(共46张PPT)
1.2任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(-)
家国学要紧
目1.件助单位圆理解任意角的三角函数定义
标\。堂握三角函数在各象限的符号
定2堂握公式一并会应用
位
重1.本课重点是任意角的三角函数的定义及应用
点2本课难点是公式一的应用
难点
基础梳理⊙
1.任意角的三角函数的定义
在单位圆中,a是任意一个角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y),如图所示:
P(x,y)
A(1,0)
则有sin=y,cos=x,tan=
2.三角函数值的符号
如图所示
+|+
sin
a
coSa
tan
a
正弦一、二正,三、四负;
余弦一、四正,二、三负
正切一、三正,二、四负
3.终边相同的角的同一三角函数的值
(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)公式
sin(a+k·2π)=sin,
cOs(a+k·2π)=cosa
tan(a
+k·2x)=tana,
其中k∈Z
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
知识点拨
1.解析三角函数的定义
(1)三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看成
是从角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应
(2)三角函数是用比值来定义的,所以三角函数的定义域
是使比值有意义的角的范围
(3)三角函数是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)
在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即三角
函数值的大小只与角有关
2.公式一的理解
(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等,
即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现
次,体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律.
(2)公式一的结构特征:
①左、右为同一三角函数
②公式左边的角为a+k·2x,右边的角为a
【规律方法】利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角a的终边在直线上求&的三角函数值时,常用
的解题方法有以下两种
方法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后
利用三角函数的定义求出相应的三角函数值
方法二:注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处
理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sina
余弦值cosα
+b2
a2+b2
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根
据问题的实际情况对参数进行分类讨论
独具【变式训练】角&的终边上有一点P(a,4),且
4
tana
求3sin-2cosa的值.
【解析】因为tana
44
所以a=3,所以r=√32+42=5
o
cOSa
所以3sinq-2cos
1266(共52张PPT)
1.1.2弧度制
家国学要紧
目
标/「解角的另外一种度量方法弧度制
2.能进行弧度与角度的互化
定
位/°享握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式
w1.本课重点是弧度制概念以及弧度与角度的互化
重2.本课难点是弧度制中扇形的弧长公式和面积公
点难点
式的应用
基础梳理s
1.度量角的两种制度
(1)角度制
①定义:用度作为单位来度量角的单位制
②1度的角:周角的作为一个单位
(2)弧度制
①定义:以弧度作为单位来度量角的单位制.
②1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角
2.弧度数的计算
正角的弧度数是一个正数
弧度数)负角的弧度数是一个负数
零角的弧度数是0
弧度数
的计算
3.角度制与弧度制的换算
角度化弧度
(孤度化角度)
360=2T
rad
2
rad=360
180°=πrad
πrad=180
灬80ad≈0.01745rad
}-(1md=(lo)
57.30
知识点拨
1.有关“角度”与“弧度”概念的理解
(1)定义不同.
(2)单位不同.弧度制是以“弧度”为单位,单
区别位可以省略,而角度制是以“度”为单位,单
位不能省略.
(3)弧度制是十进制,而角度制是六十进制
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要点探究归纳
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知能达标演练
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的
大小都是一个与圆的半径大小无关的值,仅
联系
和半径与所含的弧这两者的比值有关
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
2.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式
在弧度制下,弧长公式和扇形的面积公式分别为:
l=|aR,S=b∠R=2aR2,其中a为圆心角的弧度
数,R为扇形的半径
要把握好上述公式,需注意以下三个方面
(1)由上述公式可知,由α,l,R,S中的两个量可以求出另
外的两个量,即知二求二
(2)应用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比
角度制下的公式简单得多,但要注意它的前提是a为弧
度制.
(3)在应用公式时,还应熟练地掌握这两个公式的变形
应用:
R
R-L
②S=2a|R,lal=R
类型)一有关“角度”与“弧度”概念的理解
【典例1】(建议教师以第(1)题为例重点讲解)
(1)下列说法不正确的是
(A)“度”与“弧度”是角的两种不同的度量单位
(B)1度的角是周角的。,1弧度的角是周角的
(C)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
(D)不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们与圆的
半径长短有关(共82张PPT)
鹦)专题归狗整合
鹦)体系自主完甚
阶段复习课
家国学要紧
向量及其基本概念)「(运算律)
向「向量的加减法)@A
面向
②-B
线什(向量的数乘(④C
D/的
丛
实平
向量线性运算的坐标表示
(运算律
示
熹(最向量的数量积)间量的夹角(E
6-F
向量数量积的坐标表示
平行垂直
向量在几何
向量的应中的应用
用举例几向量在物理(夹角
中的应用
备选答案》
A.三角形法则
B.平行四边形法则
C.共线向量
D.平面向量基本定理
E.两向量垂直
F.向量的模
G.线段的长度
类型)→基本概念和定理的理解
【典例1】已知向量e,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1
(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于()
(A)3
(B)-3
(C)0
(D)2
【解析】选A.因为(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,
且向量e1,e2不共线,所以
解之得
2x-3y=3
所以x-y=6-3=3
思考3解答本题的关键是什么?
提示:解答本题的关键是利用平面向量基本定理,根
据向量e1,e2不共线列方程组求x,
【规律方法】
1.向量基本概念问题的判断方法
(1)建立“方向”意识
向量是既有大小又有方向的量.因此在研究向量问题
时,也要从大小和方向两个角度分析,特别是方向的
判断
(2)重视特殊向量
特征
结论
单位长度等于1个与向量a同向的单位向量
向量单位的向量可表示为
零向
长度为0的向量零向量与任意向量共线
量
2.平面向量基本定理的应用
(1)含义
平面内任意向量都可以用两个不共线的向量线性表
示,而且表示方法是唯一的
(2)应用
根据平面向量基本定理中的“唯一性”可以建立方程组
求某些参数的值
类型)二向量的线性运算
【典例2】1)化简=(a-b)-2(2a+4b)+1=(2a+13b)的
结果是
(A)0
(B)0
(C)a+÷b
(D)-a
(2)已知P,A,B,C是平面内四点,且PA+PB+PC
AC,那么一定有
(A)PB=2
CP
(B)CP=2
PB
(CAP=2
PB
(D)PB=2
AP
解析(1)选B.原式=2a-2b-2a-4b+4a+
5b=(3-2+1)a(-3-4+5)b
(2)选D.因为PA+PB+PC=AC,
所以PB=AC-PA-P
AC+AP+CP=2
AP(共56张PPT)
1.2.1任意角的三角函数(二)
家国学要紧
标解三角函数线的意义
定
2.会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.
位/会用三角函数线来解三角不等式问题
题1本课重点是会用三角函数线来表示角的正弦余
重|弦、正切
点难点
本课难点是对三角函数线的理解
基础梳理s
1.有向线段
(1)定义:带有方向的线段
(2)表示:用大写字母表示,如有向线段OM,MP
2.三角函数线
a的终边
Q的终边忄
A(1,0)
A(1,0)
正弦线MP)
函数线(余弦线OM
正切线A
A(1,0)
A(1,0)
T
的终边
a的终边
知识点拔⊙
解读三角函数线
(1)三角函数线的意义
正弦线余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几
何表示,凡与x轴或y轴正向同向的为正值,反向的为负
值.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来,使得问
题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便.
(2)三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时
也给出了角a的三角函数线的画法,即先找到P,M,T
点,再画出MP,OM,AT
(3)三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名
三角函数值的大小,同时它也是以后学习三角函数的图
象与性质的基础.
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(类型)一三角函数线的作法及应用
【典例1】建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)角a(0
弦符号相异,那么a的值为
(A)丌
(B)5
(C)
π4
D)或
(2)在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边范围,
并由此写出角a的集合
√3
①sina
②cosa≤-2
【解析】(1)选D.分别作出各角的正弦线,余弦线,可知
3
π或满足题意.故选D.
(2)①作直线y=3交单位圆于A,B两点,连接OA
OB,则角α的终边在如图①所示的阴影区域内
①
故角a的集合为{a2kx+T≤a≤2kx
2π
,k∈Z
②作直线x
交单位圆于C,D两点,连接OC
OD,则角a的终边在如图②所示的阴影区域内
故角a的集合为{a|2kx+
3a2k+4T
2π
,k∈Z
【互动探究】若将第(2)题②“cos≤-1”改为“cosa=
又如何画出角a的终边
解析】作直线x=①交单位圆于点A,B,连接OA,OB,
则射线OA,OB即为角α的终边,如图所示(共57张PPT)
2.2.2向量减法运算及其几何意义
家国学要紧
4.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使
M41+MA2+MA3+MA4=0成立的点M的个数为
(A)O
(B)1
(C)2
(D)4
【解析】选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量,
即MA1+MA2+MA3+MA4=0.当A1,A2,A3,A4是
平面上给定的4个不同点确定以后,在平面上有且只
有一个点满足使得四个向量的和等于零向量,故选B.
