(共56张PPT)
认知·探索
基础预习点拨
2.2.2对数函数及其性质
第1课时对数函数的图象及性质
家国学要紧
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
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月/地解对数函数的概念,理解对数函数的单调性
标/享握对数函数图象经过的特殊点
2.知道对数函数是一类重要的函数模型
定
位…解指数函数y=a与对数函数y=ogx互为
反函数(a>0,且a≠1)
重.本课重点是对数函数的概念、图象和性质
点2.本课难点是对数函数的图象及性质的应用
难点
基础梳理⑨
1.对数函数的定义
(1)解析式:y=logx(a>0,且a≠1);
(2)自变量:x
(2)请根据下面的提示写出对数函数y=logx(a>0,a≠1)
的性质:
①定义域是:(0,十∞);②值域是:R;
③定点:(1,0),即x=1时,y=0;
④单调性:
当0
当a>1时,在(0,+∞)上是增函数
3.反函数
在a>0且a≠1的前提下回答下列问题
(1)y=a2的反函数是y=logx;
(2)y=logx的反函数是y=a2
知识点拨
1.底数对对数函数图象的影响
(1)依据:对数函数y=logx(a>0且a≠1)的图象与直
线y=1的交点是(a,1)
(2)对图象的影响:比较图象与y=1的交点,交点的横坐
标越大,对应的对数函数的底数越大.也就是说,沿直线
y=1由左向右看,底数a增大(如图)
规律方法
求函数解析式的常用方法
(1)换元法
知f(g(x))求f(x)常用换元法.具体方法如
先设t=g(x),并用t表示x,然后代入f(g(x))的解
析式,从而得到f(t),即为f(x)的解析式
(2)待定系数法
知函数类型(如:一次函数、二次函数、反比例函数
指数函数、对数函数等)求函数的解析式常用待定系数
法
2.对数函数图象和性质的关系
图象特征
函数性质
位于y轴右方
定义域为(O,+∞),值域为R
类型)二对数函数的图象问题
【典例2】(1)已知图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y
gax的图象,则
大小关系是
3.对数函数图象和性质的记忆口诀
对数增减有思路,函数图象看底数
底数只能大于0,等于1来也不行,
底数若是大于1,图象从下往上增,
底数0到1之间,图象从上往下减,
无论函数增和减,图象都过(1,0)点(共39张PPT)
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2.2对数函数
2.2.1对数与对数运算
第1课时对数
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标/·理解对数的概念,了解常用对数和自然对数
定/能够进行对数式与指数式的互化
位/握对数的三个重要结论
1.本课重点是对数的概念、对数式与指数式的互
化
重点难点
2.本课难点是对数概念的理解和loga
1,aN=N(a>0且a≠1)等恒等式的应用
基础梳理
1.对数
(1)请根据下图的提示填写与对数有关的概念
指数对数
幂真数
ax=N
loga
n=x
底数
(2)其中a的取值范围是a>0且a≠1
2.常用对数与自然对数
(1)请依据常用对数与自然对数的定义连线
g
自然对数
以10为底数
常用对数)以e为底数
(2)其中无理数e=2.71828…
3.重要结论
(1)负数和零没有对数
(2)logl=0(a>0,且a≠1)
(3)log2a=1(a>0,且a≠1)
知识点拨
1.对数logN中规定a>0且a≠1的原因
a不能取的值
原因
N取某些值时,ogN不存在,如根据指数
的运算性质可知,不存在实数x使
<0
(-)=2成立,所以E()2不存
在,所以a不能小于0
N≠0时,不存在实数x使ax=N,无法
定义logN
N=0时,任意非零实数x,有a2=N成
立,logN不确定.
N≠1,log2N不存在
N=1,log21有无数个值,不能确定.
2.对数
loga
n的意义
对数logN可看作一记号,它和“+”“-”“×”“÷”等符
号一样,表示一种运算,即已知底数为a(a>0,且a≠1)
幂为N,求幂指数x的运算.它也表示为求关于x的方
程ax=N(a>0且a≠1)的解的过程
3.负数和零没有对数的原因
由于当a>0且a≠1时,对任意实数x总有ax>0,因而
a2=N中N总是正数根据a2=Nx=logN(a>0,且
a≠1)可知,在log2N=x中必须N>0,也就是说负数和
零没有对数
类型)一指数式与对数式的互化
【典例
如果
且
有
(A
log
D
2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式
8
【解析】(1)选B.由m=a°化为对数式为logm
69
独具【变式训练】知log12=m,log.3=n,求am”的值
【解析】由log2=m,log23=n
得
2
3,
所以a2m+n=a2m·a"=(am)2·a=22×3=12,
12.(共49张PPT)
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2.1.2指数函数及其性质
第1课时指数函数的图象及性质
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目1解指数函数的概念和意义
标定
2.探索并理解指数函数的单调性.
位/享握指数函数图象通过的特殊点
1.本课重点是指数函数的概念及指数函数的图象
重与性质
难|2.本课难点是指数函数的有关性质及应用
基础梳理⑨
1.指数函数的定义
(1)解析式为y=a(a>0,且a≠1)
(2)自变量是x
④单调性:
当0当a>1时,在R上是增函数
知识点拨
1.指数函数中规定a>0,且a≠1的原因
(1)如果a=0,当x>0时,a恒等于0;当x≤0时,a无
意义
(2)如果a<0,例如y=(-4)2,这时对于x
2’4
在实数范围内该函数无意义
(3)如果a=1,则y=1是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
(2)指数函数值的变化规律
a>1
00指数函数图象和性质的巧记
(1)指数函数图象的记忆方法:一定二近三单调,两类单
调正相反
(2)指数函数性质的巧记方法:非奇非偶是单调,性质不同因
为a,分清是(0,1),还是(1,+∞),依靠图象记性质
.指数函数图象与底数的关系
(1)底数的变化决定指数函数图象的变化,在y轴右侧,
图象自下而上底数依次变大.在y轴的左侧,图象自下而
上底数依次变小
(2)当0xx+∞,y-0,函数y=a的图象是下降的,即函数单
调递减;a的值越小,递减的速度越快.
(3)当a>1时,
xx+∞,yx+∞,函数y=a的图象是上升的,即函数
单调递增;a的值越大,递增的速度越快.
(类型)一指数函数的概念
典例1】(1)下列函数中是指数数的是
(只
填序号)
①y=10;②y=10x1;③y=-44;④
是常数);⑥y=(2a-1)
(2)若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a
【解析】(1)①y=10符合定义,是指数函数;
②y=101指数是x+1而非x,不是指数函数
③y=-42中系数为-1而非1,不是指数函数
④y=x中底数和指数均是自变量x,不符合指数函数
的定义,不是指数函数
⑤y=x中底数是自变量,不是指数函数
⑥由于底数可能不大于0或可能为1,故不是指数函数
答案:①(共77张PPT)
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函数
函数的应用
与方程函数模型
④
几类不同增长的函数模型
B
及
其
用丿建立实际问题的函数模型
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认知·探索
专题归纳整合
阶段复习课
备选答案》A,用二分法求方程的近似解
B.解决具体问题
C.函数的零点及其对应方程根的关系
D.用已知函数模型解决问题
(类型)一函数的零点与方程的根
【典例1】设方程x2-3=a的解的个数为m,则m不可能
等于
(A)1
(B)2
(C3
(D)4
【解析】选A在同一坐标系中分别画出函数y=x2-3和
y2=a的图象,如图所示
√3O
由图象知,方程解的个数可能为0,2,3或4,不可能有1
个解.
总结≯本例中利用图象寻求方程解的个数的注意点
提示:函数图象要画得尽可能准确,并标注关键点
【规律方法】
1.函数零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间的关
系
方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与x
轴有交点台y=f(x)有零点
2.确定函数零点个数的方法
(1)解方程f(x)=0得几个解即函数有几个零点
(2)利用图象找y=f(x)的图象与x轴的交点个数或
转化成两个函数图象的交点个数
(3)利用f(a)·f(b)与0的关系进行判断
类型)二用二分法求函数的零点或方程的近似解
典例2】用二分法求方程8-1=0(x≠0)的近似解(精
确度0.01)
【解析】设∫(x)=8
(x≠0)
当x<0时,f(x)>0,没有零点
当x>0时,设0则f(x1)-f(x2)
(81-82)+(
因为0所以81<8,1<1
所以f(x1)-f(x2)<0.
