆O1相切于点B(2
,2
),求圆O2的方
程.
世纪金榜导学号
【思维·引】1.由公切线条数确定两圆的位置关系,从而求a的值.
2.首先判断两圆是内切还是外切,其次根据相切的性质设出圆的方程,最后求出圆的方程.
【解析】1.由题意知两圆外切,两圆的标准方程分别为
(x+a)2+y2=4和x2+(y-2a)2=1,圆心分别为C(-a,0),D(0,
2a),半径分别为2和1,所以
=2+1,解得
a2=
.
答案:
2.圆O1的方程变为
=16,所以圆心O1(4
,4
),因为圆O2与圆O1相切于点B(2
,2
),
所以圆O2的圆心在直线y=x上,不妨设为(a,a),因为圆
O2过点A(0,-4),所以圆O2与圆O1外切,因为圆O2过
B(2
,2
),所以a2+(a+4)2=2(a-2
)2,所以a=0,
所以圆O2的方程为x2+y2=16.
【内化·悟】
处理两圆相切问题的前提是什么?
提示:判断是外切还是内切,不能确定的分两种情况讨论.
【类题·通】
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
【习练·破】
(2019·武邑高一检测)若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a的值为
( )
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【解析】选C.由圆x2+y2-2ax+a2-1=0,得(x-a)2+y2=1,
得圆心为(a,0),半径为1,又由于两圆内切,所以圆心距
等于两圆半径之差,即
=2-1,解得:a=±1.
【加练·固】
求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.
【解析】设所求圆的圆心为P(a,b),
所以
=1.①
(1)若两圆外切,
则有
=1+2=3.②
由①②,解得a=5,b=-1.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.
(2)若两圆内切,则有
=2-1=1.③
由①③,解得a=3,b=-1.
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或
(x-3)2+(y+1)2=1.
类型三 两圆相交问题
角度1 与弦长相关的问题
【典例】(2019·淮南高一检测)已知圆x2+y2=4与圆
x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
( )
A.
B.2
C.2 D.1
【思维·引】先求出公共弦所在的直线方程,再利用两圆中的一个求弦长.
【解析】选B.圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0的方程相减
可得公共弦所在的直线方程为y=-1,由于圆x2+y2=4的
圆心到直线y=-1的距离为1,且圆x2+y2=4的半径为2,故
公共弦的长为2
=2
.
【素养·探】
在解决圆与圆相交时的弦长问题时,常常用到数学运算的核心素养,通过求公共弦的方程、解决相关的弦长问题.
将本例中的两圆改为圆C1:x2+y2+4x-4y=0和C2:x2+y2+
2x-8=0,求两圆的公共弦MN的长.
【解析】圆C1的圆心为(-2,2),半径r1=2
,圆C2的圆
心为(-1,0),半径r2=3,直线MN的方程为(x2+y2+4x-4y)-
(x2+y2+2x-8)=0,变形可得:2x-4y+8=0,即x-2y+4=0,圆
C2的圆心到直线x-2y+4=0的距离d=
则|MN|=2×
=2×
角度2 圆与圆位置关系的应用
【典例】(2019·白银高一检测)已知圆C满足:圆心在
直线x+y=0上,且过圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2
+y2+2x+2y-8=0的交点A,B.
世纪金榜导学号
(1)求弦AB所在的直线方程和圆C的方程.
(2)过点M(-4,1)的直线l被圆C截得的弦长为6,求直线l的方程.
【思维·引】(1)利用两圆方程相减得弦的方程,再利用两圆相交时的性质设圆的方程,求方程.
(2)分斜率存在、不存在两种情况,利用弦长、圆的半径、圆心距的关系解题.
【解析】(1)由题意:圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点A(-4,0),B(0,2).两式相减得:4x-8y+16=0,即x-2y+4=0,所以弦AB所在的直线方程为x-2y+4=0.圆心在直线x+y=0上,设圆心为(a,-a),那么它到两交点A,B的距离相等,故有(a+4)2+a2=a2+(2
+a)2,可得:a=-3,即圆心为(-3,3),r2=10,圆C的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
(2)当k存在时,设直线l的方程为y-1=k(x+4),即kx-y+
1+4k=0,直线l被圆C截得的弦长为6,即9=r2-d2,所以
d2=1.即
=1,可得:k=
,所以直线l的方
程为3x-4y+16=0;当k不存在时,直线l的方程为x+4=0.
直线l被圆C截得的弦长为6,符合题意.故所求直线l的
方程为x+4=0或3x-4y+16=0.
【类题·通】
公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
【习练·破】
(2019·杭州高一检测)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-
4)2+(y-4)2=R2(R>0).
(1)R为何值时,圆C1与圆C2外切.
(2)在(1)的条件下,设切点为P,过P作直线l与圆C1相交
于E点,若|PE|=
,求直线l的方程.
【解析】(1)由已知圆的方程可得:C1(0,0),C2(4,4),
则|C1C2|=4
=R+1,所以R=4
-1.
(2)因为C1(0,0),C2(4,4),所以P为直线C1C2与圆C1的交
点在第一象限.联立
得P
当直线斜率
存在时,设直线l的斜率为k,所以l:kx-y+
(1-k)=0,
则圆心C1到直线l的距离d=
解
得:k=0,此时直线方程为y=
.当直线斜率不存在时直
线方程为x=
也满足条件,故所求直线l的方程为y=
或x=
.
【加练·固】
已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.
(1)求圆C1的方程.
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦MN的长.
【解析】(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线方程为
即y=x-1.由题意可得,圆心在直线y=3上,
联立
解得圆心坐标为(4,3),故圆C1的半径为
4,则圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)因为圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-
6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,两式作差可得两圆公共
弦所在直线方程为2x+3y-4=0.圆C1的圆心到直线2x+3y
-4=0的距离d=
所以两圆的公共弦MN的长
为(共57张PPT)
4.1.2
圆的一般方程
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0变为:
(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示圆,圆心为
半径为
(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示点
.
(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
【思考】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圆吗?
提示:不一定,当D2+E2-4F>0时才表示圆.
2.圆的一般方程
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.
【思考】(1)圆的一般方程有什么特征?
提示:(1)x2和y2的系数相同且不为0;(2)没有xy项.
(2)如果点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0内,那么应满
足什么关系式?圆外呢?
提示:若点P在圆内,则
+Dx0+Ey0+F<0;若点P在圆
外,则
+Dx0+Ey0+F>0.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)圆的标准方程与一般方程可以互化.
( )
(2)方程2x2+2y2-3x=0不是圆的一般方程.
( )
(3)方程x2+y2-x+y+1=0表示圆.
( )
提示:(1)√.圆的标准方程与一般方程可以互化.
(2)×.方程2x2+2y2-3x=0即x2+y2-
x=0,是圆的一般
方程.
(3)×.因为(-1)2+12-4×1=-2<0,所以方程不表示任何
图形.
2.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心和半径分别为( )
A.圆心的坐标为(-1,-2),半径r=
B.圆心的坐标为(-1,-2),半径r=1
C.圆心的坐标为(1,2),半径r=
D.圆心的坐标为(1,2),半径r=1
【解析】选D.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0,即圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,表示以(1,2)为圆心,半径等于1的圆.
3.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是
( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.[1,+∞)
D.R
【解析】选A.由方程x2+y2-4x+2y+5k=0,可得(x-2)2+
(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1,故实数k的取值范围是(-∞,1).
类型一 二元二次方程与圆的关系
【典例】1.(2019·赤峰高一检测)方程2x2+2y2-4x+
8y+10=0表示的图形是
( )
A.一个点
B.一个圆
C.一条直线
D.不存在
2.(2019·武昌高一检测)圆C:2x2+2y2+ax-4y-3=0的直
径为
,则圆C的圆心坐标可以是
( )
A.
B.
C.(3,2)
D.(-3,2)
3.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a=________.?
【思维·引】1.将方程配方,观察方程表示什么图形.
2.将圆的方程变为标准形式,表示出直径后求a的值.
3.根据圆的一般方程中x,y的系数特征,D2+E2-4F的符号求值.
【解析】1.选A.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0
表示点(1,-2).
2.选A.圆C:2x2+2y2+ax-4y-3=0,即
+(y-1)2=
,圆心为
,因为直径为
,得
=
,a=±6,故圆心为
3.若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则
解得a=-1.
答案:-1
【内化·悟】
由圆的一般方程,怎样求圆的圆心、半径?
提示:将圆的一般方程配方,变形为标准形式后求圆心、半径.
【类题·通】
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法
(1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
提醒:在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数.
【习练·破】
1.(2019·青岛高一检测)方程x2+y2-ax+2y+1=0不能表示圆,则实数a的值为
( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
【解析】选A.方程x2+y2-ax+2y+1=0转换为标准方程是
+(y+1)2=
,由于该方程不能表示圆,故a=0.
2.方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则a,b,c的值依次为
( )
A.-2,-4,4
B.2,-4,4
C.2,-4,-4
D.-2,4,-4
【解析】选B.根据题意,圆心为(1,2),半径为1的圆,则
解得:
【加练·固】
若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围.
(2)圆心坐标和半径.
【解析】
(1)据题意知
D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<
,
故m的取值范围为
.
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为
(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
故圆心坐标为(-m,1),半径r=
.
类型二 待定系数法求圆的方程
【典例】已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),求△ABC外接圆的方程.
世纪金榜导学号
【思维·引】设出圆的一般方程,列方程组求系数.
【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0),
圆过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得
解方程可得
即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
【内化·悟】
圆有标准方程、一般方程两种形式,本例中设哪一种形式解题更为简便?
提示:设一般方程解题更简便.
【类题·通】
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey
+F=0.
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
【习练·破】
经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆与y轴交于M,N两
点,则|MN|=
( )
A.2
B.2
C.3 D.4
【解析】选A.设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆
经过点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),故
解得
故圆的方程为x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,令x=0,
得y2=3,所以y=±
,所以|MN|=2
.
【加练·固】
已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC的外接圆的方程.
【解题指南】先设出圆的一般方程,根据点在圆上列方程组,解方程组求出待定系数,得外接圆方程.
【解析】设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意得
解得
即△ABC的外接圆方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
类型三 求动点的轨迹方程
角度1 代入法求方程
【典例】(2019·朝阳高一检测)已知动点A在圆x2+y2
=1上移动,点B(3,0),则AB的中点的轨迹方程是
( )
世纪金榜导学号
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.
+y2=
D.
+y2=
【思维·引】利用要求的中点坐标表示点A的坐标,代入圆的方程.
【解析】选C.设A(x0,y0),AB的中点的坐标为(x,y),由
中点坐标公式得
即
因为动点A在
圆x2+y2=1上移动,所以
=1.则(2x-3)2+(2y)2=1,
整理得:(2x-3)2+4y2=1.即
【素养·探】
利用代入法求轨迹时,常常用到核心素养中的数学运算和数据分析,通过坐标表示,代入化简、变形求出动点的轨迹方程.
将本例的条件改为“过点A作x轴的垂线,垂足为C,点P在线段AC上,且2|AP|=|PC|”,求点P的轨迹方程.
【解析】设A(x0,y0),点P的坐标为(x,y),因为点P在线
段AC上,且2|AP|=|PC|,所以
则
因为点A在圆x2+y2=1上,
所以x2+
y2=1.
角度2 定义法求方程
【典例】已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于圆,且∠BAC=60°,当B,C在圆上运动时,BC中点D的轨迹方程是
世纪金榜导学号( )
A.x2+y2=
B.x2+y2=
C.x2+y2=
D.x2+y2=
【思维·引】利用圆周角与圆心角的关系,求出BC中点到原点的距离,从而确定轨迹及方程.
【解析】选D.如图所示,因为∠BAC=60°,
又因为圆周角等于圆心角的一半,所以
∠BOC=120°,又D为BC中点,OB=OC,所以
∠BOD=60°,在直角三角形BOD中,有OD=
OB=
,故
中点D的轨迹方程是:x2+y2=
,如图,由∠BAC的极限
位置可得,x<
.
【类题·通】
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:若动点P(x,y)依赖圆上的某一个动点Q(x0,y0)而运动,找到两点的关系,把x,y用x0,y0表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.
提醒:注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的.
【习练·破】
长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点M的轨迹方程为________.?
【解析】设M(x,y),因为△AOB是直角三角形,所以
|OM|=
|AB|=3为定值,故M的轨迹为以O为圆心,3为半
径的圆,故x2+y2=9即为所求.
答案:x2+y2=9
【加练·固】
点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是
( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
【解析】选A.设圆上任一点为Q(x0,y0),
PQ的中点为M(x,y),则
解得
因为点Q在圆x2+y2=4上,
所以
=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
即(x-2)2+(y+1)2=1.(共72张PPT)
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
1.平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
【思考】
类比直线的画法,想一想为什么“通常”画“平行四边形”表示平面?
提示:①通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示.
②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示,如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面.
3.平面的表示法
(1)用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
4.平面的基本性质
公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α
公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理2
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线?存在惟一的平面α使A,B,C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β?
α∩β=l,
且P∈l
【思考】
用数学符号“∈”、“?”
“?”或“∩”表示点和直线、平面的位置关系的依据是什么?这些符号分别适用于什么情况?
提示:(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示.
(3)直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“?”或“?”表示.直线与平面的交点,平面与平面的交线可看成两个集合的“交集”,故用“∩”表示.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)几何里的平面是有厚度的,有边界的.
( )
(2)若线段AB在平面α内,则直线AB在平面α内.
( )
(3)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.
( )
(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
( )
提示:(1)×.
几何里的平面是没有厚度,无限延展而没有边界的.
(2)√.直线AB在平面α内,因为线段AB在平面α内,所以线段AB上的所有点都在平面α内,故线段AB上A,B两点一定在平面α内,由公理1可知直线AB在平面α内.
(3)×.
平面α与平面β相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上.
(4)×.如三点共线,这两个平面有可能相交,也可能重合,所以该命题错误.
2.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是
( )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
【解析】选B.两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
3.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系:
(1)点C与平面β:______________.?
(2)点A与平面α:_________.
(3)直线AB与平面α:_______.
(4)直线CD与平面α:_______.
(5)平面α与平面β:_______.
【解析】(1)C?β.(2)A?α.
(3)AB∩α=B.(4)CD?α.(5)α∩β=BD.
答案:(1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B
(4)CD?α (5)α∩β=BD
类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【典例】1.文字语言叙述:“平面内有一条直线,则这条
直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是
( )
A.a∈α,A?a?A?α
B.a?α,A∈a?A∈α
C.a∈α,A∈a?A?α
D.a∈α,A∈a?A∈α
2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是
( )
3.如图所示,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB.(2)点C与直线AB.
(3)点A1与平面AC.(4)直线AB与直线BC.
(5)直线AB与平面AC.(6)平面A1B与平面AC.
【思维·引】
1.点看作元素,直线和平面看作点的集合,据此选择恰当的数学符号.
2.注意被遮挡的线画成虚线.
3.判断点、直线和平面的位置关系,选择恰当的数学符号表示出来.
【解析】1.
选B.直线在平面内用“?”,点在直线上和点在平面内用“∈”.
2.选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示,只有D画法正确.
3.(1)点P∈直线AB.(2)点C?直线AB.
(3)点A1?平面AC.(4)直线AB∩直线BC=点B.
(5)直线AB?平面AC.(6)平面A1B∩平面AC=直线AB.
【内化·悟】
在用符号表示点、线、面之间的关系时,如何区别“∈”与“?”?
提示:可借助集合的观点区分“∈”与“?”.
点与直线(或平面)的位置关系,用“∈”或“?”表示;直线与平面的位置关系,用“?”或“?”表示;直线与直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说明交点或交线.
【类题·通】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义.
如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
【习练·破】
根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:
(1)A∈α,B?α.
(2)l?α,m∩α=A,A?l.
(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.
【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图①所示.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图②所示.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,
如图③所示.
【加练·固】
将下列符号语言转化为图形语言.
(1)a?α,b∩α=A,A?a.
(2)α∩β=c,a?α,b?β,a∥c,b∩c=P.
【解析】
(1)
(2)
类型二 点、线共面问题
【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【思维·引】用纳入法证明,即先由两条相交直线确定一个面,再证第三条直线在这个平面内.
【证明】已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:方法一:
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二:
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
【素养·探】
在点、线共面问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究点、直线和平面之间的基本位置关系,从已知定理出发,依据逻辑规则推出一个命题.将本例的条件“两两相交且不共点的三条直线”改为“和同一条直线相交的两条平行直线”,试证明这三条直线在同一平面内.