标|1.了解相反向量的概念
定|2.掌握向量减法运算,理解其几何意义
位
1.本课重点是向量减法的概念和向量减法的作图
点方法
重
难|2.本课难点是向量加减法运算的综合应用
点
基础梳理⊙
1.相反向量
(1)定义:①非零向量a的相反向量是与a长度相等,方
向相反的向量;②零向量的相反向量是零向量.
(2)记法:向量a的相反向量,记作-a.
(3)结论
文字语言
符号语言
任一向量与其形式1a+(a=(a+a=0
相反向量的和
若a,b是相反向量,则a
是零向量
形式2
6.b=-aa+b=0
2.向量的减法
(1)定义
文字语言
符号语言
减去一个向量相当于
加上这个向量的相反
b=a+(-b)
向量
(2)几何意义
文字语言
图形语
a-b可以表示为从向
量b的终点指向向量a
a-b
的终点的向量
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知识点拨⊙
1.向量的减法中应注意的问题
(1)两个向量的差仍是一个向量.
(2)向量的减法是加法的逆运算,因此向量的减法也适合
交换律与结合律
(3)求两个向量的减法可转化为加法来进行.如AB一BC
=AB+CB,即只需把减向量起点字母与终点字母交换
顺序,就可以把减法变成加法.另外注意:b+x=a→x=a
b,即向量在等式中可以移项.
2.非零向量a,b的差的三角不等式
(1)如图,当a,b不共线时,作OA=a,
OB=b,则a-b=OA-OB=BA
a-b
根据三角形边长的不等关系知|a|ob
ba-bslatb
(2)当a,b共线且同向时,
若a|>|b,则a-b与a,b同向,且|a-b=a-|b;
若a<|b,则a-b与a,b反向,且|a-b=|b-|a
(3)当a,b共线且反向时,ab与a同向,与b反向,
且a-b=a|+|b
综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式
成立
a|-|b|≤a-b≤a+|b(共53张PPT)
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
家国学要紧
课后巩固作业(二+三
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(30分钟50分)
目1.理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及
标运算
定|2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹
位角、垂直有关的问题
1.本课的重点是平面向量的数量积的坐标表示及
运算
点2.本课的难点是利用向量的坐标来解决与向量的
难模、夹角、垂直有关的问题
点
基础梳理
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x,y),b=(x2,y2)
数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积的和,即a·b=x1x2+yy2
两个向
量垂直
2.三个重要公式
向量的模公式:设a=(x,则a√x2+y12
两点间距离公式:若A(x1y),B(x2y2),则
重要公式
AB|√(x2x)2+(2-y1)2
向量的夹角公式:设两非零向量
a=(x1y1),b=(x2y2),a与b的夹角为6
则cose=ab
x1x2ty1y2
a‖b
知识点拨s
1.向量的模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系
中两点间的距离,如a=(x,y),则在平面直角坐标系中,
定存在点A(x,y),使得OA=a=(x,y),所以OA|=
a|=√x2+y2,即|a为点A到原点的距离同样的,若
A(x1,y),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),
所以AB
)2,即平面直角坐标
系中任意两点间的距离公式.由此可知向量的模的运算
实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算
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知能达标演练
2.在不同表示形式下求向量夹角的策略
(1)当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求出
a·b,a|和b或直接得出它们之间的关系
(2)若a,b是坐标形式,则可直接利用公式cos
℃12+y1y2
√x+·√x2+y2
类型)一数量积的坐标运算
【典例1】(建议教师以第(3)题为例重点讲解)
(1)设x∈R,若向量a=(x,1),b=(1,2),且a∥b,则
a+b
(A5
(B)
(C)25
(D)5
(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边
长为2,E为CD的中点,则AE·BD
(3)已知向量a与b共线,b=(1,2),a·b=10,求a的
坐标(共45张PPT)
3.2简单的三角恒等变换(一)
家国学要紧
选择题(每小题4分,共16分)
COS
T
82
的值为
(A)1
(B)
(C)
(D)
【解析】选D.cos2
COS
COS
4224
标/·了解半角公式及其推导过程
定/能用两角和与差公式进行简单的三角求值化简
位和证明
重.本课重点是应用半角公式化简、求值及证明
点2.本课难点是公式的综合应用
难
基础梳理⊙
半角公式
cos20=1-2sin'a
cos20=
cosa
(以Q代2g,以代g)
cosa=1-2sin2g
cos&=2cos
2g-1
g=±/1-cosa
cos=±/
+cosa
有理形式
无理形式
sin
a
-cosa
I+cosa
1+cosa
知识点拨9
如何理解半角公式
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形
得到的
(2)半角公式给出了求的正弦余弦、正切的另一种方
式,即只需知道co的值及相应a的条件,sin2,
COS
便可求出
(3)由于tan
Sina
及
tan
C不含被开方
COSa
SIna
数,且不涉及符号问题,所以求解题目时,使用相对方
便,但需要注意该公式成立的条件
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时,常用
Sin2a
cOSa
1+cosa
2
2
,
COSo
认知·探索
基础预习点拨
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演练·评估
知能达标演练
(类型)一应用半角公式求值
【典例1】建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)求值:sin5
(2)设x<0-2x,c2=a,求
①simD的值;②cos9的值;③sin2的值
√2
COS
【解析】(1)sint
1+COs
t
√2
70
2
2+√2
答案:22√2+2
(2)①因为π<0<2,所以又COS2a,所以m
0
2
1a2,
所以sinD=2sin00
2a√1
②cos=2cos2
1=2a2-1.
1
COS
③sim2
【互动探究】若第(2)题条件不变,求tan的值
【解析】方法一:由第(2)题解题过程可知,
0
Sin
Sin
故
COS
方法二:由cos
a,知cos0=2cos
1=2a2-1
由题(2)解题,可知sn9=/1a
所以sin0=2sin
cOS
0=2a
故tan
cosH
2-2
【规律方法】条件求值的一般步骤
(1)先化简所求的三角函数式;
(2)从角和三角函数名称两方面来寻找已知条件和所求
式子之间的联系
(3)明确关系,代入求值(共30张PPT)
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
家国学要紧
目1.理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征,体
标会诱导公式在推导Sp中的作用
定|2.掌握并能应用两角和与差的正余弦公式化简或
位求值
重.本课重点是公式的推导和应用
点2本课难点是公式的逆用
难点
基础梳理g
1.两角和的余弦公式
(1)推导方法:在两角差的余弦公式中以一β代替β
(2)公式:cos(a+B)=
corcos-
singson
(3)简记符号:C+B
(4)使用条件:a,为任意角
2.两角和与差的正弦公式
名称简记符号
公式
使用条件
两角和
sin(atB
的正弦
aB∈R
SinacosB-t
coSaSI
inB
两角左So=
SIn(a
的正弦
a,B∈R
sinacosB
coSasinB
知识点拨⊙
公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系
以一B代β
诱导公式
以-B代
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式Ca-B,C+B,可记为“同名相乘,符号反
对于公式S-B,S。+B,可记为“异名相乘,符号同”
公式逆用
sin
acos
B+cos
asin
B=sin(a+B)
sin
acos
B--cos
asin
B=sin(aB)
cos
acos
B+sin
asin
B=cos(aB)
cos
acos
sIn
asin
Cos(a
(2)sin75的值为
(A
√6+√2
4
4
(C)
y6-2
(D)
√6+√2
4
(3)化简,
sin(atB)-2sinacosf
SIngaIr
inB-tcos(atB)
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
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知能达标演练
【解析】(1)选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin0°
=sin30=2
(2)选A.sin75°=sin(45°+30°)=sin45cos30°+
√2、√3√2
cos45
Sin30
4
(3)原式=
sinacosB+(-2
sinacom8
2sinasinB-tcosacosBsinasinB
-(sinacosB-cosasinB)
cOSaco
sInas
cos(a-B
tan(aB)
思考4解答此类问题应注意什么
提示:解答此类问题应注意公式的正用、逆用,尤其是
公式的逆用,要求能正确找出所给式子与公式右边的
异同,并积极创造条件逆用公式(共48张PPT)
3三角网数的诱导公式(一)
家国学要紧
目
1.了解诱导公式二~四的推导方法
标定
2.能够准确记忆诱导公式二~四
位/°握诱导公式二~四,并能灵活应用
题1本课重点是诱导公式二四的探究和应用
重2本课难点是发现圆的几何性质(特别是对称性)
难与三角函数的联系
点
基础梳理
1.诱导公式二
(1)角x+a与角a的终边关于原点对称
如图所示
π+Q
Ba
(2)公式:sin(x+a)
sina
cos(+a)
COSc
tan(+a)=tana
2.诱导公式三
(1)角一α与角α的终边关于x轴对称
如图所示
(2)公式:sin(-a)
Sina
cos(-a)
COSa
tana
3.诱导公式四
(1)角π-a与角a的终边关于y轴对称
P?
P
如图所示
(2)公式:sin(π-a)=sina
COS(丌-a
COSa
tan(-a
tana
知识点拨
1.解读诱导公式
(1)学习诱导公式要抓住一个“诱”字.诱什么?怎样诱?