所以f(x)=82-在(0,十∞)上单调递增
因为f(1)=8
所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,
所以f(x)在(1,十∞)上没有零点
f(x)在(0,1)上时,
f(0.1)≈-2.102<0,f(0.5)≈2.1618>0,
所以f(x)在(0.1,0.5)上有且只有一个零点,下面用二
分法逐次计算:(0.1,0.5)>(0.1,0.3)→>(0.2,0.3)
(0.2,0.25)→(0.2,0.225)→(0.2125,0.225)→
(0.2125,0.21875)
因为0.21875-0.2125=0.00625<0.0
所以可取0.21875作为函数零点的近似值.
因此原方程根的近似值为x=0.21875(共43张PPT)
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1.1.3集合的基本运算
第1课时并集、交集
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目|1.理解两个集合并集与交集的含义,会求两个简单
标集合的并集与交集
定2.能用Ven图表示两个集合的并集和交集,体会
位数形结合的思想
教师
额头1.本课重点是理解两个集合的并集、交集的概念
重2本课难点是弄清并集、交集的概念及符号间的联
点难点
系与区别
基础梳理
并集
自然语言』集合A与的并集是由所有属于集合A或属于集合
B的元素组成的集合,记作A∪B(读作“4并B")
符号语言团心B=国∈A或∈因1
图形语言
A∪B
2.交集
自然语言集合与B的交集是由所有属于集合且属于集合
B的元素组成的集合,记作A∩B(读作“4交B”)
符号语言A∩B=E∈A且x∈Bl
B
图形语言
A∩B
3.交集与并集的运算性质
1)A∪A=A,A∪=A.(2A∩A=A,A∩=
知识点拨s
1.对并集的解读(关键词:“或”,“所有”)
(1)对“或”的理解:
“x∈A或x∈B”包含三种情况
“x∈A,但x∈B”;“x∈A,但x∈B”;“x∈A,且x∈B”
Ven图表示如下:
○)(4a(Q
x∈A,但xgB
x∈B,但x∈A
x∈A,且x∈B
(2)对“所有”的理解:不能简单地认为A∪B是由A的所有
元素和B的所有元素简单拼凑构成的集合,并集作为一个
集合,其元素满足互异性,相同的元素只能算作一个.
2.对交集的解读(关键词:“所有”,“且”)
(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当两个集合A
和B没有公共元素时,A∩B
(2)概念中“所有”两字的含义是,不仅“A∩B中的任意
元素都是集合A与B的公共元素”,同时“A与B的公共
元素都属于A∩B
(3)特别地,还有如下所示的三种情况
B
A
A
B
A(B)
A∩B=A
A∩B=B
A∩B=A=B
3.交集、并集运算的一些性质
(1)
ACAUB,BA∪B,即一个集合是其与任一集合并
集的子集
(2)A∩BcA,A∩B≌B,即两个集合的交集是其中任
集合的子集.
(3若ACB,则A∪B=B,反之,若A∪B=B,则ACB.
(4)若AB,则A∩B=A,反之,若A∩B=A,则AB
(5)由于A=A∪必,因此A∪B=B中的A可以为空集(共45张PPT)
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第2课时对数的运算
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类型)→对数运算性质的应用
【典例1】(1)若lg2=a,lg3=b
等于
B)
b
(2)求下列各式的值
g
0
基础梳理③
1.对数的运算性质
(1)前提条件
a>0,且a≠1,M>0,N>0
(2)运算性质
①log(M·N)=logM+logN
②logN=logM-logN
③logM=
logan(n∈R)
2.对数的换底公式
(1)条件:a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0
(2)公式:ogb=logb
ogca
知识点拔⊙
1.对数运算性质中规定a>0,且a≠1,M>0,N>0的原因
(1)由对数的定义知:对数的底数大于零且不等于1,真
数大于零.在对数的运算中,为了保证对数有意义作出了
这样的规定.这与前面所学的幂的运算性质中规定底数
a>0的道理是类似的
(2)对数的运算性质既可正用也可逆用,为了保证左右两
端均有意义,所以规定M>0,八>0.
2.对数换底公式的证明
化形式
设x=
log
b,化为指数式为ax=b
取对数两边取以>0且c≠1为底的对数得loga=logb
即
xlog
a=log
变形式
log
b
所以
即logb=fg
lo
g
2
(2lg5+lg2)×lg2+2lg5
48
√7×√6
求下列各式的值
)log2(3+2)
√3);
独具【变式训练】1.(2013·陕西高考)设a,b,c均为
不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是(
(A)logb·logb=loga
(B)
logb·loga=lgb
(C)loga(bc)=logb.
logac
(D)loga(btc)=logab-tlogac
2计算g27125+4+72
【解析】1.选B.对选项A:logb·logb=loga→logb
loga,显然与第二个公式不符,所以为假
log
b
对选项B:logb·loga=1ogb→logb=1gb,显然与第
ogca
二个公式一致,所以为真
对选项C:logn(bc)=logb·logC,显然与第一个公式不
符,所以为假
对选项D:log(b+c)=logb+
logic,同样与第一个公式
不符,所以为假
2.
l125+1g4+7%2=k8kx
+lg(25×4)+2
l93++1g100+2=4+2+2=15(共49张PPT)
第2课时指数函数及其性质的应用
家国学要紧
类型)一指数函数性质的综合应用
典例3】(1)若指数函数f(x)=(
是R上的减函数
那么a的取值范围为
(A
(2)已知f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0
2
f()
)求f(x)在
的解析式
②判断f(x)在何区间上单调递减,并给予证明
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目标定位
重点难点
1.进一步掌握指数函数的概念、图象和性质.
1.本课重点是指数函数的图象和性质的应用
2.能利用指数函数的单调性解决一些问题
2.本课难点是指数函数单调性的应用
)学习目标定
三本栏目为教师用书独具
〖解析】(1)选C.由f(x)=(a+1)是
减函数可
a+1<1,所以一10
因为当x∈(-1,0时
所以f(
所以f(x)=10,
∈
0)
4
(3)①由于0<5
1,故函数
在实数范围内
单调递减,又因为-1.7>-2,故(5)-1,7
②在同一坐标系内画出函数
4)的图象,通过
(3)
观察图象可知,当x<0时,=(4)
的图象在y=(3)的图象的上方,
当x=-0.5时,可得(2)-5
4
③由于0<0.5<0.6<1,所以函数y=0.5与y=0.6
在定义域R上均是减函数,且在区间(0,十∞)上函数y
0.5的图象在函数y=0.6的图象的下方,所以0.506
0.66,又根据指数函数y=0.6的性质可知0.606<0
6.5,故0.50.6<0.605
【互动探究】题(2)中,若去掉条件“y的大小关系如何?
【解析】因为x所以当a>1时,a当0a+1,y>y2
【规律方法】
比较幂值大小的三种类型及处理方法
底数相同
指数不同(利用指数函数的单调性来判断
底数不同,「利用底数不同的指数函数的图
指数相同厂象的变化规律来判断
底数不同
指数不同
通过中间值来比较
类型)→解简单的指数不等式
典例2】(1)不等式3x+2<3的解集是
(2)解关于x的不等式a2x-3x+2
(a>0,且
【解析】(1)因为函数y=3在R上是增函数,且3+2
所以x+2<1,解得x
不等式3+2<3的解集是{x|x<-1}
案
②f(x)在(-1,0)和(0,1)上是单调递减的,证明如下:
设值
设0作差
2
(21+2-1)(22-21)
变形
则f(x1)-f(x2)
4+142+1(4+1)(42+1)
判断
因为2+>1,2>2,所以(x1)f(x2)>0,
符号
所以(x)在(0,1)上单调递减
由奇函数的性质,知x)在(-1,0)上单调递减
结论
所以f(x)在(-1,0)和(0,1)上单调递减(共53张PPT)
.
.
.
第2课时对数函数及其性质的应用
家国学要紧
目标定位
重点难点
1.进一步掌握对数函数的图象和性质
1.本课重点是对数函数的图象和性质的应用.
会利用对数函数的图象和性质解决有关问题
2.本课难点是对数函数单调性的应用
3.会求对数形式的函数的定义域、值域
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)学习目标定
三本栏目为教师用书独具
类型)→比较对数值的大小
【典例1】(1)设a=ge,b=(lge)2,c=lg√e,则
(Aa>bc
(B)arcee
(C)
(D)>b
(2)设a=log32,b=l
则
(Aa<(bbscsa
(oca(cbsa
(3比较下列各组数中两个值的大小
①log32.7与log.2.8;
②log35与log25
③log35与log:4.