【证明】已知l1∥l2,l1∩l3=A,l2∩l3=B,求证:l1,l2,l3共面.
证明:因为l1∥l2,所以l1与l2确定一个平面,设该平面为α,则l1?α,l2?α,又因为l1∩l3=A,l2∩l3=B,所以A∈l1?α,B∈l2?α,即A∈α,B∈α,而A∈l3,B∈l3,所以l3?α,因此l1,l2,l3共面.
【类题·通】
1.证明点、线共面问题的理论依据
(1)公理1和公理2
(2)公理2的推论
①经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
②经过两条相交直线有且只有一个平面.
③经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.证明点、线共面的两种常用方法
(1)纳入法:先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内.
(2)重合法:先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合.
【习练·破】
已知直线l与四边形ABCD的三边AB,AD,CD所在的直线分别相交于点E,F,G.求证:四边形ABCD是平面四边形.
【证明】设AB,AD确定的平面为α,
则E∈α,F∈α,于是l?α.因为G∈l,
所以G∈α.所以DG?α,即DC?α.所以C∈α.故A,B,C,D四点共面,即四边形ABCD为平面四边形.
【加练·固】
已知:A∈l,B∈l,C∈l,D?l,如图所示.求证:直线AD,BD,CD共面.
【证明】因为D?l,所以l与D可以确定平面α,因为A∈l,所以A∈α,又D∈α,所以AD?α.同理,BD?α,CD?α,所以AD,BD,CD在同一平面α内,即它们共面.
类型三 点共线、线共点问题
【典例】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线.
2.如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.求证:AB,CD,l共点.
世纪金榜导学号
【思维·引】1.注意到平面ABC1D1与平面A1BCD1相交于直线BD1,可知利用公理3证明点Q同时在这两个平面内.
2.基本思路是证明其中两条直线的交点在第三条直线上.
【证明】1.如图,连接A1B,CD1,BD1显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1,
所以BD1?平面A1BCD1.同理,BD1?平面ABC1D1,
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.
因为A1C∩平面ABC1D1=Q,所以Q∈平面ABC1D1.
又因为A1C?平面A1BCD1,所以Q∈平面A1BCD1.
所以Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上,
即Q∈BD1,所以B,Q,D1三点共线.
2.因为梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰,所以AB,CD必定相交于一点,如图,设AB∩CD=M.又因为AB?α,CD?β,所以M∈α,且M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共点.
【内化·悟】
1.证明点共线、线共点问题最终都可以归结为什么问题?
提示:最终都可以归结为利用公理3证明点在直线上的问题.
2.利用公理3证明点在直线上的关键是什么?
提示:关键是恰当选择平面,把直线看作这两个平面的交线.
【类题·通】
(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
【习练·破】
1.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由公理3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
所以P,Q,R三点共线.
方法二:因为AP∩AR=A,
所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.
因为Q∈BC,所以Q∈平面APR,
又Q∈α,所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线.
2.如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,
B1C1∥BC,C1A1∥CA.
求证:AA1,BB1,CC1交于一点.
【证明】如图所示,因为B1C1∥BC,
所以B1C1与BC确定一个平面,记为平面β.
同理,将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C.因为△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,
所以AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.
而AA1?γ,BB1?β,所以P∈γ,P∈β,
所以P在平面β与平面γ的交线上.
又β∩γ=C1C,所以P∈C1C,所以AA1,BB1,CC1交于一点.
【加练·固】
如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
求证:E,F,G,H四点必定共线.
【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β(即平面ABCD),又因为AB∩α=E,AB?β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.
同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.(共43张PPT)
2.2.4 平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,
那么它们的交线平行
符号语言
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
图形语言
【思考】
分别在两个平行平面内的两条直线,有可能出现哪些位置关系?面面平行性质定理中直线a和b为什么是平行的?
提示:分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面.面面平行性质定理中直线a和b分别在两个平行平面内,且在同一个平面γ内,所以a∥b.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β.
( )
(2)若平面α∥β,点P∈α,a∥β且P∈a,那么a?α.
( )
(3)已知两个平面平行,若有第三个平面与其中的一个平面平行,那么它与另一平面也平行.
( )
提示:(1)×.直线a可能与β平行,也可能在β内.
(2)√.因为平面α∥β,a∥β,所以a∥α或a?α,又因为点P∈α,P∈a,所以a?α.
(3)√.因为两个平面平行,又因为第三个平面与其中一个平面平行,说明这两个平面没有公共点,因此,它与另一个平面也没有公共点,即它与另一个平面也平行,所以该命题正确.
2.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.平行或异面
【解析】选C.因为圆台的上、下底面互相平行,所以平面α与圆台的上、下底面分别相交时,所得交线m与n平行.
3.一长方体木料,沿如图所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么以下四个图形是截面的是
( )
【解析】选A.因为AB,MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,所以AB,MN无公共点,又因为AB,MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM,又AB⊥CD,所以截面必为矩形.
类型一 面面平行性质定理的应用
【典例】1.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面α∥平面A1BD,平面α∩平面ABCD=l,则直线l与直线A1C1所成的角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.
(1)若点S在平面α,β之间,则SC=________.?
(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=________.?
【思维·引】
1.求直线l与直线A1C1所成的角关键是作直线l的平行线与直线A1C1相交.由平面α∥平面A1BD可推出l∥BD.
2.由平面α∥平面β推出直线与直线平行,进而根据三角形相似列方程解出SC.
【解析】1.选D.因为平面α∥平面A1BD,
平面α∩平面ABCD=l,
平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以l∥BD,又因为正方体
ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以l∥B1D1,所以直线l与直
线A1C1所成的角等于直线B1D1与直线A1C1所成的角,因为
A1C1⊥B1D1,所以直线l与直线A1C1所成的角为90°.
2.(1)如图①所示,因为AB∩CD=S,所以AB,CD确定一个
平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所
以AC∥BD.于是
,即
.
所以SC=
=16.
(2)如图②所示,同理知AC∥BD,
则
,
即
,解得SC=272.
答案:(1)16 (2)272
【素养·探】
在与面面平行性质定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,根据平面与平面平行推出直线与直线平行,计算题中可以进一步得到三角形相似等结论,推出有关的等量关系.
将本例2的条件“SA=8,SB=9,CD=34.”改为“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.
【解析】如图(1),由α∥β可知BD∥AC,
所以
,即
,所以SC=68.
如图(2),由α∥β知AC∥BD,
所以
即
.所以SC=
.
综上,SC的大小为68或
.
【类题·通】
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
提醒:面面平行性质定理的实质:面面平行?线线平行,体现了转化思想.与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.
【习练·破】
(2019·武威高一检测)P为△ABC所在平面外一点,平面
α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A1,B1,C1,若
PA1∶A1A=2∶3,则
=________.?
【解析】平面α∥平面ABC,平面PAB与
它们的交线分别为A1B1,AB,
所以AB∥A1B1,同理B1C1∥BC,
易得△ABC∽△A1B1C1,
∶S△ABC
答案:
【加练·固】
如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,
M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,
P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,
过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,
则PQ=________.?
【解析】由上下底面平行,得截面与上、下底面相交所得的交线平行,即PQ∥MN.
如图,连接AC,A1C1,则MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.
因为AP=
,所以DP=DQ=
a.
可得PQ=
a.
答案:
a
类型二 平行关系的综合应用
【典例】(2019·常熟高一检测)如图,在三棱柱
ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
世纪金榜导学号
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
【思维·引】(1)要证平面A1C1G∥平面BEF,用平面与平面平行的判定定理,需要证EF∥平面A1C1G,BF∥平面A1C1G.
(2)在△ABC中,已知G是AB的中点,要证H为BC的中点,需要证GH∥AC,用面面平行的性质定理证明.
【证明】(1)因为E,F分别为B1C1,A1B1的中点,所以
EF∥A1C1,因为A1C1?平面A1C1G,EF?平面A1C1G,所以
EF∥平面A1C1G,又F,G分别为A1B1,AB的中点,所以
A1F=BG,又A1F∥BG,所以四边形A1GBF为平行四边形,则
BF∥A1G,因为A1G?平面A1C1G,BF?平面A1C1G,所以BF∥
平面A1C1G,又EF∩BF=F,所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=
A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则这两个平面的交线经过G,又因为平面A1C1G∩BC=H,所以设平面A1C1G∩平面ABC=GH,则A1C1∥GH,得GH∥AC,因为G为AB的中点,所以H为BC的中点.
【内化·悟】
立体几何中证明直线与直线平行与平面几何中证明直线与直线平行有什么区别?
提示:平面几何中直线与直线平行,通常利用三角形中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等方法;立体几何中,除了利用上述方法之外,还经常利用转化的思想,转化为证明线面平行或面面平行.
【类题·通】
空间中线、面平行关系的转化
线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达.
【习练·破】
如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是
SA,BD上的点,且
,求证:MN∥平面SBC.
【证明】在AB上取一点P,使
,
连接MP,NP,则MP∥SB.
因为SB?平面SBC,MP?平面SBC,所以MP∥平面SBC.
又
,所以
,所以NP∥AD.因为AD∥BC,
所以NP∥BC.又BC?平面SBC,NP?平面SBC,所以NP∥平
面SBC.又MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面SBC,而MN?平面MNP,所以MN∥平面SBC.
【加练·固】
如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,
M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.
【证明】因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE?平面ABC,AB?平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理DF∥平面ABC,又因为DE∩DF=D,DE,DF?平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF=NF,平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.(共83张PPT)
2.3.2
平面与平面垂直的判定
1.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)图示和记法
图示
记法
二面角α-l-β或
二面角P-AB-Q或
二面角P-l-Q
【思考】
根据“从一条直线出发的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?
提示:二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.
2.二面角的平面角
文字
语言
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以
点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂
直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB
构成的∠AOB叫做二面角的平面角
图形
语言
符号
语言
α∩β=l,O∈l,OA?α,OB?β,OA⊥l,
OB⊥l?∠AOB为二面角α-l-β的平面角
规定
二面角的大小可以用它的平面角来度量,
二面角的平面角是多少度,就说这个二面
角是多少度.平面角是直角的二面角叫做
直二面角
【思考】
二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面α和β内”、“垂直于棱”可以缺少一个吗?
提示:这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不可.实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的惟一性和平面角所在的平面与棱垂直.
3.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理:
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α,l?β?α⊥β
【思考】
(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?
提示:作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.
(2)由面面垂直的判定定理中“l⊥α,l?β”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?
提示:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.
( )
(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.
( )
(3)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.
( )
(4)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.
( )
提示:(1)×.由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以(1)不对,实质上它共有四个二面角.
(2)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.
(3)√.由a,b垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故(3)正确.
(4)×.如图所示,长方体中平面α内有一条直线l垂直于平面β内的一条直线m,但是平面α与平面β不垂直.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角是
( )
A.∠ABC
B.∠ABB1
C.∠ABA1
D.∠ABC1
【解析】选C.因为AB⊥BC,B1B⊥BC,
B1B∩AB=B,所以BC⊥平面ABB1A1,
又因为A1B?平面ABB1A1,所以BC⊥A1B,
所以∠ABA1是二面角A-BC-A1的平面角.
3.如图所示,在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,则有
( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面BCD
【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,
BD∩BC=B,且BC,BD?平面BCD,
所以AD⊥平面BCD.因为AD?平面ADC,
所以平面ADC⊥平面BCD.
类型一 二面角的概念及其大小计算
【典例】如图所示,四边形ABCD是正方
形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,
侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值
为
.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.
世纪金榜导学号
【思维·引】
一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为
,
求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD
与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求
正切值.
【解析】取AD中点M,连接MO,PM,
因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,
所以OM⊥AD,因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°,
所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,
所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,
因为PO⊥底面ABCD,
所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,
所以tan∠PAO=
,
设正方形ABCD的边长为a,则AO=
a,
所以PO=AO·tan∠PAO=
a×
=
a,
所以tan∠PMO=
,所以∠PMO=60°.
故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°.
【素养·探】
在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,依据二面角的平面角的定义在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小.
将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值
为
”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角
E-BD-C为30°”,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,
因为E为PC的中点,
所以EF为△POC的中位线,所以EF∥PO,
因为PO⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD,
BD?平面ABCD,所以EF⊥BD,
因为OF⊥BD,EF⊥BD,OF∩EF=F,
所以BD⊥平面EOF,OE?平面EOF,
所以BD⊥OE,
所以∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,
所以∠EOF=30°,
因为OF=
OC=
AC=
a,
所以在Rt△EOF中,
EF=OF·tan
30°=
a,
所以OP=2EF=
a,
故VP-ABCD=
×a2×
a=
a3.
【类题·通】
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.作二面角的平面角的方法
方法一:(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
方法二:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
【习练·破】
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1-BD-A的正切值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,
O为BD的中点,因为A1D=A1B,
所以在△A1BD中,A1O⊥BD.
又因为在正方形ABCD中,AC⊥BD,
所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
设AA1=1,则AO=
.所以tan∠A1OA=
2.如图,已知锐二面角α-l-β,A为面α内一点,A到β的距离为2,到l的距离为4.求二面角α-l-β的大小.
【解析】作AO⊥β于O,OD⊥l于D,易证l⊥平面AOD,
所以AD⊥l,
所以∠ADO是二面角α-l-β的平面角,
在Rt△AOD中,
因为sin∠ADO=
所以∠ADO=30°.所以二面角α-l-β的大小为30°.
【加练·固】
一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的
两个半平面,则这两个二面角的大小关系为
( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.不确定
【解析】选D.反例:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.
类型二 证明平面与平面垂直
【典例】1.(2019·长春高一检测)如图所示,在四面体ABCD中,△ABC是边长为2的正三角形,△ACD是直角三角形,且AD=CD,且BD=2,E为DB的中点.
(1)求证:平面ACD⊥平面ABC.
(2)求二面角E-AC-B的大小.
2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.
世纪金榜导学号
【思维·引】
1.(1)作出二面角D-AC-B的平面角,并证明二面角D-AC-B是直二面角推出平面ACD⊥平面ABC.
(2)作出二面角E-AC-B的平面角,在三角形中求解即可.
2.依据题目条件,要证平面BDD1B1⊥平面A1C1CA,只要证BD⊥平面A1C1CA.
【解析】1.(1)取AC的中点O,连接OB,OD,因为△ABC是边长为2的正三角形,
△ACD是直角三角形,且AD=CD,
所以OB⊥AC,OD⊥AC,
所以∠DOB是二面角D-AC-B的平面角.
因为OD=1,OB=
,BD=2,
所以OD2+OB2=BD2,即OB⊥OD,
所以二面角D-AC-B是直二面角,
因此,平面ACD⊥平面ABC.
(2)连接OE,由(1)可得AC⊥平面BOD,且∠OBD=30°,
所以AC⊥OE,
所以∠EOB是二面角E-AC-B的平面角.
在直角△BOD中,因为E是BD的中点,
所以OE=EB,所以∠BOE=∠OBD=30°,
即二面角E-AC-B的大小是30°.
2.由于四边形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B.
又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A.
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,
所以BD⊥AC.
因为AC∩A1A=A,所以BD⊥平面A1C1CA.
因为BD?平面BDD1B1,所以平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.
【内化·悟】
证明平面与平面垂直的关键是什么?
提示:找到其中一个平面中与另一平面垂直的直线.
【类题·通】
证明平面与平面垂直的两个常用方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
【习练·破】
1.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是正三角形,侧棱垂直于底面),侧棱长AA1=2,底面边长AB=1,N是CC1的中点.
求证:平面ANB1⊥平面AA1B1B.
【证明】取AB中点E,AB1的中点M,连接ME,CE,MN,则有ME∥NC,且ME=NC,
所以四边形MECN是平行四边形,所以MN∥CE,
因为AA1⊥平面ABC,CE?平面ABC,
所以AA1⊥CE,又CE⊥AB,AA1∩AB=A,
所以CE⊥平面AA1B1B,所以MN⊥平面AA1B1B,
又MN?平面ANB1,所以平面ANB1⊥平面AA1B1B.
2.已知在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D,F分别为AC,PC的中点,DE⊥AP于E.
(1)求证:AP⊥平面BDE.
(2)求证:平面BDE⊥平面BDF.