为什么这样诱?若能清楚这些问题,自然就会循循善
诱”了.诱什么,就是诱角,即把α十k·360°(k∈Z),-α,
180°士a中的任意角a看作锐角;怎样诱,就是变角,角的
变换为使用诱导公式创造了条件;为什么这样诱,就是为
了得到我们所需要的角,或所需要的名,或最简的式
(2)记忆诱导公式一~四的口诀是“函数名不变,符号看
象限”,其含义是公式两边的函数名称不变,符号则是将
角α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号
认知·探索
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知能达标演练
2.诱导公式的实质
诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角
函数之间的关系.换句话说,诱导公式实质是将终边对称
的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系
解析】(1)由三角函数诱导公式得s
答案
【规律方法】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
负化正)用公式一或三来转化;
大化小”)用公式一将角化为0到360间的角;
小化锐)用公式二或四将大于90的角转化为锐角;
“锐求值”)(得到锐角的三角函数后求值
独具【变式训练】利用诱导公式求下列三角函数值
(1)sin(-1200°);(2)cos°
【解析】(1)sin(-1200°)=-sin1200°
sin(3×360°+120°)=-sin120°
sin(180°-60°)=-sin60
√3
(2)cos
T
COS
4
Cos(π+4(共51张PPT)
第二章平面向量
家国学要紧
6.(易错题)已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量
AB是平行向量,与BC是共线向量,则m
【解析】因为A,B,C不共线,所以AB与BC不共线,
又因为m与AB,BC都共线,所以m=0
答案:0
2.1平面向量的实际背景及基本概念
目1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念
标|2.理解零向量、单位向量两个向量平行(共线)两
定个向量相等的含义
位|3.理解向量的几何表示
本课重点是平面向量的概念、两个向量相等的含
重义及向量的几何表示
点2.本课难点是平面向量的概念两个向量平行(共
难
点线)的含义
基础梳理
1.向量的概念
向量的两个要素:(1)大小,(2)方向
2.向量的表示
(1)表示工具—有向线段
有向线段的三个要素:①起点,②方向,③长度
(2)表示方法:
有向线段的长度表
示向量的大小,箭
闭有向线段来表示头所指的方向表示
向量
向量的方向
的表示
用字母用黑体小写字母a2b,c表示
表示书写用动,b,c来表示
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
3.向量AB的模(或称长度)
(1)定义:向量AB的大小;(2)表示:AB
4.特殊向量
(1)零向量
①定义:长度为0的向量;②表示:0
(2)单位向量
定义:长度等于1个单位的向量
5.向量与向量的关系
(1)相等向量
①定义:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
②记法:向量a与b相等,记作a=b
③表示:长度相等且方向一致的有向线段表示同一个
向量.
(2)平行向量(共线向量).
①定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫
做共线向量
②记法:向量a平行于向量b,记作a∥b
③规定:零向量与任一向量平行
知识点拨
向量与数量的联系和区别
向量
数量
方向
有
无
区表可以用有向线段因为实数与数轴上
别小表示,也可以用字/的点一一对应,所
方
以数量常常用数轴
法母符号表示
上的一个点表示
联系
(1)向量与数量都是有大小的量
(2)向量的模是数量.
2.向量与有向线段的区别
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大
小和方向相同,这两个向量就是相同的向量
(2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向
个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的
有向线段
3.平行(共线)向量的含义
(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称.根据定
义可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以
重
(2)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共
线”含义不同
(3)平行向量可以在同一条直线上,与平面几何中“直线
平行”不同,平面中两直线平行是指两直线没有公共点(共56张PPT)
3.2简单的三角恒等变换(二)
目标定位
重点难点
1.巩固三角恒等变换的基本技能
1.本课重点是灵活运用三角公式,特别是倍角公式进行三
2.掌握三角恒等变换在研究三角函数图象与性质中:角恒等变换
的应用
2.本课难点是运用三角恒等变换解决实际问题
家国学要紧
8已知函数f(x)=4
icos.
xsin(x+x)-1
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间
7
C
上的最大值与最小值.
(类型)→角的变换问题
【典例1】(建议教师以第(3)题为例重点讲解)
(1)求值:sin(0+75°)+cos(0+45°)-√3cos(0+15°)
(2)求值:
3tanl2°-3
(4cos212-2)sin12
(3)已知:04tan=1-tan2,求a+B的值.
【解析】(1)令a=0+15°,
则原式=sin(a+60°)+cos(a+30°)-√3
cOSa
Sina
COSa
cOSa
sina
COSa
答案:0
3tanl2—3
(4cos212-2)sin12
√3
Sin
COS12
COS12
2(2cos212-1)·sinl2
23(sin12°-X3cos12
2cos24·sin12·cos12
2√3(sinl2°·cos60°-cos12°·sin60°)
n24
2√3in(12°-60°)
sin4
8
4√3(-sin48°)
sin48°
4√3.
答案:-43
(3)解题流程
由3sinB=sin(2+B)
角的变换得3n(a+asin(a+8)+a1
化简变形山所以a+)2an
由4an=1-tan5得
条件变换
1-tan
2
确定函数由①②得ln(+p=1.
值
总结定论因为0所以0【规律方法】角的三种变换
(1)常见的配角变换
1「(a+β
a=2:9,a=(a+p)-A,a=B-(-a),a=b[
(a-B)],
=2
T
7t
4
2)辅助角变换
asin.az+-bosx=a+bsim(x+),其中tang=b
(3)注意常值的代换
用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关
公式,如1=im2a+co3a,1=sin90°,
√3
Sin
COs30°等(共42张PPT)
角函数的图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
家国学要紧
、选择题(每小题4分,共16分)
1.函数y=sin(a≠0)的定义域为
(AR
(B)[-1,1
(D)[-3,3
【解析】选A.y=sin(a≠0)中对自变量没有特殊要
求,故x∈R.
目\1了解正弦函数余弦函数的图象
标
2.会用“五点法”画出正、余弦函数的图象
定
位/能利用正余弦函数的图象解决简单间题
本课重点是用五点法画出正弦函数余弦函数的
重图象
点难点
2.本课难点是正弦函数、余弦函数的应用
基础梳理⊙
正弦函数、余弦函数的图象
数
y-
sint
cOSO
图象
371.T
图象
五点法
五点法
画法
关键
T
五点(x,0),
(π,-1)
0
(2,0)
(2x,1)
知识点拔
1.y=sinx,x∈[0,2x]与y=sinx,x∈R的图象间的关系
(1)函数y=snx,x∈[0,2x]的图象是函数y=sinx,x∈
R的图象的一部分.
(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y
sinx,x∈[2kx,2(k+1)x],k∈Z且k≠0的图象与函
数y=sinx,x∈[0,2π的图象形状完全一致,因此将y
sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次移
动2π个单位长度)就可得到函数y=sin,x∈R的图象
2.“几何法”和“五点法画正、余弦函数图象的优缺点
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正
余弦函数图象的方法该方法作图较精确,但较为繁琐
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精确
度不高的情况下常用此法,要切实掌握好.另外与五点法
作图有关的问题经常出现在高考试题中
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
【规律方法】解读“五点法”作图
(1)“五点”即y=sinx或y=cosx的图象在一个周期内
的最高点、最低点和与x轴的交点.一般地,观察y=
sinx的一个周期,常常是[0,2π];观察y=cosx的一个周
期,也常常是[0,2π]
(2)“五点法”作图流程:列表→描点→连线
独具【变式训练】利用正弦或余弦函数图象作出
SIn
的图象
【解析】由于y=sm(x+2)
cOSC,
因此只需作出y=cosx的图象即可,
而y=|cosx可由y=cosx将x轴下方的图象折到x轴
上方,图象如图
y=sin(r+(共50张PPT)
1.4.3正切函数的性质与图象
家国学要紧
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.函数tan3xx的最小正周期为
(A
(B)
(C)
【解析】选A.T=2=
目
1.能画出y=tanx的图象
标2理解正切函数y=mx在(一受,受)上的
定性质
位
3.能够熟练应用正切函数y=tanx的性质
重
1.本课重点是画出正切函数的图象.