【解析】(1)选B.因为1所以0即c又c-b=blge-(lg
g
e(1-
2lg
e)
10
2egp0,所以C>b,故选B
(2)选C.因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数且
2所以1=1g2<10g2e所沙yog2
log2
3
所以12>1g32>5,所以b>a>C,即c(3)①因为y=log,3x在(0,+∞)上是减函数,
且2.7<2.8,所以log0.32.7>log.32.8.
②作函数y=log2x和y=log3x的图象(如图所示)
由图象可知log35y=log2.x
③因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数且5>3
所以log35>log33=1,
因为y=logx在(0,+∞)上是增函数且4<6,
所以log4所以log35>logs4.
【变式训练】以下四个数中的最大者是
(A)(In2)2
(B)In(In2)
(C)In
2
(D)In2
【解析】选D.因为y=lnx在(0,十∞)上是增函数,
且1<2<20=In1所以ln(n2)综上知:四个数中的最大者是ln2(共47张PPT)
第2课时函数概念的综合应用
家国学要紧
课后巩固作业(七
第2课时函数概念的综合应用
(30分钟50分)
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目标定位
重点难点
1.会求函数的定义域
1.本节重点是求函数的定义域和值域
2.会求简单函数的值域
2.本节难点是求复合函数的定义域和值域
(类型)一已知函数解析式求定义域
典例1】(1)已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的
条边长x之间的函数解析式为
其定义域为
(2)求下列函数的定义域.
【解析】(1)由题意得,矩形的另外一条边长为
其中x需满
所
之间的函数关系中的定义域为(0
答案
(2)①要使函数有意义,自变
必须满足
x|≠
原函数的定义域为
②要使函数有意义,自变量x的取值必须满
所以原函数的定义域为(
独具【变式训练】求函数y=√x+2
的定
义域
【解析】要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
x+2≥0
x2-x-6≠0(x≠-2且x≠3
即x>-2且x≠3
所以所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,十∞)
规律方法】
1.已知函数解析式求定义域的类型及求解策略
(1)整式:若y=f(x)为整式,则函数的定义域是实数集
R
(2)分式:若y=f(x)为分式,则函数的定义域为使分
母不为0的实数集
(3)偶次根式:若y=f(x)为偶次根式,则函数的定义
域为被开方数非负的实数集
(4)若f(x)=x°,则x≠0.
(5)几部分组成:若y=f(x)是由几部分数学式子的
和、差、积、商组成的形式,定义域是使各部分都有意义
的集合的交集
(6)实际问题:若y=f(x)是由实际问题确定的,其定
义域要受实际问题的约束
2.求解函数定义域的步骤
分析解析式→>列不等式(组)→解不等式(组)→得定义域
另外要注意定义域应以集合或区间的形式表示
函数求值及值域问题
典例2】(1)函数
的值域
(2)函数f(x)=-x2-2x+5的值域是
)函数y=x+4√1-x的值域是
【解析】(1)函数的定义域是{x|x≠
所以函数的值域
答案
(2)因为f(x)
所以
时,f(x)取得最大值
所以函数f(x)=-x
值域是
答案:(
(3)设t=√1-x≥0,则x=1-t
所以原函数可化为y
所以y≤5,所以原函数的值域为
【互动探究】如果题(2)的定义域变为x∈{-1,0,1,2},
结果会怎样呢?若变为x∈[-2,2]呢
独具【解题指南】第一种情况定义域为有限的,容易求
解;对于第二种情况可作出二次函数的图象,借助图象容
易得到二次函数在闭区间上的最大值、最小值(共54张PPT)
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基础预习点拨
3.2网数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
家国学要紧
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1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广
目泛应用
标2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及
定三种函数模型的性质的比较
位3.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并能体会
其增长的快慢以及应用.
1.本课重点是几类不同函数模型增长的含义及差
异
重点难点
2.本课难点是怎样选择数学模型分析解决实际
题
基础梳理⑨
1.三种函数模型的性质
(1)指数函数
①解析式:y=a(a>1);
②单调性:在(O,十∞)上的增减性:增函数
③图象的变化:随x增大逐渐与y轴平行
(2)对数函数
①解析式:y=
logar(a>1);
②单调性:在(0,+∞)上的增减性:增函数
③图象的变化:随x增大逐渐与x轴平行
(3)幂函数
①解析式:y=x(n>0);
②单调性:在(0,+∞)上的增减性:增函数;
③图象的变化:随n值不同而不同.
2.三种函数的增长速度的比较
两数y=a2(a>1)、y=logx(a>1)、y=x(n>0)在区间
(0,+∞)上
(1)单调性:增函数
(2)增长速度:y=a(a>1):随着x的增大,y增长速度
越来越快,会远远大于y=x"(n>0)的增长速度,
y=logx(a>1)的增长速度越来越慢;
(3)存在一个x,当x>x0时,有ax>x>logx
知识点拔
三类函数模型的增长差异
(1)对于幂两数y=x",当x>0,n>0时,y=x”才是增函
数,当n大时,增长速度越快.
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1,又它们的
图象关于y=x对称,从而可知,当a越大,y=a增长越
快;当a越小,y=log灬x增长越快,一般来说,ax>logx
1)
(3)指数函数与幂函数,当x>0,n>0,a>1时,可能开始
时有x>ax,但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于
某一个确定值x。后,就一定有a>x
2.三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab+c(a,b,c
为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着
自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为
“指数爆炸”
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog2x+
n(m,n,a为常数,m>0,a>1)表达的函数模型,其增长
的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其
函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=ax+b(a,b,a为
常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α
的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型(共58张PPT)
.
.
认知·探索
基础预习点拨
1.3:数的基本性质
1.3.1单调性与最大(小)值
第1课时函数的单调性
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目|1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定
标义
定2.掌握定义法判断函数单调性的步骤
位|3掌握求函数单调区间的方法(定义法,图象法)
本课重点是证明函数的单调性及求函数的单调
重
点区间
难|2.本课难点是用定义判断函数的单调性
点
基础梳理
1.增函数与减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区
D上的任意两个自变量的值x1,x2
(1)条件:x结论:函数f(x)在区间D上是增函数
(2)条件:x1f(x2)
结论:函数f(x)在区间D上是减函数
知识点拨9
1.理解增函数、减函数定义的注意事项
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义
域的不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数
的一个“局部”性质
(2)定义中的x1,x2有以下三个特征
①任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,
证明时不能以特殊代替一般;
②有大小;
③属于同一个单调区间
(3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等
关系相互转化
2.理解单调函数需明确的三点
(1)有些函数在定义域上是单调的,如函数y=x.有些
却只在定义域内的子区间上单调,如y=x2在(-∞,0)
上为减函数,在[0,+∞)上为增函数还有不单调的函
数,如y=3
(2)函数在定义域的某几个子区间上都具有相同的单调
性,也不一定在定义域上是单调的如f(x)=1,有两个
减区间(-∞,0)和(0,十∞),但在定义域上不是单调
的
(3)注意定义域是否含有端点值,例如,y=x2的减区间
为(-∞,0)也可以写成(-∞,0,但f(x)=1的减区间
只能写成(-∞,0)和(0,+∞)
(类型)一定义法判断或证明函数的单调性
典例1】(1)f(
(填“增函数”或“减函数”)
(填“增函
数”或“减函数
析】(1)方
的任意两
实数且x1(x1-x2).因为
即f(x1)>f(x2),所以函数∫
上是减函数
方法二:函数的图象如图所示
上是减函数
答案:减函数(共35张PPT)
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2.1指数网数
2.1.1指数与指数幂的运算
第1课时根式
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第二章基本初等函数(I)
标1.理解n次方根及根式的概念
定|2.能正确运用根式运算性质进行运算变换
位
1.本课重点是利用根式的运算性质对式子进行化
重点难点
简
2.本课难点是有条件或复杂根式的化简求值问题.
基础梳理⊙
1.根式及相关概念
(1)a的n次方根的定义
如果x=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N
(2)a的n次方根的表示
va,n为奇数,a∈R,
a的n次方根用符号表示
土a,n为偶数,a≥0.
