11.1 因式分解 优质课件（22张PPT）

第十一章 因式分解
11.1 因式分解
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想一想：
观察下面几个多项式的乘法算式:
ma＋mb=m(a＋b)
a2－b2=(a＋b)(a－b)
a2＋2ab＋b2=(a＋b)2
a2－2ab＋b2=(a－b)2
多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来，你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗?
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因式分解的概念
问题1
观察下面计算20112－2011×2010和372－362的过程，哪种更简便?
小明的方法
20112－2011×2010
=4044121－4042110
=2011.
372－362
=1369－1296
=73.
小亮的方法
20112－2011×2010
=2011×(2011－2010)
=2011.
372－362
=(37－36)×(37－36)
=73.
因式分解的概念

(1)小明用的什么方法?
(2)小亮的第一个算式用了什么方法?
(3)小亮的第二个算式用了什么方法?
根据乘方的意义直接进行计算.
乘法对加法的分配律的逆用.
平方差公式.
因式分解的概念

问题2
(1)观察下面三个算式:
x(x－2)=x2－2x，(x＋y)(x－y)=x2－y2，(x＋1)2=x2＋2x＋1.
(2)上面三个算式能反过来，写成整式乘积的形式吗?
可以.x2－2x=x(x－2)，
x2－y2=(x＋y)(x－y)，
x2＋2x＋1=(x＋1)2.
因式分解的概念

定义：像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式，其中每个整式都叫做这个多项式的因式.
因式分解的概念

问题3
计算下列式子.
(1)m(a＋b－1)=　　　　　　　　;?
(2)(m＋4)(m－4)=　　　　　　　　;?
(3)(y－3)2=　　　　　　　　;?
根据上面的算式填空.
(1)ma＋mb－m=　　　　　　　　;?
(2)m2－16=　　　　　　　　;?
(3)y2－6y＋9=　　　　　　　　.?
因式分解与整式的乘法有什么关系?
ma＋mb－m
m2－16
y2－6y＋9
m(a＋b－1)
(m＋4)(m－4)
(y－3)2
因式分解的概念

归纳：多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见，多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程，如图所示.
因式分解的概念

试一试：1.下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是多项式的因式分解?
(1)x2－4=(x＋2)(x－2);
(2)x2＋4x＋4=(x＋2)2;
(3)7m＋14n=7(m＋2n);
(4)x(y＋1)=xy＋x.
(1)(2)(3)是，(4)不是.
因式分解的概念

2.下列对多项式的变形，哪些是因式分解?是因式分解的，指出它的各因式.
(1)x2－x=x(x－1);
(2)10x＋5y=5(2x＋y);
(3)a2－1=(a＋1)(a－1);
(4)x2－2x＋1=(x－1)2.
试一试：
(1)是，因式为x，x－1;
(2)是，因式为5，2x＋y;
(3)是，因式为a＋1，a－1;
(4)是，因式为x－1，x－1.
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1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是(　　)
A. a(a＋b－1)=a2＋ab－a
B. a2－a－2=a(a－1)－2
C. －4a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b)
D.2x ＋1=x(2＋ )
C
2.把x2＋3x＋c分解因式得x2＋3x＋c=(x＋1)·(x＋2)，则c的值为( )
A.2 B.3
C.－2 D.－3
A
3.若42x2－31x＋2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x－4，设另一个因式为mx－n，其中m，n为常数，请你求出m，n的值.
解:(6x－4)(mx－n)=6mx2－4mx－6nx＋4n=6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
由题意可得42x2－31x＋2=6mx2－(4m＋6n)x＋4n，
4. 把多项式x2＋4mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，求m＋n的值.
　
解：由题意，得
x2＋4mx＋5=(x＋5)(x＋n)
=x2＋(n＋5)x＋5n，
5n=5，4m=n＋5．
解得n=1，m= ，
m＋n=1＋ = .
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因式分解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.其中，每个整式叫做这个多项式的因式
定义
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