点2本课难点是正切函数的性质
难
点
基础梳理g
函数y=tanx的图象和性质
解析式
y=tant
图象
定义域
xx∈R且x≠kx+2,k∈Z
值域
R
周期
奇偶性
奇函数
单调性在开区间(一2+kx,2+kx)(A∈Z)
上都是增函数
知识点拨
1.作正切函数的图象的两种方法
(1)几何法:利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图
象,该方法作图较为精确,但画图较烦琐
(2)三点两线法:“三点”是指(一x,-1).(00,、(
“两线”是指x
和
在三点、两线确定的
情况下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在
(一受,受)上的简图,然后向左向右扩展即得正切
曲线
2.正切函数的性质
(1)正切函数y=tanx的定义域是{xx∈R且x≠2+
kπ,k∈Z,值域是全体实数
(2)正切函数y=tanx的最小正周期是π,一般地,函数
y=Atan(ax+g)+B(A>0,>0)的最小正周期是T=
,若不知a正负,则该函数的最小正周期为T=
(3)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是
递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭
区间
(4)正切函数是奇函数,图象关于原点对称,与x轴有无
数个交点,因此有无穷多个对称中心,对称中心坐标是
k0),∈Z,正切函数的图象无对称轴
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
类型
有关正切函数的定义域、值域问题
典例1】建议教师以第(1)题为例重点讲解)
(1)函数
tanx-√3的定义域为
(2)数
义域为
(3)函数y=tar
tanx+3的最小值为
类型)二与正切函数有关的函数的周期性奇偶性问题
典例3】建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)函数f(x)-
tan
ox(ω>0)的图象的相邻两支截
线
所得线段长为
(丌)的值为
(C
【规律方法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定
义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义,
即x≠5+kr,k∈Z而对于构建的三角不等式,常利用
三角函数的图象求解
解形如tanx>a的不等式的步骤:
作图象)作在(,)上的正切函数图象
求界点
求在()上使tmxa成立的值
求范围
求()上使mx>a成立的x的范围
定义域)(据正切函数的周期性,写出定义域)(共59张PPT)
2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
家国学要紧
选择题(每小题4分,共16分)
1.已知|a|=4,b=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则
atb
(A)√13(B)√26(C)13
(D)21
【解析】选A.由(2a-3b)·(2a+b)=61,得
L
将|a|=4,b=3,代入上式,求得a·b=-6
a+b2=(a+b)2=a|2+2a·b+b2=13,
所以{a+b=√13
目1.掌握平面向量的数量积及其几何意义
标|2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
定|3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角
位度和垂直的问题;掌握向量垂直的条件
1.本课重点是平面向量的数量积的定义
重
点2本课难点是平面向量的数量积的定义及其有关
难结论的应用
基础梳理
1.向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积
已知条件向量a,b是非零向量,它们的夹角为
定义a与b的数量积(或内积)是数量
a
b
cost
记法
b=a
b
cose
(2)零向量与任意向量的数量积
规定:零向量与任一向量的数量积为零.
2.向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
①向量b在a的方向上的投影为|bcos0.
②向量a在b的方向上的投影为a|cos9
(2)数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a与b在a的方向上的投影
bcos的乘积
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
3.向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为O.
(1)aba·b=0
(2)当a∥b时,a·b=
a|b,当a,b同向时
a||b,当a,b反向时.
(3)a·a={a2或{a|=√a·a
(4)cos0
(5)a·b≤a||b
4.向量数量积的运算律
交换律
a·b=b·a
对数乘的结合律()·b=入(a·b)=a·(b)
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
知识点拨
1.向量的数量积的书写方法
书写向量a与b的数量积a·b时,符号“·”既不能省
略,也不能用“×”代替.
2.两个向量的数量积与两个实数的积的区别
(1)在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0;但是在数量
积中,若a≠0,且a·b=0,不能推出b=0.因为其中cos0
有可能为0
(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=b→a=c.但是a·b=
b·c推不出a=c.理由如下
如图,a·b=a||bcos=bOA|,
b
b
c
cosa=boa
6
A
所以a·b=b·c,但是a≠c(共52张PPT)
2.3.4平面向量共线的坐标表示
家国学要紧
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量Ⅻ+b与a
2b平行,则实数入
独具№【解题指南】由向量Ⅻ+b与a十2b平行,得到
Ⅻ+b=k(a+2b),利用向量相等求解
【解析】因为向量Ⅻ+b与a+2b平行,
入=k
所以Ⅻ+b=k(a+2b),则
所以入
1=2k
答案:1
月J解用坐标表示的平面向量共线条件的推导
过程
标
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件
定2,会根据坐标表示的平面向量共线的条件解决
位
问题
1.本课的重点是用坐标表示的平面向量共线的
重条件
点2.本课的难点是用平面向量共线的坐标表示解决
难
点问题
基础梳理⊙
平面向量共线的坐标表示
前提条件a=(x1,y),b=(x2,y2),其中b≠0
当且仅当x1y-x2y=0时,向量a,b(b≠0)
结论
共线
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
【规律方法】由向量共线求参数的值的方法
求
根据题意求出有关向量的坐标
列
利用向量共线的坐标表示得到有
关参数的方程(组).
解
解得参数的值
(类型)一向量共线的判定
【典例1】建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
(A)e1=(0,0),e2=(1,-2)
(B)e1=(-1,2),e2=(5,7)
(C)e1=(3,5),e2=(6,10)
(D)e1=(2,-3),e2=(
24
(2)若向量a=(3,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的
向量可以是
(A)(3,-1)
(B)(-1,-√3
(C)(-/3,-1)
(D)(-1,3)
【解析】(1)选B.对于A,因为e1是零向量,所以e1∥e2,
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向
量的基底
对于B,因为(-1)×7-5×2=-17≠0,所以e1与e2
不共线,所以e1=(-1,2)与e2=(5,7能作为平面内所
有向量的基底
对于C,因为3×10-6×5=0,所以e1∥e2,所以e
(3,5)与e2=(6,10)不能作为平面内所有向量的基底
对于D,
因为2
(-3)=0,所以e1∥e2,
所以=(2,-3)与=(,一3)不能作为平面内
所有向量的基底
(2)选D.方法一
因为a+2b=(3,1)+2(0,-2)=(3,-3),
所以3×3-(-1)X(-3)=0,
所以(-1,3)与a+2b是共线的向量
方法二:因为a+2b=(3,1)+2(0,-2)=(3,-3)
√3(-1,3),所以向量(-1,3)与a+2b是共线的
向量.(共53张PPT)
2.3平面向量的基本定理及巫标表示
2.3.1平面向量基本定理
家国学要紧
3.若向量a,b为两个非零向量,且a=|b=a-b,则
向量a与a+b的夹角为
(A)
(B)
(D)
【解析】选A.作OA=a,OB=b,
以OA,OB为邻边作□OACB,
则BA=a-b,OC=a+b
∠AOC为向量a与a十b的夹角
因为a=|b=a-b,
所以△OAB是等边三角形,□OACB是菱形,
所以∠AOB
∠AOC
2∠AOB=x
目1.了解平面向量基本定理及其意义
标2.理解两个向量夹角的定义,以及两向量的夹角与
定两直线所成角的区别
位|3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用
1.本课重点是平面向量基本定理和两个向量夹角
重的定义
点2.本课难点是理解两个向量夹角的定义和平面向
难量基本定理的应用
点
基础梳理⊙
1.平面向量基本定理
条件e,e2是同一平面内的两个不共线向量
这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数
结论
A1,A2,使a=入1e1+入
不共线的向量e1,e叫做表示这一平面内所有
基底
向量的一组基底
2.向量的夹角
条件
两个非零向量a和b
产生作向量OA=a,OB=b,则
过程∠4QB=2叫做向量a与b
的夹角
范围
0°≤0≤180°
0=0°
a与b同向
特殊
0=90
a与b垂直,记作a⊥b
情况
0=180
a与b反向
知识点拨9
1.正确理解平面向量基本定理
(1)作用和意义
平面向量基本定理告诉我们,平面内任何一个向量都可
以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这
种分解是唯一的
(2)基底的性质
①不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底,基底不
同,表示也不同.由于零向量与任何向量共线,所以零向
量不可以作为基底
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
②不唯一性
对基底的选取不唯一,平面内任一向量a都可被这个平
面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的
表示是唯一的
③若基底选取不同,则表示同一向量的实数入1,A2可以
不同,也可以相同.特别地,若a=0,则有且只有A1=2
0,使0=Ae1+e2;若a与e1(e2)共线,则有入2=0(A
=0),使得a=入1e1+入2e2
2.正确理解向量的夹角
(1)向量夹角的几何表示
依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量
的起点移到同一点,这样它们所成的角才是两向量的夹
角.如图①,②,③,④,⑤,已知两向量a,b,作OA=a,OB
b,则∠AOB为a与b的夹角(共31张PPT)
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
家国学要紧
1.掌握向量加法的概念.
目2堂握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,
标
理解向量加法的几何意义
定{3会推导向量加法的交换律和结合律,并能熟练应
位用它们进行向量加法计算
1.本课的重点是向量加法的概念、向量加法的几何
重意义
点2.本课的难点是向量加法的三角形法则和平行四
难边形法则
点
基础梳理⊙
1.向量的加法
定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法
前提已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
作法作AB=a,BC=b,再作向量AC
栏/结论向量AC叫做a与b的和记作a+b
ab=ABBC=Ac
图形
法
前提
已知不共线的两个向量a,b,在平面
内任取一点O
平行四边形法
以同一点O为起点的两个已知向量
作法
a,b为邻边作□OACB
结论对角线(就是a与b的和
图形
规
定琴向量与任一向量a的和都有a+0=0+a
2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
3.重要结论
a+b≤a|+|b
知识点拔⊙
1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同.
