11.2 提公因式法 优质课件（28张PPT）

第十一章 因式分解
11.2 提公因式法
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想一想：
多项式ab＋ac中,各项有相同的因式吗?
多项式3x2＋x呢?多项式mb2＋nb－b呢?
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公因式

问题1
(1)多项式ma＋mb＋mc有几项?
(2)每一项的因式都有哪些?
(3)这些项中有没有公共的因式?若有,是哪个?
有，为m
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
公因式

问题2
多项式ab2－2a2b的两项中,有没有公共的因式?若有,是哪些?
a, b, ab
定义：一般地,多项式的各项都含有的因式,叫做这个多项式各项的公因式,简称多项式的公因式.
公因式

试一试：写出下列多项式的公因式.
(1)6x－9x2；
(2)abc＋2a；
(3)abc－ab2＋2ab；
(4)2x2y＋4xy2－6xy.
(1)3x　
(2)a　
(3)ab　
(4)2xy
公因式

归纳：正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
4.所有这些因式的乘积即为公因式.
公因式
练一练：多项式2x2＋6x3中各项的公因式是( )
A.x2
B.2x
C.2x3
D.2x2
D
提公因式法

定义：逆用乘法对加法的分配律,可以把公因式写在括号外边,作为积的一个因式,写成下面的形式:
ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c),
ab2－2a2b=ab(b－2a).
这种将多项式分解因式的方法,叫做提公因式法.
提公因式法

试一试：先指出下列多项式的公因式,再进行因式分解.
(1)x2＋2x；
(2)2x2＋4x；
(3)2a2x－6ax2；
(4)4a4－12a3＋16a2.
(1)公因式是x,分解为x(x＋2).
(2)公因式是2x,分解为2x(x＋2).
(3)公因式是2ax,分解为2ax(a－3x).
(4)公因式是4a2,分解为4a2(a2－3a＋4).
提公因式法

问题3
三名同学对多项式2x2＋4x分解因式的结果如下:
(1)2x2＋4x=2(x2－x)；
(2)2x2＋4x=x(2x＋4)；
(3)2x2＋4x=2x(x＋2).
请你谈一谈用提公因式法分解因式应注意的问题.
分解因式要彻底.
例1 把下列多项式分解因式.
(1)－3x2＋6xy－3xz； (2)3a3b＋9a2b2－6a2b.
提公因式法
解:(1)－3x2＋6xy－3xz
=(－3x)·x＋(－3x)·(－2y)＋(－3x)·z
=－3x(x－2y＋z).
(2)3a3b＋9a2b2－6a2b
=3a2b·a＋3a2b·3b－3a2b·2
=3a2b(a＋3b－2).
公因式的系数是负数时，提公因式后各项要变号.
提公因式法

问题4
提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式.
公因式是多项式，怎样运用提公因式法分解因式？
归纳：把多项式看成一个整体“提出来”
提公因式法

例2 分解因式:2a(b＋c)－5(b＋c).
解:2a(b＋c)－5(b＋c)
=(b＋c)·2a－(b＋c)·5
=(b＋c)(2a－5).
提公因式法

归纳：
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
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1.把a2－2a分解因式，正确的是( )
A.a(a－2)
B.a(a＋2)
C.a(a2－2)
D.a(2－a)
A
2.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( )
A.x2－y2
B.x2＋2x
C.x2＋y2
D.x2－xy＋y2
B
3.若(x＋y)3－xy(x＋y)=(x＋y)·A，则A为( )
A.x2＋y2
B.x2－xy＋y2
C.x2－3xy＋y2
D.x2＋xy＋y2
D
4.用提公因式法因式分解：
(1)28x4－21x3＋7xy；
(3)－10m4n2＋8m4n－2m3n；
解：原式=7x(4x3－3x2－y).
解：原式 = －m3n(10mn－8m＋2)
(2)6p(p＋q)－4q(p＋q)；
(4)2a(x－y)－3b(y－x).
解：6p(p＋q)－4q(p＋q)
=2(p＋q)(3p－2q).
解：2a(x－y)－3b(y－x)
=2a(x－y)＋3b(x－y)
=(x－y)(2a＋3b).
5.利用因式分解进行计算：
(1)20202－2019×2020； (2)31×3.14＋27×3.14＋42×3.14.
解：20202－2019×2020
=(2020－2019)×2020
=2020.
解：31×3.14＋27×3.14＋42×3.14
=(31＋27＋42)×3.14
=100×3.14
=314.
6.先因式分解，再计算求值：
4a(x＋7)－3(x＋7),其中a=－5,x=3.
解：原式=(x＋7)(4a－3),∵a=－5,x=3，
∴原式=(3＋7) =10×(－23)=－230.
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提公因式法
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
方法
确定公因式
提取公因式
谢谢
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