(3)根式
基本形式是a,根指数是n,被开方数是a
2.根式的性质
0=0(m∈N
,n>1
性质(2()=a(∈N
m1)
√a7=a(m为奇数)
(3)
(a≥0),
Wa"=lal=
(n为偶数
a(<
知识点拨
1.解读a的n次方根的个数
有两个,它们互为相反数,分别表示
为√a和√(n为偶数,n>1)
正
奇次
方根
有一个,是正数,表示为a(为奇数,>1)
次方根
偶次
方根
在实数范围内不存在
负数a
有一个是负数,表示为
n为奇数,n>1)
2.对(Ya)”的理解
(1)当n为大于1的奇数时,(a)”对任意a∈R都有意
义,且(a)n=a
(2)当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时,()n才有
意义,且(a)n=a(a≥0)
【解析】(1)①因为
以
方根是
②因为(士4)
所以256的四次算术方根为4
因为25=32,所以
答案:①3②4
①由题意知x是2017的
所以x=士2017
②由题意知x是—2017的五次方根
所以
独具【变式训练】(1)-125的立方根是
(2)64的算术平方根是
【解析】(1)因为(-5)3=-125,所以-125的立方根是—5
(2)因为(士8)2=64,所以64的算术平方根是8
答案:(1)-5(2)8
【规律方法】
求n次方根要关注的问题
(1)任意实数的奇次方根只有一个,正数的偶次方根有
两个且互为相反数
(2)(a)是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的
取值由n的奇偶性决定.
n为偶数,a为非负实数
n.奇数,a为任意实数,
且√符号与a的符号一致
类型)二直接利用根式的性质化简
【典例2】(1)计算下列各式
①√(-2)
②√(3-x)°
3_30.125
(2)化简下列各式
①√(x+2);②√(x-π)5;
③(√a-1)2+√(1-a)2+(1a)(共56张PPT)
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第三章函数的应用
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3.1网数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
月·地解函数零点的概念,了解函数零点与方程根的关
系
标
2.会求数的零点
定2堂握函数零点的判断方法并会判断函数零点的
位个数
本课重点是函数零点的概念以及函数零点求法
重|2.本课难点是对函数零点的判断方法的理解及应
点难点
用
基础梳理⊙
1.函数零点的定义
若实数x是函数y=f(x)的零点,则需满足条件f(x)=0
2.方程的根、函数的图象、函数的零点的关系
方程∫(x)=0有实根
台函数y=f(x)的图象与x轴有交点
台函数y=f(x)有零点
3.函数零点的判断方法
(1)条件
①函数y=f(x)在区间[a,b上的图象是连续不断的
条曲线;
②f(a)·f(b)<0
(2)结论
两数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),
使得∫(c)=0
知识点拨e
1.对函数零点概念的认识
(1)数的零点是一个实数,不是一个点.当函数的自变
量取这个实数时,函数值为零
(2)数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言
的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上
就是函数图象与x轴无交点,如函数y=5,y=x2+1就
没有零点
(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函
数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内
2.函数∫(x)在区间[a,切上的零点可能出现的三种情况
(1)有唯一零点
此时f(x)在[a,b上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,
b上满足以下三条
①图象是连续不断的一条曲线
②f(a)·f(b)<0;
③f(x)在[a,b上是单调函数
(2)有多个零点
此时f(x)在[a,b上满足情况(1)中的①②两条且图象
多次与x轴相交
(3)无零点
①f(x)在a,b1上的图象不是连续不断的,
如y=在1,1上无零点;
②f(x)在[a,b上的最小(大)值都大(小)于零,
如y=(x+1)2+1
(类型)→求函数的零点
【典例1】(1)函数y=4x-2的零点是
(A)2
(B)(-2,0)
(C)
(D)
(2)若函数f(x)
ax-b的两个零点是2和3,求
和b的值
解析】1)选D令4x-2=0,解得x=1,函数的零点
是个实数,故函数y=4x-2的零点是
(2)由于函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,
所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根,由根与系
数的关系可得2+3=-(-a),2×3=-b,所以a=5,b=(共51张PPT)
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第2课时函数的最大值、最小值
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标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义
定|2会求一些简单函数的最大值或最小值
位
1.本课重点是理解函数的最大(小)值的概念并会
重
点求一些简单函数的最大值或最小值
难2.本课难点是求函数的最大值或最小值
点
基础梳理g
最大(小)值
最值
条件
几何意义
对于任意x∈I,都有
函数y=f(x)图象上
最大值f(x)≤M,存在x0∈
I,使得f(x0)=M.
最高点的纵坐标.
对于任意x∈I,都有
函数y=f(x)图象上
最小值f(x)≥M,存在x0∈
最低点的纵坐标.
I,使得f(x0)=M
知识点拨
1.最大值、最小值定义的理解
(1)最大(小)值定义中具备的两个条件
①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M成
②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)
x2的最大值是0,有f(O)=0,注意定义中“存在”
词的理解.
(2)两条件缺一不可,若只有前者,M不是最大(小)值,
如f(x)=-x2≤1成立,但1不是最大值;更不能只有后
者,那样就丢掉了最大值的核心了
2.求最大值、最小值时的三个关注点
(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不
是横坐标.
(2)单调性法求最值勿忘先求定义域
(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单
调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解
时一定要注意.
(类型)一利用图象法求函数最值
【典例1】(1)两数f(x)的部分图象如图,则此函数在[一2,
2]上的最小值、最大值分别是
(A)f(-2),f(3)
(B)0,2
(Cf(-2),2
(D)f(2),2
(0(2)已知函数f(x)=
求函数f(x)
的最大值、最小值.
【解析】(1)选C.由图象可知,在区间[2,2]上,x=-2
时,f(x)的最小值为f(-2),x=1时,f(x)的最大值为
(2)作出f(x)的图象如图
由图象可知,x=2时,f(x)的最大值为2,x
f(x)的最小值为一1,所以f(x)的最大值为2,最小值
为
4
独具【变式训练】试画出f(x)=x+|x-1的图象,并
说明最值情况.
【解题指南】先去掉绝对值号,转化为由一次函数和常数
函数组成的分段函数,画出图象从而解题(共49张PPT)
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基础预习点拨
1.3.2奇偶性
第1课时函数奇偶性的概念
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标/·J解函数奇偶性的含义
定2拿握判断函数奇偶性的方法
3.了解奇、偶函数的图象的对称性
位
重.本课重点是掌握判断函数奇偶性的方法
点2.本课难点是奇偶性的含义及判断
难点
基础梳理⊙
1.偶函数的定义
两个条件(1)/()的定义域为A对于任意一个∈A
(2)(-x)与f(x)的关系:(-x)=f(x)
结论))是偶函数
2.奇函数的定义
两个条件」(1)()的定义城为对于任意一个r∈A
(2)(-x)与f(x)的关系:(-x)=-f(x)
结论
f(x)是奇函数
3.图象特征
(1)偶函数图象的特征:关于y轴对称
(2)奇函数图象的特征:关于原点对称
知识点拨9
1.函数的奇偶性与单调性的区别
奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数
的整个定义域来说的,单调性是反映函数在某一区间上
的函数值的变化趋势,此区间是定义域的子集,因此单调
性是函数的“局部”性质,奇偶性是函数的“整体”性质.
2.奇、偶函数的定义中f(-x)与f(x)的关系
(1)偶函数:f(-x)=f(x)→f(x)-f(-x)=0.
(2)奇函数:f(-x)=-f(x)→f(x)+f(-x)=0
3.根据奇偶性将函数分类
奇函数
分类标准:
偶函数
奇偶性(既是奇函数又是偶函数
非奇非偶函数
4.奇、偶函数图象对称性探究
若函数f(x)是奇函数,对函数f(x)图象上任一点
M(x,f(x)),则点M关于原点的对称点为M(-x,
f(x).又f(-x)=-f(x),则有M(-x,f(-x)
所以点M也在函数f(x)的图象上,所以奇函数的图象
关于原点对称.同理可证,偶函数的图象关于y轴对称
利用函数奇偶性求参数
【典例3】(1)若数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定
义域为[a
)已知定义在(
上的奇函数f(
求常数m,n的值.