角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形
法则只适用于两个不共线的向量求和
(2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的
图所示,AC=AB+AD(平行四边
C
形法则),又因为BC=AD,
所以AC=AB+BC(三角形法则)
(3)在使用三角形法则时,应注意“首尾连接”;在使用平
行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起
点相同
2.向量a+b与非零向量a,b的模及方向的联系
(1)当向量a与b不共线时,向量a+b的方向与a,b都
不相同,且a+b和大于第三边
(2)当向量a与b同向时,向量a+b与a(或b方向相
同,且a+b=a|+b
(3)当向量a与b反向,且a≤b时,a+b与b方向相
同(与a方向相反),且a+b=|b-a
3.向量加法的运算律的拓展
向量加法满足交换律和结合律,因此在进行多个向量的
加法运算时,就可以按照任意的次序和任意的组合进行
如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练(共71张PPT)
1.6三角函数模型的简单应用
家国学要紧
独具【变式训练】直线y=a与曲线y=sinx在(0,
2π)内有两个不同的交点,则实数a的取值范围
是
【解析】由y=sinx,x∈(0,2π)的图象得,a∈(-1,0)∪
(0,1).
答案:(-1,0)∪(0,1)
目1,会用三角函数模型解决一些简单实际问题
标\体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数
足
位/模型
1.本节课重点是用三角函数模型解决一些具有周
重期变化规律的实际问题
点2.本课难点是将某些实际问题抽象为三角函数
难
点模型
基础梳理⊙
三角函数的应用
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型
(3)利用搜集的数据作出散点图,并根据散点图进行函数
拟合,从而得到函数模型
知识点拨
1.三角函数应用题的三种模式
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模
型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.
(2)给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解
析式,再解决其他问题
(3)整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点
图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函
数模型,进一步用函数模型来解决问题.
2.对三角函数在生产生活中的应用的理解
(1)现实生产、生活中,周期现象广泛存在,在解决实际问
题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过观察散
点图,进行函数拟合,获得具体的函数模型
(2)应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背
景中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助
理解问题.
(3)在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
(3)已知如图表示电流强度Ⅰ与
安培
300b
寸间t的关系I=Asin(ont+g)
A>0,a)>0,|g<。)的图象
秒
①试根据图象写出I=Asin(at
+g)的解析式
300
②为了使l=Ai(m+9)(A>0,o>0,g<)中t
在任意一段1秒的时间内电流强度Ⅰ能同时取得最大
值A与最小值一A,那么正整数a的最小值是多少?
(3)①由图知,A=30.,7=1
300
所以a
因为(-m,0)是该画数图象的第一个零点,
所以—9
所以9=300
,符合|g|<2
300
所以1=300(100x+)(≥0
②问题等价于T≤1,即
T
100
所以ω≥200π,所以最小的正整数ω为629(共48张PPT)
1.2.2同角三角函数的基本关系
家国学要紧
目
标,堆解同角三角函数的基本关系
定/·能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求
值、化简和证明.
位
重1.本课重点是同角函数的基本关系
点2本课难点是同角函数的基本关系的运用
难点
基础梳理⑨
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1,
Sin
at
cos
a
(2)商数关系:同一个角a的正弦、余弦的商等于这个角
的正切即s=tang(其中a≠kx+2(k∈Z)
知识点拨
解读同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的
三角函数的运算规律.这里,“同角”有两层含义:一是“角
相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提
下).关系式成立与角的表达形式无关,如sin23a+cos23a
(2)sin2a是(sina)2的简写,不能写成
sina
(3在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义
如式子tan90
in9O°
90
不成立
(4)注意公式的变形,如sin2a=1-cos2a,cos2a=1
SIna
Sin
a,
sina-coSatana,
coSa
等
(5)在应用平方关系式求sin或cos时,其正负号是由
角α所在的象限决定的,不可凭空想象
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
【规律方法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角a的其余三角
函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关
系,再用商数关系
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值
时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨
论,有两组结果
独具=【变式训练卫已知tam=2,且a是第三象限角
求
Sina,
cosa
的值
【解析】因为tan=2,所以
sina
2
cOSa
因为sin2a+cos2a=1,所以
COSa
cos
a
cos
a
13
又因为α是第三象限角
所以cosa
3
SIna
13
(类型)二三角函数式的化简问题
【典例2】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)化简的值为
(A)sine
(B)cos]
(C)1
(D)tane
1
(1--cosa)
Sing
tana
(3)化简sin2a-sina,其中α是第二象限角(共47张PPT)
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
家国学要紧
第一章三角函数
目\1了解角的概念的推广过程
标定位
2.理解任意角的概念
3.认识终边相同的角并会简单表示
重
1.本课重点是任意角的概
点2.本课难点是终边相同的角及其表示
难点
基础梳理
1.角的分类
(1)按角的旋转方向分
①按逆时针方向旋转形成的角,规定为正角
②按顺时针方向旋转形成的角,规定为负角
③当一条射线没有作任何旋转时,规定为零角
如图:
B
B
A(B)
正角
负角
零角
(2)按角的终边位置分
①角的终边在第几象限,则此角称为第几象限角
②角的终边在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限
2.终边相同的角
图示
集合表示)S=(|=+k360∈2}
知识点拨9
解读任意角的概念
(1)用运动的观点来定义角,就可以把角的概念推广到任
意角,包括任意大小的正角、负角和零角
(2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字.
①要明确旋转方向;
②要明确旋转的大小
③要明确射线未作任何旋转时的位置.
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
2.象限角的表示
(1)终边在第一象限内的角为{aa=k·360°+B,0°0°,k∈Z},即将不等式0°<890的两边同时加上
360°,可得终边在第一象限的角的表示为
α|k·360°<α(2)终边在第二象限的角的表示为
a|k·360°+90°(3)终边在第三象限的角的表示为
{a|k·360°+180°(4)终边在第四象限的角的表示为
{a|k·360°—90°3.象限界角(轴线角)的表示
如果角的终边在坐标轴上,则称这个角为象限界角(轴线
角)
(1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为
k·360°,k∈Z
(2)终边落在x轴非正半轴上的角的集合为
x|x=k·360°+180°,k∈Z}
故角的终边落在x轴上的角的集合为
x|x=k·180°,k∈Z}.
(3)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为
x1x=k·360°+90°,k∈Z};
(4)终边落在y轴非正半轴上的角的集合为
x1x=k·360°+270°,k∈Z};
故终边落在y轴上的角的集合为
x|x=k·180°+90°,k∈Z}
由(1)(2)(3)(4)可知终边落在坐标轴上的角的集合为
{x|x=k·90°,k∈Z}.(共56张PPT)
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3平面向量的坐标运算
家国学要紧
目
标/握平面向量的正交分解及其坐标表示
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算
定位
了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系
1.本课重点是平面向量的坐标的概念
点本课难点是正确理解平面向量坐标的概念、平面
难向量坐标运算及其综合应用
点
基础梳理⊙
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正
交分解.
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中分别取与x
建系
轴、y轴方向相同的两个单位向
选底
量i、j作为基底
对于平面内的一个向量a,由平
线性
面向量基本定理知,有且只有一
表示
对实数x,y,使得a=xi+y
定义
有序数对(x,y)叫做向量a的坐标
坐标
x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐
标,a=(x,y)叫做向量的坐标表示显然
i=(1,0),j(0,1),0=(0,0).
3.平面向量的坐标运算
文字
符号
加两个向量和的坐标分若a=(x1,y),b=(x2,
别等于这两个向量相y2),则a+b=(x+x,
法应坐标的和
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
减两个向量差的坐标分若a=(x,n),b=(x,
别等于这两个向量相y2),则a-b=(x-x2,
法应坐标的差
数实数与向量的积的坐
乘|标等于用这个实数乘
若a=(x,y),A∈R,则a
(x,ny).