【证明】(1)因为PC⊥底面ABC,BD?底面ABC,
所以PC⊥BD;又AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC,PC∩AC=C,
所以BD⊥平面PAC,PA?平面PAC,
所以PA⊥BD,又DE⊥AP,BD∩DE=D,BD,DE?平面BDE,
所以AP⊥平面BDE.
(2)由AP⊥平面BDE知,AP⊥DE;又D,F分别为AC,PC的中点,
所以DF是△PAC的中位线,所以DF∥AP,
所以DF⊥DE,即∠EDF=90°,
由BD⊥平面PAC可知,DE⊥BD,DF⊥BD,∠EDF为平面BDE
与平面BDF的二面角的平面角,
又∠EDF=90°,所以平面BDE⊥平面BDF.
【加练·固】
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=
AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置,使A′C=A′D,求证:平面A′BE⊥平面BCDE.
【证明】如图所示,取CD的中点M,BE的中点N,连接A′M,A′N,MN,则MN∥BC.
因为AB=
AD,E是AD的中点,
所以AB=AE,即A′B=A′E.
所以A′N⊥BE.因为A′C=A′D,
所以A′M⊥CD.在四边形BCDE中,CD⊥MN,
又MN∩A′M=M,
所以CD⊥平面A′MN.
又A′N?平面A′MN,所以CD⊥A′N.
因为DE∥BC且DE=
BC,所以BE与CD相交.
所以A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE,
所以平面A′BE⊥平面BCDE.
类型三 线面垂直、面面垂直的综合应用
【典例】(2019·淄博高一检测)已知四棱锥P-ABCD中,
底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=AD=BC=1,CD=2.
世纪金榜导学号
(1)若点M在棱PD上,满足DM=2MP,证明:PB∥平面MAC.
(2)若PD⊥AC,证明:平面PAD⊥平面ABCD.
【思维·引】
(1)由AB∥CD可在底面ABCD中作辅助线构造相似三角形,结合DM=2MP可用平行线分线段成比例定理证明线线平行;
(2)在等腰梯形ABCD中证明AC⊥AD.
【证明】(1)连接BD交AC于点O,连接OM,
因为AB∥CD,所以△AOB∽△COD,
所以
又因为DM=2MP,
所以
,所以OM∥PB,
又PB?平面MAC,OM?平面MAC,所以PB∥平面MAC.
(2)取CD的中点E,连接AE,
因为AB=1,CD=2,AB∥CD,所以AB∥CE,且AB=CE,
所以四边形ABCE是平行四边形,
所以AE=BC=1,所以EA=ED=EC=1,
所以AC⊥AD,又PD⊥AC,PD∩AD=D,
所以AC⊥平面PAD,又AC?平面ABCD.
所以平面PAD⊥平面ABCD.
【内化·悟】
证明面面垂直的关键是在一个平面内找另一个平面的垂线,通常应找什么样的平面的垂线?若要作辅助线,需要注意什么?
提示:通常水平放置和竖直放置的平面的垂线更容易找到;作辅助线时应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.
【类题·通】
线面、面面垂直的综合问题的解题策略
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直,转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.
【习练·破】
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F.
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【证明】(1)D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
A1C1∥AC,则DE∥A1C1.又因为DE?平面A1C1F,
A1C1?平面A1C1F,故DE∥平面A1C1F.
(2)由题意可得,在直三棱柱ABC-A1B1C1中有
AA1⊥A1C1,又因为A1C1⊥A1B1,
AA1∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面A1ABB1,
而B1D?平面A1ABB1,所以A1C1⊥B1D.
因为A1C1⊥B1D,A1F⊥B1D,
A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F,又因为B1D?平面B1DE,
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
【加练·固】
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长
为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.
(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥
F-AEC的体积.
【解析】(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1,又因为点E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AE⊥BC,又BC∩BB1=B,所以AE⊥平面B1BCC1,又AE?平面AEF,所以平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)设AB的中点为D,连接A1D,CD,因为
△ABC是正三角形,所以CD⊥AB,又三棱
柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1,
又因为AA1∩AB=A,所以CD⊥平面A1ABB1,于是∠CA1D为
直线A1C与平面A1ABB1所成的角,由题设知∠CA1D=45°,
所以A1D=CD=
AB=
,
在Rt△AA1D中,AA1=
,
所以FC=
AA1=
,
故三棱锥F-AEC的体积为
V=
S△AEC·FC=(共61张PPT)
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
位置关系
相交
相切
相离
方
法
几何法:设圆心到直线的距离d=
dd=r
d>r
代数法:由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
【思考】利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系,哪种方法简单?
提示:一般几何法较为简单.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线.
( )
(2)过圆内一点作一条直线,则该直线一定与圆相交.
( )
(3)如果一条直线与圆相交,所得的弦长是圆的弦中最长的,那么这条直线一定过圆心.
( )
提示:(1)×.当点在圆上时,只能作圆的一条切线.
(2)√.过圆内的一点作直线,一定与圆有两个交点,因此一定相交.
(3)√.直径是圆的最长弦,因此直线一定过圆心.
2.直线y=2x-6+2
与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系
为
( )
A.相离
B.相切
C.相交且经过圆心
D.相交但不经过圆心
【解析】选B.化圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=8,可得圆
心坐标为(2,-2),半径为r=2
.因为圆心到直线y=
2x-6+2
的距离
所以直线y=2x-6+2
与圆x2+y2-4x+4y=0的位置关系
为相切.
3.直线x-y=0与圆(x-2)2+y2=4交于点A,B,则|AB|=
________.?
【解析】圆心到直线的距离d=
=
,半径r=2,所
以|AB|=
答案:
类型一 直线与圆的位置关系的判断
【典例】1.已知a,b∈R,a2+b2≠0,则直线l:ax+by=0与圆C:x2+y2+ax+by=0的位置关系是
( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.不能确定
2.(2019·青岛高一检测)过点(0,4)的直线l与x2+y2=4相交,则直线l的倾斜角α的范围是__________.
【思维·引】1.表示出圆的半径、圆心到直线的距离然后作出判断.
2.首先验证斜率不存在时是否符合题意,然后设出直线方程,利用直线与圆相切的条件求斜率及倾斜角的范围.
【解析】1.选C.圆C的圆心C
,半径r=
=
,因为圆心C到直线l的距离d=
所以直线l与圆C的位置关系是相切.
2.当直线l的倾斜角为90°时,显然满足题意;当直线
l的倾斜角不等于90°时,存在斜率,设为k,则直线l:y=
kx+4,即kx-y+4=0,依题意圆心(0,0)到直线l的距离小
于半径2,所以
<2,解得:k>
或k<-
,所以倾
斜角所以倾斜角60°<α<90°或90°<α<120°，
综上所述:倾斜角α的取值范围是60°<α<120°.
答案：60°<α<120°
【内化·悟】
判断直线与圆的位置关系需要明确哪些要素?
提示:必须要明确圆心、半径、圆心到直线的距离.
【类题·通】
直线与圆的位置关系的判定有两种方法
(1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究,若有两组不同的实数解,即Δ>0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实数解,即Δ<0,则相离.
(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当dr时,直线与圆相离.
【习练·破】
(2019·安庆高一检测)对于a∈R,直线l:(a-1)x-y+
a+1=0和圆C:x2+y2-4x-12=0,则直线l与圆C的位置关系为
( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上三种位置均有可能
【解析】选A.直线l:(a-1)x-y+a+1=0恒过(-1,2),圆
C:x2+y2-4x-12=0化为(x-2)2+y2=16,则圆的圆心为
(2,0),半径为4.因为(-1,2)与(2,0)的距离为
<4,
所以直线恒过的定点在圆内,所以直线与圆相交.
【加练·固】
对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是
( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
【解析】选C.易知直线过定点(0,1),且点(0,1)在圆内,但是直线不过圆心(0,0).
类型二 直线与圆的相切问题
【典例】1.(2019·重庆高一检测)若点P(2,1)在以
坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程
为
( )
A.2x+y-5=0
B.x-2y=0
C.2x+y+3=0
D.x=2
2.以P(1,2)为圆心,且与直线3x-4y-5=0相切的圆的方程为
( )
A.(x-1)2+(y-2)2=2
B.(x-1)2+(y-2)2=4
C.(x+1)2+(y+2)2=2
D.(x+1)2+(y+2)2=4
3.(2019·常熟高一检测)若直线ax+by+7=0与圆x2+y2+
4x-1=0切于点P(-3,2),则ab的值为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】1.利用切线与过切点的半径垂直求出斜率后写方程.
2.利用直线与圆相切求出圆的半径后写出圆的方程.
3.利用点P在切线上及圆的切线性质解题.
【解析】1.选A.由题意可得OP和切线垂直,因为kOP=
,所以切线的斜率为-2,故切线的方程为y-1=-2(x-
2),即2x+y-5=0.
2.选B.圆心P(1,2)到直线3x-4y-5=0的距离为r=d=
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
3.把圆的方程化为标准方程得:(x+2)2+y2=5,则圆心坐
标为(-2,0),则过圆心与P的直线的斜率k=
=-2,
而直线ax+by+7=0的斜率为-
,
所以-2·
=-1,
化简得:2a=-b①,
把P点坐标代入ax+by+7=0得:-3a+2b+7=0②,
把①代入②解得a=1,把a=1代入①解得b=-2,
则ab=-2.
答案:-2
【内化·悟】
解决与切线相关的问题时,主要用到哪些切线的性质?
提示:主要用到:圆心到切线的距离等于半径、过切点的半径垂直于切线,过切点且与切线垂直的直线过圆心等.
【类题·通】
过一点的圆的切线方程的求法
(1)点(x0,y0)在圆上.
①先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线
的斜率为-
,由点斜式可得切线方程.
②如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0.
(2)点(x0,y0)在圆外.
①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得切线方程.
②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
提醒:已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的情况.
【习练·破】
过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
【解析】因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方
程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半
径,半径为1,所以
=1,即|k+4|=
,所
以k2+8k+16=k2+1,解得k=-
.所以切线方程为y+3=
-
(x-4),即15x+8y-36=0.
(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
【加练·固】
已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值
是
( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解析】选C.结合图形,可知直线x=a要与圆(x-1)2+y2
=4相切,则a=3或-1,因为a>0,所以a=3.
类型三 直线与圆的相交问题
角度1 求弦长
【典例】求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为________.
世纪金榜导学号?
【思维·引】利用弦长、弦心距、半径的关系求弦长.
【解析】方法一:圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,
其圆心坐标为(0,1),半径r=
.点(0,1)到直线l的距离
为d=
弦长=
所以截
得的弦长为
.
答案:
方法二:设直线l与圆C交于A,B两点.由
得交点A(1,3),B(2,0),所以弦AB的长为|AB|=
答案:
方法三:设直线l与圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由
得x2-3x+2=0,则x1+x2=3,x1x2=2,所以
|AB|=
答案:
【素养·探】
在与弦长有关的问题中,常常用到核心素养中的数学运算,通过圆的半径、弦心距、弦长的关系或利用方程解决相关的问题.
本例中,若过点P(1,5)的直线与圆C相交,弦长为4,求直线l的方程.
【解析】圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心
坐标为(0,1),半径r=
,因为弦长为4,所以圆心到直
线的距离为
=1,当直线的斜率不存在时,直线的方
程为x=1,令x=1,由1+y2-2y-4=0,即y2-2y-3=0,解得y=
-1或3,弦长为4,符合题意;当直线的斜率存在时,设直
线方程为y-5=k(x-1),即kx-y+5-k=0,则
=1,
即|4-k|=
,解得k=
,直线方程为
x-y+5-
=0,即15x-8y+25=0,所以所求的直线方程为x=1或
15x-8y+25=0.
角度2 综合性问题
【典例】已知圆M与直线x=2相切,圆心在直线x+y=0上,
且直线x-y-2=0被圆M截得的弦长为2
,求圆的方程.
世纪金榜导学号
【思维·引】利用圆心在直线上设出圆心,利用圆与
x=2相切,弦长为2
构造方程组求解.
【解析】因为圆心在直线x+y=0上,所以设圆心M(a,-a),
因为圆M与直线x=2相切,且直线x-y-2=0被圆M截得的弦
长为2
,所以
解得
所以圆的
方程为x2+y2=4.
【类题·通】
1.求圆的弦长的两个方法
圆的性质
利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+
解题
交点坐标
若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长
2.与弦长相关的问题
利用弦长、弦心距、半径的关系构造方程或方程组,解出其中的未知量.
【习练·破】
1.直线x+2y-5+
=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长
为
( )
A.1
B.2
C.4
D.4
【解析】选C.圆的方程可化为C:(x-1)2+(y-2)2=5,其
圆心为C(1,2),半径r=
.取弦AB的中点P,连接CP,则
CP⊥AB,圆心C到直线AB的距离d=|CP|=
=1,
在Rt△ACP中,|AP|=
=2,故直线被圆截得的弦长
|AB|=4.
2.(2019·重庆高一检测)已知圆C过点(1,1),圆心在x轴正半轴上,且与直线y=x-4相切.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的方程.
【解析】(1)由题意设圆心坐标为C(a,0)(a>0),由题意,
解得a=-6(舍)或a=2,所以圆
的半径为r=
则圆C的标准方程为(x-2)2+
y2=2.
(2)若斜率不存在,则直线方程为x=1,弦心距d=1,半径
为
,则|AB|=2
=2,符合题意.若斜率存在,设
直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.弦心距d=
得|AB|=
=2,解得k=-
,直线方程为y=-
x
+
.
综上所述,直线l的方程为x=1或y=-
x+
.
【加练·固】
已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线
y=x截得的弦长为2
,求圆C的方程.
【解析】设圆心坐标为(3m,m).因为圆C和y轴相切,得
圆的半径为3|m|,所以圆心到直线y=x的距离为
所以9m2=7+2m2,所以m=±1,所以所求圆C的方程
为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.(共79张PPT)
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1.直线与平面垂直的定义
自
然
语
言
文字叙述
有关概念
如果直线l与平面α内的
任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
直线l叫做平面α的垂线,
平面α叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足.
图
形
语
言
图示
注释
画直线l与平面α垂直时,
通常把直线画成与表示平
面的平行四边形的一边垂直
符号
语言
任意a?α,都有l⊥a?l⊥α
【思考】
定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗?
提示:“任何一条直线”与“所有直线”是同义语;
“任何一条直线”与“无数条直线”不是同义语.
2.直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α
【思考】
判定定理的条件中,把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗?
提示:不可以.若两条直线不相交(即平
行),即使直线垂直于平面内无数条直
线也不能判定直线与平面垂直.例如正
方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ABCD内无数条直线垂
直(与直线AD平行或重合的所有直线),但是AB1与平面
ABCD不垂直.
3.直线与平面所成的角
(1)预备知识:
一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
(2)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(3)基本模型:如图所示,PO⊥平面α,直线PA与平面α交于点A,直线PA与平面α所成的角是∠PAO.
(4)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.
(5)范围:直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.
【思考】
斜线上斜足以外的一点可以任意选取吗?点的不同会影响角的大小吗?
提示:斜线上斜足以外的一点可以任意选取,且直线与平面所成的角的大小不会因点的不同而改变.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)斜线与它在平面上的射影所成的角为θ,则0°<θ<90°.
( )
(2)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于平面OBC.
( )
(3)若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线平行.
( )
提示:(1)√.由直线与平面所成角的定义可知,此说法正确.
(2)√.因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,且OB,OC确定一个平面OBC,所以OA⊥平面OBC..
(3)×.例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.
2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是
( )
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,又BD,AC异面,故不相交.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于______;AB1与平面ADD1A1所成的角等于______;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.?
【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;
∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
答案:45° 45° 0°
类型一 线面垂直的定义及判定定理的理解
【典例】1.下列说法中,正确的是
( )
A.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线
B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行
C.若a∥b,a?α,l⊥α,则l⊥b
D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α
2.如果一条直线垂直于一个平面内的________,则能保证该直线与平面垂直.
( )?
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A.①③
B.②
C.②④
D.①②④
3.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是
( )
A.α∥β,且m?α
B.m∥n,且n⊥β
C.m⊥n,且n?β
D.m⊥n,且n∥β
【思维·引】
1.依据线面垂直的定义逐项判断.
2.依据线面垂直的判定定理和有关平面图形的性质逐个判断.
3.根据面面平行、线面平行的定义和线面垂直的定义逐项判断.
【解析】1.选C.当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,故A错;当l⊥α时,l与α内的直线相交或异面,但不会平行,故B错;由a?α,l⊥α,又a∥b,所以l⊥b,所以C正确;而D中,a可能在α内,所以D错误.
