11.3 第2课时 用完全平方公式分解因式 优质课件（24张PPT）

第十一章 因式分解
11.3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
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CONTENTS
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两数___与这两数___的积,等于这两数的平方差.
因式分解:
把一个多项式化为几个______的______的形式的式子变形.
平方差:
两个数的和(或差)的平方，等于它们的______，加上(或减去)它们的__________.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
完全平方公式:
想一想：
回顾所学知识，完成下面内容
乘积
整式
差
和
平方和
积的2倍
CONTENTS
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用完全平方公式分解因式

问题1
多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？
a2＋2ab＋b2
=a2＋ab＋ab＋b2
=a(a＋b)＋b(a＋b)
=(a＋b)(a＋b)
a2－2ab＋b2
=a2－ab－ab＋b2
=a(a－b)－b(a－b)
=(a－b)(a－b)
=(a＋b)2
=(a－b)2
提公因式
提公因式
用完全平方公式分解因式

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
整式乘法
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
(a－b)2=a2－2ab＋b2
a2＋2ab＋b2=(a＋b)2
a2－2ab＋b2=(a－b)2
因式分解
用完全平方公式分解因式

归纳：这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．式子a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．
例1 把下列各式分解因式：
(1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn
用完全平方公式分解因式
解：(1)t2＋22t＋121
=t2＋2×11t＋112
=(t＋11)2；
用完全平方公式分解因式

问题2.1
下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?请说明理由.
(1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l；
(3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2.
(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.
(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.
(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.
(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.
用完全平方公式分解因式

问题2.2
具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式?
具有a2＋2ab＋b2或a2一2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式.
用完全平方公式分解因式

例2 把下列各式分解因式：
(1)ax2＋2a2x＋a3；
(2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；
(3)(3m－1)2＋(3m－1)＋
解：(1)ax2＋2a2x＋a3
=a(x2＋2ax＋a2)
=a(x＋a)2.
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
用完全平方公式分解因式

(2)(x＋y)2－4(x＋y)＋4
=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
=(x＋y－2)2
用完全平方公式分解因式
定义：运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法.
用完全平方公式分解因式
练一练：把多项式4a2b＋4ab2＋b3因式分解，正确的是( )
A.a(2a＋b)2
B.b(2a＋b)2
C.b(a＋2b)2
D.4b(a＋b)2
B
CONTENTS
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1.二次三项式x2－6x＋k是一个完全平方式，则k的值是_____.
2.填空：
(1)x2＋10x＋________=(x＋________)2；
(2)1012＋101×98＋492=________.
3.若m=2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________.
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4.多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( )
A.x－1
B.x＋1
C.x2－1
D.(x－1)2
A
5.分解因式：
(1)x3－6x2＋9x； (2)－4a2－8ab－4b2.
解: x3－6x2＋9x
=x(x2－6x＋9)
=x(x－3)2
解: －4a2－8ab－4b2
=－4(a2＋2ab＋b2)
=－4(a＋b)2
6.已知ab=2,a＋b=5,求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
解：a3b＋2a2b2＋ab3
=ab(a2＋2ab＋b2)
=ab(a＋b)2.
当ab=2,a＋b=5时，
a3b＋2a2b2＋ab3=2×52=50.
CONTENTS
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用完全平方公式因式分解
依据
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数乘积的2倍等于这两个数的和(或差)的平方.
a2＋2ab＋b2=(a＋b)2
a2－2ab＋b2=(a－b)2
与提公因式法综合运用
①提取公因式；
②运用完全平方公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.
谢谢
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