量原来向量的相应坐标
个向量的坐标等于已知向量AB的起点
重
要表示此向量的有向线A(x1,y),终点B(x2,
结段的终点的坐标减去
),则AB=(
始点的坐标
知识点拨
1.点的坐标与向量的坐标的区别和联系
(1)区别
①意义
点的坐标反映点的位置,它由点的位置决定;向量的坐标
反映的是向量的大小和方向,与位置无关;
②表示形式
如点A(x,y),向量a=OA=(x,y).当平面向量OA平行
移动到O1A1时,向量不变,即OA1=OA=(x,y),但
OA1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化
(2)联系
①向量a的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点
的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系
②把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点,这时
向量α的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确
定,即点A的坐标就是向量a的坐标(共71张PPT)
鹦)专题归狗整合
鹦)体系自主完甚
阶段复习课
家国学要紧
任意角(象限角
终边相同的角
任意角和弧度制
定义
弧度制H②E
弧长公式,扇形面积公式
r(任意角的三角函数的定义)
正弦线
三角函数
任意角的三角函数④_D
三角函数
间角三角函数的基本关系
诱导公式
5B
画法
图象变换法
图象正弦曲线余弦曲线正切曲线
函数y=Asin(x+9的图象
定义域)
三角函数的
值域
图象和性质(性质
F
奇偶性
单调性
最值
应用
备选答案
A.正切线
B.五点法
C.正角、负角、零角
D.余弦线
E.角度与弧度互化F.周期性
(类型)→三角函数基本概念
【典例1】点P从点(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针
方向运动。弧长到达Q点,求Q点的坐标
【解析】设∠POQ=0,则0
又设Q(x,y),
则x=cs3=2,y=in3=2,
所以Q(,空)
【互动探究】原题条件不变,若把“逆时针方向”改为“顺
时针方向”,求Q点的坐标
【解析】此时∠POQ=0=—,设Q(
,y)
则
T
,y--
Sin
(3)=2
所以Q(,一
归纳≯影响任意角的三角函数值的因素以及三角函
数值与任意角的关系
提示:(1)任意角的三角函数值只与这个角的终边位
置有关,而与点P在终边上的位置无关
(2)任意角与三角函数值的对应关系是多值对应关
系,给定一个任意角,它的三角函数值是唯一确定的;
反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个任意角和
它对应
【规律方法】解读任意角的三角函数
(1)任意角和弧度制.理解任意角的概念及弧度的意义,
能正确进行弧度与角度的换算
(2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切函
数的定义及三角函数线,能够判断三角函数值在各象限
的符号
类型)二三角函数式的求值、化简、证明
【典例2】化简√1-2
Sinacos+√1+2
sina
coso(0【解析】原式=√sin2a+cos2a-2
Sinacom+
sin
at
cos
a+2sinacosa
SIna
COSa
Sina
t
cosa
sina-cosa|+
sina+cosa
因为04
所以sinq所以原式=-sing+cosa+sina+cos=2cosa
恩考根据角的三角函数值求值时应注意什么?化
简三角函数式有哪些基本要求?
提示:(1)要注意这个角所在的象限,一般涉及开
算时,要分类讨论
(2)一般要求为:①函数种类最少;②项数最少;③函数
次数最低;④能求值的求出值;⑤尽量使分母不含三
角函数;⑥尽量使分母不含根式(共42张PPT)
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
家国学要紧
、选择题(每小题4分,共16分)
1.在锐角△ABC中,设x=sinA·sinB,y=cosA·cosB
则x,y的大小关系是
(A)x≤
(C
(D)
【解析】选D.因为π>A+B>,所以cos(A+B)<0
即
cOsAcosB-
sinasinB<0,所以x>y
目1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和
标与差的正切公式并能应用
定2.能够熟练地正用、逆用和变形应用两角和与差的
位正切公式
1.本课重点是两角和与差的正切公式的推导及
点应用
重
难2.本课难点是公式的变形应用
点
基础梳理⑨
两角和与差的正切公式
1a-B):
cos(a-B)-
(a-B):
sin(Q-B)
cosacosptsinasinb
sinacosB-cosasinB
利用商数关系
ng
Bj
tan(a-B
)-1+tanatanB
应用代换
tand+tan
B
Ta+
tan(a+B)=
I-tanctan
利用商数关系
C(a+B)
cos(a+B)-
(a+B'sin(a+B)=
cosacosB-sinasinB
sinacosB-+cosasin
知识点拨9
公式T(a的结构特征和符号规律
(1)公式Ta=B的右侧为分式形式,其中分子为tana与
tan3的和或差,分母为1与
tana
tanB的差或和
(2)
同号
n(a+=1+2
异号
符号变化规律可简记为“分子同,分母反”
公式逆用:
tan
at
tan
1-tan
atan
B
tan(ats)
tan
a
tan
1+tan
atan
tan(aB)
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
(类型)一两角和与差的正切公式的简单应用
【典例1】(建议教师以第(3)题为例重点讲解)
(1)tanl0°tan20°+3tanl0°+tan20°)等于
(A)
(B)1
(C)3
(D)6
(2)计算:tan105°
(3)化简
√3-tan18°
1+√3tan18°
【解析】(1)选B
原式=tanl0°tan20°+3(1-tanl0°tan20°)·tan(10°+
20°)=tan0°tan20°+1-tan0°tan20°
(2)tan105°=tan(60°+45°)
tan60°+tan45°√3+
1-tan60°tan45°
2-√3.
√3
答案:-2-3
(3)原式
tan60°—tan18°
1+tan60°tan18
tan(60°-18°)=tan42°(共64张PPT)
1.5函数y=Asin(x+g)的图象(二)
家国学要紧
6.为了使函数y=
SInor(a>0)在区间[0,1上至少出现
50次最大值,则a的最小值是
【解析】由题意至少出现50次最大值,即至少需有49
个周期,所以49
197.2≤1,所以
197
答案:π
目
标1.了解Am,9的物理意义
2.了解y=Asin(ax+g)的实际意义,会用y
定Aim(ax+g)的性质解题
位
1.本课重点是函数y=Asin(ax+g)的性质
点本课难点是函数y=Asin(ax+g)的性质的
难应用
点
基础梳理
1.函数y=Asin(ax+g),A>0,o>0中参数的物理意义
振幅是A
0x+g称为相位
周期T
2
y=Asin(ox+p)
A>0.0>0
频率f
称为初相
2.函数y=Asin(ax+g),A>0,o>0的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
L-A,
Al
对称中心(
kx9,0)(k∈Z),
对称性
对称轴x=×x-9(k∈Z)
2a
奇偶性
当g=0时是奇函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间.
知识点拨
函数y=Asin(ax+g)(A>0,a>0)中参数的物理意义的
理解
(1)A:它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距
离,称为振幅.
(2)T:T=,它表示做简谐运动的物体往复运动一次
所需要的时间,称为周期
(3)/:=1=,它表示做简谐运动的物体在单位时间
内往复运动的次数,称为频率.
(4)ax+g:称为相位;g:当x=0时的相位,称为初相
认知·探索
基础预习点拨
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要点探究归纳
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知能达标演练
(2)f(x)=Asin(ax+g)+m的最大值为4,最小值为
0,最小正周期为芬,x=是其图象的一条对称轴,则
下列各式中符合条件的解析式是
(A)y=4in(4x+)(B)y=2i(2x+)+2
(Cy=2sin(4x+)+2(D)y=2sin(4x+)+2
(3)函数f(x)=Asin(ax+q)中A>0,o>0,g<2
且图象如图所示,求其解析式
(2)选D.由题意知,A=4-0
所以正确答案在C或D中
又x=时,in(4x+5)=1,故选D
(3)方法一:由图象知,振幅A=3,
T
所以a=2
又由点(,0),根据五点作图原理(可判为“五点法”
中的第一点),
所以一×2+g=0,得9=3
所以f(x)=3in(2x+x(共48张PPT)
3三角函数的诱导公式(二)
家国学要紧
、选择题(每小题4分,共16分)
1.sin95°+cos175°的值为
(A)sin5°
COS
(C)0
(D)2sin5°
【解析】选C.sin95°=cos5°,cos175
COS
5°,故sin9
+cos175°=0
目
标/,借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式
五、六
定
2.掌握六组诱导公式并能灵活运用
位
重.本课重点是三角函数的诱导公式五六
点2本课难点是灵活运用诱导公式进行化简、求值
难点
基础梳理
1.诱导公式五、六
(芬-a)=cosa
loaf
公式五
cos(2-a)sing
sin(+a=cosa
公式六
os(芬+a)-sing
2.诱导公式五、六的语言概括
(1)函数值:2±a的正弦(余弦)函数值,分别等于a的
余弦(正弦)函数值
(2)符号:函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值
的符号
知识点拨9
1.三角形中的诱导公式
因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,所以A+B_x
所以sin(A+B)=sin(x-C)=sinC
COs(A+B)=COS(C)=-cosC:
A+B
C
C
SIn
SIn
22)=cs2
A+B
C
COS
COS
22
sin
认知·探索
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演练·评估
知能达标演练
2.解读六组诱导公式
(1)诱导公式一~六揭示了终边具有某种对称关系的两
个角的三角函数之间的关系
(2)这六组诱导公式可归纳为“k·90士a(k∈Z)”的三角
函数值与a的三角函数值之间的关系.当k为偶数时得
角a的同名三角函数值,当k为奇数时得角α的异名三
角函数值.然后在前面加上一个把角a看成锐角时原
角函数值的符号.可简记为“奇变偶不变,符号看象限”
(类型)一给角求值
【典例1】(建议教师以第(1)题为例重点讲解)
(1)已知cos31°=m,则sin239tan149°的值是()
(A)
(B)√1-m
1-m2
(C)
(D)-√1-m
(2)已知角α的终边在第二象限,且与单位圆交于点
+a)+2
T
P(a3),求
的值
2cos
3π
【解析】(1)选B.sin239tan149°
sin(270-31)tan(180-31)
cOs31°(-tan31°)
sing
-
m2
(2)因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于
点P(a
所以a2+。=1(a<0),
解得a
4
所以sina
5
cosa
所以原式
COSa
cOSa
COSa
4(共59张PPT)
1
1
1.5函数y=Asin(ox+g)的图象(一)
家国学要紧
、选择题(每小题4分,共16分)
将函数f(x)=i(2+0)(2<<2)的图象向
右平移g(g>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,
若f(x),g(x)的图象都经过点PQ29的值
可以是
(A)
(B)
(C)
(D)
独具【解题指南】平移问题上,图像和式子的区别对
待,务必认识清楚,方能正确解题.