2.选A.由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③平面;对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
3.选B.A项,α∥β且m?α,则m∥β,故A不正确;
B项,n⊥β,则n垂直于β内的任意一条直线,又m∥n,可知m也垂直于平面β内的任意一条直线,所以m⊥β,故正确;C项,D项,由m⊥n,n?β或m⊥n,n∥β,可得m与β的关系可以是m?β或m∥β或m与β相交,故不正确.
【内化·悟】
空间中直线与直线垂直有哪两种情况?证明方法有何不同?
提示:(1)相交垂直.利用等腰三角形三线合一的性质、菱形对角线垂直、勾股定理逆定理等方法证明;
(2)异面垂直.通常转化为证明线面垂直.
【类题·通】
1.直线与平面垂直的定义的双重作用
一是判定,是指如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线就与这个平面垂直;
二是性质,是指如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线.
2.线面垂直判定定理的两点注意
一是注意平面内的两条相交直线;二是注意某直线与哪两条相交直线垂直.
【习练·破】
下列说法中,正确的有
( )
①过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直;
③垂直于角的两边的直线必垂直于角所在的平面;
④过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.①②正确;③正确;④正确.
【加练·固】
1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
【解析】选A.因为直线l⊥平面α,所以l与α相交.
又因为m?α,所以l与m相交或异面.
由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.
故l与m不可能平行.
2.下列表述正确的个数为
( )
①若直线a∥平面α,直线a⊥b,则b⊥α;
②若直线a?平面α,b?α,且a⊥b,则a⊥α;
③若直线a平行于平面α内的两条直线,则a∥α;
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直,则直线l与平面α不垂直.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①错误,b与α还可能平行、斜交或b在平面α内.②错误,a与α还可能平行或斜交,③错误,a还可能在平面α内.④正确,根据线面垂直的定义,若l⊥α则l与α内的所有直线都垂直.
类型二 线面垂直判定定理的应用
【典例】1.如图,PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,给出下列结论:①BC⊥平面PAC;②AF⊥平面PCB;③EF⊥PB;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2018·全国卷Ⅱ改编)如图,在三棱锥P-ABC中,
AB=BC=2
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
证明:PO⊥平面ABC.
世纪金榜导学号
【思维·引】
1.首先推出BC⊥平面PAC,进而推出其他线面垂直关系.
2.OP⊥AC是比较明显的,所以关键是证明OP⊥OB,可考虑用勾股定理的逆定理.
【解析】1.选C.因为PA⊥☉O所在的平面,BC?☉O所在
的平面,所以PA⊥BC,而BC⊥AC,AC∩PA=A,所以BC⊥平
面PAC,故①正确;又因为AF?平面PAC,所以AF⊥BC,而
AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PCB,故②正确;而PB?
平面PCB,所以AF⊥PB,而AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥
平面AEF,而EF?平面AEF,所以EF⊥PB,故③正确;因为AF⊥平面PCB,假设AE⊥平面PBC,所以AF∥AE,显然不成立,故④不正确.
2.因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=2
.连接OB.
因为AB=BC=
AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=
AC=2.
由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.
【素养·探】
在与线面垂直判定定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究线线垂直、线面垂直的判定,体会线线垂直和线面垂直的相互转化.将本例2三棱锥满足的条件改为PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.
【证明】过P作PO⊥平面ABC于O,连接OA,OB,OC.
因为PO⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PO⊥BC.
又因为PA⊥BC,PA∩PO=P,
所以BC⊥平面PAO.
又因为OA?平面PAO,所以BC⊥OA.
同理,可证AB⊥OC.
所以O是△ABC的垂心.
所以OB⊥AC.又因为PO⊥AC,PO∩OB=O,所以AC⊥平面PBO.
又PB?平面PBO,所以PB⊥AC.
【类题·通】
线面垂直的判定方法
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;
③根据判定定理得出结论.
【习练·破】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.
【证明】如图,连接AC,由题知AC⊥BD.
又因为BD⊥A1A,AC∩AA1=A,
AC,A1A?平面A1AC,
所以BD⊥平面A1AC,
因为A1C?平面A1AC,所以BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又因为BD∩BC1=B,BD,BC1?平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D.
【加练·固】
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面
ABCD,AP=AB=2,BC=2
,E,F分别是AD,PC的中点.
证明:
PC⊥平面BEF.
【证明】如图,连接PE,EC,
在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,
即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中点,
所以EF⊥PC.
又BP=
=BC,F是PC的中点,
所以BF⊥PC.又BF∩EF=F,
所以PC⊥平面BEF.
类型三 直线与平面所成的角
【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1
中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长
方体的体积为
( )
A.8
B.6
C.8
D.8
2.如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平
行四边形,DD1⊥平面ABCD,AB=2AD,BD=
AD,AD=A1B1.
世纪金榜导学号
(1)证明:BD⊥平面ADD1A1.
(2)证明:CC1∥平面A1BD.
(3)若DD1=AD,求直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值.
【思维·引】
1.根据AB⊥平面BB1C1C,找到直线AC1与平面BB1C1C所成的角,进而依据题目条件求出CC1.
2.(1)依据题目条件证明AD⊥BD,DD1⊥BD;
(2)作辅助线构造平行四边形,用线面平行的判定定理证明;
(3)一方面要注意依据(2)的结论进行转化,另一方面要依据(1)的结论作出所求角.
【解析】1.选C.如图,连接AC1和BC1,
因为AB⊥平面BB1C1C,AC1与平面BB1C1C
所成角为30°,所以∠AC1B=30°,
所以
=tan
30°,BC1=2
,所以CC1=2
,
所以V=2×2×2
=8
.
2.(1)在△ABD中,因为AB=2AD,BD=
AD,
所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,
因为DD1⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD.
所以DD1⊥BD,又AD∩DD1=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
(2)连接AC,A1C1,设AC∩BD=E,连接EA1,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以EC=
AC,
由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知,
A1C1∥EC,且A1C1=EC,
所以四边形A1ECC1是平行四边形,因此CC1∥EA1,
又因为EA1?平面A1BD,所以CC1∥平面A1BD.
(3)由(2)可知直线EA1与平面ADD1A1所成角即是直线CC1与平面ADD1A1所成角.因为BD⊥平面ADD1A1,所以∠EA1D是直线EA1与平面ADD1A1所成角,
在△A1D1D中,DD1=AD,A1D1=
AD,
∠A1D1D=90°,所以A1D=
AD,
又因为BD=
AD,
所以DE=
AD,所以
A1E=
AD.
则sin∠EA1D=
故直线CC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为
.
【内化·悟】
作出直线与平面所成角的关键是什么?
提示:关键是找出直线在平面内的射影,为此需找出过直线上一点的平面的垂线.
【类题·通】
求斜线与平面所成角的步骤
(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.
(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【习练·破】
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为
,
底面是边长为
的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,
则PA与平面ABC所成角的大小为
( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】选B.取正三角形ABC的中心O,连接OP,则∠PAO
是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为
,
所以AD=
,AO=
AD=
=1.
三棱柱的体积为
AA1=
,解得AA1=
,
即OP=AA1=
,所以tan∠PAO=
即∠PAO=60°.
【加练·固】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.?
【解析】如图,取CD的中点F,连接EF交
平面ABC1D1于O,连接AO,A1D.
由已知正方体易知EO⊥平面ABC1D1,
所以∠EAO为AE与平面ABC1D1所成的角,设正方体棱长
为1,在Rt△EOA中,EO=
EF=
A1D=
,
AE=
,sin∠EAO=
.
所以直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为
.
答案:(共86张PPT)
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
1.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)画法:
【思考】定义中的“任何”是否多余,能否把“任何”去掉?
提示:
(1)“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.
(2)定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误解为“不同在某一平面内”.
如图所示,虽然有a?α,b?β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.
2.空间两条直线的位置关系
3.公理4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线互相平行
符号语言
直线a,b,c,a∥b,b∥c?
a∥c
作用
证明两条直线平行
4.等角定理
文字语言
空间中如果两个角的两边分别对应平
行,那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′,OB∥O′B′?
∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+
∠A′O′B′=180°
作用
证明两个角相等或互补
5.异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
(2)范围:0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.
【思考】
(1)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?
提示:根据等角定理可知,a′与b′所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).
(2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化?
提示:有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.
( )
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.
( )
(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.
( )
(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.
( )
提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.
(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.
(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.
(4)√.由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出,该命题正确.
2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的
是
( )
A.AB B.BB1 C.DD1 D.B1C1
【解析】选D.AB与AA1相交;BB1与AA1平行;DD1与AA1平行;B1C1与AA1异面.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.?
【解析】因为B1C1∥BC,所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°.
答案:65°
类型一 空间两条直线位置关系的确定
【典例】1.(2019·淮南高一检测)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是
( )
A.l
至少与
l1,l2中的一条相交
B.l
与
l1,l2
都不相交
C.l
与
l1,l2都相交
D.l
至多与
l1,l2中的一条相交
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,
CC1的中点,以下四个结论:
①直线DM与CC1是相交直线;
②直线AM与NB是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上).?
3.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.
【思维·引】
1.一方面注意l和l1,l2都平行,可推出和l1,l2平行,另一方面注意画图举反例说明有关结论不正确.
2.利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断.
3.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.
【解析】1.选A.假如l和l1,l2都不相交.因为l和l1,l2都共面,所以l和l1,l2都平行,所以l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面,所以A选项正确,B选项错误.C错误.如图1所示,l与l2相交,l∥l1.D错误.如图2所示,l与l1和l2都相交.
2.①中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交.故结论正确.③④中的两条直线既不相交也不平行,即均为异面直线,故结论正确.②中AM与BN是异面直线,故②不正确.故填①③④.
答案:①③④
3.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.
直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).
【内化·悟】
研究范围由平面推广到空间后,能否只根据公共点个数判断两条直线的位置关系?
提示:不能.因为两条平行直线和两条异面直线都是没有公共点的,无法从公共点个数上进行区别.
【类题·通】
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α,B∈α,B?l,l?α,则AB与l是异面直线(如图).
【发散·拓】
异面直线是不同在任何一个平面内的直线,它的反面情况是两条直线共面.从这一角度考虑,证明异面直线还有没有其他方法?
提示:可以利用反证法,其基本思路是:先假设命题的结论不成立,即肯定结论的反面成立;由此假设出发,经过严密的逻辑推理,步步为营,最后得出矛盾;由正确推理导出的矛盾,说明“假设结论不成立”是错误的,从而肯定欲证的结论成立.
【延伸·练】
如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b的位置关系,并证明你的结论.
【解析】假设EF和a共面,
设这个平面为α,则EF
?α,a?α.
所以A,B,E,F∈α,所以BF?α,AE?α.
又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b?α.
从而a,b共面于α,
这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.
所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.
同理可得EF和b也是异面直线.
【习练·破】
1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中的八条棱所在的直线中,异面直线共有________对.?
【解析】每条侧棱与底面四边形中不共点的两边均为异面直线,故共有8对.
答案:8
2.如图,在这个正方体中:
①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;
③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.?
【解析】根据正方体的特征可得:
①BM与ED是异面直线,①错误;
②CN与BM是异面直线,②正确;
③由已知可证四边形BCNE是平行四边形,所以CN与BE是平行直线,③错误;
④DN与BM是异面直线,④正确.
答案:②④
【加练·固】
在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是
( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
【解析】选A.如图,在正方体AC1中,因为A1B∥D1C,
所以A1B与D1C可以确定平面A1BCD1,
又因为EF?平面A1BCD1,且两直线不平行,
所以直线A1B与直线EF的位置关系是相交.
类型二 公理4及等角定理的应用
【典例】1.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为____.?
2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD
=∠FAB=90°,BC
AD,BE
FA,G,H分别为FA,FD
的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.
(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?
【思维·引】
1.依据两条边分别对应平行的两个角的大小关系直接计算.
2.
(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.
(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.
【解析】1.因为a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.
答案:60°
2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,
可得GH
AD.又BC
AD,所以GH
BC,
所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)共面.理由:由BE
AF,G为FA的中点知,BE
FG,
所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.
由(1)知BG
CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.
又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.
【内化·悟】
与等角定理和公理4类似,平面几何中的一些结论在空间中仍然成立:如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线,那么另一条也垂直于第三条直线.想一想平面几何中的结论在空间中是否都成立呢?成立的标准是什么?
提示:平面几何中的结论在空间中不一定成立.
平面几何中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内,在空间中就成立,否则不成立.
【类题·通】
1.证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法.
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法.
用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.
(3)公理4.
用公理4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由公理4即可得到a∥c.
2.证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理.
(2)利用三角形全等或相似.
【习练·破】
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D,平面CC1D1D的中心,G,H分别是棱AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选C.如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.
由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,
BB1,DD1中点.
求证:∠BGC=∠FD1E.
【证明】因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,
所以CE平行且等于GD1,BF平行且等于GD1.
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E,GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
【加练·固】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:
(1)EF
E1F1.(2)∠EA1F=∠E1CF1.
【证明】(1)如图,连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分
别为AB,AD的中点,所以EF
BD.
同理,E1F1
B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1
DD1,
所以四边形BB1D1D为平行四边形,
所以BD
B1D1.
又EF
BD,E1F1
B1D1,所以EF
E1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,则MF1
B1C1.
又B1C1
BC,所以MF1
BC,所以四边形BMF1C为平行四
边形,所以BM∥CF1.
因为A1M=
A1B1,BE=
AB,
且A1B1
AB,所以A1M
BE,
所以四边形BMA1E为平行四边形,
所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
类型三 异面直线所成的角
【典例】已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角.世纪金榜导学号
【思维·引】
选择恰当的点分别作AB和CD的平行线,同时找到直线AB与CD所成的角、直线AB和MN所成的角.
【解析】如图,取AC的中点P,连接PM,PN,因为点M,N分
别是BC,AD的中点,所以PM∥AB,且PM=
AB;PN∥CD,
且PN=
CD,
所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.
所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角.
因为直线AB与CD成60°角,
所以∠MPN=60°或∠MPN=120°.
又因为AB=CD,所以PM=PN,
①若∠MPN=60°,则△PMN是等边三角形,
所以∠PMN=60°,即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形.
所以∠PMN=30°,即AB与MN所成的角为30°.
综上可知:AB与MN所成角为60°或30°.
【素养·探】
在与异面直线所成的角有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算和逻辑推理,通过直线与直线平行和异面直线所成角的定义作出所求角,并在三角形中求出角的大小.
将本例的条件改为“E,F分别为AC,BD的中点,若CD=2AB,
EF⊥AB”,求EF与CD所成的角.
【解析】取AD的中点H,连接FH,EH.则在△EFH中,
∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°.
【类题·通】
1.求两异面直线所成的角的一般步骤:
(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证:证明作出的角就是要求的角.
(3)计算:求角的值,常利用解直角三角形.
可用“一作二证三计算”来概括.
2.需要关注的问题
因为异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°,所以平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这种情况.
【习练·破】
在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.
(1)求证:M,N,P,Q四点共面.
(2)若AC⊥DE,且AC=
BC,求异面直线DE与PN所成角的
大小.
【解析】(1)因为CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,
所以PQ为△ADE的中位线,MN为梯形BCDE的中位线,所以PQ∥DE,MN∥DE,所以PQ∥MN,所以M,N,P,Q四点共面.
(2)因为PN为△ABE的中位线,所以PN∥AB.
又BC∥DE,所以∠ABC即异面直线DE与PN所成的角.
又AC⊥DE,所以AC⊥BC,
在Rt△ACB中,tan∠ABC=
所以∠ABC=60°.所以异面直线DE与PN所成的角为60°.
【加练·固】
如图所示,空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分
别是另外两条对边AD,BC上的点,且
求AB和CD所成的角的大小.
【解析】如图,过E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,
所以
所以
,
所以OF∥CD.
所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.
在△EOF中,OE=
AB=2,
OF=
CD=1,
又EF=
,
所以EF2=OE2+OF2,
所以∠EOF=90°.
即异面直线AB和CD所成的角为90°.(共100张PPT)
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各个面的面积的和,也就是展开图的面积.
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形
表面积公式
旋
转
体
圆
柱
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=2πrl
表面积:
S=2πrl+2πr2
圆
锥
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=πrl
表面积:S=πrl+πr2
图形
表面积公式
旋
转
体
圆
台
上底面面积:
S上底=πr′2
下底面面积:
S下底=πr2
侧面积:S侧=πl(r+r′)
表面积:
S=π(r′2+r2
+r′l+rl)
【思考】
圆台侧面积公式是如何推导出来的?