)因为f(x)是定义在(
上的奇函数,所以f(0)
由f
又
(2)①f(x)
的定义域是(
1)∪(1,+∞),不
关于原点对称,所以为非奇非偶函数
②f(x)=-3x2+1的定义域是R,f(-x)=f(x),所
以为偶函数
③f(x)
文·√1十x的定义域是[-1,0)∪
x+2|-2
(0,1],所以解析式可化简为f(x)
满足f(-x)=—f(x),所以是奇函数(共43张PPT)
目1通过实例了解集合的含义,掌握集合中元素的三
标个特性
定2.体会元素与集合的“从属关系”,记住并会应用常
位用数集的表示符号
1.本课重点是集合元素的特性及元素与集合的关
重系
点2本课难点是对集合含义及集合中元素特性的理
难解
点
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
第1课时集合的含义
家国学要紧
析】(1)选A.B中的“难题”,C中的“近似值”和
年龄较小”,标准不明确,不满足确定性,因此B,C
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第一章集合与函数概念
1.设集合A只含有一个元素a,则有
(A)0∈A(Ba(A(C)a∈A(Da=A
【解析】选C.元素和集合之间只存在“∈”和“∈”两种关
系,故a∈A正确
2.元素a与集合A的关系
属于)a是集合的元素,记作aEA
团(不属于)a不是集合的元素,记作a4
3.常用数集及表示符号
表示数集
(1)N
非负整数集(或自然数集)
(2)正整数集用符号表示
N“或N
(3)整数集符号表示
Z
用符号表示
(4)有理数集
用符号表示
(5)实数集
R
知识点拨
1.解读“集合”
(1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语,像初
中学过的点、直线一样,只能描述性说明
(2)“对象”:集合中的“对象”所指的范围非常广泛,现实
生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的各种各样
的事物或一些抽象的符号等,都可以看作“对象”,即集合
中的元素
(3)整体:集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”
的含义,因此一些对象一旦组成集合,那么这个集合就是
这些对象的全体,而非个别对象
2.集合中元素的三个特性
集合中元素是确定的,即对任何一个对象
它是或不是某个集合的元素是确定的,且
确定性)二者必居其
确定性是判断一组对象能否构成集合的标准
互异性)集合中的元素没有相同的,解题时这一点
易被忽视
无序性){集合中的元素没有前后顺序
3.元素与集合的关系
(1)根据集合中元素的确定性可知对任何a与A,在a∈
A与a∈A这两种情况中必有一种且只有一种成立
(2)符号“∈”与“∈”只是表示元素与集合之间的关系,并
且“∈”与“∈”的开口方向是向着集合的.
2.下列关于集合的说法中,正确的是
(A)绝对值很小的数的全体组成一个集合
类型)一》集合中元素的特性及应用
【典例3】(1)已知集合A中含有三个元素
当a∈A
时,有6-a∈A,那么a为
(B)2或4(C
)已知集合A由元素
组成,求实数a的取值范
【解析】(1)选B
2,则6
4∈A;若a=4,则6
4=2∈A;若
6-6=0∈A.故a=2或
(2)由集合元素的互异性知a2≠1,即
1,故实数a
的取值范围是a∈R且(共40张PPT)
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第2课时补集及综合应用
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目1.了解全集的含义及其符号表示
标|2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求
定|给定子集的补集
位|3.熟练掌握集合交、并、补运算
1.本课重点是集合交、并、补的综合运算及由此求
重点难点一
参数
本课难点是对全集、补集概念的理解及应用
基础梳理g
1.全集
(1)全集中元素的组成:含有要研究问题涉及的所有元素.
(2)全集是根据题目定义的,不一定用U,只是常见字母
是U
2.补集
(1)涉及的集合及其关系:全集U和集合A,AU.
(2)元素组成:由全集U中不属于集合A的所有元素组成
(3)符号语言:A={x|x∈U,且x(A}
(4)图形语言:
知识点拨9
1.全集与补集的关系
(1)全集并不是一个包罗万象含有任何元素的集合,它仅
含我们研究问题所涉及的所有元素,问题不同,全集也不
尽相同.
(2)补集运算是集合间的一种运算.求集合A相对于全
集U的补集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不
同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(3)A的三层含义
A表示一个集合;
②A是U的子集,即AU;
③A是U中不属于A的所有元素组成的集合
2.补集的性质
(1)CU=,=U.
(2)(A)=A,A∪(A)=U,A∩(A)=必.
(3)(A∩B)=(A)∪(B),(AUB)=(A)∩
CLUB)
类型)一全集与补集的简单运算
【典例】1)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B=
2,3},则心(A∪B)
(A){1,3,4}
(B){3,4}
(C){3}
(D){4
(2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},A={2,4,6},
B={1,4,6},则集合B=
(3)已知仝集U={xx≤5},集合A={x-3≤x<5},
则A
【解析】(1)选D.因为A∪B={1,2,3},U={1,2,3,4
所以(A∪B)={4}
(2)方法一:A={1,3,5,7},A={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又B={1,4,6},
所以B={2,3,5,7}.
方法二:借助Ⅴenn图,如图所示
4
3,5
B
6
由图可知B={2,3,5,7}.
答案:{2,3,5,7}(共49张PPT)
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1.1.2集合间的基本关系
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(类型)→集合间关系的判断
典例1】(1)下列关系中正确的个数为
10∈{0
g{0};③
(2)判断下列各组中集合之间的关系
是12的约数},B={xx是36的约数
是平行四边形},B
形
是四边形
是正方形
∈
基础梳理
1.Ven图
Ven图表示集合的优点在于:形象直观,通常用平面上
封闭曲线的内部代表集合
3.空集
定义:不含任何元素的集合
(1)符号表示:
(2)规定:空集是任何集合的子集
知识点拨
1.子集概念解读
若AB,则A有以下三种情况:
①A是空集;
②A是由B的部分元素构成的集合;
③A是由B的全部元素构成的集合
2.子集、真子集、集合相等的定义、符号表示及图示
图示:(B④或((B)
集合A是集合B的子集是指
集合A中任意一个元素都是
集合B中的元素
符号:ACB或B2A
集合A与集合B相等是
A是B的真子集是指
指:A中的任何一个元素
ACB并且A≠B
都是B中的元素,同时
B中的任何一个元素也
都是A中的元素
图示
符号
图示
符号
B或
4(B)
A=B
3.从两个角度看集合相等
(1)元素相同
集合A中的元素与集合B中的元素相同,则集合A等于
集合B,这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合
相等,它指明了两个集合的元素特征
(2)两集合的包含关系
若AcB且BcA,则A=B.这是从集合间包含关系的角
度表达了集合相等.其中,若A≌B,则对任意x∈A,都
有x∈B;同时若BcA,则对任意x∈B,都有x∈A,这说
明集合A与集合B的元素是相同的
4.关于空集的两点说明
(1)空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素.
(2)规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子
集.因此遇到诸如AB或A≌B的问题时,务必优先考
虑A=是否满足题意
5.对符号“∈”与“”的三个提醒
(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如有1∈N,
N
(2)“c”是表示集合与集合之间的关系,比如有N≌R,
{1,2,3}c{3,2,1}
(3)“∈”的左边是元素,右边是集合,而“”的两边均为
集合
类型)一由集合间关系求参数问题
【典例3】1)已知集合A
0},B
0},且BA,求实数a的值
(2)已知集合A={x|0≤x<4},B
xB,求a的取值范围(共41张PPT)
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基础预习点拨
第2课时集合的表示
家国学要紧
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目
标/握集合的两种表示方法—列举法、描述法
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集
定位
合
重.本课重点是掌握集合的两种表示方法
点2.本课难点是对描述法的理解和运用
难点
基础梳理s
1.请根据列举法的定义填空
(1)将元素一一列举出来
(2)用花括号“{}”括起来
2.请根据描述法的定义填空
集合元素的一般符号画一条元素所具有的共
及取值或变化范围
竖线
同特征
知识点拨
1.对花括号“{}”的认识
花括号“{}”表示“所有”、整体”的含义,如实数集R可
以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R},
则都是不正确的.
2.四个集合的区别
(1)A={xy=x2+1表示使函数y=x2+1有意义的自
变量x的取值范围,且x的取值范围是R,因此A=R.
(2)B={yy=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函
数值y的取值范围,而y的取值范围是y=x2+1≥1,因
此,B={yy≥1}
(3)C={(x,y)
x2+1}表示满足y=x2+1的
点(x,y)组成的集合,因此C表示函数y=x2+1的图象
上的点组成的集合
(4)P={y=x2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只
有一个元素,且此元素是一个式子y=x2+1
典例1】(1)用列举法表
给定的集
大于1且小于6的整数组成的集合A
②方程x2
的实数根组成的集合B.