目1.了解y=Asin(ax+g)的实际意义
标1,借助图象,观察参数A,,g对函数图象变化的
定位
影响
1.本课重点是用参数思想讨论函数y=Asin(ax+
重9)的图象变换过程
点2.本课难点是对图象变换与函数解析式变换的内
难
点在联系的认识
基础梳理g
A,o,g对函数y=Asin(ax+g)图象的影响
(1)q对y=sin(x+g),x∈R的图象的影响
0>0时向左
y=sinx图象
平移|9
个单位
y=sin(x+)图象
0<0时向右
长度
(2)o(>0)对y=sin(ax+g)的图象的影响
0>1时缩短
y=sin(x+
q)图象
上所有点的横坐标
0y=sn(o+9)图象(原来的倍
(3)A(A>0)对y=Asin(ax+g)的图象的影响
y=sin(ox+q)图象
A>1时伸长
上所有点的纵坐标
0y=Asin(ox+)图象
原来的A倍
知识点拨
准确理解“变换法”作图的两种主要途径
向左(g>0或向右(g<0)
(1)先平移后伸缩:y=sinx的图象
平移|q个单位长度
横坐标变为原来的一倍
y=sn(x+g)的图象
>y=sin
(axt
纵坐标不变
9)的图争纵坐标变为原来的N,=Asin(ox+q)的图象
横坐标不变
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
横坐标变为原来的一倍
(2)先伸缩后平移:y=sin的图象
纵坐标不变
Sinx的图象向左(y>0)或向石(gO)
y=sin
(ox+o)
平移|9个单位长度
的图象纵坐标变为原来的A倍y=Asim(ax+9)的图象
横坐标不变
描点作图女
8兀
l兀x
的图象向左、向右扩展,即可得到
简图
解答第(1)题的关键点以及用“五点法”作函
数y=Asin(aox+g)的图象时易出现什么样的失误?
提示(1)关键是由一2<0x+g<2得到其中一个单
调增区间为(x29,x2),结合图象来判断
(2)由ωx十φ整体所对应的值寻求x的值时易出现错
,(共54张PPT)
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
家国学要紧
目1.理解二倍角公式的推导
标2.熟练掌握二倍角公式及变形公式
定|3.灵活应用二倍角公式解决有关的化简求值证
位明问题
重.本课重点是二倍角公式及其推导
点2.本课难点是二倍角公式及其变形公式的应用
难点
基础梳理
二倍角公式
a=B
S2a:
Sin2a=
sina
cosa
2
cos2a-1
a=B
C2a
cosa=COS"
a
1-2sin2a
a=p
\Ta
tanA
Sin2
a
2tana
coSa
l-tan'a
知识点拨9
细解“倍角公式”
(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等
于2的情况都成立,如6a是3a的2倍,3a是”的2倍
这里蕴含着换元思想.这就是说,“倍”是相对而言的,是
描述两个数量之间的关系的
(3)注意倍角公式的灵活应用,要会正用、逆用、变形用
(类型)一直接应用二倍角公式化简求值
【典例1】(建议教师以第(3)题为例重点讲解)
(1)设im2a=-sina,a∈(2,x),则tm20的值
是
(2)化简:√1+sin0
(3)若tan2a=,求tan的值
认知·探索
基础预习点拨
认知·探索
要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
【解析】(1)根据题意sin2a=-sina,可得2
sin
acos
a
sIn
a.
可得
cOS
a
tan
a
3,所以tan2a
tan
a
2√3
1-tan
a
√3.
答案:3
(2)原式=√(sin5°+cos5°)
Sina
cOSO
in5°+cos5°-(cos5-sin5)=2sin5
答案:2sin5
(3)tania
tana
tan
a
整理得,tan2a+6tana-1=0
解得tan=√10-3或tana=-√10-3
【规律方法】直接应用二倍角公式化简求值的三个关
注点
(1)当单角为非特殊角,而倍角为特殊角时,常利用倍角
公式及其变形公式化为特殊角求值
(2)当式子中涉及的角较多,要先变角,化异角为同角
(3)对根式形式的化简,以去根号为目的,化筒时注意角
的范围
独具【变式训练】若180°+
1./11
2222
coSLa
解析】原式
+
cosLa
√2+0
cos
a
因为180°<α<270°,所以cosa<0
所以90°
2
sin(共43张PPT)
第三章三角恒等变换
家国学要紧
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1两角差的余弦公式
目
标/熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的
定过程
位/2熟记并灵活运用两角差的余弦公式
重.本课重点是灵活运用两角差的余弦公式解题
点2本课难点是理解两角差的余弦公式的推导
难
点
基础梳理⊙
两角差的余弦公式
公式cos(a-B)=
COSa
cos3
sinsing3
简记符号
使用条件
a,B为任意角
知识点拨
对公式C(的三点理解
(1)公式的结构特点
公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数
之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式
(2)公式的适用条件
公式中的a,B不仅可以是任意具体的角,也可以是一个
闭体”,如co(2-a2)中的“”相当于公式中
的角a,2”相当于公式中的角可用两角差的余弦
公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不要局
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基础预习点拨
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要点探究归纳
演练·评估
知能达标演练
限于具体的角
(3)该公式是三角函数公式的基础,要理解该公式的推导
方法.公式的应用要讲究一个“活”字,即正用、逆用、变形
用还要创造条件应用公式,如构造角:a=(a-B)+,a
at
等
类型)二给值求值问题
【典例2〗(建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)若sina-sinp=3
√3
2,
COSa
cosB
cos(a
B)的
值为
(A)
(B)
4
(D)
(2)la,P为锐角,cos(a+、y,cos(2a+B)=3
13
求
cosα的值.
【规律方法】利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和差,正用公式直接
求解
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余
弦公式右边形式,然后逆用公式求值
独具【变式训练】cos3in花的值为()
(A)-√2
(B2
(C)
(D)3
【解析】选B.cos12+3in1
2cs12+2112
T
COS
CoS
π3π3
COS
Sin
sin
T
2cos=√2.
【解析】(1)选A.将条件式两边分别平方相加得:
2-2sinasinB--2cosacosB=1
所以2-2cos(a-B=1,所以cos(a-B
(2)因为a,β为锐角,所以0又因为cos(a+P)=13>0,所以0a+B2,
所以0<2a+B<π
又因为cos(2a+8)=3所以0<2a+2
所以sin(a+)-13sin(2a+)(共54张PPT)
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)
家国学要紧
独具【变式训练】函数y=sin-oπ的单调增区间
是
(A)[4kx,(4k+1)x](k∈Z)(B[4k,4k+2](k∈Z
(C)[2kr,(2k+2)x](k∈Z)(D)[2k,2k+2(k∈Z
目1.借助函数图象理解正弦函数余弦函数在[0,2x
标上的性质(如单调性、最大和最小值、图象及与x
定轴的交点等)
位2.能利用性质解决一些简单问题
重1.本课重点是正弦余弦函数的单调性的应用
点2.本课难点是求正弦余弦函数的单调区间
难点
基础梳理
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数
余弦函数
图象
I.、O不
值域
-1,1]
在2kπ-2
,2kx+
在[2kx-π,2k](k∈
单湖丝/(k∈D)上递增,D)上递增,在[2k元
70
在2kx+,2kx+2kx+x](k∈Z)上
递减
70
2
(k∈Z上递减
x=x+2kx(k∈Z)
x=2kπ(k∈Z)时,
时
最值
max
ymax=1;x=2kx+π(k
2+2x(∈Z)∈)时,ym=-1
时
知识点拨
1.解读正弦、余弦函数的单调性
(1)理解正弦函数、余弦函数的单调性,通常作函数y
sinx,x∈
π3y=cosx,x∈[π,]的简图
(2)单调区间要在定义域内求解
(3)求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调
性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步.