提示:如图所示,S圆台侧=
C·(l+x)-
C′·x=
.因为
,所以x=
,代入上
式得S圆台侧=
=
(C+C′)l
=π(r+r′)l.
3.体积公式
(1)柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh.
(2)锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=
Sh.
(3)台体:台体的上,下底面面积分别为S′,S,高为h,则
V=
(S′+
+S)h.
【思考】
将台体的上底面缩小或扩大,分析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系是什么?
提示:
【思考】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一个几何体的展开图有多种形式,所以其表面积是不确定的.
( )
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积.
( )
(3)任何一个三棱柱都可以分割成三个等体积的三棱锥.
( )
(4)圆台的高就是相应母线的长.
( )
提示:(1)×.不同的展开方式,几何体的展开图不一定
相同,但其表面积唯一确定.
(2)
×.锥体的体积等于底面面积与高之积的
.
(3)√.沿着三棱柱的三个面对角线,其中有两对共点,
将三棱柱割开,则这三个三棱锥的体积相等,所以该命
题正确.
(4)
×.圆台的高是指两个底面之间的距离.
2.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16
cm2,高为4
cm,现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗),那么铸成的铜块的棱长是
( )
A.2
cm B.3
cm C.
4cm D.8
cm
【解析】选C.因为铜质的五棱柱的底面积为16
cm2,高为4
cm,所以铜质的五棱柱的体积V=16×4=64(cm3),设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a
cm,则a3=64,解得a=4.
3.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为
( )
A.48 B.64 C.80 D.120
【解析】选C.据三视图知,该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8),直观图如图,
PE为侧面△PAB的边AB上的高,且PE=5.
所以此几何体的侧面积是
S=4
=4×
×8×5=80(cm2).
4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其体积等于________.?
【解析】V=
π(12+1×2+22)×6=14π.
答案:14π
类型一 柱体、锥体、台体的表面积
【典例】1.(2018·全国卷I)已知圆柱的上、下底面的
中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截
面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
( )
A.12
π
B.12π
C.8
π
D.10π
2.将圆心角为120°,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为________.?
3.一个棱锥的三视图如图所示:
(1)借助图中的长方体画出此棱锥的直观图.
(2)求该棱锥的表面积(单位:cm2).
【思维·引】
1.先根据已知截面的形状和面积计算圆柱的底面半径和高,再计算圆柱的表面积.
2.由圆锥的侧面积列方程求母线,由圆锥底面周长即侧面展开图扇形的弧长,列方程求底面半径,最后求圆锥的表面积.
3.(1)找准棱锥的底面和顶点位置,画出直观图.
(2)分析四个表面三角形的形状,求各面积之和.
【解析】1.选B.截面面积为8,所以高h=2
,底面半
径r=
,所以该圆柱表面积
S=π·(
)2·2+2π·
·2
=12π.
2.设圆锥的母线长为l,半径为r,因为120°=
,
所以
πl2=3π,所以l=3,又2πr=
×2πl,所以
r=
=1,所以S圆锥表=πr2+3π=4π.
答案:4π
3.(1)如图所示,该三棱锥的直观图是三棱锥P-ABD,其中P是B′D′的中点.
(2)取BD中点O,取AD中点E.
连接OE,PE,由已知得AD=AB=6
(cm),
AB⊥AD,PO=4
(cm),PB=PD.S△ABD=6×6×
=18(cm2),
S△PBD=
×6
×4=12
(cm2).
因为PO⊥OE,
所以PE=
=
=5
(cm),
所以S△PAB=S△PAD=
×6×5=15
(cm2),
所以S表=18+12
+15+15=(48+12
)
(cm2).
【内化·悟】
求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求哪些几何量?这些几何量都集中体现在哪个截面中?
提示:求圆柱、圆锥、圆台的表面积需要求母线和底面半径,这些几何量都集中体现在旋转轴的截面中.
【类题·通】
空间几何体的表面积的求法技巧:
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
(3)棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
【习练·破】
(2019·亳州高一检测)如图,正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别为上、下底面的中心,其上、下底面边长及高分别为1,2,2.
(1)求它的斜高.(2)求它的表面积.
(注:正三棱台的底面是正三角形,侧面是全等的等腰梯形,斜高是侧面梯形的高)
【解析】(1)如图所示,D1,D分别为A1B1
和AB的中点,
则O1D1=
,OD=
,OO1=2,
在直角梯形O1D1DO中,
DD1=
=
=
,
即该正三棱台的斜高为
.
(2)该正三棱台的表面积为
×(1+2)×
×3+
×12+
×22=
.
【加练·固】
1.已知正方体的8个顶点中,有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点,则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A.1∶
B.1∶
C.2∶
D.3∶
【解析】选B.棱锥B′-ACD′为适合条件的棱锥,四个
面为全等的等边三角形,设正方体的棱长为1,
则B′C=
,S△B′AC=
.
三棱锥的表面积S锥=4×
=2
,
又正方体的表面积S正=6.
因此S锥∶S正=2
∶6=1∶
.
2.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为
( )
A.7 B.6
C.5
D.3
【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
类型二 柱体、锥体、台体的体积
角度1 等体积变换法求体积
【典例】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
世纪金榜导学号
【思维·引】三棱锥A1-D1EF的高不易求出,可以转换为
求三棱锥F-A1D1E的体积.
【解析】由
=
,因为
EA1·A1D1=
a2,又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,
所以
=
×a×
a2=
a3.
=
a3.
【素养·探】
在与柱体、锥体、台体的体积有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过分析空间几何体的形状选择恰当的公式,求出几何体的体积.
将本例的条件改为点F为CC1的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A1-EBFD1的体积.
【解析】因为EB=BF=FD1=D1E=
=
a,D1F∥EB,
所以四边形EBFD1是菱形,连接EF,则△EFB≌△FED1.
因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等,所以
=
,又因为
EA1
·AB=
a2,所以
=
a3,所以
=
=
a3.
角度2 公式法和割补法求体积
【典例】1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
( )
A.28+6
B.40 C.
D.30+6
2.如图所示,三棱锥P-ABC的所有棱长都为1,求此三棱锥的体积.
世纪金榜导学号
【思维·引】1.由三视图判断此几何体的形状,求出有关几何量,用相应体积公式计算.
2.将此三棱锥放在正方体中,将此三棱锥看作正方体切
去四个三棱锥得到,据此设计算法求解.
【解析】1.选C.由三视图知,直观图如图所示:底面是
直角三角形,直角边长为4,5,三棱锥的一个后侧面垂直
于底面,并且高为4,所以棱锥的体积为
×
×5×4×4=
.
2.如图所示,把三棱锥放在正方体中.
三棱锥P-ABC可看作正方体切去四个三棱锥得到,
因为正四面体的棱长为1,所有正方体的棱长为
,
所以三棱锥P-ABC的体积为
.
【类题·通】
求几何体体积的常用方法
【习练·破】
1.如图,一圆柱被一平面所截,已知被截后的几何体的最长侧面母线长为4,最短侧面母线长为1,且圆柱底面半径长为2,则该几何体的体积等于______.?
【解析】方法一:如图,该几何体的体积等于下面的圆
柱的体积与上面的圆柱体积的一半之和,下面的圆柱的
高就是该几何体的最短侧面母线长1,而上面的圆柱的
高为3.于是所求几何体的体积为V=π×22×1+
×
π×22×3=10π.
答案:10π
方法二:如图,将一个与已知的几何体完全相同的几何体,与已知的几何体拼在一起组成一个高为5的完整圆柱,那么所求几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半.于是V=
×π×22×5=10π.
答案:10π
2.如图,三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.
【解析】设棱台的高为h,
=S,
则
=4S.所以
=
S△ABC·h=
Sh,
=
·h=
Sh.
又V台=
h(S+4S+2S)=
Sh,
所以
=
,所以体积比为1∶2∶4.
【加练·固】
1.圆锥母线长为1,侧面展开图的圆心角为240°,则该
圆锥的体积为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设圆锥底面半径为R,高为h,
则2πR=
,
所以R=
,h=
,
所以V=
πR2h=
.
2.如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
【解析】方法一:设AB=a,AD=b,DD′=c,
长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc,又
bc,
且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.
所以V三棱锥C-A′DD′=
S△A′DD′·CD=
abc.
则剩余部分的几何体体积V剩=abc-
abc=
abc.
故
∶V剩=
abc∶
abc=1∶5.
方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱
ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为S,高
为h,则它的体积为V=Sh.
而棱锥C-A′DD′的底面面积为
S,高为h,
因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=
×
Sh=
Sh.
剩余部分的体积是Sh-
Sh=
Sh.
所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
Sh∶
Sh=1∶5.
类型三 求组合体的表面积与体积
【典例】1.(2019·嘉兴高一检测)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是________,表面积是________.?
2.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为216°的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.
世纪金榜导学号
(1)求圆锥的体积.
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?
【思维·引】
1.先由三视图还原该几何体的直观图,观察其有几部分组成,求几何体的体积时,依据需要先将几何体分割分别求解,再求和.
求表面积时,应注意重合部分的处理.
2.
(1)
先根据题目条件,找出关于圆锥的底面半径r的方程,然后求圆锥的底面半径和高,最后求圆锥的体积;
(2)在圆锥的轴截面中,利用三角形相似推出圆柱的底面半径y与圆锥的高x的关系,进而建立圆柱的侧面积S关于圆锥的高x的函数,求最大值.
【解析】1.由三视图可得该几何体的直观图如图所示:
所以该几何体的体积V=4×6×3+
×4×3×3=90,
表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+
×4×3×2+
×3+3×4=138.
答案:90 138
2.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线
长为5.设圆锥的底面半径为r,则2πr=
×
2π×5,
所以r=3,则圆锥的高为4,
故体积V=
πr2×4=12π.
(2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个
矩形.设圆柱的底面半径为y,则
,得y=3-
x.
圆柱的侧面积S(x)=2π(3-
x)x=
π(4x-x2)=
π[4-(x-2)2](0所以当圆柱的高为2时,有最大侧面积6π.
【内化·悟】
在求简单组合体的表面积和体积时如何分解?
提示:一般将其分解为简单几何体,其分解原则为棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等.
【类题·通】
求组合体的表面积与体积的方法
(1)分析结构特征.
弄清组合体的组成形式,找准有关简单几何体的关键量.
(2)设计计算方法.
根据组成形式,设计计算方法,特别要注意“拼接面”面积的处理.利用“切割”“补形”的方法求体积.
(3)计算求值.根据设计的计算方法求值.
【习练·破】
1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
( )
A.372
B.360
C.292
D.280
【解析】选B.该几何体的直观图如图所示,
上方长方体的长,宽,高分别为6,2,8,
下方长方体的长,宽,高分别为8,10,
2.其表面积为两长方体表面积之和再减去一个面的
面积(如图阴影)的2倍,即S=S上+S下-2S阴
=2×(6×2+2×8+6×8)+2×(8×10+2×8+2×10)-2×6×2=360.
2.某几何体的三视图如图所示,其中,正视图中的曲线为圆弧,则该几何体的体积为
( )
A.64-
B.64-4π
C.64-6π
D.64-8π
【解析】选B.由题意可知,题中的组合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体,其中正方体的棱长为4,圆柱的底面半径为2,高为4,则组合体的体积:V=43-
×(π×22×4)=64-4π.
【加练·固】
如图,在四边形ABCD中,
∠DAB=90°,∠ADC=135°,
AB=5,CD=2
,AD=2,若四边形ABCD绕AD旋转一周成为
几何体.
(1)画出该几何体的三视图.
(2)求出该几何体的表面积.
【解析】(1)由题意:几何体的三视图如图所示.
(2)过C作CE垂直AD延长线于E点,
作CF垂直AB于F点.
由已知得:DE=2,CE=2,
所以CF=4,BF=5-2=3.
所以BC=
=5.
所以下底圆面积S1=25π,
台体侧面积S2=π×(2+5)×5=35π,
锥体侧面积S3=π×2×2
=4
π,
故表面积S=S1+S2+S3
=(60+4
)π.
类型四 实际问题中的体积与表面积问题
【实际情境】
经济开发区建造圆锥形仓库用于贮藏粮食,已建的仓库的底面直径为12
m,高为4
m.随着经济开发区农业经济的发展,粮食产量增大,经济开发区现拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多粮食.
现有两种方案:一是新建的仓库的底面半径比原来大
2
m
(高不变);二是高度增加4
m(底面直径不变).试判断哪个方案更经济些?
【转化模板】
1.
—由题意可得,经济的方案应该是仓库的表面积
尽量小,仓库的体积尽量大,所以可建立锥体表面积和
体积模型求解.
2.
—设仓库的底面半径为r,
圆锥的母线长为l,方案一:仓库的体积为V1,表面积为S1,
方案二:仓库的体积为V2,表面积为S2.
3.
—已知一个圆锥的底面直径为16,高为4,另一个
圆锥的底面直径为12,高为8,
求这两个圆锥的表面积和体积,并判断哪个圆锥的表面
积小,体积大.
4.
—如果按方案一,仓库的底面直径变成16
m,圆锥
的母线长为l=
=4
(m),所以仓库的体积V1=
Sh
=
×π×
×4=
(m3),仓库的表面积S1=π×8×
4
+π×82=32
π+64π(m2).
如果按方案二,仓库的高变成8
m,圆锥的母线长为l=
=10
(m),所以仓库的体积V2=
Sh=
×π
×
×8=
=96π(m3),仓库的表面积S2=π×6
×10+π×62=60π+36π=96π(m2).因为V2>V1,S25.
—方案二比方案一更加经济.(共70张PPT)
第2课时
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
1.圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体
图示
及
相关
概念
轴:旋转轴叫做圆柱的轴
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
柱体:圆柱和棱柱统称为柱体
【思考】
(1)在圆柱中,圆柱的任意两条母线是什么关系?过两条母线的截面是怎样的图形?
提示:圆柱的任意两条母线平行,过两条母线的截面是矩形.
(2)在圆柱中,过轴的截面是轴截面,圆柱的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量?
提示:圆柱的轴截面是矩形,轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线.
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
图示
及
相关
概念
轴:旋转轴叫做圆锥的轴
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
锥体:棱锥与圆锥统称为锥体
【思考】
在圆锥中,过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量?
提示:圆锥的轴截面是等腰三角形,轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线.
3.圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分
图示
及
相关
概念
轴:圆锥的轴
底面:圆锥的底面和截面
侧面:圆锥的侧面在底面与截面之间的部分
母线:圆锥的母线在底面与截面之间的部分
台体:棱台与圆台统称为台体
【思考】
经过圆台的任意两条母线作截面,截面是什么图形?
提示:因为圆台的任意两条母线长度均相等,且延长后相交,故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形.
4.球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球
图示
及
相关
概念
球心:半圆的圆心
半径:半圆的半径
直径:半圆的直径
【思考】
球体与球面的区别和联系是什么?
提示:
区别
联系
球面
球的表面是球面,球面是旋转形成的曲面
球面是
球体的表面
球体
球体是几何体,包括球面及其所围成的空间部分
5.简单组合体
定义
由简单几何体组合而成的几何体
基本形状
由简单几何体拼接而成
由简单几何体截去或挖去一部分而成
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线.
( )
(2)圆台有无数条母线,它们相等,延长后相交于一点.
( )
(3)
用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
( )
(4)
用任意一个平面去截球,得到的是一个圆面.
( )
提示:(1)×.圆柱的母线与轴是平行的.
(2)
√.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台,由此可知此说法正确.
(3)
×.用与底面平行的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台.
(4)√.因为球是一个几何体,包括表面及其内部,所以用一个平面去截球,得到的是一个圆面.
2.球的任意两条直径不一定具有的性质是
( )
A.相交 B.平分 C.垂直 D.都经过球心
【解析】选C.球的任意两条直径不一定垂直.
3.在如图所示的四个几何体中,圆柱有________;圆锥有________.(只填序号)
?
【解析】根据圆柱和圆锥的定义可知,圆柱有③;圆锥有②.
答案:③ ②
类型一
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
【典例】1.下列说法中错误的是
( )
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C.经过圆锥任意两条侧面的母线的截面是等腰三角形
D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
2.下列命题中正确的是
( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;
②以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,半圆的直径叫做球的直径;
③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;
④球面上任意三点可能在一条直线上;
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.
