9.3 三角形的角平分线、中线和高 优质课件（35张PPT）

第九章 三角形
9.3 三角形的角平分线、中线和高
1
2
3
CONTENTS
1
想一想：
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
CONTENTS
2
三角形的角平分线
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
问题1.1
如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
三角形的角平分线
问题1.2
你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗?
C
A
B
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
A
C
B
D
三角形的角平分线

定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
提示：角平分线是一条射线，
三角形的角平分线是一条线段．
三角形的角平分线

1
2
A
B
C
D
如图，在△ABC中，线段AD是△ABC的一条角平分线，则
∠1=∠2.
想一想：由三角形的角平分线你能得到什么结论？
三角形的角平分线
练一练：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°,则∠EAD=( )
A.60°
B.40°
C.20°
D.10
C
C
A
B
D
E
三角形的角平分线

问题1.3
分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中，画出它们的角平分线，观察它们有什么特点?
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
三角形的角平分线

归纳：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形的中线

问题2.1
如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
三角形的中线

问题2.2
类比三角形的角平分线的概念，试说明什么叫三角形的中线？
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
定义： 连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.
三角形的中线

如图，在△ABC中，线段AD是△ABC的边BC上的中线，则BD=DC
A
B
C
D
想一想：由三角形的中线你能得到什么结论？
三角形的中线

练一练：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
三角形的中线

解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24(cm).
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
A
C
D
B
三角形的中线

问题2.3
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
三角形的中线

归纳：三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心.
三角形的高
问题3.1
根据我们已经学过知识，试着说出三角形高的定义.
定义： 三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
A
B
C
D
垂直符号
垂足
三角形的高

如图，在△ABC中，线段AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADB= ∠ADC=90 °
想一想：由三角形的高你能得到什么结论？
A
B
C
D
三角形的高

问题3.2
分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中，画出它们的高，观察它们有什么特点?
三角形的高

归纳：三角形有三条高，这三条高相交于一点.
(1)锐角三角形的高交于三角形内一点；
(2)直角三角形的高交于直角的顶点；
(3)钝角三角形的高交于三角形外一点.
三角形的高

练一练：若三角形某条边上的高的位置在该三角形内，则该边所对的角一定是( )
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.以上都有可能
D
三角形的高
试一试：回顾本堂课学习的知识，完成下面的表格.
三角形的
重要线段
概念
图示
表述方式
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,_____和_____之间的_____
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边____的____
三角形的
角平分线
三角形一个内角的________与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的____
顶点
垂足
线段
中点
线段
平分线
线段
A
B
D
C
A
B
D
C
∵ AD是△ABC的中线.
∴ BD=CD= ?BC.
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
∵.AD是∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ? ∠BAC
A
B
D
C
1
2
CONTENTS
3
1.如图，若AD是△ABC的中线，有下列结论：①BD=CD；②AB=AC；③S△ABD=1/2S△ABC.其中一定成立的结论有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A
B
D
C
B
2．下列说法正确的是( 　)
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
3.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
D
4. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
5.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°， ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵AE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，
∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
CONTENTS
4
三角形中几条重要线段
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
中线
角平分线
高
三角形的角平分线是一条线段
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php