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调
性时,要注意使用复杂函数的判断方法来判断
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2.解析正弦函数、余弦函数的最值
(1)明确正弦、余弦函数的有界性,即|sinx≤1,cosx
(2)对有些函数,其最值不一定就是1或-1,要依据函数
的定义域来决定
(3)形如y=Asin(ax+g)(A>0,o>0)的函数求最值
时,通常利用“整体代换”,即令ax+g=x,将函数转化为
asin的形式求最值
(类型)→正弦余弦函数的单调性问题
【典例1】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)下列函数在5,π上是增函数的是
(A)y=sinx
(B)y=cos℃
(C)y=sin2x
(2)求函数y=2n(-x)的单调递增区间
【解析】1)选D.y=c2x在0,2」上为减函数,在
2·丌上为增函数
T
(2)解题流程
转化y=2n(x)-2n(x
〔换元
则y
求y=-2sinz的增区间,
即取sin的减区间
所以芬+2kx≤z≤32+2kx(ke∈z
计算
即+2k兀≤x-≤37+2km(k∈ez)
求解)所以2+2kπ≤x≤4+2k(k∈Z)
结论
所以函数y=2sin(-x)的单调递增区
间是+2k兀,+2kπ(k∈Z)(共54张PPT)
2.5平面向量应用举例
家国学要紧
独具【方法技巧】巧用向量解决垂直问题
解决垂直问题,一般的思路是将目标线段的垂直转化
为向量的数量积为零,而在此过程中,则需运用向量运
算,将目标向量用基底表示,通过基底的数量积运算使
问题获解
目|1.能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等
标|一些实际问题
定|2掌握用向量方法解决实际问题的基本方法
位3.掌握用向量方法解决实际问题的步骤
重.本课的重点是用向量方法解决平面几何问题
点2本课的难点是用向量方法解决实际问题
难点
基础梳理
1.平面几何中的向量方法
(1)请用连线的方式说明以下平面图形的性质和平面向
量运算的关系
向量的线性运算)(向量的数量积
(平行平移(长度(全等)(相似夹角垂直
(2)用向量方法解决平面问题的“三步法”:
转化)建立平面几何与向量的联系,用向量表
示问题中涉及的几何元素,将平面几何
问题转化为向量问题
运算〉通过向量运算.研究几何元素之间的关
系,如距离、夹角等问题
翻译>把运算结果“翻译”成几何关系」
2.物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是
向量
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是
向量的加减.
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知识点拨
1.向量在平面几何中的应用
(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量,这样,有
关线段的长度即转化为向量的长度(模),射线的夹角即
转化为向量的夹角,于是平面几何中的一些证明、计算就
被向量的运算取代,这给许多问题的解决带来了方便,就
是说向量为我们研究平面几何问题提供了一种新的思
想,新的工具.
(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点,而引入向
量后,就减少或不作辅助线,但应注意选用基底表示有关
向量时,选用的基底不同,解法也会有一些差别,因此选
用合适的基底显得很重要
2.在物理中与向量运算有关的问题
(1)力、速度、加速度、位移都是向量.
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的
加减
(3)动量mν是数乘向量
(4)功是力F与位移s的数量积,即W=F·s
(类型)一平面向量在平面几何中的应用
【典例1】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+
PC=AB,则△PBC与△ABC的面积之比是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)已知等腰直角三角形AOB中,AC,BD为两直角边
上的中线,求AC,BD相交所形成的钝角的余弦值(共55张PPT)
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
家国学要紧
【解析】选A.①因为a=2e1,b=-e2,
所以a与e1共线,b与e2共线.又e1,e2不共线
所以e1,e2都不是零向量,所以a与b不共线
②因为b=-2(e1-e2)=-2a,所以a与b共线;
③因为a=4-3e=4(e-1e)=4b
所以a与b共线;
④因为e1,e2不共线,
所以根据向量线性运算的几何意义知e1+e2与e1-e2
不共线,所以a=e1+e2与b=2e1-2e2不共线
月/通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定
2.理解两向量共线的含义,并能用向量共线定理解
标
定/决简单的几何问题
位/°享握向量数乘运算的运算律,并会进行有关
运算
题|1.本课重点是向量数乘的定义及其运算律和向量
重共线定理
点2本课难点是两向量共线的含义及向量共线定理
难的应用
点
基础梳理
向量的数乘
(1)运算形式:实数×向量;
(2)运算结果:向量;
(3)记法:实数λ与向量a的积是向量入a.
2.向量a的大小和方向
向量
入的符号
方向
模
入>0
与a同向
入=0
是0,方向任意x|a
入<0
与a反向
3.数乘向量的运算律
(1)A(a)=(y)a;
(2)(+)a=Ⅻ+a;
(3)(a+b)=+b
特别地,有(-入)a=-()=A(-a);
入(a-b)=a-池b
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数入
使b=a.
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演练·评估
知能达标演练
知识点拨
1.从两个角度看数乘向量
(1)代数角度
λ是实数,a是向量,它们的积仍是向量;另外,λ=0的
条件是入=0或a=0
(2)几何角度
对于向量的长度而言
①当A>1时,有|>a,这意味着表示向量a的有
向线段在原方向(入>1)或反方向(<-1)上伸长到a
的λ|倍;
②当0的有向线段在原方向(0<入<1)或反方向(-1<λ<0)上
缩短到a的入倍.
2.共线向量定理中规定a≠0的原因
若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线
(1)若b≠0,则不存在实数λ,使b=;
(2)若b=0,则对任意实数λ,都有b=
【规律方法】
1.向量的线性运算的分类
向量的加法
向量的线性运算
向量的减法
向量的数乘
2.线性运算的两种运算形式
(1)几何运算
A>0沿向量a的方向伸长(或缩短为原来
的λ倍
零向量)
A<0沿向量a的相反方向伸长(或缩短)为
原来的倍(共40张PPT)
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)
家国学要紧
k
4.函数y=cs(4x+x)(k>0)的最小正周期不大于
2,则正整数k的最小值为
(A)10
(B)11
(C)12
(D)13
【解析】选D.由T
2r=8T<2
4
所以,k≥4π,又k为正整数,故k的最小值为13
目
标/·解周期函数与最小正周期的意义
2.理解三角函数的周期性和奇偶性.
定
众/3.会求函数的周期和判断三角函数的奇偶性
1.本课重点是正弦函数、余弦函数周期性与奇
重
点
偶性.
难2本课难点是周期函数的意义和周期性
点
基础梳理g
函数的周期性
(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数
T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=
f(x).这个函数的周期为T
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存
在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y--sInI
cOSa
周期2kx(k∈Z且k≠0)2kx(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
认知·探索
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演练·评估
知能达标演练
知识点拨
1.细解周期函数的概念
(1)存在一个不等于零的常数.
对于定义域内每一个值,都有f(x+T)=f(x)成立,若
只有个别x满足f(x+T)=f(x),不能把T看作周期,
如
Sin
(项+)=sin,但si(3+2)≠sn3,所
以2不是y=sinx的周期
(2)并不是所有函数都有周期性
(3)在周期函数y=f(x)中,若x∈D,则(x+n1)∈D(n
∈Z),从而要求周期函数的定义域一定为无限集,且无
上下界
2.解析函数的最小正周期
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要
加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y
sin2x的最小正周期是x,因为y=sin(2x+2x)=sin2(x
十π),即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小
正数,π是对x而言的,而非2x
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数
函数f(x)=C,任一个正实数都是它的周期,因而不存在
最小正周期.
(类型)一求三角函数的周期问题
【典例1】(建议教师以第(2)题为例重点讲解)
(1)下列函数是以π为周期的是
(A)y=sinx
(B)y=sinz+2
(C)y=cos2x-+2
(D)y=cos3x-1
(2)求下列函数的周期:①y=sin(2x+x);②y
Sinx(共75张PPT)
鹦)专题归狗整合
鹦)体系自主完甚
阶段复习课
家国学要紧
平方关系
同角三角
①-A
函数的基
本关系
商数关系:
②-B
两角和与
差的三角C公式S(o)-ro)
应化简、
亦
函数
以
以
用求值、
证明
换
代B
代β
公式S
倍角的
三角函数
半角公式)
备选答案
A
sinacom
a=1
B.
sina
tana
cOSa
(类型)一三角函数式的求值问题
【典例1已知si(+a)sn(-a)=6,a∈(,)
求
Sina
的值.
cos
a
【解析】因为m(+a)m(-)=
所以sn(x+a)os(+a)=b,
in(2+2a)=3,即
cosa
又因为a∈(丌,π),a∈(r,2x),
所以sin2a
2√2
1-cos
2a
以Sn4a
所以1
2
cos
a
1+
1-+cosa
2
2×
4√2
1+
想想三角函数式求值的关键是什么?
提示:给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非
特殊角的三角函数相约或相消.给值求值的关键是找
出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可
以适当变换已知式求得另外函数式的值,以备应用
【规律方法】三角函数式的求值问题的类型及解题规律
(1)给角求值.此类问题的一般解题规律是恰当、适时地
应用诱导公式、三角函数公式,合理进行角的变换,并利
用和角、差角公式,二倍角公式使其转化为特殊角的三角
函数值的求解问题.若非特殊角则应变为可消去或约分
的情况,从而求值
(2)给值求值.此类问题一般解题规律是先将所求的式子
化简、弄清实际所求,再变化已知的式子,寻找已知与所
求的联系,选择适当的公式求值
类型)二》三角函数式的化简问题
典例2】(1)已知f(x)
当a∈(,)时式子
f(sin2a)-f(-sin2a)可化简为
(A)-2sina
(B)cosa
(C)sina
(D)-2cosa
(2)化简sin2asin2+
cos
acOs
COS∠acO
s28的值
为
【解析】(1)选B.原式=√1-sin2a-√1+sin2a
√1-2
sinuosa-√1+2
SIna
cosa
SIna
COSc
SInat
cosa
由于a∈
4
sinas
cosa
所以原式=cosQ-sina+sin+cos=2cosa
(2)原式=12.129+1+2.1+co2B
COS∠a·cOs
(1tcos2acos2B--cos2acos2B)+(1
tcos2a
滋是