A.①②③
B.②③④
C.②③⑤
D.①④⑤
【思维·引】
1.依据旋转体及其相关概念逐项判断.
2.依据球及其相关概念逐个判断.
【解析】1.选A.A错误.如图(1)所示旋转轴是直角三角形的斜边所在直线时,得到的旋转体不是圆锥;B正确.由圆锥的定义可知此说法正确;C正确.如图(2),由圆锥侧面的母线相等可知,所得截面是等腰三角形;D正确.圆锥侧面的母线和底面圆的直径构成等腰三角形,所以圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.
2.选C.由球的结构特征可知②③⑤正确.
【内化·悟】
判断简单旋转体结构特征应注意哪两个方面的问题?
提示:(1)明确由哪种平面图形旋转而成.
(2)明确旋转轴是哪条直线.
【类题·通】
1.判断旋转体形状的步骤
(1)明确旋转轴l.
(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系.
(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状.
2.与简单旋转体的截面有关的结论
(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.
(2)
圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
【习练·破】
下列几种说法:
①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧
面的母线;③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是________.?
【解析】由圆锥的定义及母线的性质知①②正确,圆柱的轴截面过上下底的直径,所以是过母线的截面中最大的一个.④不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
答案:①②③
【加练·固】
下列说法正确的是__________.(填序号)?
①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;
②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
③到定点的距离等于定长的点的集合是球.
【解析】①错.直角梯形绕下底所在直
线旋转一周所形成的几何体是由一个
圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,
如图所示.②正确.③错,应为球面.
答案:②
类型二 简单组合体的结构特征
【典例】1.如图所示的简单组合体的结构特征是
( )
A.由两个四棱锥组合成的
B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的
C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的
D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
2.如图所示,将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的?其中CD∥AE,曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上.
【思维·引】1.判断此简单组合体是由哪两个多面体拼接而成.
2.依据曲边图形的形状分四部分进行判断.
【解析】1.选A.这个八面体是由两个四棱锥组合而成.
2.将直线段AB,BC,CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转,如图所示,它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球.
【内化·悟】
判断简单组合体的结构特征应注意哪些问题?
提示:(1)熟练掌握简单几何体的结构特征.
(2)要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
【类题·通】
识别简单组合体的结构特征的策略
(1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的,因此,要仔细观察组合体的组成,结合柱、锥、台、球的几何结构特征,对原组合体进行分割.
(2)用分割法识别简单组合体,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)
,进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体.
【习练·破】
1.以钝角三角形较短的边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是
( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体
【解析】选D.如图,过点A作AD垂直BC于点D,则△ADC与△ADB分别为直角三角形,
所以旋转一周形成的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体.
2.如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构特征.
【解析】如图所示,这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.
【加练·固】
如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的.
【解析】如图1所示,①是矩形,旋转后形成圆柱,②③是梯形,旋转后形成圆台.所以旋转后形成的几何体如图2所示,通过观察可知,该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的.
类型三 旋转体中的计算问题
角度1 有关圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题
【典例】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3
cm,求圆台O′O的母线长.
世纪金榜导学号
【思维·引】过圆锥的轴作截面图,利用三角形相似解决.
【解析】设圆台的母线长为l
cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r
cm,4r
cm.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3
cm.
所以
=
.所以
=
=
.
解得l=9,即圆台的母线长为9
cm.
【素养·探】
在圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及相关截面的性质,计算旋转体的底面半径、母线和高.
将本例的条件“1∶16”改为“1∶3”,求该截面把圆
锥母线分为两段的长度比.
【解析】由圆锥的截面性质可知,截面仍是圆,设r1与
r2分别表示截面与底面圆的半径,l1与l2表示母线被截得
的线段,则
,所以l1∶l2=1∶
(
-1).
角度2 旋转体表面的两点间的距离最大(小)值
【典例】如图,圆台侧面的母线AB的长为20
cm,上、下底面的半径分别为5
cm,10
cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.
世纪金榜导学号
【思维·引】转化为在圆台的侧面展开图中,求两个点距离最小值的问题.
【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,
由Rt△OPA与Rt△OQB相似,
得
=
,即
=
,
解得OA=20,所以OB=40.
设∠BOB′=α,由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，
得2×10×π=π·OB·
,
解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,
B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50.
即所求绳长的最小值为50
cm.
【类题·通】
1.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略
(1)画出圆锥的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系,求解便可.
【习练·破】
在半径为25
cm的球内有一个截面,它的面积是
49π
cm2,则球心到这个截面的距离为________.?
【解析】设球半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,如图所示.
因为S=πr2=49π
cm2,
所以r=7
cm,所以d=
=
=24(cm),
即球心到这个截面的距离为24
cm.
答案:24
cm
【加练·固】
已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q,求此圆柱的底面半径.
【解析】设圆柱的底面半径为r,母线为l,
则由题意得
解得r=
.
所以此圆柱的底面半径为
.(共3张PPT)
阶段复习课
第一课 空间几何体
棱柱
棱柱
柱
棱锥\多面体
圆柱
棱台
结构2
结构
锥
台
圆柱
圆锥\旋转体
棱锥)(圆锥)(棱台)(圆台
圆台
空间几何体
球
拼接
组合体
截去或挖
去一部分
平行投影
投影
中心投影}
三视图和直观图
前到后正视
斜二测画法
直观图
上到下俯视\定义
左到右侧视
平行于x、z轴,长不变;
平行于y轴,长变半
高平齐(长对正
宽相等
画图
平行性不变
正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽规则
表面积和体积
圆柱S=2π(r+h)=πr2h
S=S侧+2S底棱柱
F:底面半径
底
k:母线长
圆锥S=T(+3x
h:高
r1:上底半径
V=s底,hS=S侧+S底棱锥
r2:下底半径
圆台S=π(r1+r2)+
2
Th(r+r1r2
π(r
3S+5下S=Sm+S1+ST棱合)球S=4RRR球的半径
女上底·5下底
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word版可编辑套题(共59张PPT)
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
1.两条直线的交点坐标
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将方程
联立,得方程组
若方程组有唯一解,
则两条直线相交,此解就是交点的坐标.
若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平
行.
【思考】
对于l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若方程组
有无数组解,那么直线l1,l2是什么位置关系?
提示:方程组有无数组解,直线l1,l2有无数个公共点,直线l1,l2重合.
2.两点间的距离公式
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=
,特别地,原点O(0,0)与任一点
P(x,y)的距离|OP|=
.
【思考】
两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为
|P1P2|=
?
提示:能,因为
=
.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若A+B+C=0(A,B不同时为0),则直线Ax+By+C=0一定过点(1,1).
( )
(2)已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1≠x2,y1=y2,则|P1P2|=|x2-x1|.
( )
(3)若直线l1,l2的方程组成的方程组有解,则l1与l2一定相交.
( )
提示:(1)√.由A+B+C=0,即A·1+B·1+C=0,所以直线Ax+By+C=0一定过点(1,1).
(2)√.|P1P2|=
=|x2-x1|.
(3)×.因为直线l1与l2有可能重合.
2.(2019·张家界高一检测)直线l1:x-y=0与l2:x+y-2=0的交点坐标为
( )
A.(-2,-2)
B.(-1,-1)
C.(2,2)
D.(1,1)
【解析】选D.联立
所以直线l1与l2的交点坐标为(1,1).
3.点A(1,2)与点B(2,3)之间的距离|AB|=_______.?
【解析】点A(1,2)与点B(2,3)之间的距离|AB|=
答案:
类型一 求两条直线的交点坐标
【典例】1.若直线x+by+9=0经过直线5x-6y-17=0与直线4x+3y+2=0的交点,则b等于
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为
( )
A.-24
B.24
C.6
D.±6
【思维·引】1.由已知两直线解出交点,代入未知直线求b;
2.用k表示出交点坐标,令纵坐标为0求k.
【解析】1.选D.联立
所以直线5x-6y-17=0与直线4x+3y+2=0的交点为(1,-2),因为直线x+by+9=0经过点(1,-2),所以1-2b+9=0,解得b=5.
2.选A.联立
因为直
线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,所以
y=
=0,解得k=-24.
【内化·悟】
求两直线交点的步骤是什么?
提示:联立、消元、求解.
【类题·通】
解二元一次方程组的常用方法
解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
(1)若一条直线的方程是斜截式,常常应用代入消元法解方程组.
(2)若直线的方程都是一般式,常常应用加减消元法解方程组.
【习练·破】
直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为________.?
【解析】易知三角形的三个顶点坐标分别为(-2,6),
(0,12),(0,3),故所求三角形的面积为
×9×2=9.
答案:9
类型二 过定点的直线问题
【典例】1.(2019·衢州高一检测)直线mx-3y+2m+3=0,当m变动时,所有直线都经过的定点坐标为( )
A.(-2,1) B.(1,2) C.(1,-2) D.(2,1)
2.经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为________.?
【思维·引】
1.将m作为参数,把方程变形,令m的系数为零求定点.
2.方法一:求出交点、斜率,写出点斜式方程后化为一般式;方法二:利用两相交直线的方程设出所求的直线方程,根据垂直求其中的参数.
【解析】1.选A.直线mx-3y+2m+3=0,即直线m(x+2)-
3y+3=0,令
故直线mx-3y+2m+
3=0经过定点(-2,1).
2.方法一:由
垂直于直线3x-
2y+4=0的直线的斜率为-
,故所求的直线方程为y-
2=-
(x+2),即2x+3y-2=0.
方法二:设所求方程为2x-3y+10+λ(3x+4y-2)=0,即(2+3λ)x+(4λ-3)y+10-2λ=0,由题意,3(2+3λ)-2(4λ-3)=0,解得λ=-12,故所求的直线方程为2x+3y-2=0.
答案:2x+3y-2=0
【内化·悟】
怎样求含参数的直线所过的定点?
提示:方程变形为关于字母参数的方程,令其“系数”、“常数”为零,解出定点.
【类题·通】
1.过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
2.含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.
(2)方法二:若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,
其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其
定点可由方程组
解得.若整理成y-
y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
【习练·破】
1.(2019·东阳高一检测)方程(a-1)x-y+2a+1=0所表示的直线恒过点
( )
A.(2,3)
B.(-2,-3)
C.(3,-2)
D.(-2,3)
【解析】选D.方程(a-1)x-y+2a+1=0,化为:a(x+2)-x-
y+1=0,令
解得x=-2,y=3,所表示的直线
恒过点(-2,3).
2.直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程.
【解析】方法一:联立方程
即直线l过点(-1,3).因为直线l的斜率为
,所以直
线l的方程为y-3=
(x+1),即3x-2y+9=0.
方法二:设直线l的方程为x-y+4+λ(x+y-2)=0,整理得
(1+λ)x+(λ-1)y+4-2λ=0,因为直线l与直线3x-
2y+4=0平行,所以
解得λ=
,所以
直线l的方程为
即3x-2y+9=0.
【加练·固】
直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都通过定
点
( )
A.(0,0)
B.(0,1)
C.(3,1)
D.(2,1)
【解析】选C.直线方程整理为k(x-3)-(y-1)=0,过定点(3,1).
类型三 平面内两点间距离公式的应用
角度1 两点间距离的计算
【典例】(2019·深圳高一检测)两直线l1:3ax-y-2=0和l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|等于
世纪金榜导学号( )
【思维·引】先求出定点A,B的坐标,再利用距离公式进行计算.
【解析】选C.直线3ax-y-2=0经过定点A(0,-2),(2a-
1)x+5ay-1=0,化为:a(2x+5y)-x-1=0,令
解得x=-1,y=
,即直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B
则|AB|=
【素养·探】
在距离公式的应用过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过距离的计算及公式的灵活应用解题.
本例中,将条件中直线l2的方程换为(m-1)x+(2m-1)y=m-5,试求两定点之间的距离.
【解析】由例题解析可知A(0,-2),将(m-1)x+(2m-
1)y=m-5化为:m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,令
解得
所以B点坐标为(9,-4),所以|AB|=
角度2 距离公式在几何证明中的应用
【典例】在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:
|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
世纪金榜导学号
【思维·引】建立平面直角坐标系,通过计算AB,AC,AD,DC进行证明.
【证明】设BC所在边为x轴,以D为原点,建立坐标系,如图所示,设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0),
因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AD|2=
b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),
|AD|2+|DC|2=b2+c2+a2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+
|DC|2).
【类题·通】
用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步:建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量;
第二步:进行有关的代数计算;
在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考查是否为直角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.
提醒:建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算.
【习练·破】
已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.
证明:如图所示,建立直角坐标系,
设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c)
所以|AC|=
|BD|=
故|AC|=|BD|.
【加练·固】
△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明|AE|=|CD|.
【解题指南】以B为坐标原点,直线AC为x轴建系,表示出点A,C,D,E的坐标,用两点间距离公式计算|AE|和|CD|进行证明.
【证明】如图,以B为坐标原点,直线AC为x轴,建立直角坐标系,
设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,
则A(-a,0),C(c,0),
则|AE|=
|CD|=
所以|AE|=|CD|.(共45张PPT)
2.3.3 直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
【思考】
线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依据吗?
提示:
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面.
( )
(2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面.
( )
(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.
( )
提示:(1)×.
若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.
(2)√.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
(3)√.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.
2.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或平行
【解析】选B.由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们平行.
3.直线n⊥平面α,n∥l,直线m?α,则l,m的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选D.因为直线n⊥平面α,n∥l,所以l⊥平面α,又因为直线m?α,所以l⊥m.
类型一 直线与平面垂直的性质的应用
【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.
【思维·引】证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.
【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.
因为DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以DD1⊥AC.
又因为AC⊥BD,BD∩DD1=D,
所以AC⊥平面BDD1B1,
所以AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D,且A1D∥B1C,
所以EF⊥B1C.
又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,
所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.
【素养·探】
在与线面垂直性质应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过判定直线与平面的垂直,得到直线与直线平行,实现“平行”与“垂直”的转化.
将本例正方体满足的条件改为“M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC”求证:MN∥AD1.
【证明】因为ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1.
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
【类题·通】
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.
【习练·破】
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,
AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,
MN⊥PC.求证:AE∥MN.
【证明】因为AB⊥平面PAD,AE?平面PAD,
所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD.
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,
所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.
【加练·固】
如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,
EB⊥β,B为垂足,直线a?β,a⊥AB.求证:a∥l.
【证明】因为EB⊥β,a?β,所以EB⊥a.
又因为a⊥AB,AB∩EB=B,
所以a⊥平面ABE.
因为α∩β=l,所以l?α,l?β.
因为EA⊥α,EB⊥β,所以EA⊥l,EB⊥l.
又因为EA∩EB=E,
所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
类型二 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用
【典例】(2019·赣州高一检测)如图,直三棱柱ABC-
A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=
,D,F分别是
A1B1,BB1的中点.世纪金榜导学号
(1)求证:C1D⊥AB1.
(2)求证:AB1⊥平面C1DF.
【思维·引】(1)要证C1D⊥AB1,需证C1D⊥平面AA1B1B,需证C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,由已知可证.
(2)要证AB1⊥平面C1DF,需证AB1⊥DF,需证A1B⊥AB1,需证四边形AA1B1B为正方形,由已知可证.
【证明】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.
又
D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,
因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C1,
所以AA1⊥C1D,又因为AA1∩A1B1=A1,
所以C1D⊥平面AA1B1B,又因为AB1?平面AA1B1B,
所以C1D⊥AB1.
(2)连接A1B,
因为D,F分别是A1B1,BB1的中点,
所以DF∥A1B.
又直角三角形A1B1C1中,
所以A1B1=
,所以A1B1=AA1,即四边形AA1B1B为正方形,
所以AB1⊥A1B,即AB1⊥DF,
又(1)已证C1D⊥AB1 ,又DF∩C1D=D,
所以AB1⊥平面C1DF.
【素养·探】
在与线面垂直判定和性质综合应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,常见的推理形式有:
(1)l⊥α,m?α?l⊥m.
(2)l⊥a,l⊥b,a∩b=A,a?α,b?α?l⊥α.
(3)l⊥α,l∥m?m⊥α.
(4)l⊥α,m⊥α?l∥m等.
将本例直三棱柱满足的条件改为“E,F分别在BC,B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1”求证:B1E⊥平面A1C1F.
【证明】因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1⊥CC1,
又因为A1C1⊥B1C1.B1C1∩CC1=C1,
所以A1C1⊥平面BCC1B1,因为B1E?