③小于8的质数组成的集
④一次函数
的图象的交点组
成的集
用列举法表示下列集
①正整数集;②方程组
的解集
解析】(1)①大于1且小于6的整数包括2,3,4
A={2,
②方程x2
的实数根为
所以B
小于8的质数有
所以C
④由
x+6的交点为(
思考梦在表示二元一次方程组的解集时要注意什么?
提示:二元一次方程组的解是成对出现的,因此需把解
集写成点集的形式.
独具【变式训练】用列举法表示下列集合
(1)中国四大古典名著
(2)已知P={0,2,4,6},集合Q中的元素x满足x=ab,
a∈P,b∈P,a≠b,写出集合Q
【解析】(1)巛《三国演义》,《红楼梦》,《西游记》,《水浒传》}.
(2)集合P中含有元素0,2,4,6,故ab=0,8,12,24,即集
合Q={0,8,12,24}(共43张PPT)
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第2课时分段函数及映射
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月通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单
标/应用
2.会求分段函数的解析式和函数值,会画分段函数
定
的图象
位
3.了解映射的概念及它与函数的联系
重1.本课重点是分段函数求值问题
点2.本课难点是分段函数的综合应用
难点
基础梳理⊙
1.分段函数
在定义域的不同子区间上有不同的解析表达式
2.映射
A、B是两个非空的集合
使对于集合A中的任意一个元素,
对应关系f的功能
在集合B中都有唯一确定的元素
与之对应
结论
称对应关系f:A→B为从集合
A到集合B的一个映射
知识点拔⊙
对分段函数的三点认识
(1)分段是针对定义域而言的,将定义域分成几段,各段
的对应关系不一样
(2)一般而言,分段函数的定义域部分是各不相交的,这
是由函数定义中的唯一性决定的
(3)分段函数的图象应分段来作,它可以是一条平滑的曲
线,也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等.作图
时,要特别注意各段两端点是用实心点还是用空心圈表示
2.对映射概念的三点认识
(1)映射包括非空集合A,B以及对应关系f,其中集合
A,B可以是数集,可以是点集,也可以是其他任何非空
的集合.(关键词:非空集合)
(2)集合A,B是有先后顺序的,即A到B的映射与B到
A的映射是不同的.(关键词:顺序)
(3)集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和
它对应,但允许B中元素在A中无元素与之相对应.(关
键词:唯一)
3.函数与映射的两个区别和一个联系
(1)两个区别:区别一:映射中集合A,B可为任意非空集
合,函数中A,B为非空数集
区别二:集合A到B的映射中,对于集合B中的任意
个元素,在集合A中不一定有元素与之对应,在函数中,
对于值域中的一个确定的值,在定义域中都有确定的值
与之对应
(2)一个联系:函数是一个特殊的映射,映射是函数的推厂
当A,B集合为数集时映射就为函数,所以函数的定义也可
以改写成:设A,B是两个非空数集,如果f:AB是一个映
射,那么f:A→B为集合A到集合B的一个函数
类型
分段函数的求值问题
【典例1已知f(x)={x
(2)若f(a)
的值
【解析】(1)因为-π<-1,所以f(-π)
因为
所以
4
所以((2)=/(4)=2
种情况
时,则有
解得a
满足题意
②当一1有
解
不满足题
综上所述,a的值为
2或的(共46张PPT)
.
.
目标定位
重点难点
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法
2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大
1.本课重点是利用函数奇偶性求函数解析式,求函数值
2.本课难点是运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.
小、求最值、解不等式等综合问题
第2课时函数奇偶性的应用
家国学要紧
(类型)一利用函数的奇偶性求函数解析式
典例1】1)已知f(x)是定义在R上的奇函数
时,f(x)=x2-1,则函数f(x)的解析式为
若已知函数
是定义在
奇
函数,且/(
,求函数f(x)的解析式
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)学习目标定
三本栏目为教师用书独具
【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函
所以
所以f(x)
所以函数f(x)的解析式为f(
(2)因为f(x)是定义在(1,1)上的奇函数,所
0
又因为
所
所以f(x)
想想3解答题(1)的易忽视点是什么?
提示:解题(1)时易忽视函数∫(x)的定义域内含有0
且为奇函数,则必有∫(0)=0的情况,导致得出解析
式不完整
【变式训练】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,x≥
0时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在R上的解析式是
(A)f(x)=-x(x-2)
(B)f(x)=x(x|-2)
(C)f(x)=|x(x-2)
(D)f(x)=|x(x|-2)
【解析】选D.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,
x>0,f(x)=f(-x)=x2+2x=-x(-x-2),又x=
0时,f(x)=x2-2x=x(x-2),所以f(x)
2)
【规律方法】
利用奇偶性求函数解析式时的关注点
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪
个区间内
(2)转化代入已知区间的解析式
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),
从而解出f(x)
类型)二函数奇偶性和单调性的综合应用
典例2】(1)已知函数f(x)是定义在(
的偶函数
f(x)在[0,6)上是单调函数,且f(-2)不等式成立的是
f(1)(B)f(2)(C)f(
f(
(2)已知奇函数f(x)在定义域(
上是减函数,解
等式f(1-x)+f(
【解析】(1)选D.由题意可得,函数f(x)在
单调函数,再根据f(
f(1)=f(
f(x)在
刀上是单调增函数
函数f(x)在[0,6)上是单调减函数
1)>f(-3)=f(3(共36张PPT)
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第2课时指数幂及运算
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目1理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意
标
定又,掌握根式与分数指数幂的互化
位/2拿握有理数指数幂的运算性质
1.本课重点是根式与分数指数幂的互化
点2本课难点是运用有理数指数幂运算性质进行化简、
难求值
点
基础梳理
1.分数指数幂
(1)正分数指数幂的意义
前提
Q>0m、n∈N
且n21
结论
(2)负分数指数幂的意义
前提
a>0.m、n∈N
,且n>
结论
(3)0的分数指数幂的意义
正分数指数幂等于)
负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
(laas=arts(ao,r,sEQ;
(2)(a)=as(a>0,r,s∈Q
(3)Cab=ab(a0,b>o,rEQ
3.无理数指数幂
无理数指数幂a(a>0,α是无理数)是一个确定的实数
有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用
知识点拨e
“三角度”理解分数指数幂
(1)角度一:与根式的关系
分数指数幂是根式的另一种写法,根式与分数指数幂可
以相互转化
(2)角度二:底数的取值范围.
由分数指数幂的定义知a≤0,an可能会有意义.当an有
意义时可借助定义将底数化为正数,再进行运算
(3)角度三:运算性质
分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质
完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是
乘相加,除相减,幂相乘.
2.关于指数运算性质的几点说明
(1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质
的推广
(2)运算性质的形式要掌握,它是化简的基础.
(3)运算性质可以逆用.如am=(am)=(a)
(4)要会用文字语言来叙述运算性质
类型)→根式与分数指数幂的互化
【典例1】(1)用根式表示下列各式(式中a均为正数):
(2)用分数指数幂表示下列各式
①√ala(a>0);②(b3)3(b>0
【解析】1)①a=a;②a=%a;③a-3
答案:a②%a③
(1)①原式=√a,a
a=(a2)=a
②原式=[(b3)]=b×x(3=b
8想分数指数幂和根式互化的关健是什么?
提示:在互化过程中,关键是抓住根式与分数指数幂的
特点灵活运用公式
类型)一利用分数指数幂求值
【典例3】1)求值(共43张PPT)
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1.2网数及其表小
1.2.1函数的概念
第1课时函数的概念
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目
标1.理解函数的概念,明确函数的三要素
定2.能正确使用区间表示数集
位
1.本课重点是用集合和对应的语言刻画函数的概
重点难点
念
2.本课难点是对函数符号y=f(x)的理解
基础梳理
1.函数的相关概念
前提
B是非空的数集
对应)A中任意一个数对应B中唯一确定的数x)
结论)A→B称为从集合4到集合B的一个函数
表示
=f(x),x∈A
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定
几个义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值
名词函数值的集合(lxeA叫做函数=f(x)的
值域
∈要素函数的三要素为函数的定义域、值城和对应
2.区间的概念
设a,b是两个实数,且a(1)根据一般区间的表示连线
lasx≤b)开区间(a
Exlasxsb
闭区间
[a,b]
b
{x|a≤x佯半开半闭区间人ab
b
{xa半开半闭区间yVab
b
(2)特殊区间的表示
①无穷大的概念:实数集R用区间表示为(-∞,+∞),
“∞”读作无穷大,-∞”读作负无穷大,“十∞”读作正无
穷大
②无穷区间的表示
定义
R
{xx≥a}{xx>a}{xx≤a}{xx符号(-∞,十∞)[a,+∞)(a,+∞)|(-∞,a(-∞,a)
3.相等函数的定义
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我
们就称这两个函数相等
知识点拨
1.对函数概念的理解
(1)数集要求:函数是非空数集到非空数集上的一种
对应
(2)三要素:符号“f:A→B”表示A到B的一个函数.它
有三个要素:定义域、值域、对应关系,三者缺一不可.
(3唯一性:集合A中数的任意性,集合B中数的唯
性
(4)“f”的含义:f表示对应关系,在不同的函数中,f的
具体含义不一样.
(5)f(x)的含义:f(x)是一个符号,不能理解为∫与x的
乘积
2区间和数集的关系
(1)区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,
是集合的另一种表达形式
(2)不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数
集等.
(3)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆,能取到端点
值用“闭”,不能取到端点值用“开”,用“∞”作为区间端点
时,要用开区间符号(共69张PPT)
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运算性质
整数
指数幂
(指数
有理指数幂
指数与
指数函数
幂儿G无理指数幂
(指数数)C定义)②D
图象与性质)(③-B
基本初等函
定义)(F
对数函数
对数与
图象与性质)(
数
数函数
(I)
定义)(⑦-E
运算性质
幂函数
定义)(-1
图象与性质)回
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专题归纳整合
阶段复习课
备选答案》
A.图象在y轴的右侧,底数a对图象和性质的影响B图象在x轴的上方,底数a对图象和性质的影响
C.分数指数幂D.y=a2(a>0,且a≠1)Ea=N=
loga
N
f.y=logx(a>0,且a≠1)
G.互为反函数H.图象一定不会在第四象限,幂指数a对图象和性质的影响L.y=x
(类型)一关于指数对数的运算
【典例1)求值
(2)logx22+1g20+log025+5%2.
解析】1)原式=(日)2-1-(3)+()
2
3
2)+/3)2
2
(2)原式
logs
9
+1g20+
g10072
log
3
g20+2+2
+lg20+lg5+2
8
+lg100+2
+2+2=3
8
8
归纲》(1)幂的运算应注意的问题.
(2)对数的运算应注意的问题
提示:(1)幂的运算要把握幂的运算性质,要注意指数为
负数的幂的运算法则及a=1(a≠0的应用
(2)对数的运算要注意对数运算性质和换底公式的灵活
应用,还要注意a%N=N的应用.另外要特别注意真数
的变化和运算符号,以及公式运用过程中范围的变化
【规律方法】
1.指数与对数的运算应遵循的原则
(1)指数的运算:首先,注意化简顺序,一般负指数先转化
成正指数,根式化为分数指数幂运算.其次,若出现分式
要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的
(2)对数式的运算:注意公式应用过程中范围的变化,前
后要等价,一般本着真数化简的原则进行
2.底数相同的对数式化简的两种基本方法
(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对
数
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差)
3.运算时的注意事项
(1)在进行指数的运算时,需要注意根式的两个重要
结论及三条指数幂运算性质的灵活运用
(2)在进行对数的运算时,一定要注意真数位置大于0
也就是保证所用到的各条运算性质都有意义.其中,对数
的三条运算性质,对数恒等式以及换底公式的综合运用
是进行对数化简、运算的关键.(共45张PPT)
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1.2.2函数的表示法
第1课时函数的表示法
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1.掌握函数的三种表示法(解析法、图象法、列表
标
定法
位/2会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
重1.本课重点是函数的表示法和求函数的解析式
点2.本课难点是求函数的解析式,作函数的图象
难点
基础梳理s
函数的表示方法
表示法
定义
解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应
关系
图象法用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法通过列出表格来表示两个变量之间的对
应关系
占
1.函数三种表示方法的优缺点
简明、全面地
的关
不够形象、直观,而且
解析法
了
是利用解析
并不是所有函数
求任一函数值
式
不需计算就可直接
仅能表示自变量取
表
看出与自变量对应
有限
关
的函数值
能近似求出自变
图象法
形象直观地
函数的变化情况
的值所对应的函数值
有时误差较
2.函数三种表示方法的内在联系
(1)解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画
了自变量和函数值的对应关系
使-解析法变量间的对应关系明确
用
的
图象法
函数的变化规律清晰
前
提
列表法
函数值与自变量对应清楚
(2)在已知函数的解析式研究函数的性质时,可以先由解
析式确定函数的定义域,然后通过取一些有代表性的自
变量的值与对应的函数值列表,描点连线作出函数的图
象,利用函数图象形象直观的优点,能够帮助我们理解概
念和有关性质数形结合是研究数学的一种重要的数学
思想,是解题的一种有效途径.思维模式如下
解析式
列
表
图
出函数性
(类型)一函数图象作法及简单应用
【典例1】(1函数y
的图象
(A
(B)
(C
(2)作出下列各函数的图象
①y=1-x,x∈Z.
②y=2x2-4x-3,0≤x<3
③y=|x-1|.
解析】(1)选D.函数
或为
≠0},可排除C
1时,y=2,可排除B;当
可排
(2)①这个函数的图象由一些点组
成
点都在直线
上,又
∈Z,从而y∈Z,因此
∈Z的图象是直线y
些孤立的点,如图所
②因为
所以这个函数的
图象是抛物线y=2x2-4x
<3之间的一段,如图所
O
1
类型)二求函数的解析式
【典例2】(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)=-6,f(x)的
解析式为
2)若f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2
则f(x)的解析式为
已知f(
x,求f(x
都是非零常
数且a≠士b),求函数f(x)的解析(共74张PPT)
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概念
(元
素特性
②-D
列举法
无序性
集合)
表示方法
图示法
属于关系
关系
包含关系
研|定
并集
究义
运算
⑤
⑥-B
概念
对应关系
r列表法
值域)
函数)表示方法
O-E
特殊化
H
单调性与最大(小)值
基本性质
9
-I
映射)(概念
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备选答案
A.交集B.定义域C.确定性D.互异性E.图象法F.描述法G.补集
H.解析法Ⅰ.奇偶性
类型)→集合的概念与运算
【典例1】已知集合A={x
1或x≥1},B={x2a≤a+1,a<1},BCA,求实数a的取值范围.
【解析】因为a<1,所以2a如图
2aa+1
12aa+1
由BCA知,a+1<-1或2a=1,即a一2或a≥2
由已知a<1,
所以α<-2或υ≤α<1,即所求实数a的取值范围是
2)∪[。,1)
【互动探究】已知集合A={x-2≤x≤5},集合B
{xp+1≤x≤2b-1},若A∩B=B,求实数p的取值
范围
【解析】A∩B=B,则BA.当B=时,p+1>2p-1,
p+1≤2p-1,
即p<2;当B≠时,p+1≥-2,即2≤加≤3
2p-1≤
综上知p∈(-∞,3].
思考解答本例易忽视的点是什么?
提示:(1)集合解题中要特别注意空集,避免因考虑不
全而漏解
(2)集合的关系或运算的解题过程中端点值“=”的取
舍要搞清楚
【规律方法】集合的概念与运算中的注意事项
(1)注重数形结合(数轴或Ven图)在集合运算中的应
用
(2)集合的包含关系(AB)中端点的“=”取舍规律:
a+1≤-1:a+1<-1:a+1≤-1:a+1≤-1
类型)二函数的图象及应用
【典例2】某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里
了,于是返回家找到作业本再上学,为了赶时间快速行
驶.下图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的
距离.则较符合该同学走法的图象是
to
t
to
(A)
(B)
(C)
(D)
【解析】选D.纵轴表示离学校的距离,本题中,离开家后
距学校越来越近,再返回家拿作业本,又越来越远,找作
业本时距离不变,后快速赶回学校距离越来越小,直至
为0.
想想分解答本例的易错点是什么?