平面BCC1B1,
所以A1C1⊥B1E,因为B1E⊥C1F,A1C1∩C1F=C1,
所以B1E⊥平面A1C1F.
【类题·通】
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
【习练·破】
如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.
【证明】因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE,所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以AE⊥BF.
因为BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B,
所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE,所以AE⊥BE.
【加练·固】
如图,在四面体PABC中,PA⊥平面ABC,
PA=1,AB=1,AC=2,BC=
.
(1)求四面体PABC的四个面的面积中,最大的面积是多
少?
(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求
的值.
【解析】(1)由题设AB=1,AC=2,BC=
,可得AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,
由PA⊥平面ABC,BC,AB,
AC?平面ABC,
所以PA⊥BC,PA⊥AB,PA⊥AC,
所以PB=
.
又由于PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,
PB?平面PAB,所以BC⊥PB,所以△ACB,△PAC,△PAB,
△PCB均为直角三角形,且△PCB的面积最大,
S△PCB=
(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA
交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,
所以MN⊥AC.
由于BN∩MN=N,
故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN,所以AC⊥BM.
因为△ABN与△ACB相似,
AN=
从而NC=AC-AN=
由MN∥PA,得(共55张PPT)
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
1.点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
.
【思考】
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?
提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.
2.两条平行直线间的距离
直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离
.
【思考】
直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离?
提示:直线l1,l2的方程必须是一般式,且一次项系数A,B相同.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
.( )
(2)直线外一点与直线距离的最小值就是点到直线的距
离.
( )
(3)两条平行线x+y-1=0,2x+2y+5=0之间的距离是
d=
=3
.
( )
提示:
(1)×.应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化
为一般式,即本问题的距离为
.
(2)√.因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的
长,即点到直线的距离.
(3)×.虽然两条平行直线的方程均为一般式方程,但是两直线方程中,x,y的系数不满足分别相等.
2.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选A.直线3x+4y+5=0与直线3x+4y-5=0的距离
为d=
3.点M(-3,4)到直线l:x-y+3=0的距离为______.?
【解析】由题意得:d=
答案:2
类型一 点到直线距离公式的应用
【典例】1.(2019·宜昌高一检测)若点
到直线
l:x+3y+m=0(m>0)的距离为
,则m=
( )
A.7
B.
C.14
D.17
2.(2019·北京高一检测)已知O为原点,点P在直线x+y-1=0上运动,那么|OP|的最小值为( )
A.
B.1
C.
D.2
3.(2019·武侯高一检测)当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为________.?
【思维·引】1.代入距离公式,列方程求解.
2.|OP|的最小值即O到直线的距离.
3.求出直线所过的定点,确定距离最大时直线的位置后求m值.
【解析】1.选B.由题意可得:
m>0,解
得m=
.
2.选A.|OP|的最小值为原点O到直线x+y-1=0的距离
d=
3.直线mx-y+1-2m=0可化为y-1=m(x-2),由直线点斜式
方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m,结合图象可
知当PQ与直线mx-y+1-2m=0垂直时,点到直线距离最大,
此时m·
=-1,解得m=-1.
答案:-1
【内化·悟】
解决与点到直线距离的最值有关的问题时,需要注意什么?
提示:需要结合点到直线的几何意义、直线的位置关系解题.
【类题·通】
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线的距离公式即可.
(2)若已知点到直线的距离求参数值时,只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.
【习练·破】
1.点F(
,0)到直线
x-
y=0的距离为( )
A.
B.
m
C.3
D.3m
【解析】选A.点F到直线
x-
y=0的距离为
2.过点A(1,2),且与原点距离最大的直线方程
是
( )
A.x+2y-5=0
B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0
D.x-2y+3=0
【解析】选A.当与直线OA垂直时距离最大,因直线OA的
斜率为2,所以所求直线斜率为-
,所以由点斜式方程
得:y-2=-
(x-1),化简得:x+2y-5=0.
【加练·固】
点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是
( )
【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:d=
类型二 两条平行直线间距离公式的应用
【典例】1.直线3x+4y-2=0和直线6x+8y+1=0的距离
是
( )
2.(2019·张家界高一检测)直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,则两直线间的距离为
( )
【思维·引】
1.将x,y的系数变为相同后代入公式求距离.
2.先利用平行关系求出m,再代入两条平行直线的距离公式求值.
【解析】1.选B.直线3x+4y-2=0和直线6x+8y+1=0,即
直线6x+8y-4=0和直线6x+8y+1=0,两条直线的距离是
d=
2.选B.因为直线2x+3y-9=0与直线6x+my+12=0平行,所
以
所以m=9,故平行直线即6x+9y-27=0与直
线6x+9y+12=0,距离为
【内化·悟】
应用两条平行直线距离公式的前提是什么?
提示:两条直线方程中x,y的系数相同.
【类题·通】
两条平行线距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
【习练·破】
1.(2019·石家庄高一检测)P,Q分别为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
【解析】选B.因为3x+4y-10=0与6x+8y+5=0是平行线,
即3x+4y-10=0与3x+4y+
=0,所以|PQ|的最小值d=
2.(2019·鄂尔多斯高一检测)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0平行且距离相等,则l的方程为________.?
【解析】由题意,设直线l:2x-y+m=0,-1所以m=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
【加练·固】
与直线2x+y+1=0的距离为
的直线的方程是( )
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0
【解析】选D.设所求的直线方程是2x+y+m=0,则
解得m=0或m=2,故所求的直线方程为
2x+y=0或2x+y+2=0.
类型三 距离公式的综合应用
角度1 距离几何意义的应用
【典例】(2019·西城高一检测)若P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是
( )
世纪金榜导学号
A.8 B.2
C.
D.16
【思维·引】将x2+y2变形,转化为点到直线的距离求最小值.
【解析】选A.因为x2+y2≥0,所以
表示直线上的
点到原点的距离,所以原点到直线的距离d=
所以
的最小值为2
,所以x2+y2的最小值为8.
【素养·探】
在距离公式的应用过程中,常常用到核心素养中的直观想象,通过对式子的变形,转化为两点、点到线的距离,即给式子赋予其几何意义,利用图形的性质解题.
本例的条件不变,试求
的最小值.
【解析】
表示直线
上的点(x,y)与点(1,2)的距离,其最小值即点(1,2)到
直线x+y-4=0的距离,故最小值为
角度2 距离公式的综合应用
【典例】(2019·台州高一检测)已知坐标平面上三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),过点C作AB的平行线交x轴于点D,
世纪金榜导学号
(1)求点D的坐标.(2)求四边形ABCD的面积.
【思维·引】(1)求出过点C与AB平行的直线方程,求出与x轴的交点.
(2)先判断四边形的形状,再利用面积公式求值.
【解析】(1)根据题意,A(5,1),B(7,-3),则kAB=
=-2,又由AB∥CD知,kCD=-2,则直线CD的方程为y+8=
-2(x-2),即2x+y+4=0.令y=0,
解得x=-2,则D(-2,0).
(2)因为|AB|=2
,|CD|=4
,AB∥CD,故四边形ABCD
为梯形,点A(5,1)到直线CD:2x+y+4=0的距离为
所以四边形ABCD的面积S=
×(2
+4
)×3
=45.
【类题·通】
距离公式综合应用的三种常见类型
(1)最值问题.
①利用对称转化为两点之间的距离问题.
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.
(2)求参数问题.
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.
(3)求方程的问题.
立足确定直线的几何要素——点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.
【习练·破】
(2019·武汉高一检测)若两条平行直线l1:x-2y+m=0
(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2
,则m+n=
( )
A.3
B.-17
C.2
D.3或-17
【解析】选A.由题意可得两条平行直线l1:2x-4y+2m=0
(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2
,所以n=-4,
所以m=7,所以m+n=3.
【加练·固】
已知x+y-3=0,则
的最小值为________.?
【解析】设P(x,y),A(2,-1),且点P在直线x+y-3=0上,
=|PA|,|PA|的最小值为点A(2,-1)到
直线x+y-3=0的距离,为d=
答案:(共59张PPT)
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.
(2)特例:直线l与x轴平行或重合时,倾斜角为0°.
(3)范围:0°≤α<180°.
【思考】
(1)如图:
直线l的倾斜角是30°吗?
提示:不是,直线l的倾斜角为150°.
(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同?
提示:倾斜角相等的直线的倾斜程度相同.
2.斜率的概念
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值.
(2)特例:倾斜角是90°的直线没有斜率.
(3)记法:k=tan
α.
【思考】
为什么倾斜角为90°时,直线没有斜率?
提示:当α=90°时,tan
α不存在,由斜率的定义,可知此时直线斜率不存在.
3.经过两个点的直线的斜率公式
经过两个点P1(x1,y1),P(x2,y2),x1≠x2的直线的斜率:
.
【思考】
利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗?
提示:不能,当直线与x轴垂直时,k=
无意义.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)倾斜角为α的直线只有一条.
( )
(2)一条直线一定有倾斜角,也一定有斜率.
( )
(3)直线的倾斜角越大,斜率越大.
( )
提示:(1)×.倾斜角相等的直线有无数条.
(2)×.直线一定有倾斜角,但是不一定有斜率,如与x轴垂直的直线.
(3)×.倾斜角是锐角时,斜率为正,倾斜角是钝角时,斜率为负.
2.已知直线l垂直于y轴,则l的倾斜角为________.?
【解析】由直线倾斜角的定义可得,垂直于y轴的直线l的倾斜角为0°.
答案:0°
3.已知直线l经过两点P(1,2),Q(-2,1),那么直线l的斜率为________.?
【解析】直线l的斜率k=
答案:
类型一 直线倾斜角、斜率的概念
【典例】1.(2019·高安高一检测)下列叙述中不正确的是
( )
A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan
α
2.已知直线l1的倾斜角为α,则l1关于y轴对称的直线l2的倾斜角用α表示为________.?
【思维·引】1.利用倾斜角、斜率的概念判断.
2.作出图形,利用直线间的关系得出两直线倾斜角的关系.
【解析】1.选D.A中若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应,正确;B中每一条直线都对应唯一一个倾斜角,正确.C中与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°,正确;D中若直线的倾斜角为α,α=90°时,则直线的斜率不存在,因此不正确.
2.由l1与l2关于y轴对称,得l1,l2的位置关系如图①,图②两种情况,分析得l2的倾斜角为180°-α.
答案:180°-α
【内化·悟】
若一条直线存在斜率,那么这条直线的倾斜角有什么特点?
提示:如果一条直线存在斜率,则倾斜角不等于90°.
【类题·通】
1.求直线倾斜角的方法及关注点
(1)定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角.
(2)关注点:
结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论.
2.关于直线的斜率
定义的前提是α≠90°,即α=90°时没有斜率,所以直线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的.
【习练·破】
1.下列说法中正确的个数是
( )
①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;
②一条直线的倾斜角为-30°;
③倾斜角为0°的直线只有一条;
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,①错;直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,②错;所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°,③错;不同的直线可以有相同的倾斜角,④错.
2.如图,直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,l2与x轴相交于点A,l2与l1相交于点B,l1与x轴交于点C,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为
( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.20°
【解析】选C.由题意知∠BAC+∠ABC=150°,即∠BAC+90°=150°,则∠BAC=60°,所以l3的倾斜角为30°.
类型二 直线倾斜角、斜率的计算
【典例】1.(2019·海淀高一检测)若A(1,0),B(-3,m),
若直线AB的斜率为-
,则m=
( )
A.-8 B.-2 C.2 D.8
2.(2019·台州高一检测)过A(-1,2),B(3,-2)两点的直
线的倾斜角为
( )
A.135°
B.120°
C.60°
D.45°
3.(2019·杨浦高一检测)已知点M(0,b)与点N(-
,1)
连成直线的倾斜角为120°,则b=________.?
【思维·引】
1.代入斜率公式,解出m.
2.先计算斜率,再求倾斜角.
3.先由倾斜角得出斜率,再利用公式求值.
【解析】1.选C.A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为
-
,所以
解得:m=2.
2.选A.设过A(-1,2),B(3,-2)两点的直线的倾斜角为
θ,0°≤θ<180°,所以tan
θ=
可得
θ=135°.
3.k=
=tan
120°,解得b=-2.
答案:-2
【内化·悟】
利用斜率公式时需要注意什么?
提示:先要考查是否满足公式条件x1≠x2.
【类题·通】
1.熟记特殊角的正切值
2.利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率的计算公式无意义.
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
【习练·破】
过两点A(m,2),B(-m,-
m-1)的直线的倾斜角是60°,则m的值为
( )
A.-
B.
+1
C.
-1
D.
【解析】选D.因为过两点A(m,2),B(-m,-
m-1)的直
线的倾斜角是60°,所以kAB=
=tan
60°
=
,解得:m=
.
【加练·固】
若直线经过两点A(m,2),B
且倾斜角为45°,则m的值为
( )
A.2
B.1
C.
D.
【解析】选A.经过两点A(m,2),B
的直线的
斜率为k=
又直线的倾斜角为45°,
所以
=tan
45°=1,即m=2.
类型三 斜率与倾斜角的应用
角度1 求斜率的范围
【典例】(2019·包头高一检测)直线l过点P(1,0),且
与以A(2,1),B(0,
)为端点的线段总有公共点,则直
线l斜率的取值范围是
( )
世纪金榜导学号
A.[-
,1]
B.(-∞,-
]∪[1,+∞)
C.(-∞,-
]
D.[1,+∞)
【思维·引】借助图形确定斜率的范围
【解析】选B.如图:
当直线l过点B时设直线l的斜率为k1,则k1=
当直线l过点A时设直线l的斜率为k2,则k2=
=1,所
以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值
范围是(-∞,-
]∪[1,+∞).
【素养·探】
在求斜率的范围时,需要用到核心素养中的直观想象,利用直线位置的变化找出斜率的界点,从而确定斜率的范围.将本例中点A,B改为A(-3,4),B(3,2),试求直线l斜率的取值范围.
【解析】因为点A(-3,4),B(3,2),如图,过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,
所以直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA,因为PA的斜率为
=-1,PB的斜率为
=1,所以直线l的斜率
k≥1或k≤-1.
角度2 三点共线问题
【典例】(2019·常熟高一检测)若A(3,-2),B(-5,2),
C(x,0)三点共线,则实数x的值为________.?
【思维·引】利用直线AB,AC的斜率关系求值.
【解析】因为A(3,-2),B(-5,2),C(x,0)三点共线,所以
kAB=kAC,即
解得x=-1.
答案:-1
【类题·通】
1.用斜率公式解决三点共线的方法
2.求代数式
最值或范围的方法
由斜率公式k=
的形式,可知代数式
的几何意义是过P(x,y)与P′(a,b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.
【习练·破】
1.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于
( )
A.2 B.3 C.9 D.-9
【解析】选D.因为三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同
一直线上,所以kAC=kAB,即
解得b=-9.
2.已知点P(-1,-1),另有两点A(1,0),B(0,1),若过点P的直线l与线段AB有交点,则直线l的斜率取值范围为________.?
【解析】因为A(1,0),B(0,1),又过点P的直线l与线段
AB有交点,所以直线l的斜率的取值范围为
.
答案:
【加练·固】
直线l过点P(-1,2)且与以点M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率取值范围是( )
A.[-
,5]
B.[-
,0)∪(0,2]
C.(-∞,-
]∪[5,+∞)
D.(-∞,-
]∪[2,+∞)
【解析】选D.如图,
因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以kPM=
=2,kPN=
由图可知,使直线l与线段MN相交
的直线l的斜率取值范围是(-∞,-
]∪[2,+∞).(共64张PPT)
3.2.2
直线的两点式方程
1.直线的两点式、截距式方程
【思考】
(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示?
提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.
(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示?
提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.
2.两点的中点坐标公式
点P(x,y)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则x=
【思考】
如果已知点P(a,b)是线段P1P2的中点,其中P1(x1,y1),那么点P2的坐标是什么?
提示:设点P2(x2,y2),由中点坐标公式:a=
,
b=
,所以x2=2a-x1,y2=2b-y1,则点P2(2a-x1,
2b-y1).
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线都可以用方程
表示.
( )
(2)在x轴,y轴上的截距分别为a,b的直线方程为
=1.
( )
(3)任何一条直线都有在x轴,y轴上的截距.
( )
【提示】(1)×.当x1=x2或y1=y2时,直线不能用方程
表示.