提示:没有分清楚横轴及纵轴各表示什么量从而判断
错误(共53张PPT)
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3.1.2用二分法求方程的近似解
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目1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤
标|2.了解函数零点与方程根之间的关系,初步形成用
定函数观点处理问题的意识
位3.能够借助计算器用二分法求方程的近似解
1.本课的重点是会用二分法求方程的近似解
重
点本课的难点是用二分法判断函数的零点所在的
难区间
点
基础梳理⊙
1.二分法的定义
(1)满足的条件
在区间[a,b上连续不断的函数y=f(x)在区间端点的
函数值满足f(a)·f(b)<0
(2)操作过程
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个
端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值
2.二分法的步骤
(1)验证
确定区间[ab],验证f(a)fb)<0
给定精确度
(2)求中点
求区间ab的中点
f(c)=0
函数的零点是e
f(a)f(c<0
(3)计算
令b=c此时零点x0∈(ac)
f(cfb<0
令a=c此时零点x0∈(c,b)
(4)判断
若ab为a(或b)否则重复(2)-(4)
知识点拨
1.解读二分法的含义
(1)二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼
近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求
的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点
(2)函数零点的性质是二分法求函数零点的重要依据,必
须满足区间[a,b上连续不断,且f(a)f(b)<0,有这两
个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值
(3)知道二分法是求方程近似解的一种常用方法,体会
“逐步逼近”的思想
2.用二分法求函数零点的近似值的两个关键点
(1)初始区间的选取,既符合条件(包含零点),又要使其
长度尽量小(关键词:选初始区间).
(2)进行精确度的判断,以决定是停止计算还是继续计算
(关键词:判断精确度)
3.用二分法求方程的近似解的思路和方法
(1)根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点
与求相应方程的解是等价的,所以求方程f(x)=0的近
似解,可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过
移项转化成求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似
值,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.(共64张PPT)
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基础预习点拨
第2课时指数型、对数型函数模型的应用举例
家国学要紧
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要点探究归纳
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目1.了解指数函数模型、对数函数模型的广泛应用
标|2掌握求解函数应用题的基本步骤
定|3.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问
位题
1.本课重点是能够利用指数函数模型,对数函数模
点型解决实际问题
难|2.本课难点是建立拟合函数解决实际问题
点
基础梳理⑨
1.指数函数模型
(1)表达形式:f(x)=ab2+c
(2)条件:a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1
2.对数函数模型
(1)表达形式:f(x)=mlog1x+m
(2)条件:m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1.
知识点拨⊙
1.用函数模型解应用题的四个步骤
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,
初步选择模型
健榄将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化
为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学
模型
求機>(求解数学模型,得出数学模型
<还戚(将数学结论还原为实际问题
2.建立函数模型应把握的三个关口
(1)事理关:通过阋读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际
背景,为解题打开突破口
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语
言,用数学式子表达数学关系
(3数理关:在构建数学模型的过程中,对已有的数学知
识进行检验,从而认定或构建相应的数学问题
3.拟合函数模型的应用题的解题步骤
(1)作图:根据已知数据,画出散点图
(②)选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数
具有类似的图象特征,找几个比较接近的函数模型尝试
(3)求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式
(4)检验:将(3中求出的几个函数模型进行比较、验证,
得出最适合的函数模型
(类型)一指数函数模型
例1】(1)某企业生产总值的月平均增长率为P,则年
年为12个月)平均增长率为
(2)某地区为响应上级号召,在
年初,新建
批200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住
由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估
计今后
年平均增长率只能达到5%
①经过x年后,该地区的廉价住房为
方米,求
(x)的解析式,并求此函数的定义域
作出函数y
的图象,并结合图象求:经过多少
年后,该地区的廉价住房能达
万平方米
【解析】(1)设原来的生产总值为a,则12月底的生产
值为
)12,故年平均增长卒为
(1+P
①经过1年后,廉价住房面积为
%=200(1+5%)
经过x年后,廉价住房面积为200(1+5%
)x(x∈N(共55张PPT)
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2.3幂网数
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目1.通过实例,了解幂函数的概念
标|2结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的
定|图象,了解它们的变化情况
位|3能利用幂函数的性质来解决有关问题
重1.本课重点是幂函数的概念、图象及性质
点2本课难点是幂函数的图象和性质的应用
难点
基础梳理⑨
1.幂函数的定义
(1)解析式:y=x
(2)自变量:x,α是常数
2.幂函数的图象与性质
(1)请在给出的平面直角坐标系中画出幂函数y=x,y=
x2,y=x2,y=x-1,y=x的图象
y-x
(2)请根据提示在下表中写出五类幂函数的性质
幂函数y=x
y=x2
y=x3
y-x-1
定义域R
R
[0,+∞)|(=∞,0)(,+∞)
值域
R
0,+∞)
0,+∞)yy∈R且y≠0
奇偶性奇
偶
RR奇增
非奇非偶
奇
x∈[0,+∞),增
∈(0,+∞),减
单调性|增
∈(-∞,0],减
x∈(-∞,0),减
公共点
都经过点(1,1)
2.幂函数图象的分布规律及在第一象限内的变化趋势
(1)在坐标系中的分布规律
幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现
在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看
数的定义域和奇偶性.幂函数的图象最多只能同时出现
在两个象限内.如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点
(2)幂函数的图象在第一象限内根据指数a的不同有以
下三种变化趋势:
当0当a>1时,幂函数的图象下凸(如图1),为增函数;
当∝<0时,幂函数的图象与坐标轴没有公共点
(如图2),为减函数
C>1
0<<1
<0
(1,1)
图1
图2
(类型)→幂函数的概念
【典例1】(1)下面几个函数中,是幂函数的是
(2)已知幂函数f(x)=x的图象经过点(9,3),
f(100)
(3)已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm+m-1的图象与
坐标轴没有交点,试求m的值
【解析】(1)①是指数函数;②y=√x=x是幂函数
③的系数不是1,所以不是幂函数;④有两项,不是幂函
数:⑤)y=1=x是幂函数
答案:②⑤
(2)由题意得3=9,故3=32,所以2a=1,a=1
所以f(x)=x,从而f(100)=100=100=10.
答案:10(共62张PPT)
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3.2.2函数模型的应用实例
第1课时一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
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1.了解一次函数、二次函数、幂函数模型的广泛应
标
用.
定
2.掌握求解函数应用题的基本步骤
位
1.本课重点是利用一次函数、二次函数、幂函数模
重型求解实际问题
难2.本课难点是对数据的合理处理,建立函数模型
点
基础梳理⊙
1.一次函数模型
(1)解析式:y=kx+b
(2)条件:k≠0
2.二次函数模型
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)顶点式:y=a(x+
b)+-4(a≠0)
4ac
a
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
3.幂函数模型
(1)解析式:y=ax2+b(a,b,a为常数,a≠0,a≠1)
(2)单调性:其增长情况随α中的α的取值而定.
知识点拨s
1.直线型的函数模型
(1)我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的,
它们在每个区间的变化率都一样
(2)解题时常设为:
常数函数型:y=c(c∈R,c是常数);
正比例型:y=kx(k≠0);
次函数型:y=kx+b(k≠0)
2.二次函数模型
(1)二次函数常设成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠
0)的形式,其图象是抛物线,顶点坐标是
b
4ac-b2
)当a>(<)0时,在x=-时,有最
小(大)值为
4ac--b2
40
解题时经常需用配方法来求最值.
(2)在实际中普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润
最大、风险决策、最优化等问题的研究,透过实际问题的
背景,抓住本质,挖掘隐含的数量关系,可抽象成二次函
数的最值模型
(3在解决实际应用问题时,需要列出二次函数的解析
式,常用的方法有待定系数法、归纳法和方程法
函数模型应用的主要方面及选择函数模型的注意点
(1)函数模型应用的主要方面
①利用已知函数模型解决实际问题
②建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关
现象,对某些发展趋势进行预测.
(2)选择函数模型时的注意点
选择函数模型时,要让函数的性质、图象与所解决的问题
基本吻合.根据散点图猜想函数模型,通过待定系数法求
模拟函数的解析式,再通过数据加以验证.
(类型)一一次函数模型
【典例1】(1)据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量
为2000辆次,其中变速车存车费用是每辆一次0.8
元,普通车存车费是每辆一次0.5元若普通车存车次
数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数
关系式是
(A)y=0.3x+800(0≤x≤2000
(B)y=0.3x+16000≤x≤2000
(C)y=-0.3x+800(0≤x≤2000
(D)
0.3x+1600(0≤x≤2000)