(2)×.当a=0或b=0时,在x轴,y轴上的截距分别为a,b的
直线不能用方程
=1表示.
(3)×.例如与x轴平行的直线只有在y轴上的截距.
2.直线
=1在y轴上的截距是( )
A.3 B.-3 C.4 D.-4
【解析】选D.直线
=1即
=1在y轴上的截距是-4.
3.已知A(-5,4),B(3,-2),则线段AB的中点坐标为________.?
【解析】设线段AB的中点为M,其坐标为(x,y),又因为
A(-5,4),B(3,-2),则
即线段AB的中点坐标为(-1,1).
答案:(-1,1)
类型一 直线的两点式方程
【典例】1.经过A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程为
( )
2.(2019·南京高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l经过点(-1,0),(1,4),则直线l的两点式方程是________.?
3.已知在△ABC中,点A(-1,0),B(0,
),C(1,-2),则AB边中线所在直线的两点式方程为________.?
【思维·引】1.判断是否符合直线的两点式方程的形式.
2.根据直线的两点式方程公式写方程.
3.先求出AB的中点,再写两点式方程.
【解析】1.选D.由题意可得直线的两点式方程为
2.根据两点式方程可得
答案:
3.点A(-1,0),B(0,
),中点D
所以AB边中线所在直线的方程为
答案:
【内化·悟】
直线的两点式方程中,分子与分母有什么相同之处?
提示:方程两侧的分式中,分子分母的中间运算符号相同,算式的后一个因式相同.
【类题·通】
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.
(2)差的顺序性:常会将x,y或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.
提醒:已知两点坐标,求过这两点的直线方程也可以先求斜率,再代入点斜式得到直线的方程.
【习练·破】
已知△ABC三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的两点式方程为________.?
【解析】由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两
点式可得直线MN的方程为
答案:
【加练·固】
(2019·成都高一检测)已知直线l过点(-2,1)与(2,3),则直线的两点式方程为________.?
【解析】直线l过点(-2,1)与(2,3),则直线的两点式方
程为
答案:
类型二 直线的截距式方程
【典例】1.(2019·武侯高一检测)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( )
A.x-y+1=0或3x-2y=0
B.x+y-5=0
C.x-y+1=0
D.x+y-5=0或3x-2y=0
2.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若l的两截距之和为6,求直线l的方程.
【思维·引】1.分截距等于0、不等于0两种情况分别求方程.
2.利用已知条件设出截距式方程求截距,整理得方程.
【解析】1.选A.过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距
互为相反数,当横截距a=0时,纵截距b=0,直线过点
P(2,3),(0,0),所以直线方程为
即3x-2y=0.当横
截距a≠0时,纵截距b=-a,直线方程为
=1,因为直
线过点P(2,3),所以直线方程为
=1,解得a=-1,所
以直线方程为-x+y=1,即x-y+1=0.综上,所求直线方程
为x-y+1=0或3x-2y=0.
2.设直线l的横截距为a,则纵截距为6-a,l的方程为
=1,因为点(1,2)在直线l上,所以
=1,
即a2-5a+6=0.解得a1=2,a2=3.当a=2时,直线的方程为
=1,当a=3时,直线的方程为
=1,直线l都经过
第一、二、四象限,符合题意,综上知,直线l的方程为
【内化·悟】
设直线的截距式方程时需要注意什么问题?
提示:需要注意直线的截距不能为0,如果不能确定,则分情况讨论.
【类题·通】
直线的截距式方程在解题中的应用
(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中,常设直线的截距式方程.
(2)当直线与x轴、y轴平行,过原点时不能设截距式方程,可以利用点斜式等形式解题.
【习练·破】
直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是
( )
A.3x+y-6=0
B.x+3y-10=0
C.3x-y=0
D.x-3y+8=0
【解析】选A.设所求的直线方程为:
=1(a>0,
b>0).因为过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所
围成的三角形面积等于6,所以
解得a=2,
b=6,所以直线的截距式方程为
=1,故所求的直
线方程为:3x+y-6=0.
【加练·固】
直线l经过点A(-3,4),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,则直线l的方程是
( )
A.2x+y+2=0
B.2x+y+2=0或4x+3y=0
C.x-2y+11=0
D.x-2y+11=0或4x-3y=0
【解析】选B.当直线经过原点时,直线方程为:y=-
x,
即4x+3y=0;当直线不经过原点时,设直线方程为
=1,把点A(-3,4)代入,得
=1,解得a=-1,所以直
线方程为
=1,即2x+y+2=0.
类型三 直线方程的简单应用
角度1 图象的辨析
【典例】(2019·涪城高一检测)两条直线l1:
=1和l2:
=1在同一直角坐标系中的图象可以是
世纪金榜导学号( )
【思维·引】根据图象中l1,l2的位置,确定截距的关系、符号,判断是否符合.
【解析】选A.由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a,-b,直线l2的横、纵截距分别为b,-a,选项A,由l1的图象可得a<0,b>0,可得直线l2的截距均为正数,故正确;选项B,只有当a=-b时,才有直线平行,故错误;选项C,只有当a=b时,才有直线的纵截距相等,故错误;选项D,由l1的图象可得a>0,b>0,可得直线l2的横截距为正数,纵截距为负数,图象不对应,故错误.
【素养·探】
在利用方程辨析函数的图象时,常常用到核心素养中的直观想象,需要根据直线的方程想象图象特征,根据图象特征得出直线的方程性质.
若将本例中的条件变为“直线
=1的图象如图
所示”,则关于截距a,b的关系中一定正确的是
________.?
①|a|>|b|;②
③(b-a)(b+a)<0;④
【解析】由题图可知,a<0,b>0,且|a|>|b|,①正确;
-a>b>0,所以
,②正确;b-a>0,b+a<0,所以
(b-a)(b+a)<0,③正确;
<0<
,④错误.
答案:①②③
角度2 在几何图形中的综合应用
【典例】已知直线l过点P(-2,1).
世纪金榜导学号
(1)当直线l与点B(-5,4),C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程.
(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为
时,求直线l的方程.
【思维·引】(1)首先分析直线与两点距离相等的情况,再分情况求直线方程.
(2)设出截距式方程,利用截距表示出面积、直线过已知点列出方程组解题.
【解析】(1)①当直线l∥BC时,kl=kBC=
所以直线l的方程为y-1=-
(x+2)化为x+4y-2=0.
②当直线l过线段BC的中点时,由线段BC的中点为
M(-1,3),所以直线l的方程为y-1=
(x+2),化
为2x-y+5=0.综上可知:直线l的方程为x+4y-2=0或
2x-y+5=0.
(2)设直线l的方程为
=1.则
解得
所以直线l的方程为x+y+1=0或x+4y-2=0.
【类题·通】
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程.
(2)已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式,再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距.
(3)已知直线在两坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程.
(4)已知直线上两点时,通常选用两点式方程.
【发散·拓】点P(a,b)关于直线y=x的对称点P′的坐标是什么?关于直线y=-x的对称点P″的呢?
提示:点P(a,b)关于直线y=x的对称点P′的坐标是(b,a);关于直线y=-x的对称点P″的坐标为(-b,-a).
【延伸·练】已知△ABC的一个顶点是A(3,-1),
∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x.
(1)求直线BC的方程.
(2)求直线AB的方程.
【解析】(1)因为∠B,∠C的平分线分别是x=0,y=x,所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.A(3,-1)关于x=0的对称点A′(-3,-1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A″(-1,3)也在直线BC上.
由两点式,所求直线BC的方程:y=2x+5.
(2)因为直线AB与直线BC关于x=0对称,
所以直线AB与BC的斜率互为相反数,
由(1)知直线BC的斜率为2,所以直线AB的斜率为-2,
又因为点A的坐标为(3,-1),所以直线AB的方程为
y-(-1)=-2(x-3),即2x+y-5=0.
【习练·破】
已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),
C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程.
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
(3)求AC边上的中垂线的方程.
【解析】(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为
=1,即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在直线的
方程为
即x+y-4=0.
(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),由两点式,得BD所在
直线的方程为
即2x-y+10=0.
(3)由kAC=
,得AC边上的中垂线的斜率为-2.又AC的
中点坐标为(-4,2),由点斜式,得AC边上的中垂线的方
程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.
【加练·固】
已知三角形的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的方程.
【解析】直线AB的斜率kAB=
过点A(-5,0),
由点斜式得直线AB的方程为y=-
(x+5),即3x+8y+15=0;
同理,kBC=
kAC=
直线BC,AC的方程分
别为5x+3y-6=0,2x-5y+10=0.(共54张PPT)
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定
两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2:
平行
垂直
等价条件
l1∥l2?k1=k2
l1⊥l2?k1k2=-1
【思考】
两直线互相垂直,一定能得到两直线的斜率之积等于-1吗?
提示:不一定,因为两直线互相垂直,可能其中一条直线的斜率不存在.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两条直线l1∥l2,则
( )
(2)若两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两条直线垂直.
( )
(3)若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.
( )
提示:(1)×.因为两直线的斜率可能不存在.
(2)√.直线的斜率不存在,与x轴垂直,直线的斜率为0,与x轴平行,故两条直线垂直.
(3)√.两条直线的斜率都不存在,都与x轴垂直,故两条直线平行.
2.若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列命题:
( )
①若l1∥l2,则斜率k1=k2;
②若斜率k1=k2,则l1∥l2;
③若l1∥l2,则倾斜角α1=α2;
④若倾斜角α1=α2,则l1∥l2.
其中正确的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.①由于斜率都存在,若l1∥l2,则k1=k2,正确;②因为两直线的斜率相等即斜率k1=k2,得到倾斜角的正切值相等即tan
α1=tan
α2,即可得到α1=α2,所以l1∥l2,正确;③因为l1∥l2,根据两直线平行,得到α1=α2,正确;④因为两直线的倾斜角α1=α2,根据同位角相等,得到l1∥l2,正确;所以正确的个数是4.
3.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为60°,则直线l2的倾斜角为________.?
【解析】因为直线l1的倾斜角为60°,所以直线l1的斜
率k1=tan
60°=
,又l1⊥l2,设直线l2的斜率为k2,则
k1·k2=-1,所以k2=-
,所以直线l2的倾斜角为150°.
答案:150°
类型一 两条直线平行的判定与应用
【典例】1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点
P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.重合
D.平行或重合
2.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为
( )
A.(3,0)
B.(-3,0)
C.(0,-3)
D.(0,3)
3.已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若PQ∥MN,求m.
【思维·引】1.利用斜率关系判断.
2.利用点P在y轴上,设出坐标后求值.
3.利用两直线平行,斜率相等列方程求解.
【解析】1.选D.因为
=tan
135°=-1,
=-1,
所以直线l1与l2平行或重合.
2.选D.设P(0,y),因为l1∥l2,所以
=2,所以y=3.
3.因为P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),所以
kPQ=
,kMN=
,所以当m=-2或-1时不成立,因为
PQ∥MN,所以kPQ=kMN,所以
=
,即m2-m=0,解得
m=0或m=1.
【内化·悟】
利用斜率判定直线平行时需要注意什么问题?
提示:应注意直线的斜率是否存在.
【类题·通】
1.关于直线平行关系的判定
(1)分别计算斜率,判断斜率关系.
(2)条件中出现“两条直线l1,l2”,是指两条不重合的直线,否则可能重合.
2.直线平行关系的应用
已知平行关系可得出斜率相等,表示斜率时要考查斜率不存在的情况是否符合题意,如果符合应单独讨论.
【习练·破】
下列两条直线l1,l2平行的有________.?
①l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),
D(8,-7);
②l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2);
③l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,
),N(-2,-2
);
④l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5).
【解析】①kAB=
kCD=
所以kAB=kCD,所以l1∥l2.
②
所以l1不平行于l2.
③
=tan
60°=
,
所以
所以l1∥l2.
④l1,l2斜率均不存在且不重合,所以l1∥l2.
答案:①③④
类型二 两条直线垂直的判定与应用
【典例】1.两条相互垂直的直线l1,l2的斜率是方程x2-3x+m-1=0的两根,则m的值为
( )
A.1 B.-1 C.2 D.0
2.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),如果l1⊥l2,则a的值为____.?
【思维·引】
1.借助根与系数的关系,利用互相垂直的直线的斜率关系求值.
2.利用相互垂直的直线的斜率乘积为-1解题.
【解析】1.选D.设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,因为直线l1,l2的斜率是方程x2-3x+m-1=0的两根,所以k1k2=m-1=-1,所以m=0.
2.若a-2=3,a=5,则直线AB与x轴垂直,此时C(2,3),
D(-1,3),直线CD与x轴平行,符合题意,
若a≠5,则由
=-1,解得a=-6.
所以a=5或-6.
答案:5或-6
【内化·悟】
判断两直线垂直时需要注意什么问题?
提示:需要关注直线斜率是否存在,如果不存在可根据图象判断.
【类题·通】
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看:看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.
(2)二代:将点的坐标代入斜率公式.
(3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应对参数进行讨论.
提醒:若已知点的坐标含有参数,利用两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论斜率不存在的情况.
【习练·破】
已知点A(0,1),B(4,2),若点P在坐标轴上,则满足PA⊥PB的点P的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.当点P在x轴上时,设其坐标为P(x,0),当
x=0,4时,PA与PB都不垂直,故x≠0,4.由PA⊥PB,可得
即x2-4x+2=0,由于Δ=(-4)2-4×1×2
=8>0,故方程有两解,有两个点符合题意;当点P在y轴上
时,PA无斜率,只有PB的斜率为0,才满足PA⊥PB,故P的
坐标为(0,2).综上可知:满足PA⊥PB的点P的个数是3.
【加练·固】
已知A(0,-1),B(-2a,0),C(1,1),D(2,4),若直线AB与直线CD垂直,则a的值为________.?
【解析】易知a≠0,因为kCD=
=3,kAB=
,AB⊥CD,
所以kCD·kAB=
×3=-1,解得a=
.
答案:
类型三 平行与垂直的综合应用
角度1 利用平行、垂直求点的坐标
【典例】已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,则点D的坐标为______.?世纪金榜导学号
【思维·引】根据AB⊥CD得kAB·kCD=-1,由AD∥BC得kAD=kBC,列出方程组进而求解.
【解析】设点D的坐标为(x,y),由已知得直线AB的斜率
kAB=1,直线CD的斜率kCD=
,直线BC的斜率kBC=-
,
直线AD的斜率kAD=
,由AB⊥CD,且AD∥BC,得
所以点D的坐标为(10,-6).
答案:(10,-6)
【素养·探】
利用斜率解决有关平行、垂直的综合问题时,常常用到核心素养中的数学运算,利用斜率转化,通过运算解决求值、判断等问题.
本例中,若将条件变为AB∥CD,且AD⊥BC,试求点D的坐标.
【解析】由题意
所以
点D的坐标为(11,15).
角度2 平行、垂直在图形中的应用
【典例】已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),
D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求A点坐标.
世纪金榜导学号
【思维·引】首先根据图形确定平行、垂直的边,再利用斜率求值.
【解析】(1)若∠A=∠D=90°,如图①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
(2)若∠A=∠B=90°,如图②.设A(a,b),则kBC=-3,
kAD=
,kAB=
.由AD∥BC?kAD=kBC,即
=-3;
由AB⊥BC?kAB·kBC=-1,即
·(-3)=-1.解得
故A
综上所述:A点坐标为(1,-1)或
.
【类题·通】
关于直线平行,垂直的综合应用
(1)设出点的坐标,利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解.
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解,图形的形状不确定时要分情况讨论.
【习练·破】
1.已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),
B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为
( )
A.(3,4) B.(4,3)
C.(3,1)
D.(3,8)
【解析】选A.设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分
别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意得AB∥DC,AD∥BC,则有
kAB=kDC,kAD=kBC,所以
解得m=3,n=4.所以
顶点D的坐标为(3,4).
2.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),
C(5,10),AD是腰且垂直两底,求顶点D的坐标.
【解析】设D(x,y),因为DC∥AB,所以
又
因为DA⊥AB,所以
=-1.由以上方程组解
得:x=-11,y=2.所以D(-11,2).
【加练·固】
已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0),求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
【解析】设点D的坐标为(x,y),由已知得,直线AB的斜
率kAB=3,直线CD的斜率kCD=
,直线CB的斜率kCB=-2,
直线AD的斜率kAD=
,由CD⊥AB,且CB∥AD,得
所以点D的坐标是(0,1).